ejercicios 1 y2

7/25/2019 ejercicios 1 y2

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1.Una masa de 2.5 Kg. está animada de un movimiento armonico simple en el que

realiza 3 oscilaciones por segundo. Calcular la aceleracion y la fuerza restauradora

para una elongacion de 5 cm.

Este ejercicio es de Aceleracion en el Movimiento Armonico Simple

Saludos.

a = - ω² x …………………………….. [*]

Como la velocidad angular es:

ω = 2 π f = 2 π 3 = 6 π rad/s

a = - (6 π)² 0,05 = 17,77 m/s²►

F = m a = 2,5 . 17,77 = 44,41 N►

- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - --

(*) Deducción de a = - ω² x

La ecuación de posición en un MAS es:

x = A sen(ωt+φ)

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo:

v = dx/dt = A ω cos(ωt+φ)

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo:

a = dv/dt = -A ω² sen(ωt+φ)

Pero A sen(ωt+φ) = x, luego:

a = dv/dt = -A ω² sen(ωt+φ) = - ω² x

2. Una plataforma ejecuta un movimiento armónico simple en dirección vertical con una

amplitud de 5 cm. y una frecuencia de 10/π vibraciones/seg. Un bloque se coloca sobre

la plataforma en el punto más bajo de su trayectoria.

a) ¿En qué punto abandonará el bloque la plataforma?

b) ¿Cuánto se elevará el bloque por encima de del punto más alto de la plataforma?

c) ¿En qué punto volverá el bloque a la plataforma?

El movimiento de la plataforma se describe por:

El movimiento se describe por:



Y = -Yo cos ω t = 0.05 cos 2¶ 10/¶ t = -0.05 cos 20 t

(todo en MKS, entonces los 5cm son 0.05m)

Donde la pulsación de la oscilación es:

ω = 2¶ f = 2¶ * 10/¶ = 20/s

Cuando t=0 => Y = -0.05m, o sea está en el punto más bajo.

La velocidad instantánea de la plataforma es:

v = Y' = - ω Yo (-sen ω t) = ω Yo sen ω t

v = 20 * 0.05 sen 20 t = sen 20 t

y la aceleración:a = Y'' = ω² Yo cos ω t

a = 20² * 0.05 cos 20 t = 20 cos 20 t

(cada una apartir de la derivación respecto del tiempo de la anterior).

La máxima aceleración hacia arriba es en t=0, es decir cuando Y = -Yo (abajo)

a = 20 cos 0 = 20 m/s²

Ahora bien:

La aceleración del bloque respecto de la plataforma está dado por los valores positivos de:

ar = a - g

ar = aceleración relativa

Mientras ar>0 => la plataforma se pega al bloque levantándolo (en el tramo inicial)

"a" va descendiendo según la ecuación armónica mostrada y cuando a-g=0, o sea a = g,

comienza a desprenderse el bloque (porque a sigue disminuyendo).

A partir de ese instante el bloque tiene un movimiento vertical con aceleración constante a1 = g

(tener en cuenta que la igualdad es vectorial, es decir a1 = g es hacia abajo, o dicho en

números a1 = -9.81 m/s²).

Su movimiento "en libertad" está dado por:

Yb = Y1 + v1 (t - t1) + ½ a1 (t - t1)²

siendo Yb la posición del bloque (altura sobre el punto neutro de la oscilación de la

plataforma),

v1, la velocidad para el instante t1 en que se desprende el bloque (igual para bloque yplataforma)



Y1 la posición de plataforma y bloque (la misma para ambos) en el momento en que comienza

a desprenderse el bloque,

a1 = g = -9.81 m/s²

t - t1 = el tiempo de este movimiento corre a partir del instante t1

Yb' = 0, nos da el instante de máxima altura:

Yb' = V1 + a1 (t - t1) = 0

=> (t - t1)max-h = -V1/a1 = V1/9.81 m/s²

con el que se determina Yb máx, y se debe tener en cuenta que coo está referido al punto

medio de la oscilación, para responder (b) se hace: h = Ybmax - Yo

(c) hay que equiparar Yb = Y para t > t1 y despejar t, luegoY(t) nos da la respuesta a este punto.

Vamos a los números:

=================

(a) En base a lo explicado más arriba:

a = 20 cos 20 t = - 9.81

(unidades MKS)

cos 20t = -0.4905

que da t = t1 = 0.1042 s

Y(t1) = Y1 = - 0.05 cos 20 t

= -0.05 (-0.4905) = 0.0245 m

El bloque se desprende cuando la plataforma está 2.45 cm por encima del punto medio de su

oscilación.

--------------------------------------...

b) la velocidad inicial del movimiento del bloque a partir de ese momento:

V1 = v (t1) = (1 m/s) sen 20t = 0.87144 m/s

Y según ya habíamos deducido:

(t - t1) max-h = V1 / (9.81 m/s²) = 0.871/9.81 = 0.089 s

Ybmax = Y1 + V1 (t - t1)max-h + 0.5 a1 (t - t1)² max-h

Ybmax = 0.0245 + 0.87144 * 0.089 – 4.905 * 0.089²

= 0.0632 m = 6.3 cm



La altura pedida es la que el bloque llega a estar sobre la altura máxima de la plataforma:

h = 6.3 cm- 5 cm = 1.3 cm

------------------------------------

(c) el movimiento del bloque luego de desprenderse está dado por:

Yb = Y1 + v1 (t - t1) + ½ a1 (t - t1)²

Y1 = 0.0245 m (calc. en (a))

V1 = 0.87144 m/s (calc. en (b))

a1 = -9.81 m/s² (condición en que se desprende el bloque)

t > t1 = 0.1042 s (calc. en (a))

El bloque vuelve a la plataforma cuando:

Yb = YY1 + v1 (t - t1) + ½ a1 (t - t1)² = -0.05 cos 20 t

0.0245+0.87144 (t - t1) - 4.805 (t - t1)² = -0.05 cos 20t

cuya solución es con t = 0.343 s

Corresponde a Y = Yb = -0.0418 m ≈ -4.2 cm

Como el período es T = 1/f = ¶/10 ≈ 0.314 s

se trata del segundo ciclo (la plataforma ya volvió a pasar por el mínimo y está en ascenso) con

V≈ 0.55m/s y

a ≈ 16.7 m/s²

Todo esto sacado tabulando en excel, ya que la ecuación de 2º grado con t en el argumento del

cos 20t invita a un método de este tipo.

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