EJERCICIOS AREAS Y VOLUMENES

Ejercicio 1

Calcular el area encerrada por x = 3 − y2y una recta normal en el punto P (2, 1)

Solucion:

Necesitamos conocer la ecuacion de la rectanormal en el punto P y para conocerla primerovamos a calcular la pendiente de la rectatangente en dicho punto.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Fig. 1: Grafica de la funcion x = 3− y2

Derivamos implıcitamente la funcion

∂

∂x

(x = 3− y2

)(1)

1 = −2yy′ (2)

y′ = − 1

2y(3)

Ahora, si evaluamos la derivada en el punto Pnos da como resultado la pendiente de la rectatangente en ese punto

mt = −1

2(4)

Con este resultado podemos saber cual es lapendiente de la recta normal sabiendo que paraque dos rectas sean perpendiculares el productode sus pendientes debe ser igual a menos uno

mtmn = −1 (5)

Con lo que la pendiente de la recta normal es

mn = 2 (6)

Con esta pendiente y el punto P podemos cono-cer la recta normal con la siguiente ecuacion

y − y1 = m(x− x1) (7)

Con lo cual tenemos la ecuacion de la recta nor-mal en el punto P.

y = 2x− 3 (8)

0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

Fig. 2: Grafica de la funcion x = 3−y2, la rectatangente en el punto P y la recta normal en elpunto P

Ahora necesitamos saber el otro punto dondese intersecta la recta normal y la curva, esto seencuentra igualando las dos funciones. Con locual tenemos la ecuacion de la recta normal enel punto P.

3− y2 =y + 3

2(9)

-1 1 2 3x

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

y

Fig. 3: Area entre las dos funciones

Lo que nos lleva a la siguiente ecuacion

2y2 + y − 3 = 0 (10)

Pero ya conocemos una raız, ası que dividimosentre y-1

2y2 + y − 3

y − 1= (y − 1)(2y + 3) (11)

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EJERCICIOS AREAS Y VOLUMENES

Lo que significa que y = −3/2 es la ordenada delpunto de interseccion, con lo cual ya podemoscalcular el area entre las dos funciones.

∫ 1

− 32

(−y2 − y

2− 3

2+ 3) dy

=1

2(3y − y2/2− (2y3)/3)

∣∣∣∣1− 3

2

=125

48u2

(12)

Ejercicio 2

Obtener el volumen del paraboloidex2 + y2 = z, acotado por el plano z = 10como un solido de revolucion.

Solucion:

Fig. 4: Grafica del paraboloide z = x2 + y2 y elplano z = 10

Lo primero que vamos hacer es encontrar unafuncion a la cual vamos a revolucionar alrededordel eje z, esto se hace haciendo x = 0 o y = 0,en este caso escogeremos la segunda.

z = x2 (13)

Como vamos a rotar la funcion z = x2 nece-sitamos la funcion en terminos de z, ası nuestrafuncion queda como

x =√z (14)

V =

∫ d

c

π[R(z)]2 dz (15)

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

2

4

6

8

10

z

Fig. 5: Grafica del la funcion z = x2 y z = 10

V =

∫ 10

0

π√z2dz =

πz2

2

∣∣∣∣100

= 50πu3 (16)

Fig. 6: Grafica del solido de revolucion z = x2

y z = 10

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