ejer cici os

Cátedra: Investigación Operativa Universidad Tecnológica Nacional Año: 2002 Facultad Regional Mendoza

1

EJERCICIO 2.1:

Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable. No necesita formular el modelo.

Florida Citrus, Inc., procesa jugo de naranja y lo transforma en concentrado congelado en tres plantas localizadas en Tampa, Miami y Jacksonville. De cualquiera de los dos huertos ubicados cerca de Orlando y Gainesville se pueden enviar libras de naranja hacia cualquier planta. Dado el costo de embarque y el precio de venta del concentrado, el objetivo, sujeto a ciertas restricciones de oferta y demanda, es determinar como embarcar estas naranjas desde los dos huertos a las tres plantas procesadoras para maximizar la ganancia total.

Plantas

Tampa = T

Jacksonville = J

Miami = M

Huertos

Orlando = O

Gaineisville = G

Variables de decisión:

XOT = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino T. XOM = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino M XOJ = cantidad de naranjas desde el origen O hasta el destino J. XGT = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino T. XGM = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino M XGJ = cantidad de naranjas desde el origen G hasta el destino J.

EJERCICIO 2.2:

Identifique un conjunto de variables de decisión apropiadas para este ejercicio. Proporcione nombres simbólicos relevantes y una descripción completa de cada variable No necesita formular el modelo.

Pensión Planners, Inc., administra una cartera particular que consiste en 1800, 1000 y 500 acciones de fondos mutuos. Dadas ciertas suposiciones sobre las condiciones económicas en los siguientes 2 meses, el administrador de la agenda desea determinar el número de acciones de cada fondo por vender o comprar en cada uno de los siguientes dos meses, para maximizar el valor esperado de la agenda.

O

G

T

M

J

Huertos Plantas

RESOLUCION DE EJERCICIOS DEL CAPITULO 2


2

. Variables de decisión: X1 = cantidad de acciones del fondo 1 por vender en los siguientes dos meses. X2 = cantidad de acciones del fondo 2 por vender en los siguientes dos meses. X3 = cantidad de acciones del fondo 3 por vender en los siguientes dos meses. X4 = cantidad de acciones del fondo 1 por comprar en los siguientes dos meses. X5 = cantidad de acciones del fondo 2 por comprar en los siguientes dos meses. X6 = cantidad de acciones del fondo 3 por comprar en los siguientes dos meses. F1 = cantidad total de acciones del fondo 1 al final de los dos meses. F2= cantidad total de acciones del fondo 2 al final de los dos meses. F3 = cantidad total de acciones del fondo 3 al final de los dos meses. EJERCICIO 2.3:

Para el ejercicio 2.1, el huerto que está cerca de Orlando tiene 20000 libras de naranjas y el huerto cercano a Gainesville tiene 12000 libras de naranjas.

La planta de Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas para cumplir su cuota de producción. Las plantas de Miami y Jacksonville requieren cada una al menos 11000 libras de naranjas. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo. Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1 6 Restricciones de producción: XOT + XOM + XOJ < = 20000 Orlando puede enviar hasta 20000 libras de naranjas XGT + XGM + XGJ < = 12000 Gainesville puede enviar hasta 12000 libras de naranjas

Ventas

Compras

Fondo1

Fondo2

Fondo3


3

Restricciones de demanda: XOT + XGT >= 8000 Tampa requiere al menos 8000 libras de naranjas XOM + XGM >= 11000 Miami requiere al menos 11000 libras de naranjas. XOJ + XGJ >= 11000 Jacksonville requiere al menos 11000 libras de naranjas. EJERCICIO 2.4:

Al determinar el número de acciones por comprar o vender en el ejercicio 2.2, la administración nunca desearía vender más acciones de las que tiene. Asimismo, el fondo 1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo 2, y este último tampoco debe tener más del doble del número de acciones del fondo 3.

Finalmente, la cantidad total invertida en cada fondo no debe exceder los $75 000. Use la técnica de agrupamiento para identificar todos los grupos de restricciones. No necesita formular las restricciones; sin embargo, especifique el número de restricciones de cada grupo. Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1 6 Restricciones de venta: F1 = 1800 + X4 – X1 El total del fondo1 es lo que tiene más lo que compra y vende. F2 = 1000 + X5 - X2 El total del fondo2 es lo que tiene más lo que compra y vende. F3 = 500 + X6 - X3 El total del fondo3 es lo que tiene más lo que compra y vende. X1 < = 1800 + X4 Lo que hay para vender del fondo1 debe ser al menos la suma de lo que

tiene más lo que compra. X2 < = 1000 + X5 Lo que hay para vender del fondo2 debe ser al menos la suma de lo que

tiene más lo que compra. X3 < = 500 + X6 Lo que hay para vender del fondo3 debe ser al menos la suma de lo que

tiene más lo que compra. Restricciones de compra:

F1 < = 2 * F2 El fondo1 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo2 F2 < = 2 * F3 El fondo2 en ningún caso debe tener más del doble de acciones del fondo3 Restricciones de inversión: F1 < = 75000 La cantidad total invertida en el fondo1 no debe exceder los $75 000. F2 < = 75000 La cantidad total invertida en el fondo2 no debe exceder los $75 000 F3 < = 75000 La cantidad total invertida en el fondo3 no debe exceder los $75 000


4

EJERCICIO 2.5

Para el ejercicio 2.1, use la técnica de descomposición para expresar la función objetivo de maximización de ganancias dados los siguientes datos de costo e ingresos: Función objetivo de maximización de ganancias: Z = (XOT* Ingresos - XOT* Costos) + (XOM * Ingresos - XOM * Costos) + (XOJ * Ingresos - XOJ * Costos) + (XGT * Ingresos - XGT * Costos) + (XGM * Ingresos - XGM * Costos) + (XGJ * Ingresos - XGJ * Costos) Z = (XOT* 550 - XOT* 50) + (XOM * 750 - XOM * 75) + (XOJ * 600 - XOJ * 60) + (XGT * 550 - XGT * 60) + (XGM * 750 - XGM * 90) + (XGJ * 600 - XGJ * 45)

Mediante Lingo: MAX = (Xot*550 - Xot*50)+(Xom*750 - Xom*75)+ (Xoj*600 - Xoj*60)+(Xgt*550 - Xgt*60)+ (Xgm*750 - Xgm*90)+(Xgj*600 - Xgj*45); Xot >=0; Xom >=0; Xoj >=0; Xgt >=0; Xgm >=0; Xgj >=0; Xot+Xom+Xoj <=20000; Xgt+Xgm+Xgj <=12000; Xot+Xgt >=8000; Xom+Xgm >=11000; Xoj+Xgj >=11000;

COSTO DE EMBARQUE ($/Ton) A DESDE TAMPA MIAMI JAKSONVILLE Orlando 50 75 60 Gainesville 60 90 45

INGRESOS ($/ton de naranjas procesadas)

Tampa 550 Miami 750 Jacksonville 600


5

Solution Report Global optimal solution found at step: 10 Objective value: 0.1887000E+08 Variable Value Reduced Cost XOT 7000.000 0.0000000 XOM 13000.00 0.0000000 XOJ 0.0000000 25.00000 XGT 1000.000 0.0000000 XGM 0.0000000 5.000000 XGJ 11000.00 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.1887000E+08 1.000000 2 7000.000 0.0000000 3 13000.00 0.0000000 4 0.0000000 0.0000000 5 1000.000 0.0000000 6 0.0000000 0.0000000 7 11000.00 0.0000000 8 0.0000000 675.0000 9 0.0000000 665.0000 10 0.0000000 -175.0000 11 2000.000 0.0000000 12 0.0000000 -110.0000 Mediante Solver::


6

Celdas cambiantesNombre Valor final Valor inicialXot>=0 7000 0

Xom>=0 13000 0Xoj>=0 0 0Xgt>=0 1000 0

Xgm>=0 0 0Xgj>=0 11000 0

RestriccionesNombre Valor final lado

derechoValor final lado izquierdo

Valor inicial lado izquierdo

Xot+Xom+Xoj<=20000 20000 20000 20000Xgt+Xgm+Xgj<=12000 12000 12000 12000Xot+Xgt>=8000 8000 8000 8000Xom+Xgm>=11000 13000 11000 11000Xoj+Xgj>=11000 11000 11000 11000

Función objetivo

Z= 18870000

(Xgm * 750 - Xgm * 90) + (Xgj * 600 - Xgj * 45)

Z = (Xot* 550 - Xot* 50) + (Xom * 750 - Xom * 75) + (Xoj * 600 - Xoj * 60) + (Xgt * 550 - Xgt * 60) +

0000

Valor inicial lado derecho

0

EJERCICIO 2.6:

Para el ejercicio 2.2, suponga que al final del segundo mes se espera que el precio por

acción del Fondo 1 sea $28, que el del Fondo 2 sea $60 y el del Fondo 3, $45. Formule una restricción para asegurar que con estos precios, el valor de la cartera al final del segundo mes sea al menos $ 125 000. Ilustre el uso de la descomposición. Restricción de ganancia:

28 * F1 + 60 * F2 + 45 * F3 > = 125000 Función Objetivo: Z = 28 * ( 1800 + X4 – X1 ) + 60 * ( 1000 + X5 – X2 ) + 45 * ( 500 + X6 – X3 ) Z = 28* F1 + 60 * F2 + 45 * F3

Mediante Lingo:

MAX = 28*(1800 + X4 - X1)+ 60*(1000 + X5 - X2)+ 45*(500 + X6 - X3); X1 >=0; X2 >=0; X3 >=0; X4 >=0;


7

X5 >=0; X6 >=0; 1800 + X4 - X1 <= 2*(1000 + X5 - X2); 1000 + X5 - X2 <= 2*(500 + X6 - X3); 28*(1800 + X4 - X1) <= 75000; 60*(1000 + X5 - X2) <= 75000; 45*(500 + X6 - X3) <= 75000; 28*(1800 + X4 - X1)+ 60*(1000 + X5 - X2)+ 45*(500 + X6 - X3) >= 125000;

Solution Report Global optimal solution found at step: 4 Objective value: 220000.0 Variable Value Reduced Cost X4 700.0000 0.0000000 X1 0.0000000 0.0000000 X5 250.0000 0.0000000 X2 0.0000000 0.3337860E-05 X6 1166.667 0.0000000 X3 0.0000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 220000.0 1.000000 2 0.0000000 0.0000000 3 0.0000000 0.0000000 4 0.0000000 0.0000000 5 700.0000 0.0000000 6 250.0000 0.0000000 7 1166.667 0.0000000 8 0.0000000 28.00000 9 2083.333 0.0000000 10 5000.000 0.0000000 11 0.0000000 1.933333 12 0.0000000 1.000000 13 95000.00 0.0000000


8

Mediante Solver: Celdas cambiantes Nombre Valor inicial Valor final X1>=0 0 1042 X2>=0 0 0 X3>=0 0 0 X4>=0 0 1742 X5>=0 0 250 X6>=0 0 1167 Restricciones Nombre Valor inicial

lado derecho Valor Final lado derecho


Valor Final lado izquierdo

F3 500+X6-X3 500 625 F1 1800+X4-X1<= 2*F2 1800 2500 2000 2500F2 1000+X5-X2<= 2*F3 1000 1250 1000 1250F1 28*(1800+X4-X1)<=75000 50400 70000 75000 75000F2 60*(1000+X5-X2)<=75000 108000 75000 75000 75000F3 45*(500+X6-X3)<=75000 22500 75000 75000 75000

28*F1+60*F2+45*F3>=125000

132900 220000 125000 125000

Función objetivo: Z= 28*F1 + 60*F2 + 45*F3 Z= 220000 EJERCICIO 2.7:

World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de

$25 por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:

GASOLINA TURBOSINA QUEROSENO Crudo ligero 0.45 0.18 0.30 Crudo pesado 0.35 0.36 0.20

La refinería se ha comprometido a entregar 1260000 barriles de gasolina, 900000 barriles de

turbosina y 300000 barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión: X1= cantidad de barriles de petróleo ligero X2= cantidad de barriles de petróleo pesado


9

Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1 2 Restricciones de producción: 0.45 * X1 + 0.35 * X2 > = 1260000 cantidad de barriles de gasolina a entregar 0.18 * X1 + 0.36 * X2 > = 900000 cantidad de barriles de turbosina a entregar 0.30 * X1 + 0.20 * X2 > = 300000 cantidad de barriles de queroseno a entregar Función objetivo:

Minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. MIN = 25 * X1 + 22 * X2

EJERCICIO 2.8

Reconsidere el ejercicio 2.7. Cada barril de petróleo crudo refinado produce un desecho de

0.07 de barril que se tira a un costo de $1 por barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0.09 de barril y su eliminación cuesta $1.50 por barril. Formule un nuevo modelo para incorporar estos costos adicionales usando los mismos datos del ejercicio 2.7. Función objetivo: Z= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50)

Mediante Lingo: MIN= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50); X1>=0; X2>=0; 0.45 * X1 + 0.35 * X2 > = 1260000; 0.18 * X1 + 0.36 * X2 > = 900000; 0.30 * X1 + 0.20 * X2 > = 300000;

Resolución: Solution Report


10

Global optimal solution found at step: 8 Objective value: 0.7494100E+08 Variable Value Reduced Cost X1 1400000. 0.0000000 X2 1800000. 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.7494100E+08 1.000000 2 1400000. 0.0000000 3 1800000. 0.0000000 4 0.0000000 -50.91818 5 0.0000000 -11.98232 6 480000.0 0.0000000 Mediante Solver: Celdas cambiantes

Nombre Valor Inicial Valor final X1>=0 0 1400000 X2>=0 0 1800000

Restricciones

Nombre Valor final lado derecho

Valor final lado izquierdo



0.45 * X1 + 0.35 * X2 > = 1260000

1260000 1260000 0 1260000

0.18 * X1 + 0.36 * X2 > = 900000

900000 900000 0 900000

0.30 * X1 + 0.20 * X2 > = 300000

780000 300000 0 300000

Función objetivo Z= (X1*25 + X1* 0.07*1) + (X2*22 + X2*0.09*1.50)

Z= 74941000 EJERCICIO 2.9:


11

Carmac Company fabrica carros compactos y subcompactos. La producción de cada carro

requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como se especifica en la siguiente tabla:

MATERIA PRIMA

MANO DE OBRA

(libras) (horas) Compactos 200 18 Subcompactos 150 20 Costo unitario ($) 10 70 Total disponible 80000 9000

La división de comercialización ha estimado que a lo más 1500 compactos pueden venderse

a $ 10 000 cada uno y que a lo más 200 subcompactos pueden venderse a $8000 cada uno. Como vicepresidente de programación, formule un modelo para determinar la cantidad a fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Costo de un auto compacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 200*10 + 18*70 = $3260 Costo de un auto subcompacto: cant Materia Prima*costo + cant Mano de Obra*costo = 150*10 + 20*70 = $2900 Variables de decisión: X1= cantidad de carros compactos X2= cantidad de carros subcompactos Función objetivo:

Maximizar la ganancia total (ingresos menos gastos). MAX = (X1*10000 + X2*8000) – (X1*3260 + X2*2900)

Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1 2 Restricciones de disponibilidad: X1*2000 + X2*1500 <= 80000 Total disponible de materia prima X1*18 + X2*20 <= 9000 Total disponible de mano de obra X1<= 1500 a lo más 1500 compactos pueden venderse X2<= 200 a lo más 200 subcompactos pueden venderse

Mediante Lingo: MAX = (X1*10000 + X2*8000)- (X1*3260 + X2*2900);


12

X1>=0; X2>=0; X1*200 + X2*150 <= 80000 ; X1*18 + X2*20 <= 9000 ; X1<= 1500; X2<= 200;

Solution Report Global optimal solution found at step: 3 Objective value: 2705000. Variable Value Reduced Cost X1 250.0000 0.0000000 X2 200.0000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2705000. 1.000000 2 250.0000 0.0000000 3 200.0000 0.0000000 4 0.0000000 33.70000 5 500.0000 0.0000000 6 1250.000 0.0000000 7 0.0000000 45.00000 Mediante Solver: Celdas cambiantes

Nombre Valor Inicial Valor final X1>=0 0 250 X2>=0 0 200

Restricciones





X1*200 + X2*150 <= 80000

80000 80000 0 80000

X1*18 + X2*20 <= 9000

8500 9000 0 9000

X1<=1500 250 1500 0 1500X2<=200 200 200 0 200 Función objetivo Z= (X1*10000 + X2*8000) – (X1*3260 +

X2*2900)

Z= 2705000 EJERCICIO 2.10:


13

Fresh Dairy Farms tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:

LECHE

DESCREMADA MANTEQUILLA QUESO

Máquina 1 0.2 min/gal 0.5 min/lb 1.5 min/lb Máquina 2 0.3 min/gal 0.7 min/lb 1.2 min/lb Ganancia neta $0.22/gal $0.38/lb $0.72/lb

Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente del

departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. Variables de decisión: X1= cantidad de leche descremada X2= cantidad de mantequilla X3= cantidad de queso Función objetivo: Maximice las ganancias corporativas netas.

MAX = 0.22 * X1 + 0.38 * X2 + 0.72 * X3 Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1 3 Restricciones de producción: X1>= 300 producción mínima de leche X2>=200 producción mínima de mantequilla X3>=100 producción mínima de queso X1*0.2 + X2*0.5 + X3*1.5 <=480 producción diaria en máquina 1 X1*0.3 + X2*0.7 + X3*1.2 <=480 producción diaria en máquina 2

Mediante Lingo: MAX = 0.22 * X1 + 0.38 * X2 + 0.72 * X3; X1>= 300; X2>=200; X3>=100; X1*0.2 + X2*0.5 + X3*1.5 <=480; X1*0.3 + X2*0.7 + X3*1.2 <=480;

Global optimal solution found at step: 7 Objective value: 309.3333

Variable Value Reduced Cost X1 733.3333 0.0000000 X2 200.0000 0.0000000 X3 100.0000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 309.3333 1.000000 2 433.3333 0.0000000 3 0.0000000 -0.1333333


14

4 0.0000000 -0.1600000 5 83.33333 0.0000000 6 0.0000000 0.7333333 Mediante Solver: Celdas cambiantes

Nombre Valor Inicial Valor final X1>=0 0 733 X2>=0 0 200 X3>=0 0 100

Restricciones Nombre Valor final lado

derecho Valor final lado

izquierdo Valor inicial lado

derecho Valor inicial lado

izquierdo X1>=300 733 300 0 300X2>=200 200 200 0 200X3>=100 100 100 0 100X1*0.2 + X2*0.5 + X3*1.5 <=480

397 480 480

X1*0.3 + X2*0.7 + X3*1.2 <=480

480 480 0 480

Función objetivo Z=0.22 * X1 + 0.38 * X2 + 0.72 * X3

Z= 309 EJERCICIO 2.11:

Cada galón de leche, libra de queso y libra de manzanas proporciona un número conocido

de miligramos de proteínas y vitaminas A, B y C. La siguiente tabla incluye esos datos junto con los requerimientos diarios de los ingredientes nutricionales, según lo recomendado por el Departamento de Agricultura de los EE.UU. La tabla también incluye la cantidad mínima de cada alimento que debe incluirse en la comida y su costo.

LECHE QUESO MANZANAS REQUERIMIENTOS (mg/gal) (mg/lb) (mg/lb) MÍN. DIARIOS (mg) Proteínas 40 30 10 80 Vitamina A 5 50 30 60 Vitamina B 20 30 40 50 Vitamina C 30 50 60 30 Cantidad mínima 0.5gal 0.5lb 0.5lb Costo unitario ($) 2.15 2.25 1.25

Como dietista de una escuela pública, formule un modelo para determinar la comida de costo mínimo que reúna todos los requerimientos nutricionales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión: X1= cantidad de leche a consumir. X2= cantidad de queso a consumir


15

X3= cantidad de manzanas a consumir Función objetivo: Costo mínimo de comida que reúna todos los requerimientos nutricionales. MIN = 2.15 * X1 + 2.25 * X2 + 1.25 * X3 Restricciones de no negatividad: Xi >= 0 siendo i = 1 3 Restricciones de consumo mínimo: 40 * X1 + 30 * X2 + 10 * X3 >= 80 requerimiento mínimo diario de proteínas 5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60 requerimiento mínimo diario de vtamina A 20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50 requerimiento mínimo diario de vitamina B 30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30 requerimiento mínimo diario de vitamina C X1 > = 0.5 cantidad mínima de leche, a consumir diariamente X2 > = 0.5 cantidad mínima de queso, a consumir diariamente X3 > = 0.5 cantidad mínima de manzanas, a consumir diariamente

Mediante Lingo: MIN = 2.15 * X1 + 2.25 * X2 + 1.25 * X3; 40 * X1 + 30 * X2 + 10 * X3 >= 80; 5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60; 20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50; 30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30; X1 > = 0.5; X2 > = 0.5; X3 > = 0.5;

Global optimal solution found at step: 7 Objective value: 5.147297 Variable Value Reduced Cost X1 1.297297 0.0000000 X2 0.7702703 0.0000000 X3 0.5000000 0.0000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 5.147297 1.000000 2 0.0000000 -0.5202703E-01 3 0.0000000 -0.1378378E-01 4 19.05405 0.0000000 5 77.43243 0.0000000 6 0.7972973 0.0000000 7 0.2702703 0.0000000 8 0.0000000 -0.3162162 Mediante Solver: Celdas cambiantes

Nombre Valor Inicial Valor final X1>=0 0,00 1,05 X2>=0 0,00 1,09 X3>=0 0,00 0,50


16

Restricciones





40 * X1 + 30 * X2 + 10 * X3 >= 80

80,00 80,00 0,00 80,00

5 * X1 + 50 * X2 + 30 * X3 >= 60

60,00 60,00 0,00 60,00

20 * X1 + 30 * X2 + 40 * X3 >= 50

73,92 50,00 0,00 50,00

30 * X1 + 50 * X2 + 60 * X3 >= 30

116,35 30,00 0,00 30,00

X1 > = 0.5 1,05 0,50 0,00 0,50X2 > = 0.5 1,09 0,50 0,00 0,50X3 > = 0.5 0,50 0,50 0,00 0,50 Función objetivo Z=2.15 * X1 + 2.25 * X2 +

1.25 * X3

Z= 5,35 EJERCICIO 2.13:

Rich Oil Company, cerca de Cleveland, suministra gasolina a sus distribuidores en camiones. La compañía recientemente recibió un contrato para iniciar el suministro de $800 000 galones de gasolina por mes a distribuidores de Cincinnati. La compañía tiene $500 000 disponibles para crear una flota consistente en tres tipos diferentes de camiones. En la siguiente tabla se muestra la capacidad relevante, costo de compra, costo operativo y número máximo de viajes por cada tipo de camión:

TIPO DE CAMIÓN

CAPACIDAD (galones)

COSTO DE COMPRA ($)

COSTO DE OPERACIÓN

($/mes)

MÁXIMO DE VIAJES/MES

1 6000 50 000 800 20 2 3000 40 000 650 25 3 2000 25 000 500 30

Sobre la base del mantenimiento y la disponibilidad de conductores, la compañía no desea comprar mas de 10 vehículos para su flota. Asimismo, la compañía desearía asegurarse que se compren al menos tres de los camiones del tipo 3 (se requieren para su uso en las rutas de trayecto corto/baja demanda). Finalmente, la compañía no desea que más de la mitad de la flota sea de camiones del tipo 1.


17

Como gerente de operaciones, formule un modelo para determinar la composición de la flota que minimice los costos operativos mensuales al tiempo que satisfagan las demandas, no saliéndose del presupuesto y satisfaciendo los requerimientos de las otras compañías. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión: XI :Nº de camiones tipo I

Restricciones de costo: X1+X2+X3 <= 10 X3 >=3

Restricciones de demanda:

X1 - X2 - X3 <= 0

Inversión Inicial X1.50000+X2.40000+X3.25000 <= 500000 Restricciones de contrato X1.20.6000+X2.25.3000+ X3. 30.2000 >= 800000

Función objetivo: Min [800 X1 + 650 X2+ 500 X3]

Mediante Lindo:

MIN 800 X1 + 650 X2 + 500 X3 ST 500000 X1 + 40000 X2 + 25000 X3 <= 500000 120000 X1 + 75000 X2 + 60000 X3 <= 800000 X1 + X2 + X3 <= 10 X3 >= 3 X1 - X2 - X3 <= 0 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1500.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 800.000000 X2 0.000000 650.000000 X3 3.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 425000.000000 0.000000 3) 620000.000000 0.000000 4) 7.000000 0.000000 5) 0.000000 -500.000000 6) 3.000000 0.000000 NO.ITERATIONS=1 EJERCICIO 2.14:

World Airlines reabastece sus aeronaves regularmente en los cuatro aeropuertos en donde da servicio. La turbosina puede comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. La tabla


18

indica (1) el costo de entrega (compra mas embarque) por mil galones de cada vendedor a cada aeropuerto, (2) el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede suministrar cada mes y (3) el requerimiento mensual de turbosina (en miles de galones) en cada aeropuerto.

COSTO DE ENTREGA CANTIDAD DE COMBUSTIBLE

REQUERIDO AEROPUERTO Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3 1 900 800 900 150 2 900 1200 1300 250 3 800 1300 500 350 4 1000 1400 1000 480 Provisión máxima

300 600 700

Formule un modelo para determinar las cantidades que se deben comprar y enviar por parte de cada vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total, satisfaciendo al mismo tiempo por lo menos la demanda mensual a cada aeropuerto y no excediendo el suministro de cualquier vendedor. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Variables de decisión XIj : cantidad de gasolina del vendedor j al aeropuerto i

X1 + X5 + X9 >= 150 X2 + X6 + X10 >= 250 X3 + X7 + X11 >= 350 X4 + X9 + X12 >= 480 X1 + X2 + X3 + X4 <= 300 X5 + X6 + X7 + X8 <= 600

Restricciones

X9 + X10 + X11 + X12 <= 700 Función Objetivo : Z= Min [X1. 900 + X5 . 800 + X9 . 900 + X2 . 900 + X6. 1200 + X10 . 1300 + X3 . 800 + X7 . 1300 + X11. 500 + X4 . 1000 + X9 . 1400 + X12 . 1000 ]

Mediante Lindo: MIN 900 X1 + 900 X2 + 800 X3 +1000 X4 + 800 X5 + 1200 X6 + 1300 X7 + 1400 X8 + 900 X9 + 1300 X10 + 500 X11 + 1000 X12 ST X1 + X2 + X3 + X4 <= 300


19

X5 + X6 + X7 + X8 <= 600 X9 + X10 + X11 + X12 <= 700 X1 + X5 + X9 >= 150 X2 + X6 + X10 >= 250 X3 + X7 + X11 >= 350 X4 + X9 + X12 >= 480 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 869000.0 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1200.000000 X2 170.000000 0.000000 X3 0.000000 200.000000 X4 130.000000 0.000000 X5 0.000000 800.000000 X6 80.000000 0.000000 X7 0.000000 400.000000 X8 0.000000 1400.000000 X9 350.000000 0.000000 X10 0.000000 500.000000 X11 350.000000 0.000000 X12 0.000000 100.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 300.000000 3) 520.000000 0.000000 4) 0.000000 400.000000 5) 200.000000 0.000000 6) 0.000000 -1200.000000 7) 0.000000 -900.000000 8) 0.000000 -1300.000000 NO.ITERATIONS=5 EJERCICIO 2.15:

Mason Communication Commision ha recibido solicitudes de asignación de frecuencias de cuatro nuevas estaciones de radio. Dos frecuencias de radio interfieren si están a 0.5 megahertz de distancia. Las siguientes frecuencias (en meagahertz) están actualmente disponibles: 100.0, 100.1, 100.3, 100.7, 101.0, 101.1, 101.4, 101.8. Formule un modelo para determinar si la comisión puede


20

asignar cuatro nuevas frecuencias y, si es asi, cuáles. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. (Sugerencia: es usted libre para asignar o no cada frecuencia, así que considere las variables 0-1.) Variables de decisión:

100.0 100.1 100.3 100.7 101.0 101.1 101.4 101.8 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

Xj = 0;1 son enteras X1 + X2 + X3 <= 1 X3 + X4 <= 1 X4 + X5 + X6 <= 1 X5 + X6 <= 1 X5 + X6 +X7 <= 1 X6 + X7 <= 1

Restricciones:

X7 + X8 <= 1 Función objetivo: Z= MAX X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8

Mediante Lindo: MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 ST X1 + X2 + X3 <= 1 X3 + X4 <= 1 X4 + X5 + X6 <= 1 X5 + X6 <= 1 X5 + X6 + X7 <= 1 X6 + X7 <= 1 X7 + X8 <= 1 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.000000 X2 0.000000 1.000000


21

X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 1.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 0 EJERCICIO 2.16:

La cuidad de Dakota Heigts desea determinar cuántas subestaciones postales se requieren para dar servicio a su población. La ciudad ha sido dividida en ocho zonas postales. Se han identificado cinco ubicaciones posibles para las subestaciones. Cada ubicación puede dar servicio a un número de zonas, como se indica en la siguiente tabla:

UBICACIÓN ZONAS QUE SE PUEDEN ATENDER

1 1,2,3 2 1,4,5 3 2,4,5,8 4 3,5,6,8 5 6,7,8

Formule un modelo para determinar el menor número de subestaciones ( y sus ubicaciones) necesarias para dar servicio a las ocho zonas postales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. (Sugerencia: defina una variable apropiada para cada ubicación.) Variables de decisión: Xi : ubicación i ocupada / no ocupada ( 0 o 1)

X1 + X2 <= 1X1 + X3 <= 1X1 + X4 <= 1

Restricciones:

X2 + X3 <= 1


22

X2 + X3 + X4 <= 1 X4 + X5 <= 1

X3 + X5 <= 1 Función objetivo: Z= MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 + X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17

Mediante Lindo: MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7 + X8 + X9 + X10 + X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 ST X1 + X2 <= 1 X1 + X3 <= 1 X1 + X4 <= 1 X2 + X3 <= 1 X2 + X3 + X4 <= 1 X4 + X5 <= 1 X4 + X5 <= 1 X3 + X5 <= 1 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.000000 X2 0.000000 1.000000 X3 0.000000 1.000000 X4 0.000000 1.000000 X5 0.000000 1.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 0.000000 1.000000 X8 0.000000 1.000000 X9 0.000000 1.000000 X10 0.000000 1.000000 X11 0.000000 1.000000 X12 0.000000 1.000000 X13 0.000000 1.000000 X14 0.000000 1.000000 X15 0.000000 1.000000 X16 0.000000 1.000000


23

X17 0.000000 1.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 1.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 1.000000 0.000000 5) 1.000000 0.000000 6) 1.000000 0.000000 7) 1.000000 0.000000 8) 1.000000 0.000000 9) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 0 EJERCICIO 2.17:

Tres divisiones de Twinsburg Company fabrican un producto en el que cada unidad completa consiste en 4 unidades de componente A y 3 unidades del componente B. Los dos componentes (A y B) se fabrican a partir de 2 materias primas diferentes. Existen 100 unidades de la materia prima 1 y 200 unidades de la materia prima 2 disponibles c/1 . Cada una de las tres divisiones usa un método diferente para fabricar los componentes, dando como resultado distintos requerimientos de materia prima por corrida de producción en cada división y el numero de cada componente producido por esa corrida.

ENTRADA SALIDA MATERIA

PRIMA COMPONENTE

DIVISION 1 2 A B 1 8 6 7 5 2 5 9 6 9 3 3 8 8 4

Por ejemplo cada corrida de producción de la división 1 requiere 8 unidades de la materia

prima 1 y 6 unidades de la materia prima 2. El producto de esta corrida es 7 unidades de A y 5 unidades de B. Como gerente de producción, formule un modelo de producción para determinar el numero de corridas de producción para cada división que maximice el numero total de unidades terminadas del producto final. Variables de decisión:

XU: Número de corridas de la división de 1. XD: Número de corridas de la división de 2. XT: Número de corridas de la división de 3. A: Número del componente A. B: Número del componente B.


24

C: Número del componente C.

8 XU + 5 XD + 3 XT <= 100 6 XU + 9 XD + 8 XT <= 200 7XU + 6 XD + 8 XT = A � 7 XU + 6 XD + 8 XT – A = 0 Restricciones

5 XU + 9 XD + 4 XT = B � 5 XU + 9 XD + 4 XT – B =0

Mediante Lindo:

MAX 4 A + 3 B SUBJECT TO 6 XU + 9 XD + 8 XT >= 200 8 XU + 5 XD + 3 XT <= 100 7 XU + 6 XD + 8 XT - A = 0 5 XU + 9 XD + 4 XT - B = 0 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1466.667 VARIABLE VALUE REDUCED COST A 266.666656 0.000000 B 133.333328 0.000000 XU 0.000000 74.333336 XD 0.000000 22.333334 XT 33.333332 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 66.666664 0.000000 3) 0.000000 14.666667 4) 0.000000 -4.000000 5) 0.000000 -3.000000 NO. ITERATIONS= 2 EJERCICIO 2.18:

Los dos productos que produce case chemicals, CS-01 y CS-02, generan cantidades excesivas de tres contaminantes diferentes A, B, C. El gobierno estatal le ha ordenado a la compañía que instale y emplee dispositivos anticontaminantes. La siguiente tabla proporciona las emisiones diarias actuales en kg/1000 litros y el máximo de cada contaminante permitido en kg.

CONTAMINANTE CS-01 CS-02 MAXIMO PERMITIDO A 25 40 43


25

B 10 15 20 C 80 60 50

El gerente del departamento de producción aprobó la instalación de dos dispositivos

anticontaminantes. Las emisiones de cada producto pueden ser manejadas por cualquiera de los dos dispositivos en cualquier proporción. (las emisiones se envían a través de un dispositivo solamente una vez, es decir, la salida de un dispositivo no puede ser la entrada del otro o de si mismo). La siguiente tabla muestra el porcentaje de cada contaminante proveniente de cada producto que es eliminado por cada dispositivo.

DISPOSOTIVO

1 DISPOSOTIVO

1 DISPOSOTIVO

2 DISPOSOTIVO

2 CONTAMINA

NTE CS-01 CS-02 CS-01 CS-02

A 40 40 30 20 B 60 60 0 0 C 55 55 65 80

Por ejemplo, si la emisión de CS-01 se envía a través del dispositivo 1, se elimina 40% del contaminante A, 60% del contaminante B y 55% del contaminante C. Las consideraciones de fabricación dictan que CS-01 y CS-02 deben producirse en la proporción de dos a uno. Formule un modelo para determinar un plan que maximice la producción diaria total (cantidad de CS-01 + CS-02) al mismo tiempo que satisfaga los requerimientos gubernamentales. Variables de decisión: CSUU: cantidad de producto CS-01 enviados por el dispositivo 1. CSUD: cantidad de producto CS-01 enviados por el dispositivo 2. CSDU: cantidad de producto CS-02 enviados por el dispositivo 1. CSDD: cantidad de producto CS-02 enviados por el dispositivo 2.

Mediante Lindo: MAX CSUU + CSUD + CSDU + CSDD SUBJECT TO 15 CSUU + 17.5 CSUD <= 43 24 CSDU + 32 CSDD <= 43 4 CSUU + 10 CSUD <= 20 6 CSDU + 15 CSDD <= 20 34.4 CSUU + 28 CSUD <= 50 27 CSDU + 12 CSDD <= 50 END

Resolución:


26

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3.577381 VARIABLE VALUE REDUCED COST CSUU 0.000000 0.228571 CSUD 1.785714 0.000000 CSDU 1.791667 0.000000 CSDD 0.000000 0.333333 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 11.750000 0.000000 3) 0.000000 0.041667 4) 2.142857 0.000000 5) 9.250000 0.000000 6) 0.000000 0.035714 7) 1.625000 0.000000 NO. ITERATIONS= 3 EJERCICIO 2.19:

Philadelphia Paint Company produce 3 tipos de pinturas: Standard, Quality y Premium. Las instalaciones actuales pueden producir un máximo de 18000 gal de Standard, 10000 gal de Quality y 500 gal de Premium al día. Debido a la economía de escala, el costo de producir cada tipo de pintura disminuye al aumentar el número de gal producidos. Por ejemplo si se producen X gal de pintura Standard, entonces el costo por gal es a-b*x. La siguiente tabla proporciona los valores de a y b; el precio de venta por gal, y la demanda diaria mínima por cada tipo de pintura.

VALORES DE VALORES DE TIPO DE PINTURA

a b Precio de venta ($/gal)

Demanda minima (gal)

Standard 3 0.0001 6.50 10000 Quality 4 0.0002 8.50 6000 Premiun 5 0.0003 11.00 2500

La compañía puede producir un total combinado de hasta 25000 gal de pintura al día. Como

supervisor de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de pintura a producir para maximizar la ganancia (ingreso menos costo). Variables de decisión: S: cantidad de galones de pintura Standad Q: cantidad de galones de pintura Quality P: cantidad de galones de pintura Premiun

Mediante Lindo: MAX 3.5 S + S 0.0001 S + 4.5 Q + Q 0.0002 Q + 6 P + P 0.0003 P ST S + Q + P <= 25000 S >= 10000


27

Q >= 6000 P >= 2500 S <= 18000 Q <= 10000 P <= 5000 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 2665754. VARIABLE VALUE REDUCED COST S 16500.000000 0.000000 Q 6000.000000 0.000000 P 2500.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 158.500107 3) 6500.000000 0.000000 4) 0.000000 -152.999908 5) 0.000000 -151.499802 6) 1500.000000 0.000000 7) 4000.000000 0.000000 8) 2500.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2 EJERCICIO 2.20:

Formule el problema de agenda de High Tech en el ejercicio 2.4 sección 2.2.3 usando como variable de decisión 1 sí High Tech no debe invertir y 0 si High Tech debe invertir.

Proyectos Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Rendimiento Total

Bio-Tech 60 10 10 10 250 Tele-comm 35 35 35 35 375

Laser-Optics 10 50 50 10 275 Compu-Ware 15 10 10 40 140

Fondo de inversión

90 80 50 50

Variables de decisión: B = 1 si High Tech debe invertir en Bio-Tech B = 0 si High Tech no debe invertir en Bio-Tech T = 1 si High Tech debe invertir en Tele-comm T = 0 si High Tech no debe invertir en Tele-comm L = 1 si High Tech debe invertir en Laser-Optics L = 0 si High Tech no debe invertir en Laser-Optics


28

C = 1 si High Tech debe invertir en Compu-Ware C = 0 si High Tech no debe invertir en Compu-Ware

Mediante Lindo: MAX 250 B + 375 T + 275 L + 140 C SUBJECT TO 2) 60 B + 35 T + 10 L + 15 C <= 90 3) 10 B + 35 T + 50 L + 10 C <= 80 4) 10 B + 35 T + 50 L + 10 C <= 80 5) 10 B + 35 T + 10 L + 40 C <= 50 6) T + L <= 1 END

Resolución: INTE 4 LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4 OBJECTIVE VALUE = 637.000000 NEW INTEGER SOLUTION OF 525.000000 AT BRANCH 0 PIVOT 4 RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 525.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST B 1.000000 -250.000000 T 0.000000 -375.000000 L 1.000000 -275.000000 C 0.000000 -140.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 20.000000 0.000000 3) 20.000000 0.000000 4) 20.000000 0.000000 5) 30.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 4 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 EJERCICIO 2.21:

Containers Inc. ha recibido un pedido para hacer tambores de acero cilíndricos con la base y la tapa circulares. El volumen total de conteiner debe ser al menos de 10 pies cúbicos. El costo del acero para hacer el costado del contenedor es de 3 $/pie cuadrado. El costo de la base y la tapa es de 3.82 $/pie cuadrado. Formule un modelo para minimizar el costo de acero requerido. Variables de decisión:


29

R: radio del cilindro en [pie] H: altura del cilindro en [pie]

Restricciones

R 3.1415 R 1 H > 10

Funcion Objetivo: MIN R 18.84 H + R 24 R

Mediante Lindo: MIN R 18.84 H + R 24 R ST R 3.1415 R 1 H > 10 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 62.77919 VARIABLE VALUE REDUCED COST R 2.414584 0.000000 H 0.000000 12.562081 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -6.277919 NO. ITERATIONS= 1 EJERCICIO 2.24:

Lether Company produce guantes de béisbol, balones y correas de piel de cuero que es procesado en una maquina. Para la próxima semana se tienen en existencia 1000 metros cuadrados de cuero y 40 hs de maquina. Se desea determinar un plan de producción de la semana que maximice las ganancias netas.

a- Identifique las variables. G: cantidad de guantes a producir.

B: cantidad de balones a producir. C: cantidad de correas a producir.

b- Identifique los datos adicionales. CG: cantidad de m2 de cuero para producir un guante.

CB: cantidad de m2 de cuero para producir un balón. CC: cantidad de m2 de cuero para producir una correa. TG: cantidad de hs para producir un guante. TB: cantidad de hs para producir un balón. TC: cantidad de hs para producir una correa. PG: precio de venta de un guante. PB: precio de venta de un balón.


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PC: precio de venta de una correa. CoG: precio de costo de producción de un guante. CoB: precio de costo de producción de un balón. CoC: precio de costo de producción de una correa. c- Formule el modelo.

Restricciones G CG + B CB + C CC <= 1000 G TG + B TB + C TC <= 40

Función Objetivo MAX (PG - COG)*G + (PB - CoB)*B + (PC - CoC)*C

EJERCICIO 2.25:

Los nutriólogos de HealthNut Company están diseñando un nuevo bocadillo hecho de palomitas de maíz inflado y mantequilla de cacahuete natural. El objetivo es minimizar el costo total de estos ingredientes, pero el producto final debe contener al menos 4 gramos de proteína, no mas de 10 gramos de carbohidratos y 2 gramos de grasa saturada. a. Identifique las variables. b. Identifique y asigne un nombre a cada valor de datos adicional que tendrá obtener para poder

formular un modelo matemático. c. Formule un modelo matemático usando los nombres de variables de (a) y los nombres

simbólicos para los datos de (b).

Mediante Lindo: MIN A 1 D1 + N 1 D2 SUBJECT TO P1 1 A + P2 1 N >= 4 C1 1 A + C2 1 N <= 10 F1 1 A + F2 1 N <= 2 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST A 0.000000 1.000000 D1 0.000000 1.000000 N 0.000000 1.000000


31

D2 0.000000 1.000000 P1 4.000000 0.000000 P2 0.000000 0.000000 C1 0.000000 0.000000 C2 0.000000 0.000000 F1 0.000000 0.000000 F2 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 10.000000 0.000000 4) 2.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 0 EJERCICIO 2.26:

El departamento de Investigación ha identificado seis proyectos en los que Hight Tech puede elegir invertir o no. Cada proyecto ha sido evaluado para determinar la cantidad de capital que debe invertirse, la tasa esperada de devolución y también un factor de riesgo usando un algoritmo patentado. Estos datos se resumen en la siguiente tabla:

Proyecto

Capital requerido $

Tasa de devolución (%)

Riesgo

1 100000 10 0.50 2 400000 5 0.40 3 170000 20 0.70 4 250000 15 0.65 5 200000 7 0.45 6 250000 30 0.80

Los socios generales han acordado que el riesgo total, obtenido añadiendo los factores de

riesgo para cada proyecto respaldado, no debe exceder de 3, y que no deben emprenderse mas de dos proyectos con un factor de riesgo mayor de 0,6. Usando las variables: 1, si se emprende el proyecto i Pi = i = 1, ....., 6 0, si no se emprende el proyecto i un socio general ha formulado el siguiente modelo para determinar que proyecto respaldar para maximizar el rendimiento esperado en un año sobre la cantidad invertida y mantenerse en un presupuesto de $1 millón: Maximizar 10 P1 + 20 P2 + 34 P3 + 37.5 P4 + 14 P5 + 75 P6 Condicionado por 100 P1 + 40 P2 + 170 P3 + 250 P4 + 200 P5 + 250 P6 <= 100 0.50 P1 + 0.40 P2 + 0.70 P3 + 0.65 P4 + 0.45 P5 + 0.80 P6 >= 3 P1, P2, P3, P4, P5, P6 >= 0


32

¿ Es correcto este modelo? Si no es así, identifique y corrija todos los errores.

Mediante Lindo: MAX 10 P1 + 20 P2 + 34 P3 + 37.5 P4 + 14 P5 + 75 P6 SUBJECT TO 100 P1 + 400 P2 + 170 P3 + 250 P4 + 200 P5 + 250 P6 <= 1000 0.5 P1 + 0.4P2 + 0.7 P3 + 0.65 P4 + 0.45 P5 + 0.8 P6 <= 3 P1 <= 1 P2 <= 1 P3 <= 1 P4 <= 1 P5 <= 1 P6 <= 1 P1 >= 0 P2 >= 0 P3 >= 0 P4 >= 0 P5 >= 0 P6 >= 0 P3 + P4 = 1 P3 + P6 = 1 P4 + P4 + P6 <= 2 END

Resolución: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 125.8333 VARIABLE VALUE REDUCED COST P1 1.000000 0.000000 P2 0.775000 0.000000 P3 0.333333 0.000000 P4 0.666667 0.000000 P5 1.000000 0.000000 P6 0.666667 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.050000 3) 0.540000 0.000000 4) 0.000000 5.000000 5) 0.225000 0.000000 6) 0.666667 0.000000 7) 0.333333 0.000000 8) 0.000000 4.000000 9) 0.333333 0.000000 10) 1.000000 0.000000 11) 0.775000 0.000000


33

12) 0.333333 0.000000 13) 0.666667 0.000000 14) 1.000000 0.000000 15) 0.666667 0.000000 16) 0.000000 -16.333334 17) 0.000000 41.833332 18) 0.000000 20.666666 NO. ITERATIONS= 5 EJERCICIO 2.27:

Chirality Company debe producir al menos 600000 tornillos pequeños y 400000 tornillos grandes para satisfacer de la demanda de las sig. 4 semanas. Estos tornillos pueden producirse en 2 maquinas distintas, cada una de las cuales esta disponible 40 horas a la semana. Los requerimientos de costo y tiempo para producir cada tamaño de tornillo en cada maquina y el precio de venta de cada tamaño de tornillo se muestran en la sig. Tabla:

Tornillos pequeños Tornillos grandes Precio de venta($/1000) 27.50 32.50 Costo en la maquina 1 ($/1000) 6.25 7.75 Costo en la maquina 2 ($/1000) 8.00 9.25 Tiempo en la maquina 1 (min/lb) 1.50 1.75 Tiempo en la maquina 2 (min/lb) 1.00 1.25

En cada libra hay aproximadamente 60 tornillos pequeños y 40 tornillos grandes. Usando las variables:

S1 = el numero de miles de tornillos pequeños por producir en la maquina 1 durante las sig. 4 semanas.

S2 = el numero de miles de tornillos pequeños por producir en la maquina 2 durante las sig. 4 semanas.

L1 = el numero de miles de tornillos grandes por producir en la maquina 1 durante las sig. 4 semanas.

L2 = el numero de miles de tornillos grandes por producir en la maquina 2 durante las sig. 4 semanas.

El gerente de producción ha formulado el sig. modelo para maximizar la ganancia y satisfacer la demanda con la disponibilidad limitada de tiempo de maquina en las sig. 4 semanas:

Maximizar 27.50 S1 + 27.50 S2 + 32.50 L1 + 32.50 L2

Condicionado por: S1 + S2 >= 600000 L1 + L2 >= 400000 1.5 S1 + 1.75 L1 <= 40 1.0 S2 + 1.25 L2 <= 40 S1 , S2, L1, L2 >= 0 ¿Es correcto este modelo? Si no es así, identifique y corrija todos los errores.

Mediante Lindo:


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MAX 21.25 S1 + 19.50 S2 + 24.75 L1 + 23.25 L2 SUBJECT TO S1 + S2 >= 600 L1 + L2 >= 400 0.41667 S1 + 729 L1 >= 160 0.2777 S2 +0.5208 L2 >= 160 END

Resolución: SLK 4 S1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.9999990E+08 VARIABLE VALUE REDUCED COST S1 600.000000 0.000000 S2 0.000000 414.097290 L1 92.780334 0.000000 L2 307.219666 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 67726.867188 -0.416670 5) 0.000000 -1.000000 NO. ITERATIONS= 4

ejer cici os

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