5. Aplicaciones de la Derivada.5.1. Comportamiento de las Funciones y de sus Graficas.5.1.1. Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.Recta tangentePor definicin de Geometra Plana se sabe que la recta tangente en un punto de una circunferencia es aquella recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto, pero lo cierto es que tal definicin no es suficiente para una curva en general porque en otros casos la recta tangente puede llegar a interceptar a la curva en uno o ms puntos, adems de ser inclinada, horizontal o vertical.

y = x3+1y = sen x

Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3

Para obtener una definicin adecuada de la recta tangente a la grfica de una funcin en un punto se emplea el concepto de lmiteEcuacin de la recta tangente

Sea f una funcin continua en xo. La ecuacin de la recta tangente a la curva en xo es: i) y = f '(xo) x + b, si la funcin es derivable en xo.ii) x=xo, si la derivada, cuando x tiende a xo por la izquierda y por la derecha, es ms infinito (o menos infinito).Nota: Otra manera de calcular la ecuacin de la recta tangente es utilizando la forma punto pendiente de la recta, o sea:y y1 = mt (x x1)Donde: mt = f(x); (x1, y1) es el punto de tangencia

1. Clculo de la ecuacin de la recta tangente a f(x)=x3+1 en xo=0.5.Derivamos la funcin f '(x)=3x2. 1. Evaluamos la derivada en 0,5, f '(0.5)= mt=0.75. 2. Calculamos la ordenada de xo=0.5 que es yo=f(xo)=1.13. El punto de tangencia es (0.5, 1.13).3. Calculamos la ecuacin: y - 1.13 = 0.75(x - 0.5)4. y - 1.13 = 0.75x - 0.3755. 0.75x - 0.375 - y + 1.13 = 06. 0.75x - y + 0.755 = 07. Escribimos la ecuacin de la recta tangente: y = 0,75 x + 0,755 2. Clculo de la ecuacin de la recta tangente a la siguiente curva en el punto de abscisa cero. 1. La derivada 2. Se observa que el dominio de la funcin es D=R, pero que la primera derivada no est definida en cero. 3. Analizando la derivada cuando x tiende a 0 por la izquierda y derecha se sabe que y' es ms infinito en ambos casos, entonces la ecuacin de la recta tangente es vertical y su ecuacin: x=0 3. Clculo de la ecuacin de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 = 5 en xo= -2. Nota: Tomar el valor positivo de y.1. La derivada es y' = -(x/y) (Obtenerla derivando la funcin implcitamente). 2. La ordenada para xo= - 2, (-2)2 + y2 = 5, 4 + y2 = 5, y2 = 5 - 4, , y = 1 es yo= 1, tomando el valor positivo. 3. La derivada evaluada en (-2, 1), mt = -(-2/1) es mt= 2. 4. y - 1 = 2(x +2)5. y - 1 = 2x + 46. 2x + 4 -y + 1 = 07. 2x - y + 5 = 0

Recta normalSi se traza una perpendicular a la recta tangente se obtiene la recta normal. Los grficos muestran la recta tangente y la normal a la curva en un punto dado.

y = x3+1y = sen x

Ejemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3

Recta normal

La recta normal a la curva en el punto de abscisa xo es la recta perpendicular a la tangente a la curva en el mismo punto.

Pendiente y ecuacin de la recta normal

i) Si la pendiente de la recta tangente es mt=f '(xo), la pendiente de la recta normal satisface la relacin mt . mn = -1, es decir

y la ecuacin de la recta normal:

ii) Si la recta tangente es vertical, la pendiente de la recta normal es mn=0, y la ecuacin de la recta normal:y = f(xo)Nota: Otra manera de calcular la ecuacin de la recta tangente es utilizando la forma punto pendiente de la recta, o sea:y y1 = mt (x x1)Donde: mn = -1/mt; (x1, y1) es el punto de tangencia

4. Clculo de la ecuacin de la recta normal a y=x3+1 en xo=0,5.1. Derivamos la funcin, y'=3x2. 2. Evaluamos la derivada en y'(0.5) = mt = 0.75. 3. Calculamos la pendiente de la recta normal mn= - 1.33. 4. Calculamos la ordenada de xo=0.5 que es yo=1.125. El punto es (0.5, 1.125).5. Calculamos la ecuacin y - 1.125 = -1.33(x - 0.5). 6. y - 1.125 = -1.33x + 0.6657. 1.33x + y -1.125 - 0.665 = 08. 1.33x + y - 1.79 = 09. Escribimos la ecuacin de la recta normal: yn = -1.33 x +1.795. Clculo de la ecuacin de la recta normal a la siguiente curva en el punto de abscisa cero.

1. La derivada 2. La ecuacin de la recta tangente es x=0 (recta vertical 3. La ecuacin de la recta normal es y=f(xo), es decir y=06. Clculo de la ecuacin de la recta normal a la circunferencia xo= -2 y con pendiente positiva.x2 + y2 = 51. La derivada es y' = -(x/y) (se obtiene derivando la funcin implcita). 2. La ordenada para xo= -2 es yo= -1. 3. La derivada evaluada en (-2,-1) es mt= - 2. 4. La pendiente de la recta normal, mt = 0.5. 5. La ordenada en el origen de la recta normal b=0. 6. La ecuacin de la recta normal: y= 0.5x

7. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuacin:, en el punto P (3, 1).

Solucin

Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva de la siguiente figura.

La pendiente de, viene dada por:

Pero, Asi que, Usando ahora la forma: punto pendiente de la ecuacin de la recta, se tiene entonces para:, es la ecuacin de la recta tangente. Ahora, como, se deduce que. Usando nuevamente la forma: punto pendiente de la ecuacin de la recta, se tiene para: es la ecuacin de la recta normal.

8. Encontrar la ecuacin de la recta normal a la curva de ecuacin, que es paralela a la recta de ecuacin: x+12y-6=0

Solucin

En la siguiente figura aparece la grfica de la curva y de la recta dada.

Si se denota por LN la recta normal, como es paralela a, se tiene que Para determinar la ecuacin de, hace falta conocer el punto P(x1, y1) de tangencia. Para ello, se usa el hecho de que (: pendiente de la tangente). De otro lado, Asi que Este ltimo resultado, indica que existen dos puntos de tangencia a saber: P1 (2, 9) y P2 (-2, -7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema. Una de ellas, pasa por P1 (2, 9) y pendiente. Su ecuacin viene dada por: La otra, pasa por P2 (-2, -7) y pendiente. Su ecuacin viene dada por:

9. Encuentre la ecuacin de la recta tangente a la curva: en el punto (3, 1).

Solucin

En primer lugar note que:, indicando con esto que el punto (3, 1) pertenece a la curva. Ahora, Para determinar se usa derivacin implcita en la ecuacin: Esto es,

De donde, Luego, Es decir, Asi que la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1), viene dada por:

EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASE:1.- Encuentre la ecuacin de la recta tangente y la normal a la parbola y = x2 1 en el punto (2, 3).Respuesta: Tangente: 4x y -5 = 0; Normal: x + 4y -14 = 0

2.- Calcular la ecuacin de la tangente a x+ 3xy + y= 5 en el punto (1, 1). Derivar la ecuacin de forma implcita.

Respuesta: x + y 2 = 0TAREA: Resuelve los siguientes ejercicios:

1.-Calcular la ecuacin de la tangente y la normal a la curva y = x- 2x+ 4 en el punto (2, 4).

Respuesta: Tangente: Normal: x + 4y 18 = 0

2.- Calcular la ecuacin de la normal a x+ 3xy + y= 5 en el punto (1, 1). Derivar la ecuacin de forma implcita.

Respuesta: y = x