ejemplos de contabilidad
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Ejemplos de ejercicios contablesTRANSCRIPT
EJEMPLOS
Ejemplo de método Simplex
EL PROBLEMA
La empresa el SAMÁN Ltda. Dedicada a la fabricación de muebles, ha ampliado
su producción en dos líneas más. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas,
camas y bibliotecas. Cada mesa requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y
2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere de 1 pieza rectangular de 8
pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza rectangular
de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente
cada biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases
trapezoidales de 2 pines y 4 piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta
producirla $10000 y se vende en $ 30000, cada silla cuesta producirla $ 8000 y se
vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se vende en $ 40000,
cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de la
fábrica es maximizar las utilidades.
PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL
Las variables:
X1 = Cantidad de mesas a producir (unidades)
X2 = Cantidad de sillas a producir (unidades)
X3 = Cantidad de camas a producir (unidades)
X4 = Cantidad de bibliotecas a producir (unidades)
Las restricciones:
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 <= 24
2X1 + 2X2 + 1X3 <= 20
2X3 + 2X4 <= 20
4X4 <= 16
La función Objetivo:
ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES
En este paso el objetivo es asignar a cada recurso una variable de Holgura, dado
que todas las restricciones son "<=".
2X1 + 1X2 + 1X3 + 2X4 + 1S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 = 24
2X1 + 2X2 + 1X3 + 0X4 + 0S1 + 1S2 + 0S3 + 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 2X3 + 2X4 + 0S1 + 0S2 + 1S3 + 0S4 = 20
0X1 + 0X2 + 0X3 + 4X4 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 1S4 = 16
De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las
variables de holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso,
por el ejemplo la variable de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restricción
correspondiente a el recurso 1.
La función objetivo no sufre variaciones:
ZMAX = 20000X1 + 20000X2 + 20000X3 + 20000X4
PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL
El Método Simplex parte de una solución básica inicial para realizar todas sus
iteraciones, esta solución básica inicial se forma con las variables de coeficiente
diferente de cero (0) en la matriz identidad.
1S1 = 24
1S2 = 20
1S3 = 20
1S4 = 16
PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL
Solución: (segundo término)= En esta fila se consigna el segundo término de la
solución, es decir las variables, lo más adecuado es que estas se consignen de
manera ordenada, tal cual como se escribieron en la definición de restricciones.
Cj = La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables
de la fila "solución" en la función objetivo.
Variable Solución = En esta columna se consigna la solución básica inicial, y a
partir de esta en cada iteración se van incluyendo las variables que formarán parte
de la solución final.
Cb = En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su
derecha "Variable solución" en la función objetivo.
Zj = En esta fila se consigna la contribución total, es decir la suma de los
productos entre término y Cb.
Cj - Zj = En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su
significado es un "Shadow price", es decir, la utilidad que se deja de recibir por
cada unidad de la variable correspondiente que no forme parte de la solución.
Solución inicial:
PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS
Este es el paso definitivo en la resolución por medio del Método Simplex, consiste
en realizar intentos mientras el modelo va de un vértice del poliedro objetivo a otro.
El procedimiento a seguir es el siguiente:
1. Evaluar que variable entrará y cual saldrá de la solución óptima:
Maximizar Minimizar
Variable que
entraLa más positiva de los Cj - Zj La más negativa de los Cj - Zj
Variable que
sale
Siendo b los valores bajo la celda
solución y a el valor
correspondiente a la intersección
entre b y la variable que entra. La
menos positiva de los b/a.
Siendo b los valores bajo la
celda solución y a el valor
correspondiente a la intersección
entre b y la variable que entra.
La más positiva de los b/a.
2. El hecho de que una variable distinta forme parte de las variables solución
implica una serie de cambios en el tabulado Simplex, cambios que se explicarán a
continuación.
- Lo primero es no olvidar el valor del "a" correspondiente a la variables a entrar,
en este caso el "a = 4".
- Lo siguiente es comenzar a rellenar el resto de la tabla, fila x fila.
- Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harán los
cálculos correspondientes en el resto de las celdas.
De esta manera se culmina la primera iteración, este paso se repetirá cuantas
veces sea necesario y solo se dará por terminado el método según los siguientes
criterios.
Maximizar Minimizar
Solución
Óptima
Cuando todos los Cj - Zj sean
<= 0
Cuando todos los Cj - Zj sean
>= 0
- Continuamos con las iteraciones para lo cual tenemos que repetir los pasos
anteriores.
En esta última iteración podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj
<= 0, para ejercicios cuya función objetivo sea "Maximizar", por ende hemos
llegado a la respuesta óptima.
X1 = 3
X2 = 4
X3 = 6
X4 = 4
Con una utilidad de: $ 340000
Sin embargo una vez finalizado el Método Simplex se debe observar una matriz
identidad en el rectángulo determinado por las variables de decisión, el hecho de
que en este caso no se muestre la matriz identidad significa que existe una
solución óptima alterna.
La manera de llegar a la otra solución consiste en alterar el orden en que cada una
de las variables entro a la solución básica, recordemos que el proceso fue
decidido al azar debido a la igualdad en el Cj - Zj del tabulado inicial. Aquí les
presentamos una de las maneras de llegar a la otra solución.
Podemos observar como existe una solución óptima alternativa en la cual la
combinación de variables es distinta y existe un menor consumo de recursos,
dado que el hecho de que se encuentre la variable "S1" en la solución óptima con
un coeficiente de "3" significa que se presenta una holgura de 3 unidades del
recurso (pieza rectangular de 8 pines).
X1 = 0 (Cantidad de mesas a producir = 0)
X2 = 7 (Cantidad de sillas a producir = 7)
X3 = 6 (Cantidad de camas a producir = 6)
X4 = 4 (Cantidad de bibliotecas a producir = 4)
S1 = 3 (Cantidad de piezas rectangulares de 8 pines sin utilizar =3)
Con una utilidad de: $ 340000
Ejemplo de método dual Simplex
Minimizar
Sujeto a:
Minimizar
Sujeto a:
V. Básica Z X1 X2 S1 S2 Solución
Z 1 -2000 -1000 0 0 0
S1 0 -3 -1 1 1 -40
S2 0 -2 -2 0 0 -60
V. Básica Z X1 X2 S1 S2 Solución
Z 1 -1000 0 0 -500 30000
S1 0 -2 0 1 -1/2 -10
X2 0 1 1 0 -1/2 30
V. Básica Z X1 X2 S1 S2 Solución
Z 1 0 -1000 -500 -250 35000
S1 0 1 -1 -1/2 1/ 4 5
S2 0 0 -2 1/ 2 -5/4 25
Ejemplo de herramienta WinQSB
El PROBLEMA
Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos
cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De
acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales.
¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las
utilidades?
EL MODELO MATEMÁTICO
Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de montaña (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
Declaración de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir
Restricciones de capacidad
Aluminio:
x + 2y <= 80
Acero:
3x + 2y <= 120
Función Objetivo
Zmax = 20000x + 15000y
INGRESANDO A LINEAR AND INTEGER PROGRAMMING (WINQSB)
Una vez se haya ingresado al módulo Linear and Integer Programming, se abrirá
una ventana de inicio del módulo, tal como se muestra a continuación:
En esta ventana podremos entonces crear un nuevo problema, o cargar uno que
ya hayamos desarrollado. Una vez demos clic en "Nuevo Problema" se abrirá un
menú emergente que nos permitirá ingresar los parámetros básicos del problema:
El programa requiere que se definan las especificaciones del problema, que
incluye el nombre de problema, el número de variables, el número de
restricciones, el criterio de la función objetivo, los tipos de variable por defecto, y el
formato de entrada de datos, ya sea en forma de matriz o en forma de modelo
normal. El nombre de problema, los nombres de variables, nombres de restricción,
el número de variables, número de restricciones , el criterio de la función objetivo,
tipos de variables, y la entrada de datos formato se pueden modificar mediante el
menú Formato y menú Editar una vez se haya abierto el modelo.
Para el problema que estamos abordando es necesario que ingresemos los
siguientes parámetros:
Número de variables: 2 (x , y )
Número de restricciones: 2 (Disponibilidad de Aluminio y Acero)
Función Objetivo: Maximizar (Utilidades)
Tipos de variables por defecto: Enteras no negativas (Serán bicicletas, unidades
enteras)
Formato de entrada: Matriz (Recomendado)
Una vez se registren los parámetros y al dar clic en el botón OK, se mostrará
la siguiente ventana, en aras de utilizar las mismas variables que en el modelo,
mostraremos el método de renombrar las variables:
Desde el menú EDIT, también podremos modificar el nombre de las restricciones,
tal como se aprecia en la siguiente imagen:
La interfaz para ingresar los valores que controlan el problema es la siguiente:
En ella hemos registrado los datos que controlan nuestro problema de estudio. El
siguiente paso, consiste en resolver el problema, para ello damos clic en el botón
"Solve and Analize": Este comando resuelve el problema. Si se especifica alguna
variable como un entero o binario, el programa utilizará automáticamente el
método de Branch and Bound (Rama y Cotas) para resolver el problema.
El método simplex modificado es utilizado para resolver problemas de
programación lineal continua.
Esta opción mostrará automáticamente un tabulado resumen de la solución si el
problema tiene una solución óptima, mostrará la inviabilidad de análisis si el
problema no es factible, o mostrará si el análisis no acotación si el problema no
está acotado en función objetivo o valores de las variables.
Este mensaje nos indica que el problema ha sido resuelto, y que existe una
solución óptima que ha sido encontrada. Al dar clic en Aceptar, nos llevará al
cuadro resumen de la solución:
Interpretar cada uno de los valores del cuadro solución, es cuan o más importante
que obtener la solución óptima, dado que de dicha interpretación podremos
extraer un buen análisis de sensibilidad:
Solution value: Valor solución, es el valor que toman las variables de decisión en
nuestra solución óptima, en este caso nos indica que se deberán producir 20
bicicletas tipo paseo y 30 bicicletas tipo montaña.
Unit Cost or Profit: El costo unitario o contribución es el valor que les fue
asignado a las variables por nosotros en la función objetivo.
Total Contribution: Es la contribución total a la solución objetivo, es el producto
del valor solución * costo unitario o contribución.
Basic Status: Después de que el problema se resuelve, esto representa si la
variable es una variable de base, en el límite inferior, o en el límite superior en
la tabla simplex final.
Allowable MIN, MAX C (j): Para un coeficiente de la función objetivo en particular.
Este es el rango en que la base actual de la solución sigue siendo la misma.
Objective Function: Nos muestra el resultado de nuestra función objetivo, en este
caso la solución óptima tiene una función objetivo (utilidad) de $ 850.000
Left Hand Side: Del lado izquierdo, es el valor que toma la ecuación de cada
restricción luego de reemplazar las variables que la componen por los valores
solución. Por ejemplo, la ecuación de la restricción de Acero que es x + 2y <= 80,
al reemplazar los valores solución quedará: (20) + 2(30) <= 80, el valor del lado
izquierdo será entonces 80.
Right Hand Side: Del lado derecho, es el valor asignado por nosotros a las
restricciones como máximo o mínimo recurso disponible.
Slack o Surplus: Cuando la restricción en cuestión tiene el operador <=,
corresponde a una holgura, es decir, se puede interpretar como el recurso no
utilizado. Cuando la restricción en cuestión tiene el operador >=, corresponde a un
exceso, es decir, se puede interpretar como el recurso utilizado por encima de la
restricción de mínimo uso.
Shadow Price: El precio sombra de una restricción, es el cambio marginal de la
función objetivo cuando el valor del lado derecho de la restricción aumenta en una
unidad. En nuestro ejemplo sería así: por cada kg de acero adicional que
tengamos disponible, la función objetivo aumentará en $ 1250.
Ejemplo de la herramienta Solver
El PROBLEMA
Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos
cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De
acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales.
¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las
utilidades?
EL MODELO MATEMÁTICO
Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de montaña (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
Declaración de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir
Restricciones de capacidad
Aluminio:
x + 2y <= 80
Acero:
3x + 2y <= 120
Función Objetivo
Zmax = 20000x + 15000y
INGRESANDO LOS DATOS A EXCEL
Tal cómo se mencionó, la importancia de una correcta organización de la
información es vital, proponemos la siguiente plantilla para ingresar los datos de
nuestro problema:
El siguiente paso corresponde a registrar la información en la plantilla, de acuerdo
a los datos que tenemos en el problema:
El siguiente paso consiste en formular la plantilla, para ello debemos considerar
¿qué pasaría si cambiaran las variables de decisión?... Pues, en caso tal de que
las variables sufrieran cambios se alteraría la contribución total, y el inventario de
recursos. Por ello, debemos formular en consecuencia:
Ahora que ya tenemos nuestra plantilla formulada, el siguiente paso consiste en
utilizar Solver para resolver el modelo, para ello, vamos a la pestaña Datos (En
cualquier versión de Office), y seleccionamos el complemento Solver:
Una vez iniciemos Solver se abrirá una ventana emergente llamada "Parámetros
de Solver", en ella como primera medida seleccionaremos nuestra celda objetivo
(Contribución Total) y seleccionaremos el criterio Maximizar:
El siguiente paso, es indicarle a Solver que debe alcanzar el máximo valor para la
celda objetivo mediante la variación de las siguientes celdas (Cambiando las
celdas), es decir, le indicaremos cuales son las variables de decisión:
El siguiente paso consiste en asignarle las restricciones a las que el modelo está
sujeto, las cuales son restricciones de disponibilidad de recursos:
Lo que nos muestra la imagen anterior es la forma de indicarle la restricción a
Solver, para que el inventario usado sea menor o igual al inventario disponible. De
igual forma debe hacerse para el recurso de Aluminio.
La siguiente restricción es la de no negatividad, es decir, que las variables de
decisión no puedan tomar valores menores que cero.
Si quisiéramos resolver el modelo tal cual como está pudiésemos hacerlo, y
obtendríamos quizá una respuesta que distaría de su aplicación práctica, dado
que es probable que la respuesta nos de variables continuas, y en la práctica
vender 0,6 bicicletas es un poco complicado. Por tal razón, agregaremos una
restricción que hace que el ejercicio se resuelva mediante programación lineal
entera, indicando que las variables de decisión deban ser enteras:
Hecho esto, damos clic en Aceptar y en Resolver... Podemos observar como las
variables de decisión, las restricciones (inventario usado) y la contribución total
(celda objetivo) han tomado valores, estos son los valores óptimos según el
modelo formulado. Ahora nos aparecerá un cuadro de diálogo que nos preguntará
si deseamos utilizar la solución de Solver y unos informes que debemos
seleccionar para obtener una tabla resumen de la respuesta y un análisis de
sensibilidad que se insertarán como hojas al archivo de Excel:
El informe de sensibilidad arrojado por Solver es mucho más básico que el que
nos puede proporcionar WinQSB, sin embargo destacamos la información
referente al "Multiplicador de LaGrange" que corresponde al "Shadow Price de
WinQSB" conocido como el precio sombra, es decir, el cambio marginal de la
función objetivo cuando el valor del lado derecho de la restricción aumenta en una
unidad, en este caso, por cada kg de Acero adicional que dispongamos, la función
objetivo aumentaría en $ 1250.
Ejemplo de la herramienta TORA
El PROBLEMA
Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos
cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De
acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales.
¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las
utilidades?
EL MODELO MATEMÁTICO
Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de montaña (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
Declaración de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir
Restricciones de capacidad
Aluminio:
x + 2y <= 80
Acero:
3x + 2y <= 120
Función Objetivo
Zmax = 20000x + 15000y
INGRESANDO LOS DATOS A TORA
Una vez iniciado TORA nos mostrará su menú principal de opciones, en él
seleccionamos la opción "Linear Programming":
Una vez seleccionada la opción de programación lineal, nos mostrará un menú
desde el cual podemos elegir si iniciar un nuevo modelo, o abrir un archivo
existente; además de seleccionar el formato de ingreso de datos, en el cual
recomendamos el formato decimal:
El siguiente paso consiste en completar la información solicitada en la nueva
ventana, correspondiente al nombre del problema, la cantidad de variables y
restricciones:
Una vez consignada la información anterior, y luego de teclear ENTER, nos
mostrará la siguiente interfaz, en la cual debemos consignar la información del
modelo, se trata de un formato tipo matricial muy similar al utilizado por WinQSB:
Una vez completa la información de la matriz, procedemos a resolver el modelo,
presionando el botón SOLVE. Una vez hagamos esto nos mostrará un menú en el
que podemos modificar el formato numérico de la solución. Luego de esto, nos
mostrará un menú emergente en el que podemos elegir el tipo de solución que
queremos visualizar, se encuentra la solución gráfica y la algebraica, elegimos la
algebraica en este caso y seleccionamos que se nos muestre el tabulado final:
En el tabulado solución podemos observar como la función objetivo toma el mismo
valor obtenido con los programas de solución de Solver y WinQSB. A partir de
este tabulado podemos efectuar un análisis de sensibilidad teniendo en cuenta
que:
Objective Value: Nos muestra el resultado de nuestra función objetivo, en este
caso la solución óptima tiene una función objetivo (utilidad) de $ 850.000.
Value: El valor que toman las variables de decisión.
Obj Val Contrib: Es la contribución unitaria de las variables de decisión en la
función objetivo.
Slack-/Surplus+: Cuando la restricción en cuestión tiene el operador <=,
corresponde a una holgura, es decir, se puede interpretar como el recurso no
utilizado. Cuando la restricción en cuestión tiene el operador >=, corresponde a un
exceso, es decir, se puede interpretar como el recurso utilizado por encima de la
restricción de mínimo uso.
Min and Max Obj Coeff: Para un coeficiente de la función objetivo en particular.
Este es el rango en que la base actual de la solución sigue siendo la misma.
Dual price: Llamado en WinQSB como Shadow Price, y en Solver como
Multiplicador de LaGrange, corresponde al cambio marginal de la función objetivo
cuando el valor del lado derecho de la restricción aumenta en una unidad. En
nuestro ejemplo sería así: por cada kg de acero adicional que tengamos
disponible, la función objetivo aumentará en $1250.
Ejemplo de la herramienta LINGO
El PROBLEMA
Un herrero con 80 Kg. de acero y 120 Kg. de aluminio quiere hacer bicicletas de
paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 pesos
cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 Kg. De
acero y 3 Kg. de aluminio, y para la de montaña 2 Kg. de ambos metales.
¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña deberá fabricar para maximizar las
utilidades?
EL MODELO MATEMÁTICO
Acero Aluminio Precio de Venta
Bicicleta de paseo (x) 1 kg 3 kg $ 20.000
Bicicleta de montaña (y) 2 kg 2 kg $ 15.000
Disponibilidad 80 kg 120 kg
Declaración de variables
x = Cantidad de bicicletas de paseo a producir
y = Cantidad de bicicletas de montaña a producir
Restricciones de capacidad
Aluminio:
x + 2y <= 80
Acero:
3x + 2y <= 120
Función Objetivo
Zmax = 20000x + 15000y
INGRESANDO LOS DATOS A LINGO
La interfaz de LINGO es quizá la más simple de todas las aplicaciones de
resolución de modelos matemáticos, y en el caso de los modelos de programación
lineal el ingreso de los datos es muy sencillo, en su ventana inicial es suficiente
con utilizar un comando de apertura "MODEL:" y uno de cierre "END", en medio
de estos comandos se escribe el modelo tal como mostramos a continuación:
Como podemos observar, el comando "MAX:" se utiliza para consignar la función
objetivo y su criterio (en caso de minimizar se utilizará MIN:). Para separar cada
línea de código es necesario utilizar el caracter ";". Una vez tenemos el código con
nuestras restricciones establecidas, procedemos a resolver, dando clic en el botón
Solve:
Al resolver obtendremos el reporte solución, con base en sus datos podremos
efectuar un análisis de sensibilidad, hay que tener en cuenta que los datos
expresados en el reporte se encuentran en función de la línea de código
ingresada, por lo tanto hay que considerar en que línea se escribió cada
restricción y función objetivo para hacer un adecuado análisis.
Objective Function: Nos muestra el resultado de nuestra función objetivo, en este
caso la solución óptima tiene una función objetivo (utilidad) de $ 850.000.
Value: Es el valor que toman las variables de decisión en la función objetivo.
Slack or Surplus: Cuando la restricción en cuestión tiene el operador <=,
corresponde a una holgura, es decir, se puede interpretar como el recurso no
utilizado. Cuando la restricción en cuestión tiene el operador >=, corresponde a un
exceso, es decir, se puede interpretar como el recurso utilizado por encima de la
restricción de mínimo uso.
Dual Price: El precio sombra de una restricción, es el cambio marginal de la
función objetivo cuando el valor del lado derecho de la restricción aumenta en una
unidad. En nuestro ejemplo sería así: por cada kg de acero adicional que
tengamos disponible, la función objetivo aumentará en $ 1250.
BIBLIOGRAFIA
http://www.phpsimplex.com/teoria_metodo_simplex.htm
http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-
industrial/investigacion-de-operaciones/metodo-simplex/
http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_simplex
http://www.investigaciondeoperaciones.net/metodo_simplex_dual.html
http://www.itlalaguna.edu.mx/Academico/Carreras/industrial/invoperaciones1/
UNIDAD%203.HTML
http://www.academia.edu/8912801/METODO_DUAL_SIMPLEX