ejercicios calculo integral
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En el siguiente documento se pueden encontrar los diferentes ejercicios del trabajo colaborativo I y II de calculo integral de UNAD por lo cual espero puedan servirlesTRANSCRIPT
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Cálculo Integral
Problemas de aplicaciones de cálculo integral
Trabajo colaborativo 2 y 3
Estudiante de ingeniería
Resumen: En el siguiente trabajo utilizaremos diferentes técnicas de integración para
dar solución a múltiples problemas de cálculo integral mostrando de manera clara el
desarrollo matemático y algebraico pasa así entender que en estos aspectos se alcanza
a unir diferentes materias que no ayudan a comprender los fenómenos que simulan las
diferentes integrales. Es de gran importancia aclarar que las integrales describen de
manera aproximada el mundo en el que vivimos, en el desarrollo de nuestras
actividades y en los fenómenos que realizamos en nuestros trabajos.
Palabras claves: Calculo integral, Valor promedio, métodos de integración
TRABAJO COLABORATIVO 2
EJERCICIOS
1. Problemas propuestos: Evaluar las siguientes integrales impropias.
𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥1
0
Como no es una integral directa debemos usar integración por partes
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 ′ 𝑥 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Para lo cual la siguiente sustitución se utilizara para resolver el problema
𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑥
𝑓 ′ 𝑥 =1
𝑥 𝑑𝑥 𝑔′ 𝑥 = 1
Ahora reemplazando los términos según la expresión de integración por partes
tenemos:
𝑙𝑛 𝑥 𝑑𝑥1
0
= 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 1
𝑥
1
0
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥1
0
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Debido a que no es posible poner los límites en los resultados se resuelve y al final se
evalúa sin presentar ninguna alteración
𝑥 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 = 1 𝑙𝑛 1 − 0 𝑙𝑛 0 − 1 − 0 = −1
2. Desarrolle la siguiente integral.
1
𝑥 − 1 2𝑑𝑥
∞
𝟐
Las técnicas de solución son muy claras en cada uno de los problemas este puede ser
realizado por sustitución o por fracciones parciales factorizando la diferencia de
cuadrado perfecto, para este ejercicio escogemos la integración por sustitución
mostrando un resultado inmediato.
𝑢 = 𝑥 − 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
Ahora se reemplaza en la integral quedando:
1
𝑥 − 1 2𝑑𝑥
∞
𝟐
= 1
𝑢 2𝑑𝑢 = 𝑢−2𝑑𝑢 =
𝑢−2+1
−2 + 1 =
𝑢−1
−1= −
1
𝑢
∞
𝟐
∞
𝟐
Ahora lo que debemos realizar es sustituir la variable u por x, para lo cual nos queda
1
𝑥 − 1 2𝑑𝑥
∞
𝟐
= −1
𝑢= −
1
(𝑥 − 1)=
1
1 − 𝑥
Evaluando la solución de la integral en los límites definidos [2 ∞] tenemos:
1
1 − 𝑥=
1
1 − ∞−
1
1 − 2=
1
∞−
1
−1= 0 − −1 = 1
3. Desarrolle la siguiente integral
𝑒−5𝑥𝑑𝑥+∞
−∞
Para el desarrollo del siguiente problemas debemos entender de manera clara que
la integral de la función euler, nunca cambia en proceso de derivadas y de
integrales por lo cual se mantiene constante.
Aplicaremos la siguiente sustitución elemental
𝑢 = −5𝑥 𝑑𝑢 = −5𝑑𝑥 𝑑𝑥 = −1
5𝑑𝑢
Despejando de la sustitución el valor del diferencial de u que sera reemplazado en
la función original obtendremos lo siguiente:
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
𝑒−5𝑥𝑑𝑥 =+∞
−∞
𝑒𝑢 −𝑑𝑢
5= −
+∞
−∞
1
5 𝑒𝑢𝑑𝑢 = −
1
5 𝑒𝑢
+∞
−∞
Como ya desarrollamos la integral debemos reemplazar el valor de u por la función
originas así:
𝑢 = −5𝑥
𝑒−5𝑥𝑑𝑥 =+∞
−∞
−1
5 𝑒𝑢 = −
1
5𝑒5𝑥= −
1
5
1
𝑒5 ∗ ∞−
1
𝑒5∗ −∞ = −
1
5[0 −∞ = ∞]
Como podemos apreciar la integral del número de euler tiende a infinito según la
solución planteada, ya que al evaluarlo en los diferentes rangos se tiene este
resultado.
TRABAJO COLABORATIVO 3
Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas
de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las
integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre
curvas, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica)
Problemas propuestos: para dicho punto se desarrollan los ejercicios aplicativos de
cálculo integral:
1. Hallar el área que hay entre las graficas de f(x)= x2+2 y g(x)=1-x entre x=0 y
x=1
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-6 -4 -2 0 2 4 6
ord
en
ada
absisa
Comportamiento de las funciones
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
La parábola se encuentra por encima de la recta característica importante para
determinar la función que se debe integrar:
[𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ] =1
0
𝑥2 + 2 − 1 − 𝑥2 𝑑𝑥 =1
0
𝑥2 + 2 − 1 + 𝑥2 𝑑𝑥1
0
= 2𝑥2 + 1 𝑑𝑥 = 2𝑥2𝑑𝑥 + 𝑑𝑥1
0
= [2
3𝑥2]
1
0
+ 𝑥1
0
Al evaluar las integrales entre los rangos definidos en cada una de las funciones
tenemos lo siguiente:
2𝑥2𝑑𝑥 + 𝑑𝑥1
0
= 2
3𝑥2
1
0
+ 𝑥 = 2
3 12 − 02 + 1 − 0 =
5
3
2. Hallar el are de la región limitada por las graficas de f(x)=(x-1)2 y g(x)=-x+3
Como podemos apreciar la intersección entre las graficas se da en los puntos
x=-1 y x=2, siendo esto los limites para poder hallar el valor del área que se
pide en dicho problema.
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
-6 -4 -2 0 2 4 6
ord
enad
a
absisa
Comportamiento de las funciones
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
[𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ] =2
−1
−𝑥 + 3 − 𝑥 − 1 2 𝑑𝑥 2
−1
= −𝑥 + 3) − (𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑥2
−1
= −𝑥 + 3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑑𝑥2
−1
= 𝑥 − 𝑥2 + 2 𝑑𝑥 = 𝑥2
2−
𝑥3
3+ 2𝑥
2
−1
Evaluado la integral entre los límites tenemos:
𝑥2
2−
𝑥3
3+ 2𝑥 =
22
2−
−1 2
2 −
23
2−
−1 3
3 + 2 2 − −1 =
23
6
3. Hallar el área de superficie lateral del sólido que se obtienen al rotar la grafica
de y=2√x entre x=3 y y=8 alrededor del eje x.
Como la función se debe hacer rotar sobre el eje y debemos organizar la
función despejando y en función de x y graficas para lo cual nos da una
parábola abierta hacia arriba.
[𝑓 𝑥 ] =4 2
2 2
[𝑦2
2]𝑑𝑦 =
1
2
4 2
2 2
[𝑦2]𝑑𝑥 =1
6𝑦3
4 2
2 2
Evaluando la integral entre los límites establecidos al rotar el sólido sobre el
eje y es
0
2
4
6
8
10
12
14
-6 -4 -2 0 2 4 6
ord
enad
a
absisa
Comportamiento de las funciones
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
1
6𝑦3 =
1
6 4 2
3− 2 2
3 = 29,5
4. Hallar la longitud de y=x3/6 – 1/2x entre los limites 1 y 3
Como debemos hallar la longitud de dicha función tenemos que aplicar la
definición de longitud de arco así:
𝐿 = 1 − 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥𝑏
𝑎
Dicha definición nos lleva a determinar la derivada de la función de trabajo
𝑓 𝑥 =𝑥3
6+
1
2𝑥
𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥3 + 6
12𝑥=
2𝑥4 + 6
12𝑥
𝑓 𝑥 =2𝑥46
12𝑥= 𝑓′ 𝑥 =
8𝑥3 6 + 2𝑥4 0
12𝑥 2=
48𝑥3
144𝑥2=
𝑥
3
Ahora aplicamos la definición de longitud así:
𝐿 = 1 − 𝑓′ 𝑥 2𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 1 − 𝑥/3 2𝑑𝑥3
1
= 1 −𝑥2
9𝑑𝑥 =
3
1
9 − 𝑥2
9𝑑𝑥 =
3
1
1
3 9 − 𝑥2𝑑𝑥 =
3
1
La integral de la raíz se encuentra en las tablas de integración paro lo cual
podemos decir que es directa así:
1
3 9 − 𝑥2𝑑𝑥 =
3
1
1
3 𝑥
2 9 − 𝑥2 +
9
2𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛
𝑥
3
Ahora evaluamos la integral en el rango definido:
1
3
𝑥
2 9 − 𝑥2 +
9
2𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛
𝑥
3 =
1
3 9
2𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛 1 −
2 2
2+
9
2𝑎𝑟𝑠𝑒𝑛
1
3
5. La región limitada por las graficas f(x)=x y g(x)=0.5x2 gira alrededor del eje X
¿Cuál es el volumen que resulta de la rotación?
Para dicho ejercicio debemos aplicar la formula de sólidos de revolución por el
método e discos, para lo cual está establecida por:
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𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 2 − 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥
Para lo cual según su interpretación matemática dice que la función mayor se
debe restar a la función menor que para esta caso g(x) es mayor a f(x)
𝑉 = 𝜋 0.5𝑥2 2 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝜋 0.52𝑥4 − 𝑥2 𝑑𝑥 =0.52𝜋𝑥5
5−
𝜋𝑥3
3
6. La región limitada por las graficas de y=(x-1)2
& y=1+x se hacen girar
alrededor del eje X Hallar el volumen del solido resultante
Para dicho ejercicio debemos aplicar la formula de sólidos de revolución por el
método e discos, para lo cual está establecida por:
𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 2 − 𝑔 𝑥 2 𝑑𝑥
Para lo cual según su interpretación matemática dice que la función mayor se
debe restar a la función menor que para esta caso g(x) es mayor a f(x)
-10
0
10
20
30
40
50
-10 -5 0 5 10
ord
enad
a
absisa
Comportamiento de las funciones
F(X)=X
G(X)=0,5 X^2
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
𝑉 = 𝜋 1 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1 4 𝑑𝑥 = 𝜋 1 + 2𝑥 + 𝑥2 − 𝑥 − 1 4 𝑑𝑥
= 𝜋 + 𝑥2 +𝑥3
3−
𝑥 − 1 5
5+ 𝐶1
8. Hallar el centro de nada Ce de un objeto cuya función densidad es ρ(x)=x/6 + 2
0≤x≤6
Para determinar el centro de masa de la función debemos aplicar la formula de
centro de masa la cual es:
𝑥𝑐𝑚 = 𝑥 ∗ 𝑑
𝑑
𝑥 ∗ 𝑑 = 𝑥 𝑥
6+ 2 𝑑𝑥 =
𝑥2
6+ 2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥3
18+ 𝑥2 =
63
18+ 62 = 48
𝑑 = 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥
6+ 2 𝑑𝑥 =
𝑥2
12+ 2𝑥 =
62
12+ 12 = 15
𝑥𝑐𝑚 = 𝑥 ∗ 𝑑
𝑑=
48
15
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
-10 -5 0 5 10
ord
en
ada
absisa
Comportamiento de las funciones
F(X)=(X-1)^2
G(X)=1+X