PROBLEMA 1

Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.

Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación y ' '−4 y'+4 y=2ex−1, Un estudiante propone:

a. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1e2x +C2 x e

2 x

b. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1e−2 x +C2 xe

−2x

c. . Hacer las sustituciones y=xm , y '=mxm−1 , y ' '=m(m−1) xm−2 y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1 x

2 +C2 x2

d. Hacer las sustituciones y=xm , y '=mxm−1 , y ' '=m(m−1) xm−2 y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da yh=C1x

−2 +C2 x−2

Solución:

Resolviendo la Ecuación Diferencial), tenemos:

y ' '−4 y'+4 y=2ex−1

Sea y=emx, por lo que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea y ' '−4 y'+4=0 será:

m2−4 x+4=(m−2 )2=0

Por lo cual las tenemos dos raíces reales iguales con valores m1=2=m2, por lo tanto la solución de la ED homogénea será:

yH=C1 e2x+C2 xe

2x

Como se puede apreciar, la respuesta es la mostrada en el inciso a)