ejercicios de préstamos resueltos

8/17/2019 Ejercicios de préstamos resueltos

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(Francisco Begines Begines. Departamento de Economı́a Aplicada I. Universidad de Sevilla) 1

Matemáticas Financieras Problemas resueltos Tema 3 GADE-FICO

1. Consideremos un préstamo de cuant́ıa C 0, pactado a un tanto anual vencido constante i, a amortizaren n años mediante términos amortizativos anuales variables en progresión aritmética de diferencia p.Deducir la relación entre dos cuotas de amortización consecutivas cualesquiera.

Solución

ak = Ak + I k = Ak + C k−1 iak+1 = Ak+1 + I k+1 = Ak+1 + C k i

} =⇒

restando ak − ak+1 = Ak −Ak+1 + C k−1 i−C k i =⇒

=⇒ ak − ak+1 = Ak − Ak+1 + (C k−1 − C k =Ak

) i =⇒ ak − ak+1 = Ak − Ak+1 + Ak i =⇒

=⇒ Ak+1 = Ak + Ak i + ak+1−ak =⇒ Ak+1 = Ak(1 + i) + ak+1 − ak = p

=⇒ Ak+1 = Ak(1 + i) + p

2. Hace cinco años el Sr. Mart́ın solicitó a una entidad financiera un préstamo de 150.000 ⊂= paraamortizarlo a un tanto nominal del 4% en diez años con las siguientes condiciones: durante el primer

año no se pagarı́a cantidad alguna, en el segundo año sólo intereses semestrales y en los ocho restantessemestralidades que varı́an en progresión geométrica de razón q = 1, 01. Hoy desea cancelar el préstamopara lo que le piden el saldo pendiente más un 3% de dicho saldo. Obtener:

(a) Cuant́ıa de los intereses semestrales que se pagan en el segundo año.

(b) Última semestralidad pagada por el Sr. Mart́ın antes de la cancelación.

(c) Cantidad solicitada por la entidad financiera para cancelar el préstamo.

Solución

La situacion del préstamo se puede representar en el siguiente esquema:

a

0 1 2 3 9 10

150.000 J2 = 4 %C(1) C(2)

a (

1 , 0 1 )

4 5

Hoy

a (

1 , 0 1 ) 2

a (

1 , 0 1 ) 3

a (

1 , 0 1 ) 4

a (

1 , 0 1 ) 5

a (

1 , 0 1 ) 1 4

a (

1 , 0 1 ) 1 5

I I a ( 1

, 0 1 ) 6

a (

1 , 0 1 ) 7

6

Como el tanto que nos dan es nominal (semestral) calculamos el tanto de interés efectivo semestralequivalente:

J 2 = 4% =⇒ i2 = 0, 04

2 =⇒ i2 = 0, 02

Apartado (a)

Durante el primer año no se paga nada, es decir hay carencia total, por tanto el capital pendiente alfinal del primer año, que representaremos por C (1) será:

C (1) = 150.000(1, 02)2 =⇒ C (1) = 156.060 ⊂=


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Durante el segundo año sólo se pagan intereses semestrales, que al no haber amortización, son con-stantes, por tanto la cuant́ıa semestral en concepto de intereses que se paga el segundo año es:

I = C (1) ∗ i2 = 156.000 ∗ 0, 02 = 3.121, 20 ⊂= =⇒ I = 3.121, 20 ⊂=

Apartado (b)

Para calcular las semestralidades, debemos hacer utilizar equivalencia financiera entre prestación y con-traprestación, para ello tengamos en cuenta que cuando realmente se empieza a amortizar el préstamoes en el tercer año, por tanto utilizaremos como ”prestación” el capital pendiente de amortizar al finaldel segundo año C (2). (En realidad como los periodos son semestrales la notación adecuada serı́a C 4ya que el final del segundo año es el final del cuarto semestre, de ah́ı que utilicemos el sub́ındice entreparéntesis para representar que nos referimos al año y no al periodo como ya se comentó en clase, esdecir C (2) = C 4. )

Por otra parte, como durante el segundo año sólo se pagan intereses y no se amortiza nada de capital,el capital pendiente al final del segundo año es el mismo que el capital pendiente de amortizar al finaldel primer periodo, es decir, C

(2) = C

(1) = 156.060

⊂= , por tanto:

C (2) = 156.060 = a 1 − (1, 01)16(1, 02)−16

1, 02 − 1, 01 =⇒ 156.060 = 14, 58399949 a =⇒ a = 10.700, 76834 ⊂=

La última semestralidad pagada por el Sr. Mart́ın es la última correspondiente al quinto año, que esa10, por tanto:

a10 = a (1, 01)5 = 11.246, 61507 =⇒ a10 = 11.246, 62 ⊂=

Apartado (c)

Por último para calcular la cantidad exigida por el banco para cancelar el préstamo, debemos calcularel capital pendiente al final del quinto año, que denotaremos C (5), para ello utilizaremos que el capitalpendiente en un determinado momento es el valor actual de los términos amortizativos que nos quedanpor pagar, por tanto, C (5) seŕıa el valor actual de las semestralidades del sexto al décimo año, quecomo podemos observar en el esquema inicial vaŕıan en progresión geométrica de razón q = 1, 01 yprimer término a (1, 01)6, por tanto:

C (5) = a (1, 01)6 1 − (1, 01)10

(1, 02)−10

1, 02 − 1, 01 = 106.576, 7129 ⊂=

Por tanto como nos aplican una penalización del 3% sobre el capital pendiente, debemos entregar paracancelar el préstamo:

X = C (5) (1, 03) = 109.774, 0143 ⊂= =⇒ X = 109.774, 01 ⊂=


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3. Se concede un préstamo de 100.000 ⊂= para amortizarlo en doce años en las siguientes condiciones:durante los dos primeros años no se paga nada, y en los diez siguientes se pagan términos amortizativosmensuales constantes, pactando un tanto de interés del 6% nominal. Transcurridos seis años se pactaun tanto de interés trimestral efectivo del 1,5% y se conviene cambiar las condiciones del préstamo deforma que, durante el primer año sólo se efectúen pagos trimestrales en concepto de intereses, y a partirde ese momento términos amortizativos trimestrales cuyas cuotas de amortización son constantes. Sepide:

(a) Última mensualidad del sexto año (del préstamo inicial), aśı como su descomposición en amorti-zación e intereses.

(b) Capital pendiente al final del sexto año.

(c) Primera trimestralidad del segundo año, una vez cambiadas las condiciones del préstamo, aśıcomo su descomposición en amortización e intereses.

(d) Nuda propiedad, Usufructo y Valor financiero del nuevo préstamo, un año después del cambio, siel tanto de interés de mercado es del 4% anual efectivo.

Solución: La situación inicial del préstamo es la siguiente:

a a a a a a a a a aa

0 1 2 3 11 12

C(2)

100.000 J12 = 6 %

Como el tanto que nos dan es nominal (mensual) calculamos el tanto de interés efectivo mensualequivalente:

J 12 = 6% =⇒ i12 = 0, 06

12 =⇒ i12 = 0, 005

(a) C (2) = C 24 = 100.000(1, 005)24 =⇒ C (2) = 112.715, 9776 ⊂= . Por tanto por equivalencia entreprestación y contraprestación podemos calcular el término amortizativo:

112.715, 9776 = a · a120|0,005 =⇒ a = 1.251, 378441⊂=

La última mensualidad del sexto año a = a72 = A72 + I 72 y sabemos que I 72 = C 71 · i12, portanto:

C 71 = a a73|0,005 = 76.377, 06001 ⊂= =⇒ I 72 = 76.377, 06001 ∗ 0, 005 = 381, 8853001 ⊂= =⇒

=⇒ A72 = a − I 72 =⇒ A72 = 869, 493141 ⊂=

Por tanto

a72 = a = 1.251, 38 ⊂= = 869, 49 ⊂= Amortización

+381, 89 ⊂= Inteŕes

(b) El capital pendiente al final del año sexto, C (6), no es más que el valor actual en 6 de lasmensualidades que nos quedan por pagar, por tanto:

C (6) = C 72 = a a72|0,005 =⇒ C (6) = 75.507, 56687 ⊂=


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(c) La situación una vez efectuado el cambio será:

6 7 8 11 12

I I I

i4 = 1,5 %

I A+I2

A+I 1

A+I3

A+I4

9

A+I5

A+I6

A+I7

A+I8

A+I 17

A+I 18

A+I 19

A+I 20

C = 75.507,56687(6)

Observemos que C (7) = C (6) porque el primer año después del cambio se pagan sólo los intereses(y por tanto no se amortiza nada), luego:

C (7) = 20 A =⇒ A =C (7)

20 =⇒ A = 75.507, 56687

20 =⇒ A = 3.775, 378344 ⊂=

a1 = A +I 1 y como I 1 = C (7) ·i4 = A ·0, 015 =⇒ I 1 = 1.132, 613503 ⊂= =⇒ a1 = 4.907, 991847 ⊂=

Por tanto:

a1 = 4.907, 99 ⊂= = 3.775, 38 ⊂= Amortización

+ 1.132, 61 ⊂= Inteŕes

(d) Sabemos que el tanto de mercado i′ = 4%, por tanto i′4 = 4√

1, 04 − 1 =⇒ i′4 = 0, 00985340654

7 8 11 12

A+I2

A+I1

A+I3

A+I4

9

A+I5

A+I6

A+I7

A+I8

A+I 17

A+I 18

A+I 19

A+I 20

i'= 4 %

Dado que las cuotas de amortización son constantes, la nuda propiedad seŕıa:

N (7) = A · a20|i′4

=⇒ N (7) = 68.229, 45359 ⊂=

Para el cálculo del usufructo utilizamos la fórmula de Makeham:

U (7) = i4i′4

(C (7)−N (7)) = 0, 0150, 00985340654 (75.507, 56687−68.229, 45359) =⇒ U (7) = 11.079, 58946 ⊂=

Por último para calcular el valor financiero utilizamos la igualdad V (7) = N (7) + U (7) =⇒

=⇒ V (7) = 79.309, 04336 ⊂=


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4. Consideremos un préstamo de cuant́ıa C 0, pactado a un tanto anual vencido constante i, a amortizaren n años mediante términos amortizativos anuales variables en progresión aritmética de diferencia p.Deducir la relación entre dos cuotas de amortización consecutivas cualesquiera.

Solución

ak = Ak + I k = Ak + C k−1 i

ak+1 = Ak+1 + I k+1 = Ak+1 + C k i } =⇒

restando ak

−ak+1 = Ak

−Ak+1 + C k−1 i

−C k i =

⇒

=⇒ ak − ak+1 = Ak − Ak+1 + (C k−1 − C k =Ak

) i =⇒ ak − ak+1 = Ak − Ak+1 + Ak i =⇒

=⇒ Ak+1 = Ak + Ak i + ak+1−ak =⇒ Ak+1 = Ak(1 + i) + ak+1 − ak = p

=⇒ Ak+1 = Ak(1 + i) + p

5. Hace cinco años el Sr. Mart́ın solicitó a una entidad financiera un préstamo de 150.000 ⊂= paraamortizarlo a un tanto nominal del 4% en diez años con las siguientes condiciones: durante el primer

año no se pagarı́a cantidad alguna, en el segundo año sólo intereses semestrales y en los ocho restantessemestralidades que varı́an en progresión geométrica de razón q = 1, 01. Hoy desea cancelar el préstamopara lo que le piden el saldo pendiente más un 3% de dicho saldo. Obtener:

(a) Cuant́ıa de los intereses semestrales que se pagan en el segundo año.

(b) Última semestralidad pagada por el Sr. Mart́ın antes de la cancelación.

(c) Cantidad solicitada por la entidad financiera para cancelar el préstamo.

(d) Calcular el valor financiero del préstamo en el momento de la cancelación, si el tanto de mercadoes del 4% anual efectivo. Desde un punto de vista financiero, ¿a quién le conviene la cancelación,al prestamista, al prestatario o a ambos?. Razonar la respuesta.

(e) Si tenemos unos gastos de apertura del 1% del capital prestado, plantear la ecuación que nos dael tanto anual efectivo de la operación realmente realizada.

Solución

La situación del préstamo se puede representar en el siguiente esquema:

a

0 1 2 3 9 10

150.000 J2 = 4 %C(1) C(2)

a (

1 , 0 1 )

4 5

Hoy

a (

1 , 0 1 ) 2

a (

1 , 0 1 ) 3

a (

1 , 0 1 ) 4

a (

1 , 0 1 ) 5

a (

1 , 0 1 ) 1 4

a (

1 , 0 1 ) 1 5

I I a ( 1

, 0 1 ) 6

a (

1 , 0 1 ) 7

6

Como el tanto que nos dan es nominal (semestral) calculamos el tanto de interés efectivo semestralequivalente:

J 2 = 4% =⇒ i2 = 0, 04

2 =⇒ i2 = 0, 02


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(a) Durante el primer año no se paga nada, es decir hay carencia total, por tanto el capital pendienteal final del primer año, que representaremos por C (1) será:

C (1) = 150.000(1, 02)2 =⇒ C (1) = 156.060 ⊂=

Durante el segundo año sólo se pagan intereses semestrales, y dado que no hay amortización, sonconstantes, por tanto la cuant́ıa semestral en concepto de intereses que se paga el segundo año

es: I = C (1) ∗ i2 = 156.060 ∗ 0, 02 = 3.121, 20 ⊂= =⇒ I = 3.121, 20 ⊂=

(b) Para calcular las semestralidades, debemos utilizar equivalencia financiera entre prestación ycontraprestación, para ello tengamos en cuenta que cuando realmente se empieza a amortizarel préstamo es en el tercer año, por tanto utilizaremos como “prestación” el capital pendientede amortizar al final del segundo año C (2). (En realidad como los periodos son semestrales lanotación adecuada seŕıa C 4 ya que el final del segundo año es el final del cuarto semestre, deah́ı que utilicemos el sub́ındice entre paréntesis para representar que nos referimos al año y no alperiodo como ya se comentó en clase, es decir C (2) = C 4. )

Por otra parte, como durante el segundo año sólo se pagan intereses y no se amortiza nada, elcapital pendiente al final del segundo año es el mismo que el capital pendiente de amortizar alfinal del primer año, es decir, C (2) = C (1) = 156.060 ⊂= , por tanto:

C (2) = 156.060 = a 1 − (1, 01)16(1, 02)−16

1, 02 − 1, 01 =⇒ 156.060 = 14, 58399949 a =⇒ a = 10.700, 76834 ⊂=

La última semestralidad pagada por el Sr. Mart́ın es la última correspondiente al quinto año,que es a10, por tanto:

a10 = a (1, 01)5 = 11.246, 61507 =⇒ a10 = 11.246, 62 ⊂=

(c) Para calcular la cantidad exigida por el banco para cancelar el préstamo, debemos calcular elcapital pendiente al final del quinto año, que denotaremos C (5), para ello utilizaremos que elcapital pendiente en un determinado momento es el valor actual de los términos amortizativosque nos quedan por pagar, por tanto C (5) seŕıa el valor actual de las semestralidades del sexto aldécimo año, que como podemos observar en el esquema inicial vaŕıan en progresión geométricade razón q = 1, 01 y primer término a (1, 01)6, por tanto:

C (5) = a (1, 01)6 1 − (1, 01)10

(1, 02)−10

1, 02 − 1, 01 = 106.576, 7129 ⊂=

Por tanto como nos aplican una penalización del 3% sobre el capital pendiente, debemos entregarpara cancelar el préstamo:

X = C (5) (1, 03) = 109.774, 0143 ⊂= =⇒ X = 109.774, 01 ⊂=


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(d) Para calcular el valor financiero en el momento de la cancelaci ón, es decir V (5), que no es másque el valor actual de los términos amortizativos que nos quedan por pagar valorados a tanto demercado i′2 =

√ 1, 04 − 1 = , por tanto:

9 10

i'= 4 %

5

a ( 1

, 0 1 ) 1 4

a ( 1

, 0 1 ) 1 5

a ( 1

, 0 1 ) 6

a ( 1

, 0 1 ) 7

6

V(5)

V (5) = a (1, 01)6 1 − (1, 01)10(1 + i′2)−10

1 + i′2 − 1, 01 = 106.687, 8254 ⊂=

Como X > V (5), desde un punto de vista financiero la cancelación es conveniente para elprestamista, ya que obtendŕıa por la cancelación más que si vendiese el préstamo en el mer-cado.

(e) La situación de la operación realmente realizada es:

a

0 1 2 3

150.000 i

a (

1 , 0

1 )

4 5

a (

1 , 0 1

) 2

a (

1 , 0 1 ) 3

a (

1 , 0 1

) 4

a (

1 , 0 1 ) 5

I I

+ 1 0 9

. 7 7 4

, 0 1

1.500

gastos

Teniendo en cuenta que I = 3.121, 20 y que a = 10.700, 77, la ecuación que nos da el tanto efectivoseŕıa:

150.000 = 1.500+3.121, 20 a2|i2

(1+i)−1+10.700, 77 1 − (1, 01)6(1 + i2)−6

1 + i2 − 1, 01 (1+i)−2+109.774, 01 (1+i)−5

con i2 =√

1 + i


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6. Consideremos un préstamo a amortizar en diez años mediante términos amortizativos trimestralesconstantes a un tanto de interés efectivo trimestral del 1,5%, sabiendo que el capital pendiente al finaldel sexto año es 94.473, 44 ⊂= , calcular el capital prestado C 0.Solución

Conocemos el capital pendiente al final del sexto año, es decir C (6), por lo que el esquema de situaciónseŕıa:

6 10

C = 94.473,44(6)

i4 = 1,5 %

a a a a

7

a a a a

8

a a a a

9

a a a a

Teniendo en cuenta que el capital pendiente es el valor actual de los términos amortizativos que quedanpor pagar se tendrı́a que:

C (6) = 94.473, 44 = a a16|0,015 =⇒ 94.473, 44 = 14, 13126405 a =⇒ a = 6.685, 420335

Una vez que conocemos el término amortizativo que amortiza el préstamo, teniendo en cuenta quedebe haber equivalencia en el momento inicial entre prestación y contraprestación se tendrı́a:

0 1 2 9

C0

10

a a a a a a a a

8

a a a a a a a a

i4 = 1,5 %

C 0 = a a40|0,015 =⇒ 6.685, 420335 a40|0,015 =⇒ C 0 = 200.000


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7. Se concede un préstamo de 100.000 ⊂= para amortizarlo en doce años en las siguientes condiciones:durante los dos primeros años no se paga nada, y en los diez siguientes se pagan términos amortizativosmensuales constantes, pactando un tanto de interés del 6% nominal. Transcurridos seis años se pactaun tanto de interés trimestral efectivo del 1,5% y se conviene cambiar las condiciones del préstamo deforma que, durante el primer año sólo se efectúen pagos trimestrales en concepto de intereses, y a partirde ese momento términos amortizativos trimestrales cuyas cuotas de amortización son constantes. Sepide:

(a) Última mensualidad del sexto año (del préstamo inicial), aśı como su descomposición en amorti-zación e intereses.

(b) Capital pendiente al final del sexto año.

(c) Primera trimestralidad del segundo año, una vez cambiadas las condiciones del préstamo, aśıcomo su descomposición en amortización e intereses.

(d) Nuda propiedad, Usufructo y Valor financiero del nuevo préstamo, un año después del cambio, siel tanto de interés de mercado es del 4% anual efectivo.



0 1 2 3 11 12

C(2)

100.000 J12 = 6 %


J 12 = 6% =⇒ i12 = 0, 06

12 =⇒ i12 = 0, 005

(a) C (2) = C 24 = 100.000(1, 005)24 =⇒ C (2) = 112.715, 9776 ⊂= . Por tanto por equivalencia entreprestación y contraprestación podemos calcular el término amortizativo:

112.715, 9776 = a · a120|0,005 =⇒ a = 1.251, 378441⊂=

La última mensualidad del sexto año a72 = a = A72 + I 72 y sabemos que I 72 = C 71 · i12, portanto:

C 71 = a a73|0,005 = 76.377, 06001 ⊂= =⇒ I 72 = 76.377, 06001 ∗ 0, 005 = 381, 8853001 ⊂= =⇒

=⇒ A72 = a − I 72 =⇒ A72 = 869, 493141 ⊂=

Por tanto

a72 = a = 1.251, 38 ⊂= = 869, 49 ⊂= Amortización

+381, 89 ⊂= Inteŕes

(b) El capital pendiente al final del año sexto, C (6), no es más que el valor actual en 6 de lasmensualidades que nos quedan por pagar, por tanto:

C (6) = C 72 = a a72|0,005 =⇒ C (6) = 75.507, 56687 ⊂=

(También podrı́amos haber calculado C (6) = C 72 = C 71 − A72)


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6 7 8 11 12

I I I

i4 = 1,5 %

I A+I2

A+I 1

A+I3

A+I4

9

A+I5

A+I6

A+I7

A+I8

A+I 17

A+I 18

A+I 19

A+I 20

C = 75.507,56687(6)

Observemos que C (7) = C (6) porque el primer año después del cambio se pagan sólo los intereses(y por tanto no se amortiza nada), luego:

C (7) = 20 A =⇒ A =C (7)

20 =⇒ A = 75.507, 56687

20 =⇒ A = 3.775, 378344 ⊂=

a1 = A+I 1 y como I 1 = C (7)·i4 = 20A∗0, 015 =⇒ I 1 = 1.132, 613503 ⊂= =⇒ a1 = 4.907, 991847 ⊂=

Por tanto:

a1 = 4.907, 99 ⊂= = 3.775, 38 ⊂= Amortización

+ 1.132, 61 ⊂= Inteŕes


1, 04 − 1 =⇒ i′4 = 0, 00985340654

7 8 11 12

A+I2

A+I1

A+I3

A+I4

9

A+I5

A+I6

A+I7

A+I8

A+I 17

A+I 18

A+I 19

A+I 20

i'= 4 %


N (7) = A · a20|i′4

=⇒ N (7) = 68.229, 45359 ⊂=


U (7) = i4i′4

(C (7)−N (7)) = 0, 0150, 00985340654 (75.507, 56687−68.229, 45359) =⇒ U (7) = 11.079, 58946 ⊂=


=⇒ V (7) = 79.309, 04336 ⊂=


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3.27 Se concede un préstamo de 300.000 euros en el cual durante los dos primeros años no se paga nada y enlos diez siguientes se pagan mensualidades constantes, pactando un tanto de interés del 1,2% nominal.Transcurridos siete años se pacta un tanto de interés cuatrimestral efectivo del 0,7% y se convienecambiar las condiciones del préstamo de forma que, durante el primer año sólo se efectuarán pagoscuatrimestrales en concepto de intereses, y a partir de ese momento se amortiza cuatrimestralmentecon cuotas de amortización constantes. Se pide:

(a) Primera mensualidad resultante de las condiciones pactadas inicialmente, aśı como su descom-posición en amortización e intereses.

(b) Capital pendiente al final del séptimo año.

(c) Última cuatrimestralidad una vez cambiadas las condiciones del préstamo, aśı como su descom-posición en amortización e intereses.

(d) Nuda propiedad, usufructo y valor financiero del nuevo préstamo, en el momento del cambio, siel tanto de interés de mercado es del 4% anual efectivo.

Solución: La situacion inicial del préstamo es la siguiente:


0 1 2 3 11 12

C(2)

300.000 J12 = 1,2 %


J 12 = 1, 2% =⇒ i12 = 0, 012

12 =⇒ i12 = 0, 001

(a) C (2) = C 24 = 300.000(1, 001)24 =⇒ C (2) = 307.283, 4104 ⊂= . Por tanto por equivalencia entre

prestación y contraprestación podemos calcular el término amortizativo:

307.283, 4104 = a · a120|0,001 =⇒ a = 2.718, 687489⊂=

La primera mensualidad a = a25 = A25 + I 25 y sabemos que I 25 = C 24 · i12, por tanto:

C 24 = C (2) = 307.283, 4104 =⇒ I 25 = 307, 2834104 ⊂= =⇒ A25 = a−I 25 =⇒ A25 = 2.411, 404079 ⊂=

Por tanto a25 = a = 2.718, 687489 = 2.411, 404079 Amortización

+307, 2834104 Inteŕes

(b) El capital pendiente al final del año séptimo, C (7), no es más que el valor actual en 7 de lasmensualiades que nos quedan por pagar, por tanto:

C (7) = C 84 = a a60|0,001 =⇒ C (7) = 158.247, 273 ⊂=


7 8 9 11 12

I I I A+I1

A+I3

A+I2

A+I 10

A+I 12

A+I 11

i3 = 0,7 %

Observemos que C (8) = C (7) porque el primer año después del cambio se pagan sólo los intereses (y

por tanto no se amortiza nada), luego A =C (8)

12 =⇒ A = 158.247, 273

12 =⇒ A = 13.187, 27275 ⊂=

a12 = A+I 12 y como I 12 = C 11·i3 = A·0, 007 =⇒ I 12 = 92, 3109925 ⊂= =⇒ a12 = 13.279, 58361 ⊂=


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1, 04 − 1 =⇒ i′3 = 0, 013159404

7 8 9 11 12

I I I A+I1

A+I3

A+I2

A+I 10

A+I 12

A+I 11

i'= 4 %


N (7) = A · a12|i′3

· (1 + i′3)−3 =⇒ N (7) = 139.907, 023 ⊂=


U (7) = i3

i′3(C (7) − N (7)) =

0, 007

0, 013159404(158.247, 273 − 139.907, 023) =⇒ U (7) = 9.755, 893971 ⊂=

Por último para calcular el valor financiero utilizamos la igualdad V (7) = N (7) + U (7) =⇒V (7) = 149.662, 917

⊂=


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3.28 El señor X concierta con una entidad financiera A un préstamo de 180.000 euros para amortizarlo en10 años mediante mensualidades constantes a un tanto de interés efectivo anual del 5%. Transcurridos5 años de esta operación, y de común acuerdo, deciden cambiar las condiciones pasando a ser lassiguientes: durante el primer año no se abonará cantidad alguna, durante el segundo año se abonaránlos intereses trimestrales y a partir de ese momento se amortizará la deuda pendiente mediante trimes-tralidades que serán cada una un 1% superior a la anterior y tanto de interés a partir del cambio del4, 5% anual efectivo. Se pide:

(a) Primera y última mensualidad antes del cambio, descomponiéndolas en amortización e intereses.

(b) Primera trimestralidad después del cambio, descomponiéndola en amortización e intereses.

(c) Valor, usufructo y nuda propiedad al finalizar octavo año, después del cambio de condiciones, siel tanto de mercado es del 5%.

(d) Al finalizar el octavo año, el señor X, ante la imposibilidad de hacer frente a los pagos, decidecancelar el préstamo con la entidad A, para lo cual debe pagar el saldo pendiente en ese momentomás una penalización del 1% sobre dicho saldo. Por esta cantidad, pide un nuevo préstamoa una entidad financiera B que le ofrece un préstamo a 15 años para amortizarlo mediantesemestralidades con cuotas de amortización constantes y a un tanto nominal del 5%. Obtenerla primera semestralidad que paga en este caso el señor X y descomponerla en amortización eintereses.

Solución: La situacion inicial del préstamo es la siguiente:

a a a a aa

0 1 2 3 9 10

a a a a a a a a a a

180.000 i = 5 %

(a) En primer lugar calculamos el tanto de interés efectivo mensual:

i12 = 12√ 1, 05 − 1 =⇒ i12 = 0, 00407412378Por tanto por equivalencia financiera entre prestación y contraprestación:

180.000 = a · a120|i12 =⇒ a = 1.899, 423608⊂=

• a1 = a = A1 + I 1, por tanto:

I 1 = C 0 · i12 = 180.000 · i12 =⇒ I 1 = 733, 3422804 ⊂=

A1 = a − I 1 =⇒ A1 = 1.166, 081328 ⊂=

• a60 = a = A60 + I 60, por tanto:

I 60 = C 59 · i12 =⇒ I 60 = 417, 2142142 ⊂=

C 59 = a · a61|i12 = 102.405, 8759⊂=

A60 = a − I 60 =⇒ A60 = 1.482, 209394 ⊂=

Observemos que A60 se podrı́a haber calculado como A60 = A1(1+i12)59 al ser un método francés,

por lo que las cuotas de amortización vaŕıan en progresión geométrica de razón q = 1 + i12. En

este caso I 60 se habrı́a calculado como I 60 = a − A60.


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(b) Transcurridos 5 años se cambia de condiciones, por tanto tenemos que calcular C (5) (aunque nolo pidan):

C (5) = a · a60|i12 =⇒ C (5) = 100.923, 6665 ⊂=

I b

6 7 8 109

I I

5

b ( 1

, 0 1 )

b ( 1

, 0 1 ) 2

b ( 1

, 0 1 ) 3

b ( 1

, 0 1 ) 8

b ( 1

, 0 1 ) 9

b ( 1

, 0 1 ) 1 0

b ( 1

, 0 1 ) 1 1

100.923,6665 i = 4,5 %

b ( 1

, 0 1 ) 4

b ( 1

, 0 1 ) 5

b ( 1

, 0 1 ) 6

b ( 1

, 0 1 ) 7

C (6) = C (5) · (1, 045) =⇒ C (6) = 105.465, 2315 ⊂= = C (7)

i4 = 4√

1, 045 − 1 = 0, 01106499. Por equivalencia financiera se tiene:

C (7) = 105.465, 2315 = b ·1 − (1, 01)12(1 + i4)−12

1 + i4−

1, 01 =⇒ b=8.937,614218 ⊂=

• b1 = A1 + I 1, por tanto:{ I 1 = C (7) · i4 = 105.465, 2315 · i4 =⇒ I 1 = 1.166, 971732 ⊂=A1 = b − I 1 =⇒ A1 = 7.770, 642486 ⊂=

(c) La situación al final del octavo año es:

8 9 10

b ( 1

, 0 1 ) 8

b ( 1

, 0 1 ) 9

b ( 1

, 0 1 ) 1 0

b ( 1

, 0 1 ) 1 1

i' = 5 %

b ( 1

, 0 1 ) 4

b ( 1

, 0 1 ) 5

b ( 1

, 0 1 ) 6

b ( 1

, 0 1 ) 7

Por tanto teniendo en cuenta que i′4 = 4√

1, 05− 1 = 0, 012272234 y que sabemos que los términosamortizativos vaŕıan en progresión geométrica, se tiene:

V (8) = b(1, 01)4 · 1 − (1, 01)

8(1 + i′4)−8

1 + i′4 − 1, 01 =⇒ V (8) = 72.927, 22543 ⊂=

Para calcular el usufructo utilizaremos la fórmula de Makeham, por lo que necesitamos calcular

previamente el capital pendiente al final del octavo año C (8) = b(1, 01)4

·1

−(1, 01)8(1 + i4)

−8

1 + i4 − 1, 01 =⇒C (8) = 73.319, 13554.

U (8) = i4

i′4 − i4(C (8) − V (8)) =⇒ U (8) = 3.592, 049241 ⊂=

Para calcular la nuda propiedad utilizamos la igualdad N (8) = V (8)−U (8) =⇒ N (8) = 69.335, 17619 ⊂=(d) Para cancelar el préstamo debemos entregar X = C (8) + 0, 01C (8) = 74.052, 3269 ⊂= que será el

importe del nuevo préstamo:

8 9 10 22 23

A

+I2

A

+I4

A

+I30

A

+I29

J2 = 5 %

A

+I1

A

+I3

74.052,3269

Calculamos i2 = J 2

2 =

0, 05

2 = 0, 025, por tanto A =

74.052, 3269

30 =⇒ A=2.468,410897 ⊂= .


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• a′1 = A + I 1, por tanto:{ I 1 = X · i2 = 74.052, 3269 · 0, 025 =⇒ I 1 = 1.851, 308173 ⊂=a′1 = A + I 1 =⇒ a′1 = 4.319, 71907 ⊂=


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3.29 Una empresa concierta con una entidad financiera un préstamo de 180.000 euros y 15 años de duracíonmediante mensualidades postpagables cuyas cuotas de amortización son constantes. El tanto nominalmensual pactado fue el 6%. Transcurridos treinta meses y habiendo hecho frente a todos los pagos, sesolicita a la entidad financiera no realizar ningún pago durante los próximos seis meses y hacer frentesólo al pago de intereses durante los dos años siguientes. La entidad financiera acepta la solicitudcobrando a partir del cambio de condiciones un tanto de interés efectivo anual del 5, 5%, exigiendoque los términos amortizativos sean trimestrales constantes. Se pide:

(a) Calcular el primer y último término amortizativo del préstamo inicial antes del cambio de condi-ciones, ası́ como su descomposición en amortización e intereses.

(b) Calcular el capital pendiente al final de los treinta meses.

(c) Calcular, después del cambio de condiciones, los intereses trimestrales pagados durante los añoscuarto y quinto y la primera trimestralidad del sexto año, aśı como su descomposición en amor-tización e intereses.

(d) Calcular valor, usufructo y nuda propiedad del préstamo al final del décimo año una vez pagadala trimestralidad correspondiente, suponiendo un tanto de mercado del 6% anual efectivo.


1 2 14 15

A+I 180

A+I 179

J12 = 6 %

A+I1

0

A+I2

A+I3

Cambio

A+I 30

180.000

30/12

(a) Calculamos i12 = J 12

12 =

0, 06

12 = 0, 005, por tanto A =

180.000

180 =⇒ A=1.000 ⊂= .

• a1 = A + I 1, por tanto:

I 1 = C 0 · i12 = 180.000 · 0, 005 =⇒ I 1 = 900 ⊂=

a1 = A + I 1 =⇒

a1 = 1.900 ⊂=

• a30 = A + I 30, por tanto:

I 30 = C 29 · i12 = 151.000 · 0, 005 =⇒ I 30 = 755 ⊂=

C 29 = 151 · A =⇒ C 29 = 151.000 ⊂=

a30 = A + I 30 =⇒ a30 = 1.755 ⊂=(b) C 30 = 150 · A =⇒ C 30 = 150.000 ⊂=(c) Transcurridos treinta meses realizamos un cambio de condiciones, pasando a:

b

3 4 5 1562

i = 5,5 %

b b b b

7

b b bbI I III I II

Cambio

30/12

El nuevo tanto es i = 5, 5 %, por tanto i4 = 4√

1, 055−1 = 0, 013475174. Por otro lado calculamosC 36 = C (3) = C 30(1 + i4)

2 = 150.000(1 + i4)2 = 154.069, 7892 ⊂= .

I = C (3) · i4 = 154.069, 7892 · i4 =⇒ I =2.076,117285 ⊂= .

Como durante el cuarto y el quinto año se pagan sólo intereses se verifica que C (5) = C (4) = C (3),por tanto:

154.069, 7892 = b · a40|i4 =⇒ b=5.000,888143 ⊂=

b1 = b = A1 + I 1 =⇒

I 1 = C (5) · i4 =⇒ I 1 = 2.076, 117285 ⊂=

A1 = b − I 1 =⇒ A1 = 2.931, 770858 ⊂=


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(d) La situación al final del décimo año es:

b

10 1511

i' = 6 %

b b b b

12

b b bb

Por tanto teniendo en cuenta que i′

4

= 4√

1, 06−

1 = 0, 014673846 y que sabemos que los términosamortizativos son constantes, se tiene:

V (10) = b · a20|i′4

=⇒ V (10) = 86.255, 6951 ⊂=

Para calcular el usufructo utilizaremos la fórmula de Makeham, por lo que necesitamos calcularpreviamente el capital pendiente al final del décimo año C (10) = b·a20|i4 =⇒ C (10) = 87.285, 02104.

U (10) = i4

i′4 − i4(C (10) − V (10)) =⇒ U (10) = 11.571, 4332 ⊂=

Para calcular la nuda propiedad utilizamos la igualdad N (10) = V (10)−

U (10) =

⇒ N (10) = 74.684, 26

⊂=


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3.30 Un agricultor para paliar los efectos de las heladas ha solicitado un préstamo de 60.000 euros sub-vencionado en parte por la Junta de Andalućıa y que tiene las siguientes caracterı́sticas: duración 10años, durante el primer año no se realiza ningún pago, en el segundo sólo se pagan los intereses y apartir del tercero anualidades constantes y postpagables, siendo el tanto de valoración el 1% los dosprimeros años y el 5% los restantes. Una vez pagada la anualidad correspondiente al tercer año, elbanco propone cambiar las condiciones, pasando a pagos trimestrales con cuotas de amortizaci ón decuant́ıa A los 4 primeros años y de cuant́ıa 2A para las restantes, a cambio de rebajar en un punto

porcentual el tanto de interés. Se pide:

(a) Primera anualidad antes del cambio de condiciones aśı como su descomposición en amortizacióne intereses.

(b) Primera trimestralidad después del cambio de condiciones y capital pendiente dos años más tarde.

(c) Valor financiero dos años después del cambio si el tanto de mercado es del 3% anual efectivo.

Solución: La situación inicial del préstamo es:

I a aa

0 1 2 3 9 10

60.000 i = 5 %

a

4

i = 1 %

(a) El primer año no se paga nada, por tanto C 1 = 60.000(1, 01) = 60.600 ⊂= . El segundo año sólose pagan intereses, por tanto C 2 = C 1, por lo que por equivalencia financiera:

60.600 = a · a8|0,05 =⇒ a=9.376,141906 ⊂=

a3 = A3 + I 3 =⇒{

I 3 = C 2 · 0, 05 = 60.000 · 0, 05 =⇒ I 3 = 3.030 ⊂=A3 = a − I 3 =⇒ A3 = 6.346, 14190 ⊂=

(b) Para el cambio necesitamos calcular C 3 = a · a7|0,05 =⇒ C 3 = 54.253, 85809 ⊂= (o bien C 3 =C 2 − A3). La nueva situación por tanto es:

4 7 10

i = 4 %

A+I1

3

A+I2

A+I3

54.253,85809

A+I4

A+I16

8

2A+I 17

2A+I 18

+I 19

2A+I 20

2A 2A+I 28

En primer lugar calculamos i4 = 4√

1, 04 − 1 = 0, 0098534065. Por otro lado:

54.253, 85809 = A + A + · · · + A 16 veces

+ 2A + 2A + · · · + 2A 12 veces

= 16A + 24A = 40A =⇒

A = C 3

40 =⇒ A=1.356,346452 ⊂=

• b1 = A + I 1, por tanto:{ I 1 = C (3) · i4 = 54.253, 85809 · i4 =⇒ I 1 = 534, 5853201 ⊂=b1 = A + I 1 =⇒ b1 = 1.890, 9317772 ⊂=

El capital pendiente dos años después del cambio, C (5) = 8A+24A = 32A =⇒

C (5) = 43.403, 08647 ⊂=


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(c) Por último, la situación dos años después del cambio es:

6 7 10

i ' = 3 %

A+I9

5

A+I 10

A+I 11

A+I12

A+I16

8

2A+I 17

2A+I 18

+I 19

2A+I 20

2A 2A+I 28

A+I 13

A+I 14

A+I 15

Como i′ = 3 %, =⇒ i′4 = 4√ 1, 03 = 0, 00741707177. Por la estructura del préstamo, como conoce-mos las cuotas de amortización, empezaremos calculando la nuda propiedad:

N (5) = A · a8|i′4

+ 2A · a12|i′4

· (1 + i′4)−8 =⇒ N (5) = 39.751, 58251 ⊂=


U (5) = i4

i′4(C (5) − N (5)) =⇒ U (5) = 4.850, 937698 ⊂=


V (5) = 44.602, 5202 ⊂=

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