Ejemplos usando la Carta de Smith

Ejemplo 1.

Si el coeficiente de reflexión efectiva en una ubicación en la línea de transmisón es=0.4 j 0.2, use la carta de Smith para determinar la impedancia de entrada en esta ubicación.

Compare esto con el valor dado por la fórmula:

z=1 1−

. (1)

Solución:

En coordenadas polares =0.4 j 0.2=0.45e j26.45o

Se puede ubicar la posición angular de este punto, P1 al utilizar la indicación de los grados en el perímetro externo de la carta, como se muestra en la figura.1 Puesto que ∣∣=0.45, la distancia entre P1 y el centro de la carta es simplemente 0.45 por el radio de la carta (que corresponde a ∣∣=1 ). El punto de operación también es la intersección de los círculos r = 2.0 y x = 1.0. Entonces la impedancia normalizada es

z=2 j 1.0.

Figura 1. Usando la carta de Smith para determinar la impedancianormalizada en un punto donde el coeficiente de reflexión está dada.

Si la impedancia característica de la línea es 50 Ω, la impedancia vista mirando hacia la línea es:

Z in=50 z=50×2 j 1.0=100 j50 .

Finalmente utilizando la ecuación z=11−

=10.4 j 0.21−0.4− j 0.2

=2 j 1.0, que está de acuerdo con el

resultado obtenido usando la carta de Smith.Este ejemplo muestra cómo la carta de Smith puede ser usada para determinar la impedancia

normalizada z de una línea de transmisión a partir del coeficiente de reflexión efectiva .Conversamente, la carta de Smith también puede ser usada para determinar el coeficiente de reflexión efectiva que corresponde a una valor particular de impedancia normalizada z . Tan importante como son estas funciones, sin embargo, la verdadera utilidad de la carta de Smith es que permite una rápida transformación gráfica de un punto a otro sobre una línea de transmisión.

Ejemplo 2.

Considere la situación mostrada en la figura 2(a). Aquí una carga está conectada a una línea de transmisión de una impedancia característaic Z0 sin pérdidas. Se denota la impedancia de carga normalizada y le coeficiente de reflexión como z L=r L j xL y L=∣L∣e

jL , respectivamente. Estos valores se representan por el punto P1 en la figura 2.

Figura 2. Usando la carta de Smith para determinar la impedancia normalizada

vs. la posición sobre una línea de transmisión sin pérdidas.

Usando la relación:

l = L e− j2l ,

se encuentra que el coeficiente de reflexión efectiva vista a una distancia l de la carga está dada por:

= L e− jl=∣L∣expL−2l .

En palabras, esta expresión dice que el valor nuevo de se encuentra simplemente al rotar el punto P1 de forma horaria a través del ángulo 2 l=720o×l /. Este valor se representa por el

punto P2 en la figura 2. Como se puede ver, L y están sobre el mismo círculo de ROE constante. El valor de z se puede leer directamente de la carta de Smith de la intersección de P2 con los círculos de r = constante y x = constante.

Una manera conveniente para determinar cuán lejos un punto de operación sobre un círculo de ROE constante mueve entre dos posiciones sobre una línea de transmisión es usar las escalas de longitud de onda a lo largo del perímetro de la carta de Smith.Cuando un observador se mueve una distancia l hacia la carga, la fase del coeficiente de reflexión cambia por una cantidad:

=2 l=720o× l

. (2)

Esta relación permite relacionar posiciones angulares sobre la carta de Smith usando las escalas (WTG) longitudes de onda hacia el generador, (Wavelengths Towards Generator) y (WTL) longitudes de onda hacia la carga (Wavelengths Towards Load) en el perímetro externo de la carta de Smith. Movimiento hacia el generador (es decir, en dirección opuesta a la carga) resulta en un valor negativo de ,mientras movimiento hacia la carga resulta en un valor positivo de . Note que una revolución alrededor de un círculo de ROE constante corresponde a un cambio de posición de /2 .

Ejemplo 3.

Una carga Z L=50− j 25 se conecta a una línea de transmisión sin pérdidas de 100 . Use la carta de Smith para encontrar Z a una distancia de l=0.4 de la carga.

Figura 3. Usando la carta de Smith para determinar la impedancia a una distancia de la carga.

Solución:La impedancia de carga normalizada es z L=0.5− j 0.25 , que está representada por el punto P1 en la figura 3. Para encontrar el punto de operaciónen en l=0.4 , se debe rotar el punto P1 de forma horaria el número apropiado de grados. Esto es muy fácilmente logrado al usar la escala WTG en el borde exterior de la carta de Smith. El punto P1 está en 0.45 WTG. Luego, el punto de operación P2

antes de la carga se encuentra al rotar un adicional 0.4λ sobre la escala WTG. Recordando que una

revolución completa sobre la carta de Smith es 0.5λ, se enuentra que P2 está ubicado en 0.4 – (0.5 – 0.45) WTG = 0.35 WTG. Usando los círculos de r = constante y x = constante, se obtiene que

z=0.952− j 0.77

y

Z=100 z=95.2− j 77.0 .

Otra propiedad útil de la carta de Smith es que el valor de ROE puede ser leido directamente de la carta simplemente al notar dónde el círculo de ROE-constante intercepta el eje real. Para ver cómo, note que cada círculo de ROE-constante intercepta el eje real dos veces. Las intersecciones a la derecha y a la izquierda del centro de coordenadas da z=r max1 y z=rmin1 , respectivamente. Estos son también puntos de voltajes máximo y mínimo respectivamente, puesto que las ondas incidente y reflejada tienen diferencias de fase de 0o o 180o cuando es real. Sobre un punto donde z=r max ,

∣∣=∣r max−1r max1∣= r max−1

r max1. (4)

Al sustituir (4) en la fórmula para ROE,

ROE=1∣∣1−∣∣

(5)

se obtiene

ROE=1∣∣1−∣∣

=r max . (6)

Usando una secuencia de pasos similares, se puede también demostrar que

ROE= 1r min

. (7)

La carta de Smith puede usarse para calcular la admitancia de entrada también. En cada punto de operación, la impedancia de entrada normalizada z y el coeficiente de reflexión están relacionados por

z=1 1−

. (8)

Se define la admitancia normalizada y como

y≡1z

, (9)

por lo que de (8) sigue

y=1− 1

, (10)

que se puede escribir como

y=1−1

. (11)

Comparando (8) con (11), se puede ver que los valores de impedancia normalizada y admitancia normalizada se intercambian cuando el signo de se cambia. Puesto que una media revolución sobre la carta de Smith corresponde a multiplicar por -1, conversiones de impedancia normalizada a admitancia normalizada se pueden obtener gráficamente sobre la carta de Smith por medio del procedimiento siguiente:

(1) Identificar el punto de operación de impedancia sobre la carta de Smith al ubicar o el coeficiente de reflexión o la impedancia normalizada z . Dibuje el correspondiente círculo de ROE = constante.

(1) Ubicar el punto de operación de admitancia al rotar el punto de operación de impedancia por 180o.

(1) La admitancia normalizada puede ser leida directamente al interpretar los círculos de resistencia (r) constante y reactancia (x) constante como círculos de admitancia (g) constante y susceptancia (b) constante respectivamente.

(2) Valores de admitancia en cualquier otra posición sobre la línea pueden obtenerse al rotar el punto de operación de admitancia alrededor del círculo de ROE constante en número apropiado de grados, usando las escalas WTG y WTL.

Ejemplo 4.La figura 4 muestra una línea de transmisión de 50Ω sin pérdidas que está conectada a una impedancia desconocida. Usando el patrón de ROE graficado en la figura, calcule la impedancia y admitancia de carga.

Figura 4.Gráfica de ROE para una línea de transmisión con una carga desconocida.

Figura 5. La carta de Smith para determinar una carga desconocida.

Solución:

Primero se puede calcular la longitud de onda al usar la distancia entre dos máximas sucesivas en la figura 4:

=27.232−0.832=12.8 cm.

Luego de la gráfica de voltaje,

ROE=V max

V min= 8.2

3.2=2.56 .

El círculo de ROE constante, visto en la figura 5, pasa a través de la intersección del círculo r = 2.56 y el eje real.

Para encontrar la impedancia de carga, se nota que la impedancia en el voltaje máximo en el punto z = 0.832 cm se encuentra en la carta de Smith sobre la intersección del círculo de ROE constante y el eje real positivo. Este punto se indica como P1 en la figura 5. En términos de longitud de onda, la distancia entre el primer máximo y la carga es

d =0.83212.8

=0.065 .

La impedancia en la posición de la carga se obtiene al empezar en P1 y rotar de forma anti horaria 0.065λ sobre el círculo de ROE constante. Puesto que P1 está en el punto 0.25 sobre la escala WTL, P2, se ubica en el punto (0.25 + 0.064) = 0.315λ sobre la escala WTL. En el punto P2, se lee la impedancia normalizada:

z=1.3254 j1.081 ,

y la impedancia de carga

ZL=50 z=69.27 j 54.05 .

La admitancia de carga normalizada puede encontrarse al rotar una media revolución desde P2 (sobre el círculo de ROE constante) para obtener el punto P3. En el punto P3, se encuentra

yL=0.4487− j 0.3501

y la admitancia de carga es

Y L=yL

50=8.97− j 7.0 mS.

Para líneas de transmisión con pérdidas, el coeficiente de reflexión decrece de forma exponencial al incrementar la distancia medida desde la carga. Esto causa que los círculos de ROE constante se convierten en espirales con radio decreciente cuando un observador se mueve desde la carga. Además de esto, la técnica para usar la carta de Smith es la misma como usada con la línea sin pérdida.

Ejemplo 5.

Una línea de transmisión de impedancia característica Z0=51 j 0.01 se conecta a una carga ZL=10 . Si =40 cm y =1.4 Np/m, determine la impedancia de entrada a una distancia l = 15 cm de la carga.

Figura 6.La línea con pérdidas conectada a una carga

mostrando la espiral de impedancia normalizada.

Solución:

La impedancia de carga normalizada es:

z=Z L

Z0

=10

51 j 0.01≈0.2 j 0 , que se representa en la figura 6 como el puntp P1 en 0.0 sobre la

escala WTG.Recordando que la distancia desde el origin al perímetro externo de la carta de Smith

correspode a ∣∣=1, se ve de esta fugura que ∣∣=0.666 en P1. Usando =1.4 Np/m, se encuentra que el valor de ∣∣ a una distancia de l = 15 cm de la carga es:

∣∣=0.666×e−2 0.4 15=0.442 .

Para encontrar la fase de en l = 15 cm, se debe rotar 15/40 de una longitud de onda hacia el generador (WTG), que corresponde a 270o de forma horaria desde P1. El punto de operación en l = 15 cm se muestra como P2. Usando los círculos de r constante y x constante, se obtiene

z2=0.678− j 0.735,

y

Z 2=0.678− j 0.735×50 j 0.01=33.9− j 36.7 .