ejercicios de programaciÓn lineal

ESCUELA : Administración

TEMA : Tarea – Ejercicios

ASIGNATURA : Métodos Cuantitativos

CICLO : X

DOCENTE : Lic. Adm. Mautino Minaya

Madelaine

INTEGRANTES :

Garay Julca Roger

Liñán Zarzosa Roxana

Toledo Quiñones Marlene

Huaraz, octubre 2013

EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles, Clásico (c) y funcional (f). Para su fabricación, los muebles requieren un tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. La situación actual de la empresa no permite utilizar más de 10 unidades de tiempo de construcción y quince de pintura.

Si el beneficio empresarial es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación B(c,f)= 3c+2f ¿Cuál es el beneficio máximo?

SOLUCIÓN:Clásico Funcional Máximo tiempo

Construcción 1 2 10

Pintura 3 1 15

Unidades fabricadas 3 2

Restricciones: Función objetivo ¿3 x+2 yi) 1 x+2 y ≤10ii) 3 x+1 y ≤15

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTAi) 1 x+2 y=10

Si x=0=¿2 y=10= (0,5 )Si y=0=> 1 x=10=(10,0)

ii) 3 x+1 y=15Si x=0=> 1 y=15=(0,15 )Si y=0=> 3 x=15= (5,0 )

PUNTO B1x+2 y=10 (3 )

3 x+1 y=15−3 x−6 y=−30

3 x+1 y=155=15

y=155

=3

1 x+2 (3 )=101 x=4x=4

Vértice o punto esquina (x,y) Valor de la función objetivoZ=3x+2y

A (5; 0) Z(x, y)=3(5) + 2(0) = 15B (4; 3) Z(x, y)=3(4) + 2(3) = 18C (0; 5) Z(x, y)=3(0) + 2(5) = 10

Se necesita 30 de muebles del modelo clásico y 10 del modelo funcional para maximizar la utilidad de tiempo en 18.

2. Una aerolínea proveerá servicios para un mínimo de 2000 pasajeros en primera clase, 1500 pasajeros en clase turista y 2400 pasajeros en clase económica. Operar un avión P-1 cuesta $12000 por milla y puede transportar 40 pasajeros en primera clase, 40 pasajeros en clase turista y 120 pasajeros en clase económica. Operar un avión p-2 cuesta $10 000 por milla y puede transportar 80 pasajeros en primera clase, 30 pasajeros en clase turista y 40 pasajeros en clase económica. ¿Cuántos aviones de cada tipo se deberá utilizar para minimizar los costos de operación?

Restricciones: Función objetivo ¿12000 x+10000 y

Región factible

i) 40 x+80 y ≥2000

ii) 40 x+30 y≥ 1500

iii) 120 x+40 y≥ 2400

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTA

i) 40 x+80 y=2000Si x=080 y=2000=(0,25)Si y=040 x=2000=(50,0)

ii) 40 x+30 y=1500Si x=030 y=1500=(0,50)Si y=040 x=1500=(37.5,0)

iii) 120 x+40 y=2400Si x=040 y=2400=(0,60)Si y=0120 x=2400=(20,0)

PUNTO B PUNTO C40 x+80 y=2000

40 x+30 y=1500(−1)40 x+80 y=2000

−40 x−30 y=−150050 y=500

y=50050

=10

Región factible

40 x+30 y=1500(−3)120 x+40 y=2400

−120 x−90 y=−4500120 x+40 y=2400

50 y=2100

y=210050

=42

40 x+80 (10 )=200040 x=1200

x=120040

=30

40 x+30 (42 )=150040 x=240

x=24040

=6

Vértice o punto esquina (x,y)

Valor de la función objetivoZ=3x+2y

A (50; 0) Z(x, y)=12000(50) + 10000(0) = 600000

B (30; 10) Z(x, y)= 12000(30) + 10000(10) = 460000

C (6; 42) Z(x, y)= 12000(6) + 10000(42) = 492000

D (0; 60) Z(x, y)= 12000(0) + 10000(60) = 600000

Para poder minimizar los costos de operación de deben utilizar 30 aviones del tipo P-1 y 10 aviones del tipo P-2, de tal forma que alcance un 460000 de costos.

3. Un agricultor dispone de 70 hectáreas para sembrar soya y maíz. En la tabla se muestran el costo de cultivo por hectárea, los días de trabajo que se necesitan para cada una de ellas y la ganancia por estas en nuevos soles. Como se observa en la última columna, la superficie por cultivar está limitada por la cantidad de dinero con que se cuenta para los costos de cultivo y por el número de días que pueden destinarse a esta parte del negocio. Calcular el número de hectáreas que se deben sembrar con cada cultivo para maximizar la ganancia.

Soya maíz Total disponibleCosto del cultivo por hectáreas 60 30 1800Días de trabajo por hectáreas 3 4 120Ganancia por hectáreas 300 150

SOLUCIÓN:

Soya Maíz Total disponible

Costo del cultivo por hectáreas 60 30 1800Días de trabajo por hectáreas 3 4 120Ganancia por hectáreas 300 150

Restricciones: Función objetivo

Maximizar ¿300 x+150 yi) 60 x+30 y≤ 1800ii) 3 x+4 y ≤120

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTAi) 60 x+30=1800

Si x=030 y=1800=(0,60)Si y=060 x=1800=(30,0)

ii) 3 x+4 y=120Si x=04 y=120=(0,30)Si y=03 x=120=(40,0)

PUNTO B60 x+30 y=1800

3 x+4 y=120 (−20)60 x+30 y=1800

−60 x−80 y=−2400−50 y=−600

y=−600−50

=12

3 x+4 (12 )=1203 x=72

x=723

=24

Vértice o punto esquina(x,y)

Valor de la función objetivoZ=3x+2y

A (30; 0) Z(x, y)=300(30) + 150(0) = 9000B (24; 12) Z(x, y)=300(24) + 150(12) = 9000C (0; 30) Z(x, y)=300(0) + 150(30) = 4500

Por lo tanto, dependiendo del entorno interno y externo de la empresa, se podrá decidir la mejor opción que generara beneficios de 9000.

4. Un sastre tiene 80m2 de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1m2 de tela de algodón y 3 m2 de tela de lana, y un vestido de mujer requiere de 2m2 de cada una de las dos telas. Calcula el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios, si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

Región factible

SOLUCIÓN:TRAJE VESTIDO Total disponible

Algodón 1 2 80Lana 3 2 120Precio de venta 1 1

Restricciones: Función objetivoi) 1 x+2 y ≤80 Maximizar ¿ x+ yii) 3 x+2 y ≤120

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTAPara :1x+2 y=80Si x=0 y=40(0,40)Si y=0 x=80(80,0)

Para :3 x+2 y=120Si x=0 y=60(0,60)Si y=0x=40(40,0)

80

70

60

50

40

30

20

10

10 20 30 40 50 60 70 80

A) (0,40)

RegiónFactible

B) (30,20)

C) (40,0)

PUNTO B1 x+2 y=80(−3)

3 x+2 y=120−3 x−6 y=−240

3 x+2 y=120−4 y=−120

y=30

3 x+2 (30 )=1203 x=60x=20


Valor de la función objetivoZ= x + y

A (0, 40) Z(x, y) = 0(1) + 40(1) = 40B (30; 20) Z(x, y) =30(1) + 20(1) = 50C (40; 0) Z(x, y) = 40(1) + 0(1) = 40

Por lo tanto, para maximizar los beneficios, se debe confeccionar 30 trajes y 20 vestidos.

5. Un joven reparte cartas a domicilio. Le pagan $5 por cada sobre tamaño normal repartido y $7 por cada sobre tamaño grande. El estudiante dispone de dos bolsas: una

para las cartas normales en la que caben 120, y otra para las grandes, en que caben 100. Ha estimado que cada día alcanza a repartir 150 cartas como máximo. ¿Cuántas cartas de cada tipo debería repartir este joven para que su ganancia diaria sea máxima?

SOLUCIÓN:Sobre

NormalSobre

GrandeBolsa 1 1 0 120Bolsa 2 0 1 100Precio de venta 5 7

Además: x+ y≤ 150Restricciones: Función objetivo:

Maximizar ¿5 x+7 yi. x+ y≤ 150

ii. x≤ 120iii. y ≤100

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTAPara : x+ y=150

Si x=0y=150 (0,150)Si y=0

x=150(150,0)

Para : x=120

Para : y=100

150

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

A) (0,100)

RegiónFactible

B) (50,100)

C) (120,30)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

D) (120,0)

PUNTO B PUNTO Cx+ y=150

y=100x=50

x+ y=150x=120y=30


Valor de la función objetivoZ= 5x + 7y

A (0, 100) Z(x, y) = 5(0) + 7(100) = 700B (50; 100) Z(x, y) = 5(50) + 7(100) = 950C (120; 30) Z(x, y) = 5(120) + 7(30) = 810D (120; 0) Z(x, y) = 5(120) + 7(0) = 600

Por lo tanto, el joven deberá repartir 50 sobres de tamaño normal y 100 sobres de tamaño grande para tener una ganancia máxima diaria de 950.

6. Una agencia de viajes promociona a 20 clientes las siguientes ofertas: un viaje a la ciudad A por 5000 soles u otro a la ciudad B por 7500 soles (cada cliente podrá elegir, si le interesa, solo una de las dos ofertas). Por razones de programación, la agencia necesita reunir al menos 8 y no más de 12 clientes interesados en el viaje a la ciudad B.¿Cuántos viajes podrá programar la agencia a cada ciudad? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.Cuántos clientes deberán estar interesados en ir a cada sitio para que la agencia maximice sus ingresos? ¿a Cuánto ascenderán estos?

Restricciones: Función objetivo:i) x+ y≤ 20 Maximizar ¿5000 x+7500 yii) y ≥8iii) y ≤12

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTAPara : x+ y=20

Si x=0y=20(0,20)Si y=0

x=20(20,0)

Para : y=8

Para : y=12

20

16

12

8

4

4 8 12 16 20

A) (0,12)

RegiónFactible

B) (8, 12)

C) (0, 8) D) (12, 8)

PUNTO B PUNTO Dx+ y=20

y=12x=8

x+ y=20Y=8x=12


Valor de la función objetivoZ= 5000x + 7500y

A (0, 12) Z(x, y) = 5000(0) + 7500(12) = 90,000B (8; 12) Z(x, y) = 5000(8) + 7500(12) = 130,000C (0; 8) Z(x, y) = 5000(0) + 7500(8) = 60,000D (12; 8) Z(x, y) = 5000(12) + 7500(8) = 120,000

Por lo tanto, el joven deberá repartir 50 sobres de tamaño normal y 100 sobres de tamaño grande para tener una ganancia máxima diaria de 950.

7. Un fabricante produce dos tipos de llantas, para pista seca y para pista mojada. Durante la producción de las llantas requieren del uso de dos máquinas Ay B. el número de horas necesarias en ambos tipos se muestra en la siguiente tabla:

Llanta Máquina A Máquina BPista seca 2 horas 3 horasPista mojada 3 horas 2 horas

Si cada máquina se puede utilizar 24 horas al día y los beneficios en los modelos son de 3 a 5 dólares respectivamente, ¿Cuántas llantas de cada tipo deben producirse por día para obtener un beneficio máximo?, Cuál es el beneficio máximo?

SOLUCIÓN:Llanta

Pista secaLlanta pista

mojada Tiempo

Máquina A 2 3 24Máquina B 3 2 24Beneficios 3 5

Restricciones: i) 2 x+3 y ≤ 24ii) 3 x+2 y ≤ 24

Función objetivo: Maximizar ¿3 x+5 y

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTAi) Para: 2 x+3 y=24

Si x=0=¿ y=10=¿(0,8)Si y=0 => x=10=¿(12,0)

ii) Para: 3 x+2 y=24

Si x=0=¿ y=12=¿(0,12)Si y=0 => x=8=¿(8,0)

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

A) (0,8)

RegiónFactible

B) (4,8;4,8))

C) (8,0)

PUNTO 2x+3 y=24 (−3)3 x+2 y=24 (2)−6 x−9 y=−72

6x+4 y=48−5 y=−24

y=4.8

Entonces2 x+3 ( 4.8 )=24

x=4.8

Ojo: Como no se pueden fabricar 4.8 llantas, redondeamos a 5


Valor de la función objetivoMaximizar Z=3x+5y

A (0;8) Z(x, y) =3(0) + 5(8) = 40B (5;5) Z(x, y) =3(5) + 5(5) = 40C (8;0) Z(x, y) =3(8) + 5(0) = 24

Por lo tanto, dependiendo del entorno de la empresa, se podrá decidir entre las alternativas A y B y fabricar los distintos tipos de llanta que en este caso generarían un beneficio máximo de 40.

8. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas le suministran fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 5 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista B a 300 Km, calcula cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.

SOLUCIÓN:

Mayorista A

Mayorista B Total de Cajas

Naranjas 8 2 16Plátanos 1 1 5Manzanas 2 5 20Distancia en Km 150 300

Restricciones: iii) 8 x+2 y ≥ 10iv) 1 x+1 y ≥5v) 2 x+5 y ≥ 20

Función objetivo: Minimizar ¿150 x+300 y

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTA

i) Para: 8 x+2 y=10

Si x=0=¿ y=10=¿(0,10)Si y=0 => x=10=¿(10,0)

ii) Para: 1 x+1 y=5

Si x=0=¿ y=5=¿(0,5)Si y=0 => x=5=¿(5,0)

iii)Para: 2 x+5 y=20

Si x=0=¿ y=4=¿(0,4 )Si y=0 => x=10=¿(10,0)

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

A) (0,8)

RegiónFactible

B) (1, 4)

C) (1.67, 3.33)

D) (10, 0)

PUNTO B

8 x+2 y=16x+ y=5 (−8)8 x+2 y=16

−8 x−8 y=−40−6 y=−24

y=4

Entoncesx+1 ( 4 )=5x=1

PUNTO C

2 x+5 y=20x+ y=5(−2)2 x+5 y=20

−2 x−2 y=−103 y=10y=3.33

Entoncesx+1 (3.33 )=5x=1.67


Valor de la función objetivoMinimizar Z=150x+300y

A (0;8) Z(x, y) =150(0) + 300(8) = 2400B (1;4) Z(x, y) =150(1) + 300(4) = 1350C (1.67; 3.33) Z(x, y) =150(1.67) + 300(3.33) = 1249.5D (10; 0) Z(x, y) =150(10) + 300(0) = 1500

Por lo tanto se necesita 1 contenedor del Mayorista A y 4 contenedores del Mayorista B para ahorrar el menor tiempo y dinero.

9. Readdy Mikks produce pinturas para interiores y exteriores, M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema.

TM de materia prima de Disponibilidad

diaria máxima (TM)

Pinturas para

exteriores

Pinturas para

interioresMateria prima M1 6 4 24Materia prima M2 1 2 6Utlidad por TM (miles de $) 5 4

Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para exteriores. También que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas.Readdy Mikks desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.

SOLUCIÓN:

Restricciones: Función objetivo:

i) 6 x+4 y≤ 24 Maximizar ¿5 x+4 yii) 1 x+2 y ≤6iii) y ≤1+xiv) y ≤2

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTAi) Para: 6 x+4 y=24

Si x=0=¿ y=6=¿(0,6)Si y=0 => x=4=¿(4,0)

ii) Para: 1 x+2 y=6Si x=0=¿ y=3=¿(0,3)Si y=0 => x=6=¿(6,0)

iii) Para: y=1+xSi x=0=¿ y=1Si y=0 => x=−1

iv) y=2

PUNTO B1 x+2 y=6 (−6)

6 x+4 y=24−6 x−12 y=−36

6 x+12 y=248 y=12y=1.5

Entoncesx+4 (1.5 )=24

x=3PUNTO C

x+2 y=6 y=2x+2 (2 )=6 x=2

PUNTO Dy=1+x y=22=1+x x=1



A (4;0) Z(x, y) =5(4) + 4(0) = 20B (3;1.5) Z(x, y) =5(3) + 4(1.5) = 21C (2; 2) Z(x, y) =5(2) +4(2) = 18D (1; 2) Z(x, y) =5(1) + 4(2) = 13E (0,1) Z(x, y) =5(0) + 4(1) = 4

Se necesita 3 toneladas de pinturas para exteriores y 1.5 toneladas de pinturas para interiores, para que de esta forma se pueda lograr una utilidad por tonelada de 21 diario total.

10. Blanca dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B) en la opción A desea invertir 2 y 7 millones, y quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta la cantidad de dinero como a la opción B. sabiendo que el rendimiento de la inversión será 9% en la opción A y del 12% en la B, plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de solución. Además ¿Qué cantidad debe invertir? en cada una de las dos opciones para optimizar el rendimiento global ¿a cuánto ascenderá?

SOLUCIÓN

Restricciones: Función objetivo: i) x+ y=10 ' Maximizar ¿0.09 x+0.12 yii) x≥ 2 'iii) x≤ 7 'iv) x≥ y

HALLANDO LOS PUNTOS DE LA RECTAi) Para: x+ y=10 '

Si x=0=¿ y=10=¿(0,10)Si y=0 => x=10=¿(10,0)

ii) Para: x≥ 2x=2

iii) Para: x≤ 7x=7

iv) Para x≥ ySi x=0=¿ y=0=¿(0,0)

PUNTO B

x+ y=10(7,3)x=7y=3

PUNTO Cx+ y=10(2,8)

x=2y=8



A (7;0) Z(x, y) =0.09(7’) + 0.12(0) = 630 000B (7;3) Z(x, y) =0.09(7’) + 0.12 (3’) = 990 000C (2;8) Z(x, y) =0.09(2’) + 0.12 (8’) = 1’140 000D (2; 0) Z(x, y) =0.09(2’) + 0.12 (0) = 180 000

Por ello se necesita invertir en la opción A 2 millones y en la opción B 8 millones para optimizar el rendimiento global.

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