8/10/2019 EJERCICIOS DE INDUCCION MATEMATICA.docx

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1.8 Ejercicios propuestos

1.Demuestre que: para todo .

2.Demuestre que: para todo .

3.Demuestre que: para todo.

4.Demuestre que: para todo .

5.Demuestre que: para todo .

6.Demuestre que para todo se cumple que .

1.7 Ejercicios resueltos

1. Demuestre que la suma de los primeros n enteros impares positivos es n2.

Solucin

Sea (hiptesis de induccin)

Entonces, hay que demostrar que es cierta y que es cierta.

Entonces,

Con lo anterior, queda demostrado que la suma de los n impares positivos es n2.

2. Pruebe por induccin que: .Solucin

Sea (Hiptesis de induccin).

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Entonces hay que demostrar que es cierta y que es cierta.

En efecto:

.

Entonces

Entonces

De donde

Con lo anterior, queda demostrado que:

3.Pruebe por induccin que:

Solucin

Sea (Hiptesis de induccin).

Entonces, hay que demostrar que es cierta y que es cierta.

En efecto:

.

Entonces, .

De donde

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Con lo anterior queda demostrado que:.

4.Demuestre, utilizando el principio de la induccin matemtica, que es divisible por 3

para todo .

Nota: Dados los enteros a y b con , se dice que adivide a by se escribe a|b, si existe un

tal que .

Solucin

Sea (Hiptesis de induccin).

Entonces, hay que demostrar que es cierto y que es cierto.

En efecto: . De donde .

=

=

=

=

=

De donde . Con lo anterior queda demostrado que .

5. Demuestre que es divisible por 2 para todo .

Solucin

Sea (Hiptesis de induccin).

Entonces, hay que demostrar que es cierto y que es cierto.

=

=

=

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=

De donde . Con lo anterior, queda demostrado que para todo .

1.6. Principio de Induccin Matemtica.

1.6.1. Conjuntos Inductivos.Intuitivamente se obtienen los enteros positivos, tomando comopunto de partida un primero, designado por "1" y formando 1 + 1 (llamado "2"), 2 + 1 (llamado "3"),y as sucesivamente.

En virtud de que no se puede depender del significado un poco oscuro de "y as sucesivamente," yde que se debe tener una base para proporcionar teoremas relativos a los enteros positivos, se duna definicin del conjunto de los enteros positivos, basada en el concepto de conjunto inductivo.

1.6.2. Definicin. Un conjunto S de nmeros es un conjunto inductivo, s y slo s S tiene las

siguientes propiedades:i.1 S.

ii.a S> (a+1) S

Ejemplo:El conjunto de los enteros positivos es un conjunto inductivo.

Ejemplo:El conjunto de los nmeros reales es un conjunto inductivo.

Ejemplo:El conjunto S1={1,3,5,7,...}no es un conjunto inductivo, porque no obstante que

1 S1; (1+1) S1.

El conjunto Z+es el conjunto de nmeros con la propiedad de que si k es cualquier conjunto

inductivo de nmeros, entonces Z+ k. Se dice, a veces, que el conjunto de los enteros positivoses el "ms pequeo" conjunto inductivo de nmeros.

1.6.3. Teorema fundamental de Induccin Matemtica.Sea Snuna funcin proposicional cuyoconjunto de referencia es Z

+. Si Snsatisface las dos condiciones siguientes:

i.S1es cierta.ii.Sk> Sk+1es cierta.

Entonces, Snes cierta para todo n Z+.

Demostracin

Sea k el conjunto de todos los enteros positivos para el cual S nes cierta. Es decir:

k = {x/x Z+

Snes cierta}

De i., se observa que 1 k.

De ii., se observa que k k,> (k+1) k.

Por tanto, k es un conjunto inductivo y por la definicin de k se sabe que k Z+.

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De otra parte, Z+

k. Por consiguiente, Z+= k, es decir Snes cierta para todo n Z

+.

Arqumedes

Muchos de los maravillosos escritos de Arqumedes han sobrevivido, pero slo se conocenalgunos fragmentos de su vida. El gramtico BizantinoTzetzes refiere que Arqumedes muri a la

edad de setenta y cinco aos; puesto que muri en la cada de Siracusa, se deduce que nacihacia el ao 287 a. J. C. Del historiador griego Diodoro aprendemos que estudi matemticas enAlejandra; de Pappus, que escribi un libro sobre mecnica, SOBRE LA CONSTRUCCION DEESFERAS; de Cicern, que construy una esfera que imitaba el movimiento del sol, de la luna y delos planetas; de Luciano, que incendi los barcos romanos mediante una disposicin de espejoscncavos y cristales para quemar; de Ptolomeo, que hizo muchas observaciones astronmicas; delfilsofo romano Macrobio, que descubri las distancias de los planetas.

De Pappus , procede la no menos famosa narracin segn la cual Arqumedes, despus de haberresuelto el problema: "Mover un peso dado mediante una fuerza dada", declar triunfalmente:"Dadme un punto de apoyo y podr mover la tierra".