ejercicio nº 01

7/18/2019 Ejercicio Nº 01

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NIVEL I

1.- Una variable aleatoria es discreta cuando:

a) El conjunto de sus posibles valores es numerableb) Solo toma valores realesc) Sus valores pueden ponerse en correspondencia biunívoca con los

números reales.d) Las imágenes inversas delos valores de la variable son equiprobables.

2.- ara cada valor de una variable aleatoria! la "unci#n de distribuci#n nos da:

a) La probabilidad de que la variable sea ma$or o igual que ese valorb) La proporci#n de valores in"eriores o iguales a ese valor.c) La probabilidad de que la variable tome valores inferiores o

iguales a ese valor.d) %l número de su&etos que toma valores in"eriores o iguales a ese valor.

NIVEL II

1. 'etermine el valor de ( de modo que cada una de las siguientes "uncionessea una "unci#n de probabilidad de una variable aleatoria discreta :

a) f(x) = k( x3+4 ¿ , para x=0,2,3.

b) f ( x )=k (3 x)(

4

4− x) , para x=0,1,2.

a) ∑∀ x

❑

f ( x )=1

∑ x=0

3

k ( x3+4 )=1

(*+,)2/ (*+2)2/ (*+0)2/ 1

( 1 23

b) ∑∀ x

❑

f ( x )=1

∑ x=0

2

k (3 x)( 4

4− x)=1

k (3

0)(4

4)+k (31)(43 )+k (32)(4

2)=1

Nota: k(m,n) = m!/((m-n)!n!)

(k*1*1) + (k*3*4) + (k*3*6) = k + 12k + 18k =

K = 1 / 30



2. Una pi44ería que atiende pedidos por correo tiene cinco líneas tele"#nicas.Sea la variable aleatoria que representa el número en uso en un momentoespecí5co. Supongamos que la "unci#n de probabilidad " de está dada enla siguiente tabla:

, 1 2 0 "+) ,!2 ,!23 ,!1 ,!13 ,!,6

7alcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:a. A los sumo 2 líneas estén en uso.Pr(x ≤ 2) = Pr(0) + Pr(1) + Pr(2)

R=(0.20+0.25+0.10)=0.55 = 55%b. Menos de 4 líneas estén en uso.

Pr(x < 4) = Pr(0) + Pr(1) + Pr(2) + Pr(3)

R=(0.20+0.25+0.10+0.15)=0.70 = 70%c. Por lo menos 3 líneas están en uso.Pr (x >= 3) = Pr(3) + Pr(4) + Pr(5)

R=(0.15+0.09+0.21)=0.45 = 45%

d. Entre 2 y 4 (ambas nclus!e" líneas estén en uso.Pr (x >=2) y (x <=4) = Pr(2) + Pr(3) + Pr(4)

R=(0.10+0.15+0.09)=0.34 = 34%

e. #etermne el n$mero medo de líneas en uso y su des!ac%nestándar. Inter&rete.

MEDIA:

E(X) = ∑ x i f(x i )

∑ x i f(x i ) = 0 (0.2) + 1 (0.25) + 2(0.1) + 3(0.15) + 4(0.09) + 5(0.21)

= 2.31

VARIANZA:

σ2 V(X) E(X 2 ) - µ2

'onde E(X 2 ) = ∑ x i2 f(xi) 02 (0.2) + 12 (0.25) + 22 (0.1) + 32 (0.15) + 42

(0.09) + 52 (0.21) = 8,69

y sustituyendo obtenemos:

σ2 = V(X) = E(x2 ) - µ2 = 8,69 – 2,312= 8,69 – 5,34 = 3,35

DESVIAI!" ES#A"DA$:

σ = √ 3,35=¿ 1,83

0. La remuneraci#n semanal de los empleados comerciales de unconcesionario de autom#viles de lu&o está compuesta por un sueldo 5&o de1,,, soles $ una comisi#n de 2,, soles por cada coc8e vendido. 9 estascantidades debe descontarse un 1, en concepto de retenci#n deimpuestos $ otros gastos. Las probabilidades de que un empleado venda unnúmero de coc8es +) en una semana son las siguientes:a.- ;7uál será la remuneraci#n semanal neta media por empleado $ sudesviaci#n típica<b.- =btenga la "unci#n de distribuci#n de la remuneraci#n semanal neta porempleado.c.- Si la empresa tiene oc8o vendedores! ;a cuánto debería ascender la

comisi#n por cada coc8e vendido si se pretende que la empresa destine apagos para los empleados una cantidad media semanal de 6,,, soles<



i , 1 2 0 3+i) ,!1 ,!0 ,!0 ,!2 ,!,3 ,!,3

7.- Si consideramos ( la comisi#n para cada uno de los > vendedores

? @remuneraci#n semanalA +1,,,B),!6



%*?/ % *,!6+1,,,BC)/ ,!6+1,,, B%*C/) ,!6+1,,, 1!63B) 6,,,>S.

( 12>!21 S.

NIVEL III

1. Suponga que los resultados de dos prácticas cali5cadas de estadística $ diseDo

eperimental tomadas a los estudiantes de una clase de ingeniería ambientalindican que el E, de los estudiantes aprob# la primera! el F, aprob# la segunda$ solo un > no aprob# práctica alguna. 7onstru$a la "unci#n de probabilidad de lavariable: número de prácticas aprobadas por un estudiante elegido al a4ar.

Soluci#n:Sea 91 el suceso aprobar la primera practica $ 92 aprobar el segundo. Los datos delproblema nos dicen que:

1,, G > no aprob# alguna practica 62 aprob# las practicas.

+91U A2)= 0,92 P(A1) = 0,7 P(A1) = 0,6

H se pide la probabilidad de la variable: número de prácticas aprobadas por un

estudiante elegido al a4ar.

+91U A2) =+91) +A2) -+91 A2)∩

'espe&ando tenemos:

+91 A2) =∩ +91) +A2) -+91 U A2)

Sustitu$endo los valores numIricos tenemos:

+91 A2) = 0,7 + 0,6 – 0,92 = 0,38∩

La probabilidad de número de prácticas aprobadas por un estudiante elegido al a4ares 0>.

2. 9l eaminar po4os de agua en una distrito de 7a&amarca con respecto a dos

impure4as 8alladas "recuentemente en el agua potable! se encontr# que el 2, delos po4os no revelada impure4as alguna! el , tenía la impure4a 9! $ el 3, laimpure4a J +naturalmente! algunos tenían ambas impure4as). Si se escoge un po4odel distrito al a4ar $ se de5ne C: número de impure4as encontradas! determina:a.- La "unci#n de la probabilidad de .b.- La distribuci#n de probabilidad acumulada.c.- Kra5ca la "unci#n de probabilidad obtenida en a.d.- 7alcula el valor esperado de .e.- 7alcula la varian4a de .

Soluci#n:Sea 9 el evento en el cual se tiene la impure4a 9! $ J el evento en el cual se tiene la

impure4a J! entonces! la siguiente tabla muestra las probabilidades de lasintersecciones de los eventos:



VALOR ESPERAO!

E(X) = ∑ x i f(x i )

∑ x i f(x i ) = 0 (0.2) + 1 (0.7) + 2(0.1) = 0.9

VAR"A#$A:

σ2 V(X) E(X 2 ) - µ2

'onde E(X 2 ) = ∑ x i2 f(xi) 02 (0.2) + 12 (0.7) + 22 (0.1) = 1,1



y sustituyendo obtenemos:

σ2 = V(X) = E(x2 ) - µ2 = 1,1 – %,92= 1,1 – %,81 = %,29

ejercicio nº 01

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