Ejercicios de Electromagnetismo I

Prof. Dr. Jaime Caballero MüllerDepartamento de Física - Universidad de Santiago de Chile

CARGAS PUNTUALES

1. Considere dos esferas iguales cargadas con 1C sepa-radas en una distancia r.

(a) Calcule la masa que debieran tener las esferaspara que se encuentren en equilibrio estáticoconsiderando la fuerza gravitacional y la eléc-trostática.

(b) Considerando que la densidad de masa de laspartículas es de 5.5 g/ cm3 (aproximadamente ladensidad del fierro), ¿Cuál es la distancia mínimaa la cual se pueden poner dichas esferas?.

Indicación: Aproxime la fuerza entre las esferascomo cargas puntuales. La constante de grav-itación universal es G = 6.67 · 10−11Nm2/ kg2y la constante en la Ley de Coulomb es k =9 · 109Nm2/C2.Resp.: m = 1, 16 · 1010 kg; r = 159, 18m (entrecentros)

2. Tres cargas puntuales iguales a Q se encuentranubicadas en los vértices de un triángulo equilátero delado a. Determine la magnitud de la fuerza eléctricaque experimenta cada una de ellas.

Resp.:¯F¯= 1

2πεo

Q2

a2 cos 30o

3. Dos pequeñas esferas de masa m están suspendidasde un punto común mediante cuerdas de longitud L.Cuando cada una de las esferas tiene carga q, lascuerdas forman un ángulo con la vertical como indicala figura. Demuestre que la carga q viene dada porq = 2L sin θmg tan θ/k ,donde k es la constante deCoulomb. Determine q si m = 10 g, L = 50 cm yθ = 10o.

Resp: 2.4061 · 10−7C

4. Dos globos iguales llenos de Helio, están cargadoscon carga igual Q. Mediante dos hilos de longitud1m amarrados a los globos se suspende una masa de0, 005 kg quedando el sistema flotando en equilibriocon los hilos formando un ángulo de 60o entre sí.Determine el valor de la carga Q.

Resp: 1, 2537 · 10−6 C

5. Dos cargas iguales a Q y 5Q están en línea recta sepa-radas una distancia a. Determine los puntos en la líneaque une las cargas donde el campo eléctrico es cero.

6. Se tienen tres cargas como se indica en la figura.

1 µC

1 µC

1 µC

0,5 m

0,5 m

0,5 m Y

Z

X

(a) Calcular el campo eléctrico en el origen del sistemacoordenado.

(b) Determinar la fuerza que se ejerce sobre la cargaen el eje X.

7. Cuatro cargas puntuales q, 2 q, -4 q y 2 q están fijasen los vértices de un cuadrado de lado b. En el centrodel cuadrado se coloca una quinta carga q.

(a) Indique en que dirección apunta la fuerza que ac-túa sobre la carga central q.

(b) Calcule explícitamente la fuerza (magnitud y di-rección).Resp: eligiendo el eje X como la diagonal que vadesde -4q a 2q y el eje Y como la diagonal queva desde la otra carga 2q a la carga q, las compo-nentes de la fuerza son: Fx =

3q2

πεob2; Fy =

q2

2πεob2

TRABAJO SOBRE CARGAS PUNTUALES

8. Dos cargas Q1 y Q2 están a una distancia d:

(a) Determine el punto en la línea que une las cargasdonde el campo eléctrico es cero.

(b) Si se trae desde el infinito una tercera cargasituándolo donde el campo eléctrico es cero, ¿Laenergía gastada en el proceso es también cero?.Calcúlela.

9. Ocho cargas puntuales de magnitud q se encuentranen los vértices de un cubo de arista a.

X

Y

Z

(a) Determine la fuerza eléctrica que actúa sobre lacarga en el origen, producida por las otras y

(b) la magnitud de la fuerza sobre cualquier carga.

Resp: F = −kq2

a2

h1 + 1√

2+ 1

3√3

i(x+ y + z) ;

¯F¯=

kq2

a2

√3h1 + 1√

2+ 1

3√3

i10. En el problema anterior, calcule la energía que se re-

quiere para formar la mencionada distribución de car-gas

11. Dos cargas puntuales están colocadas sobre el eje X.Q1 = q en x = a y Q2 = −4q en x = −a . Encuen-tre una expresión vectorial en coordenadas cartesianaspara la fuerza que actúa sobre una carga de prueba Q,ubicada en un punto cualquiera del plano XY . En-cuentre las coordenadas (x, y) de todos los puntos en

los cuales la carga de prueba esta en equilibrio. Discutasi el equilibrio es estable o inestable.

Resp: F = qQ4πεO

h(x−a)x+yy

((x−a)2+y2)3/2 + 4(x+a)x+yy

((x+a)2+y2)3/2

i, el

punto (3a, 0) es un punto de equilibrio inestable.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CAR-GAS (CASO LINEAL)

12. Deduzca una expresión para el campo eléctrico pro-ducido por un trozo recto de hilo de longitud L concarga Q distribuida uniformemente en su longitud, enun punto de coordenadas (x; y), estando el origen enel extremo izquierdo del hilo y el eje Y perpendicularal hilo.

13. De una barra fina vertical que tiene densidad linealuniforme de carga λ = 10−4C/m, se suspende unacarga puntual de magnitud Q = 10−5C de masam = 0, 1 g, amarrándola con un hilo de longitudL = 1m a un punto de la barra. Determine la tensiónen el hilo y el ángulo que forma con la vertical en laposición de equilibrio.

14. Una barra fina infinita, con densidad lineal de carga λ,se dobla en forma de horquilla como se muestra en lafigura. Determine el campo eléctrico en el punto O.

O+R

Resp.: E = 0

15. Dos barras aisladoras delgadas se disponen como se in-dica en la figura, una con densidad de carga ρo y laotra con ρ = 2ρo.

λο λ = −2λο0

xd dd

q

(a) Calcular el campo eléctrico en el origen.

(b) Determinar la fuerza que se ejercen las barras so-bre una carga q dispuesta sobre el eje x.

(c) Encuentre el o los puntos en los cuales la fuerzasobre q es nula.

16. En la figura la semicircunferencia yace en el plano yzmientras la carga Q es una carga puntual contenida enel eje z a la distancia a del origen. Tanto Q como λ sonpositivos.

x

y

z

a

λ=cte

Q

a

(a) Encontrar una expresión para el campo eléctricosobre el eje x debido a ambas cargas.

(b) ¿Qué relación debe existir entre Q y la carga totalde la semicircunferencia para que el campo eléc-trico en el origen sea nulo?.

17. Considere un anillo de radio R que tiene una carga Qdistribuida uniformemente. Determine el campo eléc-trico en un punto sobre el eje que pasa perpendicular-mente al plano del anillo, por el centro del anillo, adistancia d de su plano.

18. Un anillo metálico de radio a tiene una carga total Qdistribuida uniformemente en su perímetro. Una cargapuntual q se trae desde el infinito y se coloca en unpunto a distancia d sobre el eje perpendicular al planodel anillo y que pasa por su centro. Determine el tra-bajo realizado por el campo eléctrico.

19. Un anillo aislador de radio a tiene una carga total Qdistribuida uniformemente en su perímetro.

(a) Una carga puntual q se trae desde el infinito yse coloca en un punto a distancia d sobre el ejeperpendicular al plano del anillo y que pasa porsu centro. Determine el trabajo realizado por elcampo eléctrico.

(b) Si la carga puntual hubiese estado fija y el anillose trae desde infinito a la posición descrita antes,¿Cuál sería su respuesta?.

DISTRIBUCIONES SUPERFICIALESDE CARGAS

20. Un disco circular de radio R tiene una carga total Quniformemente distribuida en su superficie. Calcule elcampo eléctrico en un punto sobre el eje del disco a unadistancia z del plano de dicho disco.

Resp: E = σ2εo

³z|z| −

z√R2+z2

´z

21. Dos discos de radio R se ubican como se muestra en lafigura y una carga q = −Q/2 es puesta en el punto P .El disco izquierdo tiene una carga Q (> 0) y el derecho−Q, ambas uniformemente distribuidas.

x=0 x

P

x=2R x=3R

(a) Calcular la fuerza que la carga q = −Q/2, ejercesobre cada uno de los planos.

(b) Determinar el lugar donde pondría una segundacarga q = −Q/2 de modo que la fuerza neta sobreella sea nula.

22. Determine la fuerza entre un disco de radio R cargadocon densidad uniforme de carga σ y una varilla de largoL y densidad lineal λ colocada en el eje del disco, a unadistancia b del mismo.

Resp: F = σλ2εo

hL+√R2 + b2 −

pR2 + (b+ L)2

iz

DISTRIBUCIONES VOLUMÉTRICAS DECARGA

23. Una esfera uniformemente cargada de radio R esta cen-trada en el origen con una cargaQ. Determine la fuerzaresultante que actúa sobre una línea uniformementecargada, orientada radialmente y con una carga total qcon sus extremos en r = R y r = R+ d.

Resp.: F = Qλd4πεoR(R+d)

r

24. Un cilindro circular recto de radio R y altura L estaorientado a lo largo del eje Z y tiene una densidad decarga volumétrica no uniforme dada por ρ(r) = ρo+βr,donde r se mide respecto del eje del cilindro. Calcule elcampo eléctrico producido por esta distribución sobreel eje del cilindro.

Resp: E = 0

25. En la pregunta anterior suponga que la distribución decarga es ρ(z) = ρo+βz donde z se mide respecto de labase del cilindro. Calcule el campo eléctrico producidopor esta distribución sobre el eje del cilindro.

26. Una carga lineal de densidad λ con la forma de uncuadrado de lado L se encuentra en el plano Y Z consu centro en el origen. Determine el campo eléctricosobre el eje X a una distancia arbitraria x, y compareel resultado con el del campo que existe en el eje deuna anillo cargado de radio r = L/2, con un centro enel origen y con la misma carga total.

Resp.: Ecuad(x) =λLπεo

xx2+l2/4

1√x2+L2/2

x ; Eanillo =

λL4εo

x(x2+L2/4)3/2

x

APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS

27. Una carga puntual q está situada en el centro de uncubo cuya arista tiene una longitud d.

(a) ¿Cuál es el valor del flujo de E (

ZZE · dS) en

una cara del cubo?.

(b) La carga se traslada a un vértice del cubo. ¿Cuáles el valor del flujo de a través de cada una de lascaras del cubo?.

28. Dos láminas planas, paralelas e infinitas, cargadas conuna densidad σ1 = 4 µC y σ2 = 6 µC, distan 2 cm.Estudiar el campo eléctrico de este sistema. Supong-amos que dichos planos en vez de estar paralelos secortan perpendicularmente. Demostrar que la magni-tud del campo es la misma en las cuatro regiones queellos determinan en el espacio.

29. Calcule el campo eléctrico producido por una superficiecircular de radio R con distribución de carga σ a lolargo del eje de simetría perpendicular al plano que lacontiene (ver problema 17) y determine su valor en ellímite R >> z. Compare su resultado con el valor quese obtiene utilizando la ley de Gauss en el caso de unplano infinito.

30. Repita el cálculo anterior para el caso en que la super-ficie fuese un cuadrado de lado a y determine el valorlímite cuando a >> z

31. Un cilindro macizo, muy largo, de radio a, tiene unacarga distribuida con una densidad de carga ρ = −Ar,donde A es una constante positiva. Determine el valordel campo eléctrico en el interior y el exterior cercanoal cilindro, en puntos lejanos de sus extremos.

32. La figura muestra una esfera aisladora de radio R condensidad de carga ρ = Cte, la cual tiene una burbujaesférica vacía en su interior, de radio r, situada a ladistancia a del centro.

Calcule el campo eléctrico:

R

r

Figure 1:

(a) en el centro de la burbuja,

(b) sobre una línea que contenga los centros de la es-fera y la burbuja, dentro y fuera de la esfera y

(c) sobre un eje perpendicular a la línea que une loscentros de la esfera y la burbuja, dentro y fuerade la esfera.

33. La figura representa un volumen aislante de espesor d =0, 5m limitado por planos infinitos (perpendiculares aleje x) (en corte). La densidad de carga volumétrica esconstante, ρ = 10− 6 C/m.

(a) Determine el campo eléctrico a ambos lados deldieléctrico.

(b) ¿porqué E = 0 en el centro del dieléctrico?.

(c) Determine el campo eléctrico en el interior deldieléctrico como función de x.

POTENCIAL

34. Se tienen dos hilos aisladores muy largos, uno en ladirección del eje x con una densidad de carga λ1 yel otro, en la dirección del eje y con una densidad decarga λ2. Hallar el potencial φ y el campo eléctrico encualquier punto del planoXY y mostrar queE = −∇φ.

35. Un globo esférico de radio R tiene una carga superficialcon densidad σ.

(a) Calcule el campo eléctrico en el interior y el exte-rior del globo.

(b) Determine la energía eléctrica que se requiere paracargar el globo trayendo las cargas desde el in-finito.

(c) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctricogenerado por la carga en el globo al inflarlo entreR y R+∆R.

36. En la figura se ha representado parte de 2 cilindrosde largo infinito, cada uno de radio ro, que tienen ensu superficie densidades de carga constantes σ1 = σ yσ2 = −σ respectivamente. (No hay carga en el interiorde los cilindros).

DD

A

B

y

x

z

σ1

σ2D

(a) Encuentre el campo eléctrico sobre la línea AB,que equidista de los cilindros en una distanciaigual a la separación entre ellos (D).

(b) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los cen-tros de los cilindros?

(c) Calcule el potencial en un punto sobre la línea AB.

37. Un electrón e− (carga −e) incide con velocidad v a unpequeño agujero practicado en el centro de un conden-sador de placas cuadradas planas de lado a (figura) en-tre las cuales se ha dispuesto una fuente que entrega unpotencial V . (En sus cálculos utilice la aproximaciónde placas infinitas).

V

δ

e- O O'

a

v

a

(a) Encuentre la expresión que da cuenta de la den-sidad de carga en las placas cuando entre ellashay una diferencia de potencial V (inicialmentelas placas están descargadas).

(b) ¿Cuál debe ser la diferencia de potencial V paraque el electrón llegue con velocidad v/2 al agujeroO0?.

(c) En las condiciones dadas en b. ¿Qué fuerza ejerceel electrón contra la placa positiva cuando harecorrido una distancia δ/2 entre las placas?.

38. Una esfera aisladora de radio a y densidad de cargadada por ρ = ρoe

−r. Calcular el campo eléctrico en elinterior y exterior de la esfera.

39. Considere la misma esfera anterior, pero esta vezrodeada por un casquete esférico conductor de radiointerior b > a y espesor d. El casquete exterior tienecarga nula. Calcule el campo eléctrico y el potencialrespecto de infinito,

(a) entre las esferas,

(b) en el interior de la esfera conductora y

(c) para un radio r > b+ d.

40. Se tiene una esfera aisladora con densidad de cargavariable de la forma ρ = ρo

e−r

r y radio R limitada ex-teriormente por una esfera conductora de radio interiorR y exterior 2R. En la esfera conductora hay una carganeta tal que el potencial exterior (r > 2R) es constante.

R2R

Determine:

(a) La carga total en la esfera aisladora.

(b) el campo eléctrico en el exterior (r < 2R).

(c) la diferencia de potencial entre r = 3R/2 (esferaconductora) y el centro de la esfera aisladora (con-sidere el potencial cero ( φ = 0) en r =∞).

(d) la densidad de carga en la superficie exterior de laesfera conductora.

41. Tres trozos de hilo cargado con densidad de carga λ sedisponen como se indica en la figura.

λ

λ

λ

L

L/2

L

Q

(a) Determine el campo eléctrico total sobre la cargaQ.

(b) Calcule la fuerza que ejerce Q sobre cada uno delos trozos de hilo.

(c) Determine la energía potencial de la carga Q.

42. Un volumen esférico de radio a está lleno con cargade densidad uniforme ρ. Calcular la energía potencialU de esta distribución esférica de carga, es decir, eltrabajo requerido para formarla.

Sol: U = 3Q2/5a, dondeQ es la carga total de la esfera.

43. Un cilindro macizo, muy largo, de radio a, tiene unacarga distribuida ρ = −Ar, donde A es una constantepositiva. Determine el valor del campo eléctrico y elpotencial en el interior y el exterior cercano al cilindro,en puntos lejanos a sus extremos.

44. Un plano conductor tiene una carga +Q y a cada ladode éste, a las distancias x1 y x2, se colocan, parale-los, placas infinitas conductoras con carga total nula.Encontrar la diferencia de potencial entre las caras in-ternas y entre las externas de las placas.

45. En una región del espacio, el potencial eléctrico estádado por V (x, y) = Axy siendo A una constante. De-termine la fuerza ejercida sobre una carga puntual qubicada en un punto de coordenadas (x, y). Calculeademás el trabajo que realiza el campo eléctrico sobreq al moverse la carga desde el punto (0, 0) al punto(x, y) en una línea recta.

46. Considere un disco circular de radio a y densidad decarga uniforme.

(a) Calcule el potencial en un punto cualquiera del ejey.

(b) Determine la energía requerida para traer unacarga desde el infinito hasta ese punto.

47. Calcule el potencial respecto del infinito en el centro deun cuadrado de lado b en el cual se tiene una distribu-ción uniforme de carga superficial σ.

48. En una región de espacio existe un campo eléctrico quese deriva del potencial V (x, y, z) = xyz − 3x− 2y− z .Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico alllevarse una carga de 2 µC desde el punto (0, 0, 0) alpunto (1, 1, 1) en forma cuasiestática (energía cinéticadespreciable).

49. Considere una esfera no conductora de radio R quetiene una carga total Q repartida uniformemente ensu volumen. Determine el potencial eléctrico en todaspartes.

50. Determine el trabajo que realiza el campo eléctrico altraer una carga puntual Q desde una distancia 2d hastauna distancia d de un hilo recto infinito que tiene unacarga uniforme λC/m.

51. Se tienen dos esferas metálicas aisladas de radio r1 =0, 10m y r2 = 0, 20m, inicialmente descargadas y ale-jadas entre sí. Si a la esfera de radio r1 se le coloca unacarga de 6 ·10−8C y luego se conectan ambas medianteun hilo conductor muy fino, calcule:

(a) La carga final de cada esfera.

(b) El potencial final de las esferas.

(c) La energía almacenada en el campo eléctrico antesy después de la conexión.

52. Calcule la diferencia de potencial entre dos esferas con-céntricas de radios a y b (a < b) que tienen cargas q yQ respectivamente.

Sol.: ∆V = q4πεo

£1b −

1a

¤

53. Calcule el campo eléctrico producido por una distribu-ción de carga tal que el potencial que produce esta dadopor: V (r) = qe−λr/4πεor. Encuentre la distribuciónde carga ρ = ρ(r).

Sol.: E(r) = q 1+λr4πεor2

e−λr ; ρ (r) = −qλ2e−λr/4πr

54. Las superficies interior (r = a) y exterior (r = b) de uncascaron esférico no conductor tienen la misma densi-dad de carga σ. La densidad de carga en el resto delespacio es nula. Encuentre el campo eléctrico en laszonas r < a, a < r < b, y r > b. Calcule el potencialelectrostático en cada una de las regiones mencionadas.

Sol: E(r) = E(r)r, donde E(r) = 0 si r < a ; E(r) =σa2/εor

2 si a < r < b ; E(r) =¡σ/εor

2¢ ¡a2 + b2

¢si

b < r, V (r) = (σ/εor)¡a2 + b2

¢si r > b ; V (r) =

(σ/εor)¡a2 + br

¢si b > r > a y V (r) = (σ/εo) (a+ b)

si a > r

55. Una burbuja de forma esférica tiene una carga Q. Laenergía asociada a la tensión superficial de la burbuja esproporcional a su superficie, es decir Umec = Sτ , en queS es el área de la burbuja y τ es una constante. Calculela energía total de la burbuja (eléctrica y mecánica)como función de su radio y grafíquela. Finalmente cal-cule el radio de equilibrio de la burbuja.

56. Un electrón parte de la posición indicada en la figuracon una velocidad inicial vo = 5 · 106m/ s formando unángulo de 45o con el eje X . El campo eléctrico tiene ladirección y positiva y su magnitud es de 3, 5 ·103 V/m.¿Sobre cuál placa y en que lugar chocara el electrón?

Sol.: sobre la placa inferior, a 4 cm del extremoizquierdo.

CONDENSADORES

57. Un condensador coaxial está formado por dos cilíndri-cos conductores concéntricos de radios a y b respecti-vamente y largo L. Suponiendo que el espacio entrelos conductores es vacío y que el cilindro interior se en-cuentra a potencial V = Vo y el exterior a potencialV = 0 y que tanto a como b son mucho menores queL, encuentre la capacidad del condensador coaxial.

Sol.: C = 2πεoLln(b/a)

58. Considere un sistema formado por dos conductorescilíndricos paralelos, muy largos, de radio a, separa-dos una distancia d >> a, como muestra la figura.Entre los cilindros hay una diferencia de potencial V .Encuentre la capacidad por unidad de longitud para elsistema de conductores.

Sol: C = πεoln([(d+

√d2−4a2)/2a])

59. Dos condensadores idénticos de área A y lado a y sep-aración entre placas d, inicialmente descargados, seconectan en paralelo. Mediante una batería se aplica alsistema una diferencia de potencial Vo. Posteriormentese desconecta la batería, con lo cual los condensadoresen paralelo quedan cargados y aislados. Se introduceen uno de los condensadores una placa conductora deigual área y de espesor t, como se muestra en la figura.

(a) Calcule la energía almacenada en el sistemacuando la placa de espesor t ha penetrado unadistancia x en el condensador.

(b) Calcule la cantidad de carga transferida de un con-densador a otro como función de x, e indique enque sentido es la transferencia.

Sol.: a) E = 2εoa2

da(d−t)

2a(d−t)+xtV2o , b) ∆QA =

− xt2a(d−t)+xtQ/2, donde Q es la carga total en el sis-

tema.

60. Responder a la pregunta anterior cuando la placa que seintroduce en el condensador de la izquierda está hechacon un dieléctrico cuya constante es ε.

61. Ente la placas del condensador de la figura, de lados ay b, existe una diferencia de potencial Vo(cte).

a

dF

x

(a) Calcular la carga Q(x) en las placas en función dela distancia x cuando se introduce un dieléctricode constante ε y ancho b, como se indica.

(b) Determine la variación de energía en el conden-sador en función de x.

(c) Determine la fuerza sobre el dieléctrico en funciónde x.

Sol: a) Q(x) = Vobd (εx+ εo(a− x)) ; b) U(x) =

Q2d2b(εx+εo(a−x)) ;c) F = −∇U(x)

62. En un condensador de placas cuadradas paralelas deárea A, se introducen dos dieléctricos de constantes ε1y ε2 que llenan totalmente el interior del condensadorcomo se muestra en la figura. Calcule la capacidad delcondensador.

Sol.: C = εo (ε1 + ε2)2a2

d ; A = 4a2