ejercicios de 2da ley de mewton

TEMA: CINETICA DE LA PARTICULA: SEGUNDA LEY DE NEWTON NOTA:

ALUMNO:

CONTROL DE LECURA Nº: FECHA: CLAVE:

AUTOR: W.F RILEY PAGINA: 161 Nº DE EJERCICIO: 15-26.

15-26. En la figura P15-26 se ha representado dos cuerpos A y

B de masas 40kg y 30kg, respectivamente. El coeficiente de

rozamiento cinético uk para el cuerpo A vale 0.25 y el sistema se

libera partiendo del reposo. Durante el movimiento de los

cuerpos, determinar.

a) La aceleración del cuerpo A.

b) La tensión del cable que une los cuerpos.

c) La velocidad del cuerpo B al cabo de 5s de movimiento.


ALUMNO:


AUTOR: : W.F RILEY PAGINA: 161 Nº DE EJERCICIO: 15-26

SOLUCION.- Hacemos el D.C.L. del sistema:

∑ 𝐹𝐴𝑋 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑋

2𝑇 − 𝐹𝐴 − 40(9.81) (3

5) = 40𝑎𝐴

∑ 𝐹𝐴𝑌 = 𝑚𝐴𝑎𝐴𝑌

𝑁𝐴 − 40(9.81) (4

5) = 0

𝑁𝐴 = 313.92𝑁

∑ 𝐹𝐵𝑌 = 𝑚𝐵𝑎𝐵𝑌

𝑇 − 30(9.81) = 30𝑎𝐵

La longitud de la cuerda es constante. Mediremos la posición de ambos cuerpos con respecto al soporte fijador superior, la longitud es:

2𝑆𝐴 + 𝑆𝐵 = 𝐿 tomando dos veces derivados da:

2�̈�𝐴 + �̈�𝐵 = 0 Donde:

�̈�𝐴 = −𝑎𝐴 �̈�𝐵 = −𝑎𝐵

Tenemos que :

�̈�𝐴 𝑦 �̈�𝐵𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜, 𝑦 𝑎𝐴 𝑦 𝑎𝐵 𝑠𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 Por lo tanto:

−𝑎𝐵 = −2(−𝑎𝐴) 𝐹𝐴 = 0.25𝑁𝐴 = 78.480𝑁

Reemplazando los valores hallados tenemos:

2𝑇 = 𝐹𝐴 + 40(9.81) (3

5) + 40𝑎𝐴

2𝑇 = 78.480 + 235.44 + 40𝑎𝐴 2(30(9.81) + 30𝑎𝐵) = 78.480 + 4235.44 + 40𝑎𝐴

2(30(9.81) + 30(−2𝑎𝐴)) = 78.480 + 4235.44 + 40𝑎𝐴 𝑎𝐴 = 1.717 𝑚/𝑠2

𝑎𝐵 = −3.434 𝑚/𝑠2=3.434 𝑇 = 191.3𝑁

Integramos la aceleración (constante) para obtener la velocidad del cuerpo B. 𝑉𝐵 = −3.434 𝑡 + 𝑐 = −3.434𝑡 𝑚/𝑠

La velocidad del cuerpo B después de 5s será: 𝑉𝐵 = −3.434 (5) = −17.17𝑚/𝑠

15-26. En la figura P15-26

se ha representado dos

cuerpos A y B de masas

40kg y 30kg,

respectivamente. El

coeficiente de rozamiento

cinético uk para el cuerpo

A vale 0.25 y el sistema se

libera partiendo del

reposo. Durante el

movimiento de los

cuerpos, determinar.

a) La aceleración del

cuerpo A.

b) La tensión del

cable que une los

cuerpos.

c) La velocidad del

cuerpo B al cabo

de 5s de

movimiento.


ALUMNO:


AUTOR: J.L MERIAM PAGINA: 132 Nº DE EJERCICIO: 3.69

3.69 El brazo ranurado rota en el plano horizontal en torno al

eje fijo vertical que pasa por el punto O. el cursor C de 2kg

es atraído hacia O, tirando de la cuerda S, a razón de

50mm/s.

En el instante en que r= 225mm, el brazo lleva una velocidad

angular antihoraria ω=6rad/s y está desacelerándose a razón

de 2rad/s2. Para ese instante, hallar la tracción T que sufre la

cuerda y el modulo de la ranura radial lisa.


ALUMNO:


AUTOR: : J.L MERIAM PAGINA: 132 Nº DE EJERCICIO: 3.69

SOLUCION.- �̇� = 50𝑚𝑚/𝑠

𝑟 = 225𝑐𝑚

ω = �̇� = 6𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝛼 = �̈� = −2𝑟𝑎𝑑/𝑠2

Por la segunda ley de newton para el movimiento circular en cada eje: En el eje 𝑒𝑟:

∑ 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑟

𝑇 = 𝑚(�̈� − 𝑟�̇�2)

𝑇 = −𝑚(𝑟�̇�2) 𝑇 = 16.2𝑁

Aplicando la segunda ley de Newton en el eje 𝑒𝜃:

∑ 𝐹𝜃 = 𝑚 ∗ 𝑎𝜃

𝑁 = 𝑚(2�̇��̇� + 𝑟�̈�)

𝑁 = 2(0.225 × 2 + 2 × 0.05 × 6) = 2.10𝑵

3.69 El brazo ranurado

rota en el plano horizontal

en torno al eje fijo vertical

que pasa por el punto O.

el cursor C de 2kg es

atraído hacia O, tirando

de la cuerda S, a razón de

50mm/s.

En el instante en que r=

225mm, el brazo lleva una

velocidad angular

antihoraria ω=6rad/s y

está desacelerándose a

razón de 2rad/s2. Para

ese instante, hallar la

tracción T que sufre la

cuerda y el modulo de la

ranura radial lisa.


ALUMNO:


AUTOR: : J.L MERIAM PAGINA: 132 Nº DE EJERCICIO: 3.69

SOLUCION.-

�̇� = 𝑏 𝑚𝑚/𝑠

𝑟 = 𝐿𝑚𝑚

𝑤 = �̇� = 𝑎 𝑟𝑎𝑑/𝑠

𝛼 = �̈� = −𝑐 𝑟𝑎𝑑/𝑠2

Por la segunda ley de newton para el movimiento circular en cada eje: En el eje 𝑒𝑟:

∑ 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑟

𝑇 = 𝑚(�̈� − 𝑟�̇�2)

𝑇 = −𝑚(𝑟�̇�2) 𝑁

𝑇 = −𝑚(𝐿)(−𝑐) 𝑁 𝑇 = 𝑚𝑐𝐿 𝑁 Aplicando la segunda ley de Newton en el eje 𝑒𝜃:

∑ 𝐹𝜃 = 𝑚 ∗ 𝑎𝜃

𝑁 = 𝑚(2�̇��̇� + 𝑟�̈�)

𝑁 = 𝑚(𝐿 × 𝑎 − 2 × 𝑏 × 𝑐)𝑵

3.69 El brazo ranurado

rota en el plano horizontal

en torno al eje fijo vertical

que pasa por el punto O.

el cursor C de m kg es

atraído hacia O, tirando

de la cuerda S, a razón de

b mm/s.

En el instante en que r = L

mm, el brazo lleva una

velocidad angular

antihoraria ω = a rad/s y

está desacelerándose a

razón de c rad/s2. Para

ese instante, hallar la

tracción T que sufre la

cuerda y el modulo de la

ranura radial lisa.


ALUMNO:



3.85 Un vehículo de pequeñas dimensiones entra en el

punto más alto A de la trayectoria con una velocidad V0 y

gana velocidad conforme desciende por ella. Hallar la

expresión del ángulo β hasta la posición en que el vehículo

abandona su trayectoria y se convierte en un proyectil.

Despreciar el rozamiento y tratar el vehículo como una

partícula.


ALUMNO:



SOLUCION.- De la Segunda Ley de Newton en la dirección 𝑒𝑟: y 𝑒𝑡:

∑ 𝐹𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑡

𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑡

𝑎𝑡 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

Recordamos que:

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡(

𝑑𝑠

𝑑𝑠) = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 ; 𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜃

∫ 𝑣𝑑𝑣 = ∫ 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝛽

0

(𝑅𝑑𝜃)

𝑣2 − 𝑣02 = 2𝑅𝑔 − 2𝑅𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑅𝑔 − 2𝑅𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽

La Segunda Ley de Newton en el eje er :

∑ 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑟 = −𝑁 + 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑎𝑟

Estamos analizando cuando el auto lleva a un punto donde pierde contacto con el suelo entonces N=0

𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑚

𝑅(𝑣0

5 + 2𝑅𝑔 − 2𝑅𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃)

3𝑅𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 = (𝑣0

2 + 2𝑅𝑔)

𝑐𝑜𝑠𝛽 = (𝑣0

2

3𝑅𝑔+

2

3) = 𝑐𝑜𝑠−1(

𝑣02

3𝑅𝑔+

2

3)

3.85 Un vehículo de

pequeñas dimensiones entra

en el punto más alto A de la

trayectoria con una

velocidad V0 y gana

velocidad conforme

desciende por ella. Hallar la

expresión del ángulo β hasta

la posición en que el vehículo

abandona su trayectoria y se

convierte en un proyectil.

Despreciar el rozamiento y

tratar el vehículo como una

partícula.


ALUMNO:



SOLUCION.- De la Segunda Ley de Newton en la dirección 𝑒𝑟: y 𝑒𝑡:

∑ 𝐹𝑡 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑡

𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑡

𝑎𝑡 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

Recordamos que:

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑑𝑡(

𝑑𝑠

𝑑𝑠) = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 ; 𝑑𝑠 = 𝑅𝑑𝜃

∫ 𝑣𝑑𝑣 = ∫ 𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝛽

0

(𝑅𝑑𝜃)

𝑣2 − 𝑣02 = 2𝑅𝑔 − 2𝑅𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽

𝑣2 = 𝑣02 + 2𝑅𝑔 − 2𝑅𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽

La Segunda Ley de Newton en el eje er :

∑ 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎𝑟 = −𝑁 + 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑎𝑟

Estamos analizando cuando el auto lleva a un punto donde pierde contacto con el suelo entonces N=0

𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑚

𝑅(𝑣0

5 + 2𝑅𝑔 − 2𝑅𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃)

3𝑅𝑔𝑐𝑜𝑠𝛽 = (𝑣0

2 + 2𝑅𝑔)

𝑐𝑜𝑠𝛽 = (𝑣0

2

3𝑅𝑔+

2

3) = 𝑐𝑜𝑠−1 (

𝑣02

3𝑅𝑔+

2

3) = 𝛽 = 21.90º

3.85 Un vehículo de pequeñas

dimensiones entra en el punto

más alto A de la trayectoria

con una velocidad V0 = 25 m/s

y gana velocidad conforme

desciende por ella. Hallar la

expresión del ángulo β hasta

la posición en que el vehículo

abandona su trayectoria y se

convierte en un proyectil.

Despreciar el rozamiento y

tratar el vehículo como una

partícula. g=9.81 m/s2, m= 200

kg.R= 1 m.


ALUMNO:


AUTOR: J.L MERIAM PAGINA: 165 Nº DE EJERCICIO: 3-63

3-63 Un trecho de autopista incluye una sección de crestas y

valles igualmente espaciados, cuyo contorno puede ser

representado por la función 𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑥

𝑙). ¿Cuál es la

celeridad máxima a la que puede ir el automóvil A por una

cresta permaneciendo en contacto con el suelo? Si el coche

mantiene esta celeridad crítica, ¿Cuánto vale la reacción total

N que actúa sobre sus ruedas en el fondo de uno de sus

valles? La masa del automóvil es m.


ALUMNO:



SOLUCION.- Para encontrar la velocidad máxima, se debe trabajar �̅�.

�̅� = 𝑥𝑖̂ + 𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥

𝐿)𝑗̂

𝑑�̅�

𝑑𝑡= �̅� = 𝑣𝑥𝑖̂ +

2𝜋𝑏

𝐿∗ cos (

2𝜋𝑥

𝐿) ∗ 𝑣𝑥𝑗̂

𝑑2�̅�

𝑑𝑡2 = �̅� = 𝑎𝑥𝑖̂ + (−4𝜋2

𝐿2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑥

𝐿) ∗ 𝑣𝑥

2 +2𝜋𝑏

𝐿∗ cos (

2𝜋𝑥

𝐿)𝑎𝑥𝑗̂

Luego analizamos en el punto B más alto de la autopista.

Luego como �̅� es constante, 𝑎𝐵𝑥 = 0

𝑎𝐵̅̅̅̅ =−4𝜋2𝑏𝑠𝑒𝑛(

2𝜋𝐿/4𝐿

)

𝐿2 𝑗̂ = −4𝜋2

𝐿2 𝑏𝑗 ̂

𝑎𝐵̅̅̅̅ = 𝑎𝑁 = −4𝜋2

𝐿2𝑏 =

𝑣2

𝜌

∑ 𝐹𝑁 = 𝑚𝑎𝑁

𝑚𝑔 − 𝑁𝐵 = 𝑚(𝑣2

𝜌)

Pero para v=Max; 𝑁𝐵=0

√𝑔 ∗ 𝜌 = 𝑣𝐵 = 𝑣𝐵𝑥

𝑣2

𝜌=

4𝜋2

𝐿2 𝑏𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝐿/4

𝐿)𝑣2

𝜌 =𝐿2

4𝜋2𝑏

𝑣 = √𝐿2𝑔

4𝜋2𝑏=

𝐿

2𝜋√𝑔/𝐿

Para calcular N en el valle:


𝑎𝑁 = −4𝜋2

𝐿2 𝑏𝑠𝑒𝑛 (

2𝜋3𝐿4𝐿

) ∗𝐿2(𝑔/𝑏)

4𝜋2

𝑎𝑁 = 𝑔;

Luego −𝑚𝑔 + 𝑁 = 𝑚𝑔

𝑁 = 2𝑚𝑔

3-63 Un trecho de autopista

incluye una sección de crestas y

valles igualmente espaciados,

cuyo contorno puede ser

representado por la función

𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑥


celeridad máxima a la que

puede ir el automóvil A por una

cresta permaneciendo en

contacto con el suelo? Si el

coche mantiene esta celeridad

crítica, ¿Cuánto vale la reacción

total N que actúa sobre sus

ruedas en el fondo de uno de

sus valles? La masa del

automóvil es m.


ALUMNO:



SOLUCION.- Para encontrar la velocidad máxima, se debe trabajar �̅�.

�̅� = 𝑥𝑖̂ + 𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥

𝐿)𝑗̂

𝑑�̅�

𝑑𝑡= �̅� = 𝑣𝑥𝑖̂ +

2𝜋𝑏

𝐿∗ cos (

2𝜋𝑥

𝐿) ∗ 𝑣𝑥𝑗̂

𝑑2�̅�

𝑑𝑡2 = �̅� = 𝑎𝑥𝑖̂ + (−4𝜋2

𝐿2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑥

𝐿) ∗ 𝑣𝑥

2 +2𝜋𝑏

𝐿∗ cos (

2𝜋𝑥

𝐿)𝑎𝑥𝑗̂

Luego analizamos en el punto B más alto de la autopista.

Luego como �̅� es constante, 𝑎𝐵𝑥 = 0

𝑎𝐵̅̅̅̅ =−4𝜋2𝑏𝑠𝑒𝑛(

2𝜋𝐿/4𝐿

)

𝐿2 𝑗̂ = −4𝜋2

𝐿2 𝑏𝑗 ̂

𝑎𝐵̅̅̅̅ = 𝑎𝑁 = −4𝜋2

𝐿2 𝑏 =𝑣2

𝜌


𝑚𝑔 − 𝑁𝐵 = 𝑚(𝑣2

𝜌)

Pero para v=Max; 𝑁𝐵=0

√𝑔 ∗ 𝜌 = 𝑣𝐵 = 𝑣𝐵𝑥

𝑣2

𝜌=

4𝜋2

𝐿2 𝑏𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝐿/4

𝐿)𝑣2

𝜌 =𝐿2

4𝜋2𝑏= 4.559 𝑚

𝑣 = √𝐿2𝑔

4𝜋2𝑏=

𝐿

2𝜋√𝑔/𝐿 =

30

2𝜋√

9.81

30= 2.73 𝑚/𝑠

Para calcular N en el valle:


𝑎𝑁 = −4𝜋2

𝐿2 𝑏𝑠𝑒𝑛 (

2𝜋3𝐿4𝐿

) ∗𝐿2(𝑔/𝑏)

4𝜋2

𝑎𝑁 = 𝑔 = 9.81𝑚/𝑠2;

Luego −𝑚𝑔 + 𝑁 = 𝑚𝑔

𝑁 = 2𝑚𝑔 = 3924 𝑁

3-63 Un trecho de autopista

incluye una sección de crestas y

valles igualmente espaciados,

cuyo contorno puede ser

representado por la función

𝑦 = 𝑏𝑠𝑒𝑛 (2𝜋𝑥


celeridad máxima a la que

puede ir el automóvil A por una

cresta permaneciendo en

contacto con el suelo? Si el

coche mantiene esta celeridad

crítica, ¿Cuánto vale la reacción

total N que actúa sobre sus

ruedas en el fondo de uno de

sus valles? La masa del

automóvil es 200 kg, b=5, l=30,

g=9.81 m/s2, x=2

ejercicios de 2da ley de mewton

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