Universidad Politcnica Salesiana

Informtica Industrial Nombre: Johnny Sigenza

Fabricio Neira

Ejercicio 2.1

(Definicin de Funciones de Pertenencia: Universo nico de discurso)

En este problema se estudiar la forma de representar diversos conceptos y cuantificar diversas

relaciones con funciones de pertenencia. Para cada parte inferior, hay ms de una respuesta

correcta. Proveer una de ellas y justificar su eleccin en cada caso.

a) Dibuje una funcin de pertenencia (y por lo tanto, definir un conjunto difuso) que cuantifique

el conjunto de todos los hombres de mediana estatura.

b) Dibujar una funcin de pertenencia que cuantifique el conjunto de todas las personas de baja

estatura.

c) Dibujar una funcin de pertenencia que cuantifica el conjunto de todas las personas altas.

d) Dibujar una funcin de pertenencia que cuantifica la afirmacin "el nmero x es alrededor de

10. "

e) Elaborar una funcin de pertenencia que cuantifica la afirmacin "el nmero x es menor que

10. "

f) Dibuja una funcin de pertenencia que cuantifica la afirmacin "el nmero x es mayor que 10.

"

repeticin de (d) - (f) de -5 en lugar de 10.

Desarrollo

a) Dibuje una funcin de pertenencia (y por lo tanto, definir un conjunto difuso) que cuantifique

el conjunto de todos los hombres de mediana estatura.

Funcin de membreca gente de mediana estatura.

g) Dibujar una funcin de pertenencia que cuantifique el conjunto de todas las personas de baja

estatura.

Funcin de membreca gente de bajas estatura.

h) Dibujar una funcin de pertenencia que cuantifica el conjunto de todas las personas altas.

Funcin de membreca gente de alta estatura.

i) Dibujar una funcin de pertenencia que cuantifica la afirmacin "el nmero x es alrededor de

10. "

Funcin de membreca del numero x cercano a 10

j) Elaborar una funcin de pertenencia que cuantifica la afirmacin "el nmero x es menor que

10. "

Funcin de membreca menor a 10

k) Dibuja una funcin de pertenencia que cuantifica la afirmacin "el nmero x es mayor que 10.

"

Funcin de membreca mayor a 10

Repeticin de (d) - (f) de -5 en lugar de 10.

Funcin de membreca de un nmero x cercano a -5.

Funcin de membreca de un nmero menor a -5.

Funcin de membreca de un nmero mayor a -5.

Ejercicio 2.5 (Fuzzy Sets): Hay muchos conceptos que se utilizan en los conjuntos difusos que a

veces se convierten en til en el estudio de control difuso. Los siguientes problemas de introducir

algunos de los conceptos de conjuntos difusos ms populares que no fueron tratados en este

captulo.

(a) El "apoyo" de un conjunto difuso con funcin de pertenencia (x) es el (quebradizo)

conjunto de todos los puntos x en el universo del discurso tal que (x)> 0 y el "-corte" es

el (quebradizo) conjunto de todos los puntos en el universo del discurso tal que (x)> .

Cul es el apoyo y la 0.5-corte para el conjunto difuso se muestra en la Figura 2.6 en la

pgina 33?

Funcin de membreca de conjunto difuso

La base del conjunto difuso para 0.5-cut es: De acuerdo a la figura anterior y la tabla del libro de

pasinno como se muestra en la figura:

Para que el valor de certeza sea mayor a 0.5 el conjunto difuso que de esos valores mayores a 0.5

entnese la ecuacin nos queda:

Nos queda:

El universo de discurso para los dominios de la entrada 1 esta segmentada es:

Como se ve en la siguiente figura:

(b) La "altura" de un conjunto difuso con funcin de pertenencia (x) es el valor ms alto que

(x) alcanza en el universo del discurso en el que se ha definido. Un conjunto difuso se dice que

es "normal" si su altura es igual a uno. Cul es la altura del conjunto difuso se muestra en la

Figura 2.6 en la pgina 33? Es normal? D un ejemplo de un conjunto difuso que no es normal.

Para la figura anterior del apartado a el pico de la funcion de membresia es: =1 si la entrada

. Esto

es normal ya que en una funcin de membresa se debe tener al menos valor que indique la certeza

absoluta para un conjunto difuso.

En la siguiente figura se muestra un conjunto difuso que no es normal, ya que no posee ningn valor

que alcance la mxima certeza es decir, no alcanza el valor =1.

(c) Un conjunto difuso con funcin de pertenencia (x), donde el universo del discurso es el conjunto

de los nmeros reales se dice que es "convexo" si y slo si:

para todo x1 y x2 y todo [0, 1]. Tenga en cuenta que slo porque un conjunto difuso se dice que es

convexa no significa que la funcin de pertenencia es una funcin convexa en el sentido habitual.

Demostrar que el conjunto difuso se muestra en la Figura 2.6 en la pgina 33 es convexa.

Demostrar que la funcin de pertenencia gaussiana no es convexa. D un ejemplo (adems del

conjunto difuso con una funcin de pertenencia gaussiana) de un conjunto difuso que no es convexa.

, )

Para los intervalos de membreca nos queda

, )

Con esto llegamos a demostrar que para el conjunto difuso mencionado cumple la propiedad de ser un

conjunto convexo.

Podemos demostrar que la funcin de membresa gaussiana no es una funcin convexa central.

Un "hedge" lingstica es un modificador a un valor lingstico como "muy" o "ms o menos". Cuando

usamos modificadores lingsticos de los valores lingsticos que ya cuentan con funciones de

pertenencia, podemos simplemente modificar estas funciones de pertenencia para que representen los

valores lingsticos modificados. Considere la funcin de pertenencia en la Figura 2.6 en la pgina 33.

Supongamos que obtenemos la funcin de pertenencia de "error es muy possmall" del uno para el

"possmall" elevando al cuadrado los valores de pertenencia (es decir, verypossmall = (possmall) 2

).

Dibuje la funcin de pertenencia de "error es muy possmall." Por "error es ms o menos possmall"

podramos usar . Dibuje la funcin de pertenencia de "error es ms o

menos possmall."

Tenemos las siguientes graficas

Usando el ejemplo de las funciones de membresia del pndulo invertido de la siguiente figura tenemos

lo siguiente

Donde tenemos los punto de traslancion de possmall negsmall

El error es muy possmall es decir, verypossmall = (possmall) 2

El error es muy possmall es decir

Ahora tomamos la propiedad de llegar a obtener el valor de pertenencia con la propiedad mencionada:

Llegando a tener una respuesta de:

Ahora aplicamos la otra propiedad:

Llegando a obtener un valor de

Si bien esta ltima propiedad se podra utilizarla sin embargo existe un error superior al 100% que llega a ser

alrededor del 0.25.

Ejercicio 2.3 Diseo

Diseo 2.3 Problema (Fuzzy Control de Procesos Trmicos): este problema se utiliza para mostrar

cmo se puede meter en problemas en el diseo del control difuso, si usted no entiende las ideas

bsicas de control convencional o si no sintonizar el controlador correctamente. Suponga que se le da

el tratamiento trmico se muestra en la Figura 4.8 en la pgina 209 se describe en el Captulo 4,

excepto que se utiliza la planta

(Este es un proceso trmico con dinmica ms lenta que la que en el captulo 4). Tenga en cuenta que

q(t)> 0 corresponde a la adicin de calor, mientras que q(t)

Tabla 2.1 en la pgina 32 para el pndulo invertido: En concreto, simplemente multiplique cada

elemento del cuerpo de la Tabla 2.1 por -1 y el uso de la base de reglas resultante tabla como una base

de reglas para el controlador difuso PD (esto muestra un caso en el que puede volver a utilizar la regla

de bases de una manera conveniente). Por qu es una opcin razonable para una base de reglas? Para

explicar esto, compararlo con base de reglas del pndulo y explicar el significado de algunas de las

nuevas normas para el proceso trmico.

(a) disear un controlador lineal que dar lugar a error de seguimiento de estado estacionario cero

para la entrada de escaln, reducir al mnimo el tiempo de subida, alcanzar menos de 5%

sobreimpulso, y tratar de reducir al mnimo el tiempo de establecimiento (tratar el error de

seguimiento y el aumento del tiempo especificaciones como sus objetivos primarios, y el

exceso y sedimentacin tiempo que sus objetivos secundarios). Simular el sistema de control a

disear, y proporcionar parcelas de en funcin de t para comprobar que cumple con los

objetivos deseados.0

La funcion de transferencia de la planta

Figura 1.- respuesta de la planta

Para el diseo del controlador usaremos sisotool PID Tuning

Los Polos del sistema del PD

Respuesta del sistema del controlado PD y la planta

En grafica anterior tenemos las especificaciones que nos pidi el problema como es sobrepaso

de 5% implementado el controlador PD

(b) Simular el sistema de control difuso utilizando el controlador difuso PD describe

anteriormente. Grafique q (t) y (t) y discutir los resultados.

Membresa del error:

Error

Taza de error

Variables lingsticas

Entre las variables lingsticas tenemos siguientes variables

MasPositivo mp

Positivo p

Cero Zero

Negativo n

MasNegativo mn

Base de conocimiento:

Evaluacin de reglas

Con las reglas obtenidas para el pndulo invertido anteriormente multiplicamos las funcin de

pertenencia o las reglas por -1 y tenemos las siguientes reglas como se muestra en la siguiente

tabla

Salida Cambio de error

-2 -1 0 1 2

error -2 -2 -2 -2 -1 0

-1 -2 -2 -1 0 1

0 -2 -1 0 1 2

1 -1 0 1 2 2

2 0 1 2 2 2

Estos reglas nos ayudamos para realizar nuestro controlador con la ayuda del software de

matlab con el toolbox Fuzzy .La evaluacin de reglas se lleva acabo usando la informacin de

los valores encontrados en la fuzzificacin para luego producir salidas difusas.

4.6 Defuzzificacin

Para la planta de primer grado la Defuzzificacin usa las salidas fuzzificadas del paso de la evaluacin de reglas

y las funciones de membreca de la variable de salida, que estn en la base de reglas para generar un nico valor

como salida del sistema, que consiste de un valor como se muestra en la figura

En la siguiente figura representar la superficie de control para el controlador de lgica difusa.

Implementacin de la lgica difusa

Mediante similink implementaremos las reglas realizadas realizadas en control fuzzy como se ve en la siguiente

figura:

En la siguiente figura podemos observar el controlador que es de color morado y de color

celeste lo que ya planta del sistema como podemos ver en tiene un error de 0.078 como se

aparecera en la figura

(c) Sintonice el controlador difuso PD cambiando la escala de ganancias g0 y g1 a cumplir con los mismos

objetivos que se indica en (a). Comparar los resultados de (a) y Es justo comparar los controladores

lineales y difusa? Que utiliza ms clculos? Est el control no lineal (control difuso) realmente se

necesita para este planta lineal ?

La ventaja de los sistemas difusos es su aplicacin en procesos industriales donde el control automtico

es difcil de aplicar ya que el proceso puede ser no lineal o se tenga suficiente informacin sobre la

planta. Aqu la teora de la lgica difusa presenta su principal aplicacin ya que no requiere conocer el

modelo matemtico de la planta, en estos casos es suficiente la informacin que pueda suministrar el

operador humano, estas estrategias de control son expresadas de forma verbal por el operador pero no

pueden implementarse o tomarse como base para disear un controlador convencional, pero si

representan informacin suficiente para implementarlas como reglas de control para un sistema difuso.

(d) Sintonice el controlador difuso PD cambiando la escala de ganancias g0 y g1 a cumplir con los

mismos objetivos que se indica en (a). Comparar los resultados de (a) y

Es justo comparar los controladores lineales y difusos? Que utiliza ms clculos? Est el

control no lineal (control difuso) realmente se necesita para este planta lineal?

En el apartado a cmo podemos ver en la figura tenemos planta de primer grado realizamos un control

pid que tiene un sobrepaso de 5% el controlador tiene una respuesta rpida en cambio el controlador

fuzzy es ms rpido tiene

Para los valores de g0=0.1

K=1

Ahora variamos las ganancias

Para los valores de g0=0.01

K=2

Se variando las ganancias el controlador es ms rpido y tiene menos error como se ve en la

figura

Cual es ms Rpido Control normal o el control difuso

El control difuso presenta mejor respuesta a las perturbaciones. En el controldifuso (color

morado), si la perturbacin es fuerte cae pero se estabiliza en una valor que esta aun en el

rango admisible de error mientras que el PID (color rojo) cae tres veces ms. Cuando la

perturbacin desaparece, el control difuso estabiliza de manera ms rpida la temperatura del

bloque como vemos en la siguiente figura

Conclusin del Ejercicio

En este ejercicio se realizo una comparacin que demuestra que un control PID implementado en lgica difusa excede por mucho el rendimiento y es mas rapido, El rendimiento del control PD difuso

puede ser mejorado aun ms si se agregan al control las etapas integral y derivativa, sin embargo estas deben de ser utilizadas dependiendo del tipo de aplicacin para nuestro de planta de primer orden.