MARIANGEL CARRILLO

CI: 23.570.472

Ejercicios de Distribución Binomial

Ejercicio Nº 1:

De 20 pernos 5 están malos. Si selecciono 4 al azar. ¿ cuál es la probabilidad que estos estén bien.

Solución:

P=20-5 / 20 = 0.75 probabilidad que un perno este bien

P[X=4] = px(4;20,0.75)= 20 0.7554(1-0.75)20-1=3.5693e-07

4

Ejercicio Nº 2:

En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección:

1.- Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

2.- Determinar la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

Solución:

a) P(AUB)=0.05+0.1-0.05. 0.1= 0.145

B(5, 0.145) P= 0.145 q=0.855

P(x=3)= 5 0.1453. 0.85552=0.0223 3

P(al menos uno) = 1- 5 0.8555=0.543 0

Ejercicio Nº 3

Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar SI o NO. Suponiendo que a las personas que se le aplican no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contestan al azar, hallar:

a) Probabilidad de obtener cinco aciertos.b) Probabilidad de obtener algún acierto.c) Probabilidad de obtener al menos cinco aciertos.

Solución:

Suceso A= (éxito)=acertar la pregunta p= p(A) 0.5

Suceso A=no acertar la pregunta q=p(A)=0.5

Distribución binomial de parámetros n =10, p=0.5; B (10; 0.5)

a) Obtener exactamente 5 aciertos K=5, aplicamos la fórmula:

P(X=K)= [n/k] pk . qnk; k=5n= 10 ;p= 0.5q = 0.5 p(x=5) = [10/5] . (0.5)5 . (0.5)10-5

[n/k]= n/k!(n-k)! números combinatorios [10/5] = [10!/5!(10-5)! = 10.9.8.7.6.5/5.4.3.2.1.5 =252]

P(x=5)=[10 / 5] . (0.55)5. (0.5)10 – 5 ; p(x=5)= 252. (0.5)5. (0.5)5= 0-2461

b) P(X mayor o igual 1 ) = p(x=1) + p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) + p(x=5) + p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)

El suceso obtener algún acierto es el suceso contrario a no obtener ningún acierto

P(X=0)= [10/0]. (0.5). (0.5)10= 0.000100

PX (mayor o igual 1)= 1-p(x=0); p(x mayor o igual 1 )= -0.00100=0.999

c) P(x mayor o igual 5) = p(x=5) + p(x=6) + p(x=7) + p(x=8) + p(x=9) + p(x=10)P(x mayor o igual 5) = 0.2461 + 0.2051 + 0.1172 + 0.0439 + 0.0098 + 0.0010 = 05231

Ejercicio Nº 4:

Calcule la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños.

Solución:

Es una distribución binomial, los hijos solo pueden ser varones o mujeresSuceso A (éxito) tener un varón p(A) = 0.5; p=0.5

Suceso A tener una mujer: p(A)= 0.5: q=0.5

N=4 b(n.p) b(4; 0.5)

Probabilidad de tener tres hijos varones x=3

P(x=k) = n . pk.qn-k k=3 k N=4 p=0.5 q=0.5

p(x-3)= 4 . (0.5)3. (0.5)4-3

3

n = n! / k!(n-k)! k

4 = 4! / 3! (4-1) . (0.5)3. (0.5)4-3

3

P(x=3) =4.(0.5)3. (0.5)1 = 0.25

Distribución Hipergeométrica

Ejercicio Nº 1:

Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres baterías. Calcule la probabilidad que en una muestra se obtengan,

a) Ninguna batería en buen estadob) Al menos una batería en buen estadoc) No más de dos baterías en buen estado.

Solución:

Este es un experimento de muestreo sin reemplazo, por lo tanto es un experimento hipergeométrico con

N=9 (total de elementos del conjunto)K=4 (total de elementos considerados ‘éxitos’)n=3 (tamaño de la muestra)

X: cantidad de baterías en buen estado en la muestra (Variable aleatoria discreta)Entonces la distribución de probabilidad de X es:f(x) =

P(X=0) = f(0) =

=0.119P(X1) = 1 – P(X<1) = 1 – f(0) = 1 - 0.119 = 0.881P(X2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0.9523

3210x

3

9x3

49

x

4

,,,,

3

903

49

0

4

Ejercicio Nº 2:

Se selecciona al azar un comité de cinco personas entre tres químicos y cinco físicos. Calcular la distribución de probabilidad para el número de químicos en el comité.

Solución:

Sea la v.a. X el número de químicos en el comité. Se satisfacen lasdos condiciones de un experimento hipergeométrico.

P(X=0) = h(0; 8, 5, 3)= 3 5 / 8 = 1/56 0 5 5

P(X=1) = h(1;8,5,3) = 3 5 / 8 = 15/56 1 4 5

P(X=2) = h(2; 8,5,3) = 3 5 / 8 = 30/56 2 3 5

P(X=3) = h(2; 8,5,3) = 3 5 / 8 = 10/56 3 2 5

Ejercicio Nº 3:

Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?

Solución:

Utilizando la distribución hipergeométrica con n=5, N=40, k=3 y

x=1, entonces

h(1; 40,5,3) = 3 37 / 40 = 0.3011 1 4 5

Ejercicio Nº 4:

Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo,(a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?(b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?(c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

Solución:

a) Sea X igual al número de piezas de la muestra del proveedor local. Entonces, x tiene una

Distribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es P(x=4). Por consiguiente,

P(x=4)= 100 200 / 300 = 0.0119 4 0 4

b) P(x ≥ 2) = 100 200 / 300 + 100 200 / 300 + 100 200 / 300 2 2 4 3 1 4 4 0 4

= 0.298+0.098+0.0119=0. 408

c) P(x ≥ 1)=1 - p(x=0) = 1- 100 200 / 300 = 0.196 0 4 4

Distribución de Poisson

Ejercicio Nª 2:

Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.(b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.

(c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre.

Solución:

a) Entonces E(x)=2.3 imperfecciones y

P(x=2)=e-2.33.32 /2!= 0.265

b) Sea que X denote el número de imperfecciones en 5 milímetro de alambre. Entonces, X tiene una distribución Poisson con E(x)=5mmx2.3 imperfecciones/mm= 11,5 imperfecciones.

Por lo tanto,

P(x=10)=e-11.5 11.5/10! 0.113

c) Sea que x denote el número de imperfecciones en 2 milímetros de alambra. Entonces, X tiene una distribución de Poisson con

E(x)=2mmx2.3imperdecciones/mm=4.6imperfecciones

Por lo tanto,

P(x ≥ 1)=1-P(x=0)=1-e-4.6 =0.9899

Ejercicio Nº 3:

La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados.(a) Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.(b) La probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio.(c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio.

Solución:

Sea que x denote el número de partículas en el área de un disco bajo estudio. Puesto que el número promedio de partículas es 0.1 partículas por cm2 . E(x)=100 cm2 x0.1 partículas/ cm2 = 10 partículas

Por lo tanto,

a) P(x=12)= e-10 1012 / 12!= 0.095

b) P(x=0)=e-10 =4.54x10-5

12c) P(X ≤ 12 )=P(x=0)+P(x=1)+…..+P(x=12)=∑ e-10 10i / i!

i=0