Biologıa La Practica no te hace perfecto pero si el mejor..!!!1

Universidad Nacional“Pedro Ruiz Gallo”

Facultad de Biologıa

Calculo Diferencial e Integral

Tema:Integral Indefinida

Darwin Dıaz Delgado

2014 - II

Chiclayo, marzo del 2015

Biologıa .... 1 Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo

Indice general

1. Integral Indefinida 2

1

Capıtulo 1

Integral Indefinida

De forma general, si partimos de una integral conocida

∫f(x)dx = g(x)+k y cambiamos

la variable x por la funcion derivable u(x), tal que u′(x) es continua, obtenemos la formula

de cambio de variable ∫f [u(x)]u′(x)dx = g[u(x)] + k (1.1)

Usando la regla de la cadena para derivadas, podemos comprobar facilmente su validez,

derivando el lado derecho

d

dx[g[u(x)] + k] = g′[u(x)]u′(x) = f [u(x)]u′(x)

este ultimo paso utilizando el hecho de que g es una primitiva de f . Si en la formula

anterior escribimos u = u(x) y u′(x)dx = du, la formula de cambio de variable nos

quedarıa como: ∫f(u)du = g(u) + k

Tener en cuenta que el metodo de cambio de variable lo que pretende es reducir el grado

de dificultad de la integral original, de tal manera que la integral resultante sea mas facil

de integrar o que sea una integral conocida.

Ejemplo 1.0.1 Resolver

∫(3x− 5)4dx

Solucion . Podemos observar que esta integral “ se parece ”. a

∫u4du .Luego tomamos

el cambio de variable u = 3x − 5 −→ du = 3dx −→ dx =1

3du, sustituyendo en la

integral original quedarıa

2

3

∫(3x− 5)4dx =

1

3

∫u4du

=1

3

u5

5+ C

=(3x− 5)5

15+ C

Ejemplo 1.0.2 Resolver

∫cos4 x sen x dx

Solucion. Consideremos u = cos x −→ du = −sen x dx −→ −du = senx dx Sustitu-

yendo en la integral original tenemos∫cos4 x senx dx =

∫u4(−du)

= −∫

u4du

= −u5

5+ C

= −cos5 x

5+ C

Ejemplo 1.0.3 Resolver

∫1

x ln5 xdx

Solucion. Consideremos u = lnx −→ du =dx

xSustituyendo en la integral original

tenemos ∫1

x ln5 xdx =

∫du

u5

=

∫u−5du

= −u−4

4+ C

= − ln−4 x

4+ C

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4

Ejemplo 1.0.4 Resolver

∫dx√

x cos2√x

Solucion. Consideremos u =√x −→ du =

dx

2√x

Sustituyendo en la integral original

tenemos ∫dx√

x cos2√x

= 2

∫du

cos2 u

= 2

∫sec2 udu

= 2 tg u+ C

= 2 tg√x+ C

Ejercicios 1.0.1

Calcular las siguientes integrales, haciendo cambio de variable:

1)

∫x√4x2 + 3dx 2)

∫exsen (4ex + 2) dx

3)

∫(1 + 4x)21dx 4)

∫arctanx

1 + x2dx

5)

∫x

3√3− 8x2dx 6)

∫1

x ln5 xdx

7)

∫sen (5 cos x)senx dx 8)

∫x3

x8 + 1dx

9)

∫x.(3x2 + 1)dx 10)

∫2x+ 1

x2 + x− 3dx

11)

∫2x√8 + x2

dx 12)

∫dx√

x cos2√x

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5

13)

∫x

(x+ 1)(x− 1)dx 14)

∫arcsenx√1− x2

dx

15)

∫earctanx + x.ln(1 + x2)− 2x

1 + x2dx 16)

∫x+ 1√x2 + 6x

dx

17)

∫x dx

1−√x+ 1

18))

∫x(tg 2x+ ex) dx

19)

∫ √x dx

(1 + x√x)2

20)

∫ex

a+ bexdx

21)

∫ex + sen x√ex − cosx

dx 22)

∫ln(cos x)tgx dx

23)

∫6x2e−x3

dx 24)

∫sen x cos x√2− sen 4x

dx

25)

∫tgx dx 26)

∫dx

x lnx

27)

∫2 + ln2 x

x(1− lnx)dx 28)

∫dx√

x(1 +√x)

29)

∫ln2 3x

xdx 30)

∫2x3dx

x2 − 4

31)

∫2 ln x+ 1

x(ln2 x+ ln x)dx 32)

∫(2 t+ 1)e t2+t dt

33)

∫sec 2x tg 2x dx 34)

∫tg 2u sec2 u du

35)

∫1

θ2cos

1

θdθ 36)

∫sec(1− x) tg (1− x) dx

37)

∫dx

2 sen 2x+ cos2 x38)

∫tg 5(2x) sec4(2x) dx

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6

39)

∫x2

x3 + 5dx 40)

∫1

1 + e−2xdx

41)

∫e4/x

x2dx 42)

∫e2x

ex + 1dx

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