ejemplos distribucion binomial aplicado a la ing. quimica

8/17/2019 Ejemplos Distribucion Binomial Aplicado a La Ing. Quimica

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Instituto Tecnológico de Celaya Departamento de Ingeniería química

Distribución inomial

Frecuentemente un experimento consiste en ensayos repetidos, cada uno con dos posiblesresultados que pueden llamarse éxito y fracaso. Este proceso se conoce como proceso de

Bernoulli, cada intento se llama experimento de Bernoulli.

Características:

En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de

resultados, defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, etc., denominados arbitrariamente“éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no

cambian.

Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí. El número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante.

Un experimento de Bernoulli puede resultar en un éxito con una probabilidad p y en un fracasocon una probabilidad q=1-p. Entonces la distribución de probabilidad de la variable aleatoria

binomial X, el número de éxitos en n experimentos independientes, es:

Donde: x = variable aleatoria binomial, es la cuenta del número de aciertos

n= ensayos independientes p( x, n, p ) = probabilidad de obtener en n ensayos x éxitos, cuando la probabilidad de

éxito es p

La distribución binomial recibe este nombre debido a que para x=0, 1, 2,...,n, los valores de las

probabilidades son los términos sucesivos de la expansión binomial de .[ ]n pq +

La media La varianza

np=µ npq=2

σ

Autor: Rosalba Patiño Herrera Agosto del 2002


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EjemploSe dice que el 75% de los accidentes de una planta se atribuyen aerrores humanos. Si en un período de tiempo dado, se suscitan 5

accidentes, determine la probabilidad de que:a) dos de los accidentes se atribuyan a errores humanos.

b) como máximo 1 de los accidentes se atribuya a errores de tipo

humano.

c) tres de los accidentes no se atribuyan a errores humanos.

a) n = 5 x = variable que nos define el número de accidentes debidos a errores humanos

x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores de tipo humano

p = p(éxito) = p(un accidente se deba a errores humanos) = 0.75q = p(fracaso) = p(un accidente no se deba a errores humanos) = 1-p = 0.25

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 2

5 2( 2, 5, 0.75) 0.75 0.25 10 0.5625 0.015625 0.08789 p x n p C

−= = = = = =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 5 0 1 5 1

5 2 5 1( 0,1, 5, 0.75) 0 1 0.75 0.25 0.75 0.25

0.000976 0.014648 0.015624

p x n p p x p x C C − −

= = = = = + = = +

= + =

=

c) En este caso cambiaremos el valor de p;

n =5 x = variable que nos define el número de accidentes que no se deben a errores de

tipo humano x = 0, 1, 2,...,5 accidentes debidos a errores humanos p = p(probabilidad de que un accidente no se deba a errores humanos) = 0.25

q = p(probabilidad de que un accidente se deba a errores humanos) = 1-p = 0.75

( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 5 3

5 3( 3, 5, 0.25) 0.25 0.75 10 0.015625 0.5625 0.08789 p x n p C

−= = = = = =

EjemploSi la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio

de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determina la probabilidad deque:

a) el vapor se condense en 4 de los tubos.

b) en más de 2 tubos se condense el vapor.

c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.



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a) n =12

x = variable que nos define el número de tubos en que el vapor se condensa

x = 0, 1, 2, 3,...,12 tubos en el que el vapor se condensa

p =p(se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm)= 0.40q = p(no se condense el vapor en un tubo de Al a 10 atm) = 1-p=0.60

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 12 4

12 4( 4, 12, 0.4) 0.4 0.6 495 0.0256 0.016796 0.21284 p x n p C

−= = = = = =

b)

( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 12 0 1 12 1 2 12 2

12 0 12 1 12 2

( 3, 4...,12, 12, 0.4) 3 4 ... 12 1 0,1, 2

1 0.4 0.6 0.4 0.6 0.4 0.6

1 0.002176 12 0.4 0.003627 66 0.006047 0.91656

p x n p p x p x p x p x

C C C − − −

= = = = = + = + + = + = − =

= − + + =

= − + + =

) =

5 12 5−c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 5( 5, 12, 0.4) 0.4 0.6 792 0.01024 0.0279936 0.22703 p x n p C = = = = = =

Ejemplo La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda

ancha exceda de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10

amplificadores de banda ancha, determine la probabilidad de que:a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB.

b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB.

c) que entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB,.encuentra el número esperado de amplificadores que se exceden de un

nivel de ruido de 2dB y su desviación estándar.

a)n =10 x =variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su

nivel de ruido excede de 2 dB

x = 0, 1, 2,...,10 amplificadores en los que el nivel de ruido excede de los 2 dB p = P(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.15

q = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB =1-p= 0.85

( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 10 5

12 5( 5, 10, 0.15) 0.15 0.85 252 0.00007593 0.4437053 0.00849 p x n p C

−= = = = = =

b)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 10 0 1 10 1

10 0 10 1

( 2,3...,10, 10, 0.15)

1 ( 0,1) 1 0.15 0.85 0.15 0.85

1 0.19687 10 0.15 0.231617 0.455705

p x n p

p x C C − −

= = = =

= − = = − + =

= − + =

c) n=10 x= variable que nos define el número de amplificadores de banda ancha que su

nivel de ruido no excede de 2 dB

x= 0, 1, 2,...,10 amplificadores que su nivel de ruido no excede de los 2 dB p = p(un amplificador no exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 0.85



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q = p(un amplificador exceda su nivel de ruido de 2 dB) = 1- p = 0.15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 10 4 5 10 5 6 1

10 4 10 5 10 6( 4,5,6, 10, 0.085) 0.85 0.15 0.85 0.15 0.85 0.15

0.001249 0.00849 0.00400997 0.01374897

p x n p C C C 0 6− − −

= = = = + +

= + + =

d) n=10, p=0.15, q=1-p=0.85

µ =np=10(0.15)=1.5 ≅ 2 amplificadores.

( ) ( )10 0.15 0.85 1.1291 1npq amplificador σ = = = ≅ ± Se espera que 2 de los 10 amplificadores probados se excedan de un nivel deruido de 2 Db

Este experimento puede variar en 2 ± 1 amplificador, esto es, de 1 a 3

amplificadores que se excedan de un nivel de ruido de 2 dB

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