ejercicio 4-rivera rodriguez rodrigo
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VIBRACIONESTRANSCRIPT
Universidad Autónoma Metropolitana
Unidad: Azcapotzalco
Practica 4:
Análisis del amortiguamiento viscoso en
la respuesta del sistema
Presenta:
Rivera Rodríguez Rodrigo
Ciudad de México, a 23 de febrero de 2016
Objetivos: • Analizar el efecto del amortiguamiento viscoso en la respuesta del sistema • Mostrar los diferentes tipos de comportamiento que muestran las distintas relaciones
de amortiguamiento.
INTRODUCCIÓN
Considerando el sistema mecánico traslacional masa-resorte-amortiguador de 1 grado de libertad ( 1GDL) que se muestra en la figura 1:
FIGURA 1. Diagrama esquemático de un sistema masa-resorte-amortiguador de 1 GDL
El diagrama de cuerpo libre del sistema se muestra en la figura 2:
FIGURA 2. Diagrama de cuerpo libre del sistema masa-resorte-amortiguador Aplicando la segunda ley de newton se obtiene la ecuación de movimiento del sistema:
𝑚𝑚�̈�𝑥 = −𝑘𝑘𝑥𝑥 − 𝑐𝑐�̇�𝑥
𝑚𝑚�̈�𝑥 + 𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑐𝑐�̇�𝑥 = 0 ….. (Ec. 1)
La ecuación 1 se puede escribir en términos de la frecuencia natural (𝑤𝑤𝑛𝑛) y la relación de amortiguamiento (ζ) como:
�̈�𝑥 + 2ζ 𝑤𝑤𝑛𝑛�̇�𝑥 + 𝑤𝑤𝑛𝑛2𝑥𝑥 = 0 ……. (Ec. 2)
Con:
𝑤𝑤𝑛𝑛 = ��𝑘𝑘𝑚𝑚�
2ζ 𝑤𝑤𝑛𝑛 =𝑐𝑐𝑚𝑚
De aquí que:
ζ =𝑐𝑐
2𝑚𝑚𝑤𝑤𝑛𝑛=
𝑐𝑐
2𝑚𝑚��𝑘𝑘𝑚𝑚�
=𝑐𝑐
2√𝑚𝑚𝑘𝑘
De acuerdo al valor de ζ la respuesta del sistema puede presentar los siguientes movimientos:
• Movimiento no amortiguado (ζ = 0)
• Movimiento subamortiguado (0 < ζ < 1)
GRÁFICA 2. Movimiento subamortiguado
• Movimiento críticamente amortiguado(ζ = 1)
GRÁFICA 3. Movimiento críticamente amortiguado
t (s)0 1 2 3 4 5
(rad
/s)
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
t (s)0 1 2 3 4 5
(rad
/s)
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
t (s)0 1 2 3 4 5
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
GRÁFICA 1. Movimiento no amortiguado
• Movimiento sobreamortiguado(ζ > 1)
GRÁFICA 4. Movimiento sobreamortiguado
El modelo anterior también se puede expresar como:
𝑧𝑧1̇ = 𝑧𝑧2
𝑧𝑧2̇ = −𝑘𝑘𝑚𝑚𝑧𝑧1 −
𝑐𝑐𝑚𝑚𝑧𝑧2
Con
𝑧𝑧1 = 𝑥𝑥
𝑧𝑧2 = �̇�𝑥
Por lo que el modelo del sistema quedara expresado en variables de estado como:
𝑑𝑑𝑧𝑧1 = 𝑧𝑧2 …. (Ec. 3)
𝑑𝑑𝑧𝑧2 = −𝑤𝑤𝑛𝑛2 ∗ 𝑧𝑧1 − 2ζ ∗ 𝑤𝑤𝑛𝑛 ∗ 𝑧𝑧2 ….. (Ec. 4)
Desarrollo experimental
1. Se realizo el programa en la herramienta computacional Simnon que se muestra en el programa 1 del apéndice, insertando las ecuaciones 3 y 4 como modelo del sistema.
2. Al programa realizado se le fueron cambiando los valores de “zeta” dependiendo del movimiento que se quiera simular En el movimiento no amortiguado zeta solo es igual a cero (zeta=0) En el movimiento subamortiguado se le dieron tres diferentes valores a zeta,
estando estos entre cero y uno (zeta=0.2, zeta=0.5 y zeta=0.9) En el movimiento críticamente amortiguado zeta solo es igual a uno (zeta=1) En el movimiento subreamortiguado se le dieron tres diferentes valores a zeta,
estando estos en un rango mayor a uno (zeta=1.5, zeta=5 y zeta=10) 3. Se exportaron desde simnon para cada valor de zeta
t (s)0 1 2 3 4 5
(rad
/s)
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
4. Usando matlab se abrieron los datos exportados y se graficaron, usando el código para matlab que se muestra en el apéndice.
RESULTADOS
Movimiento no amortiguado (𝛇𝛇 = 𝟎𝟎)
GRÁFICA 5. Movimiento no amortiguado (zeta=0)
Movimiento subamortiguado (𝟎𝟎 < 𝛇𝛇 < 1)
GRÁFICA 6. Movimiento subamortiguado (zeta=0.2)
GRÁFICA 7. Movimiento subamortiguado (zeta=0.5)
t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(rad
/s)
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(rad
/s)
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(rad
/s)
10 -3
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
GRÁFICA 8. Movimiento subamortiguado (zeta=0.9)
Movimiento críticamente amortiguado (𝛇𝛇 = 𝟏𝟏)
GRÁFICA 9. Movimiento críticamente amortiguado (zeta=1)
Movimiento sobreamortiguado (𝛇𝛇 > 1)
GRÁFICA 10. Movimiento sobreamortiguado (zeta=1.5)
t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(rad
/s)
10 -3
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(rad
/s)
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(rad
/s)
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
GRÁFICA 11. Movimiento sobreamortiguado (zeta=5)
GRÁFICA 12. Movimiento sobreamortiguado (zeta=10)
CONCLUSIONES:
Como se puede observar en las graficas, el comportamiento del sistema analizado para el caso de movimiento no amortiguado el sistema puede oscilar libremente sin que una fuerza externa lo detenga, es decir, es un movimiento sostenido en el que no se disipa energía. En el caso del movimiento subamortiguado, podemos observar que entre más cercanos estemos al cero en la relación de amortiguamiento, mayor serán las oscilaciones y el tiempo decaimiento de estas. En el movimiento críticamente amortiguado y sobreamortiguado con valores de uno o mayores simplemente tenemos un decaimiento exponencial, es decir, ya no vibra el sistema, sino que simplemente de una cierta condición inicial cae a cero exponencialmente.
t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(rad
/s)
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
t (s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(rad
/s)
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
APENDICE
Programa 1: CONTINUOUS SYSTEM EJER4 " Version: 1.0 " Abstract: " Description: " Revision: 1.0 " Author: RODRIGO RIVERA " Created: 23/02/2016 STATE z1 z2 DER dz1 dz2 TIME t " Condiciones iniciales z1:0.01 z2: “se cambia el valor para cada caso” " Parametros del sistema wn=10 zeta=10 " Modelo del sistema dz1=z2 dz2=-wn*wn*z1-2*zeta*wn*z2 END
Código para matlab >> load “Nombre del archivo exportado”.t Presionar Enter >> plot(“Nombre del archivo exportado”(:,1), “Nombre del archivo exportado”(:,2)) presionar Enter