UNA CLASIFICACIN DE LAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

ECUACINESDIFERENCIALES

PARCIALES

LINEALES PRIMER ORDEN

EC. DIFERENCIALES NO LINEALES ORDINARIAS

ORDEN SUPERIOR A PARTIR DEL SEGUNDO

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS) Solucin de una ecuacin homognea. Probar que la siguiente ecuacin es homognea y obtener su solucin general:

Solucin

Si dividimos el numerador y el denominador del miembro derecho de la ecuacin por x2, tendremos:

Si ahora hacemos el cambio de variables v = y/x tenemos:

) Modelizacin y resolucin de un problema industrial usando una EDO de 1 orden con una condicin inicial. Un depsito contiene 50 litros de salmuera con 1kg de sal disuelta en ella. Se introduce en el depsito salmuera que contiene disuelto 0,1 kg de sal por litro a razn de 15 litros por minuto y la mezcla, bien revuelta, se deja salir a una tasa de 20 litros por minuto. Hallar la cantidad de sal y(t) en el depsito en un instante cualquiera.20 l/minCS = ?15 l/minCE = 0,1 kg/l

Solucin

Nuestra incgnita es y(t), la cantidad de sal en el tanque para un tiempo t. Para prescindir de indicar las unidades, establecemos que todos los volmenes estarn en litros, los tiempos en segundos y las masas en kilogramos.

Observemos ante todo que el volumen de lquido ir disminuyendo, dado que entran 15l/min y se pierden 20 l/min, lo que arroja una prdida neta de 5 l/min. Por ende, a un tiempo t se habrn perdido 5t litros y el volumen remanente ser:

V(t) = 50 - 5t

Observemos que, dada la buena agitacin que recibe el contenido del tanque, es razonable considerar que la concentracin en el mismo es uniforme, y por lo tanto igual a la concentracin a la salida. Quiere decir que:

Concentracin en el tanque = .

Veamos ahora cul es la variacin de la cantidad total de sal en el tanque. Por un lado se recibe un chorro de 15 l/min a 0,1 kg/l; el producto entre estos dos valores nos da la cantidad de sal que se va ganando por minuto. Por otro lado, sale del tanque un chorro de 20 l/min, a una concentracin variable en el tiempo y que vendr dada por y(t)/(50-5t); el producto entre ambos nos dar la cantidad de sal que se pierde por minuto. Por ende:

Variacin de sal = Ganancia - Prdida

Reordenando esto nos queda la EDO:

; y(0) = 1

La condicin inicial viene dada por el kilo de sal que haba en el tanque al iniciarse el proceso.

La funcin P(t), esto es, el coeficiente del trmino lineal en y, es 20/(50-5t). Por ende el factor integrante vendr dado por:

(recordemos que necesitamos un factor, no la familia completa). Hemos omitido las barras de valor absoluto en el logaritmo porque el volumen ser siempre positivo.

Y multiplicando el factor por la anterior ecuacin diferencial queda:

Para obtener el valor de la constante, recurrimos a la condicin inicial, y as tenemos:

y(0) = 1 = 25 + 504C C = 26/504 = 4,1610-6

De modo que:

Obsrvese que esta expresin, a los 10 s, nos arroja una cantidad de sal nula, lo que efectivamente se compadece con el hecho de que para ese entonces se desagot totalmente el tanque.

) Transformacin de una ecuacin no lineal en una lineal usando un cambio de variable (ecuaciones de Bernoulli). a) Demostrar que la ecuacin no lineal

y + P(x)y = Q(x)yn , n 2

puede transformarse en una ecuacin lineal usando la sustitucin u = y1-n . b) Usar ese resultado para resolver la ecuacin:

Solucin

a) La sustitucin sugerida nos permite expresar:

Reemplazando ahora esto en la EDO original se tiene:

Y, finalmente, multiplicando todo por (1 - n):

(1)

sta es una ecuacin lineal, que puede ser resuelta siguiendo el procedimiento habitual. Luego, revirtiendo el cambio de variables, se puede obtener la expresin para y.

b) En la ecuacin dada, , tenemos, comparando con la expresin (1), que:

P(x) = 2x-1 ; Q(x) = x-2 ; n = 3 ; y u = y-2 y = u-(1/2)

De esta manera, la ecuacin (1) puede escribirse, para este caso particular:

u - 4x-1u = -2x-2

El factor integrante, entonces, ser: ; y multiplicando la ecuacin por esto tendremos:

x-4u - 4x-5u = -2x-6 (x-4u) = -2x-6 x-4u = (2/5)x-5 + C u = (2/5)x-1 + Cx4

; queda para el estudiante verificarlo.

) Resolucin de una ecuacin exacta. Resuelva el problema de valor inicial

3x2 + 2xy + 3y2 + (x2 + 6xy)y = 0 , y(1) = 2

Solucin

Aqu, las funciones P y Q caracterizadas en la teora de ecuaciones exactas seran:

P = 3x2 + 2xy + 3y2 ; Q = (x2 + 6xy)

Vemos que y por lo tanto se trata de una ecuacin exacta. A fin de resolverla, tenemos que encontrar una funcin f tal que fx = P y fy = Q. Tenemos as:

Derivando ahora este resultado con respecto a y tenemos:

; podemos elegir K1 =0 y entonces:

f = x3 + x2y + 3y2x

La solucin a la ecuacin diferencial de nuestro problema vendr dada, pues, por:

x3 + x2y + 3y2x = K

Introduciendo la condicin inicial, sabemos que y(1) = 2; e ingresando estos valores en la ecuacin anterior tendremos:

1 + 2 + 34 = K = 15

Con lo cual:

x3 + x2y + 3y2x = 15

sta es una solucin implcita. En este caso particular, podramos, aplicando la resolvente de una ecuacin cuadrtica, despejar y como funcin de x, pero en otros casos eso no es posible.

) Transformacin de una ecuacin no exacta en una exacta mediante un factor integrante. Encuentre un factor integrante y despus resuelva la ecuacin:

1 - xy + x(y - x)y = 0 , x > 0

Solucin

Vemos que P = 1 - xy y Q = x(y - x), y que Py = -x Qx = y - 2x

Por lo tanto intentaremos multiplicar la ecuacin diferencial del problema por un factor integrante. Probamos, en primer lugar, con uno que dependa solamente de x, I(x). La ecuacin queda:

I(x)(1 - xy) + I(x)x(y - x)y = 0

Ahora podemos llamar M = I(x)(1 - xy) y N = I(x)x(y - x) y para que esta nueva ecuacin sea exacta se tiene que cumplir que My = Nx . Tenemos que:

My = I(x)(-x) ; Nx = I(x)x(y - x) + I(x)(y - 2x) ; y para que estos dos sean iguales debe ser:

I(x)(-x) = I(x)x(y - x) + I(x)(y - 2x) I(x)(-y + x) = I(x)x(y - x) ; y dividiendo miembro a miembro por (y - x) tendremos:

-I(x) = I(x)x; nos qued una expresin solamente en x. (Si aparecan x y y, el intento fallaba y debamos plantear un coeficiente en funcin de y.) Debe tenerse en cuenta que para que esto sea vlido debe ser y x. Resolviendo ahora esta ecuacin diferencial tenemos:

Multiplicando miembro a miembro por este factor integrante la ecuacin diferencial de nuestro problema, tendremos:

1/x - y + (y - x)y = 0 ; vemos que My = -1 = Nx. Debemos encontrar una funcin f tal que fx = M y fy = N. Tenemos as:

No incluimos la constante en esta ltima integral pues necesitamos una funcin. La solucin ser, entonces:

. Como ocurra en el problema anterior, se podra despejar y de aqu, pero lo dejamos expresado como funcin implcita.

) Resolucin de un problema fsico modelizado mediante una ecuacin de 1 orden. El radio es un elemento radioactivo de vida media 1600 aos, que se desintegra produciendo radn, que a su vez es un elemento radioactivo con vida media 3,8 das. Si inicialmente hay 1000 kg de radio, calcular la cantidad de radio x(t) y la cantidad de radn y(t) en un tiempo posterior cualquiera t. Sugerencia: recordar que el decaimiento radioactivo est regido por la ecuacin diferencial x + ax =0, y que la vida media T es el tiempo en el cual decae su masa a la mitad.

Solucin

Para trabajar en unidades homogneas, calculemos la vida media del radio en das:

TRa = 1600 365 = 5,84 105 das (despreciamos el efecto de los aos bisiestos)

Vemos que en este problema existe decaimiento del radio y del radn. Primeramente encontraremos las ecuaciones para ambos fenmenos por separado.

En el caso del radio tenemos:

(1)

Ntese que prescindimos de las barras de valor absoluto en el logaritmo porque x es una masa (cantidad de radio), y stas son siempre positivas.

Introduzcamos ahora el concepto de vida media. Sabemos que al transcurrir el tiempo TRa la cantidad de radio inicial se habr reducido a la mitad. Pero segn la Ec. (1), tendremos:

x(0) = Ke-a0 = K (cantidad inicial de radio)x(TRa) = Ke-a5,84 10^5 = (2)

Cancelando la constante K y aplicando logaritmo a esta ltima ecuacin tenemos:

-a5,84 105 = -ln2; y despejando da: a = 1,187 10-6 das-1

De donde la ecuacin que rige el decaimiento radioactivo del radio es:

x + 1,187 10-6x = 0 (3)

Y por otro lado la cantidad de radio presente al cabo de un tiempo t ser, reemplazando a en (1):

x(t) = x(TRa) = Ke-1,187 10^(-6)t = 1000e-1,187 10^(-6)t (4)

Donde ya introdujimos la cantidad inicial de radio de nuestro problema (1000 kilos). Uniendo ahora (3) y (4) tenemos:

x = -1,187 10-3e-1,187 10^(-6)t(5)

Vamos ahora al caso del radn. Operando idnticamente al caso del radio llegaremos a una ecuacin anloga a la (2), a saber:

y(TRn) = Ke-b3,8 = K/2

donde K es ahora la cantidad inicial de radn. Despejando b se obtiene:

b = 0,182 das-1

y entonces la ecuacin que rige el decaimiento radioactivo del radn es:

yd + 0,182y = 0 yd = -0,182y(6)

Remarcamos que sta es la ecuacin que rige la variacin de la masa de radn por decaimiento radioactivo solamente. Por eso le colocamos el subndice d.

Consideremos ahora la situacin de nuestro problema. La podemos representar de la siguiente manera:

RaDecaimientoradioRnDecaimientoradn

La masa de radn recibe un aporte (la degradacin del radio) y sufre una prdida (el decaimiento del radn). En otras palabras:

y = Variacin de radn = - Decaimiento del radio + Decaimiento del radn

El signo menos que afecta al decaimiento del radio est ah porque lo que se gan de radn es igual a lo que se perdi de radio, pero cambiado de signo. Usando las expresiones para decaimiento encontradas en (5) y (6) tenemos:

y = 1,187 10-3e-1,187 10^(-6)t - 0,182y

Es decir:

y + 0,182y = 1,187 10-3e-1,187 10^(-6)t (7)

Ecuacin lineal a coeficientes constantes cuya ecuacin asociada es:

+ 0,182 = 0 = -0,182 yc = Ce-0,182tLa funcin excitacin es una exponencial; por lo tanto proponemos como funcin de prueba:

y* = Ae-1,187 10^(-6)t

Reemplazando sta en (7) y despejando A tendremos finalmente

y* = 6,52 10-3e-1,187 10^(-6)t

Sumando esta solucin particular del problema no homogneo con la solucin general de la complementaria, podemos escribir:

y = Ce-0,182t + 6,52 10-3e-1,187 10^(-6)t

Al principio del proceso no hay nada de radn, de modo que:

y(0) = C + 6,52 10-3 = 0 C = -6,52 10-3

Finalmente:

y = -6,52 10-3e-0,182t + 6,52 10-3e-1,187 10^(-6)t (8)

Las ecuaciones (4) y (8) nos dan, entonces, las cantidades de radio y radn, respectivamente, en funcin del tiempo. Debe recordarse que las unidades de x y y son el kilogramo, y que el tiempo t se mide en das. Si usted resuelve este problema en aos llegar a constantes diferentes.jjjjjjjjjjjjjjjjj