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Investigación Operativa II Mag. Miguel Sierra

Prof. Miguel Sierra Página 1 de 4

Ejercicios de Cadenas de Markov

1. FOTOCOPIADORA

Una fotocopiadora tiene el siguiente comportamiento: si está funcionando un día, hay un 85% de

probabilidad de que al día siguiente funcione y un 15% de probabilidad de que no funcione. Pero si

no está funcionando, hay un 60% de probabilidad de que tampoco funcione al día siguiente y un 40%

de que si funcione. En la tabla están los estados del sistema. Cada estado dura 1 día.

a) Si actualmente la fotocopiadora está

funcionando, ¿cuál es la probabilidad que esté

funcionando dentro de dos días?

b) Si actualmente la fotocopiadora no está

funcionando, ¿cuál es la probabilidad que no esté funcionando dentro de tres días?

c) Si hoy la fotocopiadora funciona, calcular la probabilidad de que funcione 3 días seguidos.

d) Calcular la probabilidad de que la fotocopiadora funcione en cualquier instante.

2. LÍNEA TELEFÓNICA

Sea una línea telefónica con estados ocupada=1 y desocupada=2.

Si en el instante (minuto) t está ocupada, en el instante t+1 estará ocupada con probabilidad 0.7 y

desocupada con probabilidad 0.3.

Si en el instante t está desocupada, en el instante t+1 estará ocupada con probabilidad 0.1.

Suponiendo que los instantes se miden cada minuto duración mínima de un estado = 1 minuto.

Para un estado inicial: ocupada (1)

a) Calcular la probabilidad de cambiar de estado en el siguiente minuto.

b) Calcular la probabilidad de que vuelva a estar ocupada luego de 3 minutos (luego de 3 saltos).

c) Calcular la probabilidad de que permanezca ocupada por 3 minutos (aparte del actual)

d) Calcular la probabilidad de que vuelva a estar ocupada después de 3 minutos si permaneció

desocupada.

Para un estado inicial: desocupada (2)

e) Calcular la probabilidad de que quede ocupada durante los 3 minutos siguientes.

f) Calcular la probabilidad de que vuelva a quedar desocupada luego de 3 transiciones.

g) En cualquier instante de tiempo, cual es la probabilidad de que se encuentre ocupada.

3. MERCADO COMPARTIDO: 4 MARCAS

El mercado de un producto lo comparten 4 marcas. La tabla muestra la distribución actual del mercado

y el porcentaje de personas que cambian de marca en adquisiciones consecutivas.

a) Si en promedio se realiza una adquisición cada 2 meses, realizar una predicción de la

distribución de la participación del mercado después de 6 meses.

b) ¿Cuál es la participación promedio a largo plazo del mercado para cada marca si los patrones

actuales de adquisición no se alteran?

Nota: La tabla siguiente describe los estados del sistema. El paso es de 2 meses.

Estado Descripción

1 Preferencia de la marca 1




Estado Descripción

1 Fotocopiadora funciona

2 Fotocopiadora no funciona

A la

marca 1

A la

marca 2

A la

marca 3

A la

marca 4

Fracción del Mercado

compartido

De la marca 1 60 8 20 12 40%

De la marca 2 15 40 25 20 20%

De la marca 3 25 16 50 9 30%

De la marca 4 28 12 20 40 10%



4. FÁBRICA DE MOTORES

Una fábrica de motores destinados a la venta, puede producir un motor por día, que estará

disponible para la venta al día siguiente.

Se tiene la siguiente información sobre probabilidades:

➢ Si sólo dispone de un motor para vender, hay una probabilidad de 0.30 de que el motor se

venda. Mientras tanto, este día se está produciendo un nuevo motor que estará disponible para

la venta al otro día.

➢ Si están disponibles dos motores para vender, las probabilidades son de 0.20 de que se venda

uno y de 0.25 de que se vendan las dos. Mientras tanto, este día se está produciendo un nuevo

motor que estará disponible para la venta al otro día.

➢ Si están disponibles tres motores para vender, las probabilidades son de 0.25 de que se venda

uno, 0.25 de que se vendan dos y 0.10 de que se venda los tres. En este caso, cuando hay tres

disponibles, la fábrica no produce todo el día, ya que el personal se dedica totalmente a la

venta.

Se define:

Estado i: la fábrica tiene i motores disponibles para la venta ese día. (i = 0,1,2,3)

Cada estado dura un día.

a) Determinar la matriz de transición.

b) ¿Cuál es el nivel promedio de motores disponibles para la venta?

c) Si hoy la fábrica tiene dos motores disponibles para la venta, calcular la probabilidad de que

venda un motor por día durante 4 días, incluida la venta del día actual.

d) Si hoy la fábrica tiene dos motores disponibles para la venta, calcular la probabilidad de que

no venda ningún motor durante 4 días, incluida la venta del día actual.

e) Calcular la probabilidad de que un comprador venga dos días cualquiera y que en ambas

ocasiones solo encuentre un motor para comprar.

5. CARRERA UNIVERSITARIA

La Oficina de Admisión de una Universidad modela la carrera de un alumno con Cadenas de Markov

teniendo en cuenta lo siguiente:

➢ Se consideran 7 estados:

1 (1er. año de estudios), 2 (2do. año), ..., 5 (5to. año), 6 (Egresados), 7 (Deserción)

➢ La deserción de los alumnos del 1er. año es 25% y va bajando 5 puntos porcentuales

cada año de estudios.

➢ Cada año un 10% de alumnos repite el año de estudios.

➢ Solo pueden egresar los alumnos del 5to. año.

➢ Asumir, para simplificar, que los alumnos que egresaron o desertaron, no regresan.

a) Determinar la matriz de transición de 7 estados.

Considerando un alumno que recién empieza la carrera, calcular la probabilidad de:

b) Que egrese en 7 o menos años.

c) Que deserte en 3 o menos años.

d) Que egrese en exactamente 5 años, en 6 años, en 7 años, en 8 años, en 9 años y en exactamente

10 años calendario.

e) Que egrese repitiendo sólo una vez: el cuarto año.

f) Que egrese repitiendo una vez sólo un año cualquiera.

g) Tomando en cuenta que los alumnos no egresan en más de 10 años calendario, determine en

cuantos años promedio se espera que un alumno egrese. Tener en cuenta que hay deserciones,

por ello las probabilidades de egresar no suman 1.

Si inicialmente (q0, el primer año calendario) hay 70% de alumnos en el 1er. año de estudios

y 30% en el 2do. año de estudios, además ya no hay ingresos, determine: h) El porcentaje de estudiantes que aún siguen estudiando el sétimo año calendario.



6. FUNCIONAMIENTO DE MÁQUINA Un proceso de producción usa una máquina que se deteriora frecuentemente. La verificación de que la máquina funciona se hace al final de cada día. Si la máquina funciona correctamente la probabilidad de necesitar reparación al final del día es 0.2 En el caso de que la máquina se malogre, su reparación empieza al inicio del día siguiente. Un 65% de las veces la reparación demora un día y un 35% de las veces demora 2 días. Se puede clasificar la condición de la máquina en tres estados posibles (cada estado dura 1 día):

Estado Descripción

0 Funciona correctamente

1 Estaba bien pero ya requiere reparación (1er. día de reparación)

2 Requiere un día adicional de reparación (va por el 2do. día)

a) Determinar P, la matriz de transición asociada a este proceso, explicando cada cálculo de

probabilidad.

b) Si la máquina está funcionando correctamente, calcular la probabilidad de que funcione

correctamente durante los 3 días siguientes.

c) Si la máquina está funcionando correctamente, calcular la probabilidad de que funcione

correctamente 3 días después.

d) Si la máquina acaba de entrar a reparación, calcular la probabilidad de que funcione

correctamente 5 días después.

e) Determine a largo plazo que fracción de días la maquina funcionará correctamente.

f) Si el costo de reparación por día es S/.100, determine el costo esperado de reparación diario.

7. ENFERMEDADES

Se usan cadenas de Markov para estudiar una enfermedad tropical no fatal con un proceso viral que

siempre dura 3 semanas cuando no se usan medicamentos. La probabilidad de que un individuo sano

contraiga la enfermedad es 0.1. Considerando los estados siguientes:

Estado Descripción

0 Persona sana

1 Persona en la primera semana de enfermedad

2 Persona en la segunda semana de enfermedad

3 Persona en la tercera semana de enfermedad

a) Determine que fracción de la población estará infectada en cualquier momento (en estado

estable).

b) Calcule la probabilidad de que una persona se enferme 2 veces seguidas.

Se dispone de dos medicamentos para abreviar la duración de la enfermedad. El primer medicamento

puede utilizarse sólo durante la semana 1 y cura al 50% de los pacientes. El segundo medicamento

debe usarse en la semana 2 y su tasa de curación es también del 50%.

c) Si ambos medicamentos se emplean cuando es adecuado, determine que fracción de la

población estará infectada en cualquier momento.

d) Calcular la probabilidad de que a una persona enferma no le surta efecto ningún medicamento.

e) Con los dos medicamentes: si inicialmente hay un 90% de personas sanas, 5% en su primera

semana de enfermedad y 5% en su segunda semana, determinar el % de personas sanas después

de 2 semanas.



8. PRODUCCIÓN POR ETAPAS CON DESECHOS Y RECICLOS

En un proceso de producción, cada artículo pasa por 2 etapas antes de entregarse al almacén de

productos terminados. Al final de cada etapa (con duración = 1 día) algunos artículos se desechan

(probabilidad = 0.2), otros vuelven a pasar por la misma etapa (probabilidad = 0.3) y el resto continúa

satisfactoriamente el proceso.

a) Dibujar el diagrama de estados (4 estados; estado 1: producto en etapa 1; estado 4: desecho).

b) Determinar la matriz de transición del proceso.

c) Calcular la probabilidad de que un producto se realice en el menor tiempo posible.

d) Calcular la probabilidad de que un producto se realice exactamente un día más que en c).

e) Calcular la probabilidad de que un producto quede realizado en 3 o menos días de trabajo.

f) Si se tiene un 60% de productos en etapa 1 y el resto en la etapa 2, calcular el porcentaje de

productos terminados luego de 2 días.

Una empresa recuperadora asegura que puede trabajar con todos los artículos desechados (sin

importar cuantos días hayan pasado como desecho) y puede recuperar diariamente una parte

(probabilidad = 0.4) para devolverlos como si recién llegaran al proceso. Para este caso:

g) Dibujar el diagrama de estados (4 estados; estado 1: producto en etapa 1; estado 4: desecho).

h) Determinar la matriz de transición del proceso (4 estados; estado 1: producto en etapa 1).

i) Calcular la probabilidad de que un producto se realice en 4 días de trabajo, pero pasando por

recuperación.

j) Calcular la probabilidad de que un producto se realice en 4 días de trabajo, pero sin pasar por

recuperación.

Otra empresa recuperadora asegura que puede trabajar con los artículos desechados del día y

recuperar diariamente una parte (probabilidad = 0.8), sin embargo, el resto quedan definitivamente

irrecuperable. Para este caso:

k) Dibujar el diagrama de estados (5 estados; estado 1: producto en etapa 1; estado 5: desecho

irrecuperable)

9. ÁRBOLES

En un bosque hay dos tipos de árbol: los de hasta 2 metros (pequeños) y los de más de 2 metros

(altos). Cada año muere 40% de los árboles pequeños, 10% se venden, 30% siguen siendo pequeños

y 20% crecen hasta ser altos. Cada año, 50% de los árboles altos se venden, 40% permanecen en el

bosque y el resto muere. No hay políticas de reposición de árboles.

Considerando los estados:

0= árbol muerto, 1= árbol pequeño, 2= árbol alto, 3= árbol vendido

a) Determine la matriz de transición.

b) Calcular la probabilidad de que un árbol alto éste primer año, muera en el intervalo de los 2

siguientes años.

c) Calcular la probabilidad de que un árbol pequeño éste primer año, se venda recién el tercer

año.

d) Si éste primer año se tiene un 70% de árboles pequeños y el resto son árboles altos, determine

qué porcentaje de estos árboles aún permanecen en el bosque el quinto año.

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