Alfonso Cabanzo

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1. Ejercicios de deducción natural

Los siguientes ejercicios están pensados para realizarse diariamente a medida que estudia cada regla de deducción. Siga el procedimiento: identificar, analizar, buscar, aplicar, para realizar cada deducción.

A. Ejercicios de ∧ " # ∧

Realizar las siguientes deducciones usando las reglas $ ∧, e % ∧:

I.

–1. & ∧ '( ∧ )* –2. +

⊢ ) ∧ + II.

–1. - ∧ ( –2. ) ∧ +

⊢ ( ∧ )

III.

–1. & ∧ -

–2. ( ∧ )

⊢ - ∧ )

IV.

–1. & ∧ -

⊢ &

V.

–1. ( ∧ '+ → )* ⊢ + → )

VI.

–1. '& ∧ (* ∧ )

–2. '/ ∧ +* ∧ -

⊢ '& ∧ /* ∧ '( ∧ -*

VII.

–1. & ∧ /

⊢ / ∧ &

VIII.

–1. '& ∧ +* ∧ ) ⊢ ') ∧ +* ∨ &

IX.

–1. ¬& ∧ +

–2. /

⊢ ¬& ∧ /

X.

Alfonso Cabanzo

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–1. '/ → +* ∧ '( ↔ -*

–2. ') ∨ 4* ∧ '5 → +*

⊢ '/ → +* ∧ '5 → +*

B. Ejercicios de # ∨

Realizar las siguientes deducciones usando las reglas vistas anteriormente junto con % ∨:

I.

–1. '¬/ ∨ )* ∧ '+ → -*

–2. ) ∨ '& → +*

⊢ '+ → -* ∨ 6) ∨ '& → +*7

II.

–1. 6'& → (* → -7 ∧ 6'& → 8* ↔ '9 ∨ /*7

⊢ 6'& → (* → -7

III.

–1. ¬'/ ∧ +* ∧ ': → 5*

–2. ¬'& → -* ∧ )

⊢ ¬'/ ∧ +* ∧ ¬'& → -*

IV.

–1. & ∧ - ⊢ & ∨ (

V.

–1. ) ∧ +

⊢ ) ∨ +

VI.

–1. '& ∧ -* ∨ (

⊢ & ∨ (

VII.

–1. '& → -* ∧ '( → )*

⊢ '& → -* ∨ '( → )*

VIII.

–1. &

⊢ & ∨ 6( → ') → +*7

IX.

–1. '& ∨ ( → +* ∧ '+ → )*

⊢ '+ → )* ∨ '& ∧ ( ↔ +*

X.

–1. ': ∧ 5 * ∧ '; ∧ <*

–2. '= → >* ∧ '? ↔ ℎ*

⊢ 6': ∧ ;* ∧ '= → >*7 ∨ 'A ∨ 4*

Alfonso Cabanzo

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C. Ejercicios de →

Realizar las siguientes deducciones usando las reglas vistas anteriormente junto con $ →:

I. –1. & ∨ - → ( ∧ )

–2. + ∧ &

⊢ ( ∨ )

II.

–1. & ∨ ( → ) ∧ A

–2. / ∧ &

⊢ ) ∨ A

III.

–1. : → 5

–2. / ∧ :

–3. / ∧ 5 → )

⊢ ) ∨ '- ↔ (*

IV.

–1. & ∧ -

–2. - → (

–3. ( ∨ + → )

–4. ) ∨ + → E

⊢ E ∨ 'F ∨ G*

V.

–1. & ∧ -

–2. ( ∧ )

–3. '- ∧ )* ∨ + → E ∧ (

–4. E ∨ H → F

⊢ F ∧ 6& ∨ '- ↔ (*7

VI.

–1. / ∧ )

–2. / ∨ + → (

–3. ( ∨ '9 ∧ &* → E ∧ (

–4. E ∨ H → -

⊢ - ∨ '4 ↔ ℎ*

VII.

–1. '& ∧ -* ∧ '( ∨ )*

–2. & ∨ + → )

–3. ( ∨ ) → E

⊢ ') ∧ E* ∨ 'F ↔ 4*

VIII.

–1. & → ¬-

–2. ¬- ∨ / → +

Alfonso Cabanzo

4

–3. ¬/ ∧ &

⊢ + ∧ ¬/

IX.

–1. ; → ℎ

–2. ℎ ∨ + → 4

–3. ; ⊢ 4 ∨ '/ ∧ ?*

X.

–1. / ∨ ) → + ∧ -

–2. + ∨ ( → ) ∧ J

–3. ) ∨ F → A ∧ K

–4. / ∧ '& → -*

⊢ A ∨ '4 ↔ F*

D. Ejercicios de # →

Realizar las siguientes deducciones usando las reglas vistas anteriormente junto con % →:

I.

–1. & ∧ -

⊢ ( → - ∨ )

II.

⊢ & → & ∨ -

III.

⊢ & ∧ - → &

IV.

–1. '/ → )* → +

–2. ) ∧ (

⊢ + ∧ )

V.

–1. ) ∧ + → /

–2. / ∨ ) → ℎ

⊢ ) ∧ + → ℎ VI.

–1. / ∧ '+ ∨ ℎ* → )

⊢ / → 6+ → ') ∨ F*7

VII.

−1. / ∧ '+ ∧ )* → A

⊢ / → 6+ → ') → A ∨ 4*7

VIII.

–1. 68 → 'ℎ → A*7 → J ∧ )

–2. 8 ∧ ℎ → A

⊢ + → J ∧ )

IX.

Alfonso Cabanzo

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⊢ ': → 5* → 6'5 → ;* → ': → ;*7

X.

–1. ℎ → 'J → A*

⊢ ℎ ∧ J → A ∨ '& ↔ (*

E. Ejercicios de ¬

Realizar las siguientes deducciones usando las reglas vistas anteriormente junto con $¬:

I.

–1. & → )

–2. ) ∨ + → A

¬¬& → A ∨ J

II.

–1. ¬¬'A ∧ +*

–2. A → )

–3. ) ∧ - → F

⊢ - → F ∧ +

III.

–1. ¬& ∧ ¬¬-

–2. - ∧ ) → +

–3. 'F → +* → /

⊢ ) → /

IV.

–1. ¬¬6+ ∧ ') → +*7

–2. 6') → +* ∧ /7 → A

⊢ / → 'J → A*

V.

–1. + ∧ / → J ∨ 4

–2. ¬¬/ ∧ )

⊢ + → 'J ∨ 4* ∨ '5 ∧ ;*

VI.

–1. ¬¬') ∧ &* ∧ ¬¬'4 ∧ N*

–2. ') ∧ 4* ∧ 'A ∨ A* → : ∨ F

⊢ 'A ∨ A* → : ∨ F

VII. –1. ¬¬¬& ∧ ') ∨ :*

–2. ¬& ∧ + → F

⊢ + → '4 → F ∧ ¬&*

VIII.

–1. & ∧ - ∧ ( ∧ ) → +

⊢ ¬¬& → Q¬¬- → 6¬¬( → '¬¬) → ¬¬+*7R

Alfonso Cabanzo

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IX.

–1. ¬¬'¬¬& ∧ ¬¬)*

–2. & ∧ ) → +

⊢ ( → + ∨ A

X.

–1. & ∧ ¬¬+

–2. + ∨ ) → (

–3. ( ∧ F → / ∧ A

⊢ ¬¬F → A ∨ 4

F. Ejercicios de #¬: Realizar las siguientes deducciones usando las reglas vistas anteriormente junto con %¬:

I.

–1. A ∧ ¬¬/

–2. ¬/ ∧ J

⊢ ¬&

II.

–1. 'J → A* → +

–2. ¬¬A ∧ )

–3. ¬'+ ∨ ℎ*

⊢ ¬') ∧ /*

III.

–1. 5 ∧ / → J

–2. ¬'J ∨ )*

⊢ ¬5 ∨ ¬/

IV.

–1. & ∧ ¬¬/

–2. ¬/ ∧ J

⊢ ¬&

V.

–1. 'J → A* → +

–2. ¬¬A ∧ )

–3. ¬'+ ∨ ℎ*

⊢ ¬') ∧ /*

VI.

–1. 5 ∧ / → J

–2. ¬¬'¬J ∧ )*

⊢ ¬'5 ∧ /*

VII.

–1. ¬'& ∧ (* → 4 ∧ A

–2. A ∨ / → ¬F

Alfonso Cabanzo

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–3. ¬¬'9 ∧ ¬¬F*

⊢ & ∧ (

VIII.

–1. ¬'ℎ → U*

–2. / ∧ J → A

–3. U ∧ /

⊢ ¬'/ ∧ J*

IX.

–1. & ∧ ¬/

⊢ ¬'& → /*

X.

–1. '& ∧ -* ∨ '( ∧ 5*

–2. ¬&

⊢ ( ∨ ') → +*

G. Ejercicios de ∨: Realizar las siguientes deducciones usando las reglas vistas anteriormente junto con $ ∨:

I.

–1. 5 ∨ <

⊢ ¬5 ∧ / → < ∨ J

II.

–1. = ∧ (

–2. ( → )

–3. ) → ¬=

⊢ & → '( → ¬-*

III.

–1. > ∨ ?

–2. ? → +

–3. ¬'+ ∨ >*

⊢ F ∨ A

IV.

–1. '& ∧ -* ∨ '( ∧ -*

⊢ -

V.

–1. '/ ∧ )* ∨ '+ ∧ )*

–2. '/ → )* → (

–3. ( ∨ - → F

⊢ F

VI.

–1. & → ( ∨ )

–2. - ∧ &

Alfonso Cabanzo

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–3. ( → )

⊢ ) ∨ F

VII.

–1. 5 ∧ )

–2. + → ¬(

–3. / → ¬¬'& ∧ )*

⊢ / ∨ + → ¬( ∨ )

VIII.

–1. & → + ∧ (

–2. ¬( ∨ ¬+

⊢ ¬&

IX.

–1. '+ ∧ /* ∨ '& → -*

–2. &

–3. / → (

–4. ( ∨ + → F

⊢ - ∨ F

X.

⊢ & ∨ - → 6'& → (* → '- → )* → '( ∨ )*7

Eliminación de ↔: Si tengo un bicondicional W ↔ X, puedo obtener dos condicionales: 'W → X* y 'X → W*. Ejemplo:

−1* & ↔ - ⊢ & → - −2* & → - $ ↔ 1

Esta regla es más una definición. Generalmente en otros libros las reglas que valen para el → valen para el ↔ : el Modus Ponens o $ →, pues lo que se hace es saltarse pasos en la derivación.

Introducción de ↔: Si tengo dos condicionales 'W → X* y 'X → W*, puedo obtener un bicondicional W ↔X. Ejemplo:

−1* & → - ⊢ & ↔ - −2* - → &

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−3* & ↔ - % ↔ 1, 2 Esta regla es más una definición. Generalmente en otros libros las reglas que valen para el → valen para el ↔ : la $ →, pues lo que se hace es saltarse pasos en la derivación.

H. Ejercicios de # ↔ y ↔

Realizar las siguientes deducciones usando las reglas vistas anteriormente junto con % ↔ y $ ↔:

I.

⊢ ) ↔ )

II.

–1. & ↔ /

–2. / ↔ )

⊢ & ↔ )

III.

–1. & ∧ / ↔ ) ∨ +

–2. ¬) ∧ ¬+

⊢ ¬'& ∧ /*

IV.

–1. ¬'( ↔ +*

–2. ( → +

⊢ + ∧ ¬(

V.

–1. & ∨ ( ↔ F

–2. F

⊢ ¬& → /

VI.

–1. '& → -* ↔ 'F ∨ +*

–2. -

–3. 'F → (* ∧ '+ → A*

⊢ ( ∨ A

VII.

–1. 'A → ¬A* → '/ ∨ F*

–2. ¬'4 ∨ ℎ*

–3. ? ∧ ℎ

–4. / → )

–5. F → 'G ∨ 4*

⊢ ) ∨ 'G ∨ 4*

VIII.

⊢ / ∨ 9 ↔ ¬'¬/ ∧ ¬9*

IX.

⊢ '/ ∧ + → J* ↔ 6/ → '+ → J*7

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X.

⊢ 'A ∨ )* ↔ '¬A → )*

I. Ejercicios varios

Realizar los siguientes ejercicios usando las reglas estudiadas en las secciones anteriores.

I.

–1. : → '¬; → ¬5*

–2. ; → < ∧ =

⊢ : → '5 → <*

II.

–1. > ∧ ¬? → ¬? ∧ ¬ℎ

–2. ℎ → ¬>

⊢ > → ?

III.

–1. '& → -* ∧ (

–2. (+ → )* ∧ &

–3. ? ∨ ℎ

⊢ ( ∧ '+ → )*

IV.

⊢ '& → -* ↔ '¬& ∨ -*

V.

⊢ ') → (* ↔ ¬') ∧ ¬(*

VI.

⊢ ¬'& ↔ -* ↔ '& ∧ ¬-* ∨ '- ∧ ¬&*

VII.

⊢ ¬'& → -* ↔ '& ∧ ¬-*

VIII.

⊢ ') ∧ +* ↔ ¬'¬) ∨ ¬+*

IX.

⊢ & → '¬& → -*

X.

⊢ '¬& → &* → &

XI.

⊢ '& ↔ -* ↔ ¬6¬'¬& ∨ -* ∨ ¬'¬- ∨ -*7

2. Ejercicios de traducción entre sistemas

Traduzca cada deducción a la notación que se vale de los signos ~, &,∨, ⊃, ≡