ejercicios de matrices
DESCRIPTION
MatricesTRANSCRIPT
-
EXERCICIOS DE MATRICES
DENNYS RAMOS
1. Dadas las matrices: A =
1 0 20 2 12 1 2
, B = 1 1 22 0 1
1 1 1
, C = 1 2 11 2 1
0 2 3
y D =
1 12 11 2
calcular si existe:(a) 2(A+ 3B 5C) + 3(B 2C)(b) 3(2A 3B 4C) + 3(A 2B 3C)(c) (AB 2C)D(d) Dt(BA+ 2C)
(e) Dt(2AC C)(f) Dt(A 3B + C)(g) (3A+ 2B)D
(h) (3A 2B)C(i) (A+ 3B)tD 3(B 2C)tD(j) {C 2(3A 4B)t}D
2. Determine si las siguientes matrices son invertibles y en caso afirmativo encuentre su inversa.
(a) A =
1 0 20 2 12 1 2
(b) A =
2 1 23 0 22 1 2
(c) A =
2 1 23 0 22 1 2
(d) A =
1 1 22 0 11 1 1
(e) A =
3 1 21 1 11 1 0
(f) A =
1 0 20 1 21 2 1
(g) A =
1 2 13 5 44 9 2
1
-
(h) A =
3 8 41 2 12 5 2
(i) A =
3 1 24 1 15 1 2
3. Encuentre el rango de las siguientes matrices.
(a) A =
1 2 1 12 4 2 23 6 3 3
(b) A =
1 1 00 2 32 2 1
(c) A =
2 3 1 00 2 1 33 5 6 7
(d) A =
1 0 1 22 1 3 14 1 5 57 1 8 11
(e) A =
2 4 4 8 41 6 4 10 22 4 6 14 43 10 10 24 6
(f) A =
1 0 1 1 12 0 2 2 24 0 4 4 4
2
-
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE MATRICES
1. (a) Antes de comenzar los calculos simplifiquemos un poco:
2(A+ 3B 5C) + 3(B 2C) = 2A 6B + 10C + 3B 6C = 2A 3B + 4C
=
2 0 40 4 24 2 4
+ 3 3 66 0 33 3 3
+ 4 8 44 8 4
0 8 12
= 9 5 610 4 9
1 7 4
(c) AB =
3 3 43 1 16 4 7
AB 2C = 1 7 21 3 1
6 8 1
(AB 2C)D = 11 46 69 12
(d) BA =
5 4 54 1 63 3 3
BA+ 2C = 7 0 36 3 43 7 9
Dt =
(1 2 11 1 2
)Dt(BA+ 2C) =
( 8 1 1419 11 25
)
(e) AC =
1 2 52 6 53 2 3
2AC C = 3 2 95 14 116 6 3
Dt =
(1 2 11 1 2
)Dt(2AC C) =
(13 24 344 0 8
)
(f) A 3B + C = 3 1 97 4 35 6 2
Dt(A 3B + C) = ( 16 3 520 9 8)
(g) 3A+ 2B =
5 2 24 6 54 1 8
(3A+ 2B)D = 1 113 0
6 21
(h) 3A 2B = 1 2 104 6 18 5 4
(3A 2B)C = 1 22 312 6 513 18 1
3
-
(i) A+ 3B =
4 3 46 2 41 2 5
(A+ 3B)t = 4 6 13 2 24 4 5
B 2C = 3 3 44 4 3
1 3 7
(A+ 3B)t = 3 4 13 4 34 3 7
(B 2C)tD = 6 98 13
9 21
(A+ 3B)tD = 9 123 9
9 18
(B 2C)tD 3(A+ 3B)tD = 9 1527 4818 45
2. (a)
1 0 2 | 1 0 00 2 1 | 0 1 02 1 2 | 0 0 1
f1 f1 1 0 2 | 1 0 00 2 1 | 0 1 02 1 2 | 0 0 1
f3 f3 + 2f1
1 0 2 | 1 0 00 2 1 | 0 1 00 1 2 | 2 0 1
f2 f3 1 0 2 | 1 0 00 1 2 | 2 0 1
0 2 1 | 0 1 0
f3 f3 + 2f2
1 0 2 | 1 0 00 1 2 | 2 0 10 0 3 | 4 1 2
f3 13f3 1 0 2 | 1 0 00 1 2 | 2 0 1
0 0 1 | 43 13 23
f1 f1 + 2f3f2 f2 + 2f3
1 0 0 | 53 23 430 1 0 | 23 23 130 0 1 | 43 13 23
Luego, la inversa es:
A1 =
53 23 4323 23 1343 13 23
.
(b)
2 1 2 | 1 0 03 0 2 | 0 1 02 1 2 | 0 0 1
f3 f3 + f1 2 1 2 | 1 0 03 0 2 | 0 1 0
0 0 0 | 1 0 1
Como r(A) < 3, la matriz A no es invertible.
(c)
2 1 2 | 1 0 03 0 2 | 0 1 02 1 2 | 0 0 1
f1 f1 + f2 1 1 0 | 1 1 03 0 2 | 0 1 0
2 1 2 | 0 0 1
4
-
f2 f2 3f1f3 f3 2f1
1 1 0 | 1 1 00 3 2 | 3 2 00 1 2 | 2 2 1
f3 f3 1 1 0 | 1 1 00 3 2 | 3 2 0
0 1 2 | 2 2 1
f2 f3
1 1 0 | 1 1 00 1 2 | 2 2 10 3 2 | 3 2 0
f1 f1 f2f3 f3 + 3f2
1 0 2 | 1 1 10 1 2 | 2 2 10 0 4 | 3 4 3
f3 14f3
1 0 2 | 1 1 10 1 2 | 2 2 10 0 4 | 34 1 34
f1 f1 2f3f2 f2 + 2f3
1 0 0 | 12 1 120 1 0 | 12 0 120 0 1 | 34 1 34
Luego, la inversa es:
A1 =
12 1 12
12 0
12
34 1 34
.
(d)
1 1 2 | 1 0 02 0 1 | 0 1 01 1 1 | 0 0 1
f1 f1 1 1 2 | 1 0 02 0 1 | 0 1 0
1 1 1 | 0 0 1
f2 f2 2f1f3 f3 f1
1 1 2 | 1 0 00 2 3 | 2 1 00 0 1 | 1 0 1
f3 f3 1 1 2 | 1 0 00 2 3 | 2 1 0
0 0 1 | 1 0 1
f1 f1 2f3
f2 f2 + 3f3
1 1 0 | 1 0 20 2 0 | 1 1 30 0 1 | 1 0 1
f2 12f2 1 1 0 | 1 0 20 1 0 | 12 12 32
0 0 1 | 1 0 1
f1 f1 + f2
1 1 0 | 12 12 120 1 0 | 12 12 320 0 1 | 1 0 1
Luego, la inversa es:
A1 =
12
12
12
12 12 321 0 1
.
(e) A1 =
16
13
76
16
13
16
13 13 43
.
5
-
(f) A1 =
35 2 2525 35 25
15 1 15
.
(g) A1 =
26 5 310 2 17 1 1
.(h) A1 =
1 4 00 2 11 1 2
.3. El rango es:
(a) r(A) = 1.
(b) r(A) = 3.
(c) r(A) = 3.
(d) r(A) = 2.
(e) r(A) = 2.
6