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EJEMPLOS DELTEMA 13-I

Ejemplo 1

Deseamos conocer la proporcin de estudiantes de cierta Universidad que estn a favor de un cambio de sede. Se escogieron aleatoriamente 10 estudiantes y 4 de ellos respondieron si. Es decir n=10, X=4, siendo X= nmero de estudiantes que respondieron si.

Vamos a calcular la probabilidad de obtener 4 respuestas si de acuerdo con la proporcin verdadera que puede darse en la poblacin universitaria. Consideremos que la variable aleatoria definida sigue una binomial con lo que:

P[X=x]=; x=0,1,2,,10.

Si tomamos x=4 tenemos que P[X=4]=.

Dando distintos valores a , obtenemos la siguiente tabla:

P[x=4]

00

0100112

0200881

0302001

0402508

0502051

0601115

0700368

0800055

0900001

10

La mxima probabilidad se da para =04 que coincide con la proporcin muestral. Es decir, el valor de la proporcin muestral que hace mxima la funcin L()==210 es 04.Naturalmente la proporcin verdadera puede ser distinta del valor muestral obtenido. Pero es un riesgo que viene producido por proceder por muestreo y no investigar a toda la poblacin.

Tambin podramos haber tomado otros valores de distintos a los de la tabla anterior y de esta manera sera ms preciso considerar la funcin L() como una funcin continua definida en el intervalo [0.1]. Esta funcin la llamaremos funcin de verosimilitud y formalmente queda definida como:L()=210; 01. Esta funcin es la probabilidad condicional de X=4 dado =p. Para calcular el mximo utilizaremos la derivada.

Ejemplo 2

De una poblacin se escogieron al azar 10 personas y se les tom la estatura. Los resultados en cm fueron: 160, 170, 170, 150, 160, 180, 160, 170, 130, 150. Estime la media y la varianza. Ejemplo 3

En una universidad se desea conocer la opinin de los estudiantes acerca de ciertas medidas que ha tomado la directiva. De 120 estudiantes consultados, 90 estuvieron a favor. Estime la proporcin de estudiantes que estn a favor de las medidas

Ejemplo 4Un conjunto residencial est formado por 200 apartamentos. Se seleccionan 18 apartamentos y se observ que, en promedio, viven 45 personas por apartamento y se observ que, en promedio, viven 45 personas por apartamento. Estime el total de personas que viven en el conjunto residencial.

Ejemplo 5De un lote de 1.000 licuadoras se escogen aleatoriamente 30 y se encontr que 2 de ellas estaban estropeadas; cuntas licuadoras se estima que estn estropeadas?

Ejemplo 6Una agencia de encuestas selecciona 900 familias y calcula la proporcin de stas que utilizan cierto tipo de detergente. Si la proporcin estimada es 035 Cul es el error estndar estimado?

Ejemplo 7En el estudio de cierta caracterstica X de una poblacin se sabe que la desviacin estndar es 3. Se va a escoger una muestra de tamao 100, halle el error estndar de la media muestral.

Ejemplo 8

Escogi al azar una muestra de 10 clientes de un banco y se les pregunt el nmero de veces que haban utilizado el banco para llevar a cabo alguna transaccin comercial. Los resultados fueron los siguientes: 0, 4, 2, 3, 2, 0, 3, 4, 1, 1,. Estime el error estndar del nmero de transacciones promedio.

Ejemplo 9Vamos a obtener un intervalo de confianza del 95% para la media de una poblacin normal. Si X es N(), es N(,).

Nuestro objetivo es encontrar a y b tales que P[a