DP. - AS - 5119 2007 Matemticas ISSN: 1988 - 379X

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004

En un colectivo se ha observado que el gasto en cierto producto G(x) en decenas de EUROS est relacionado con el salario x en cientos de DECENAS de EUROS- por medio de la siguiente expresin:

G(x) = 1

202 +x

x

(a) Estudiar la continuidad de la funcin G(x) con respecto a x. (b) Sabiendo que a partir de un determinado valor de la x (prximo a 1), la funcin G(x) es estric-tamente decreciente, estudia qu ocurre con el gasto para valores muy altos del salario. (c) El algn momento el gasto ser negativo. (d) Haz un esbozo de la grfica de la funcin G(x).

BH2

PAU OVIEDO

J1996

Resolucin CON LPIZ Y PAPEL apartado (a) x "Salario en decenas de euros"

G(x): Gasto en cierto producto en cientos de decenas de euros.

G (x) = 1

202 +x

x

Busco slo los puntos donde no est definida la funcin, ya que al no ser a trozos, haremos un es-

tudio ms sencillo, buscando inicialmente el valor de x tal que anule el denominador. x2 + 1 = 0 t2 = - 1 t = 1

No hay ningn valor real que haga el denominador cero. ANALISIS CRTICO DE LOS RESULTADOS

La funcin es continua en todos los valores positivos que se supone conforman el dominio de la funcin, en el contexto del problema.

Resolucin CON LPIZ Y PAPEL apartado (b) Para realizar este apartado, nos interesa saber cmo se comporta la funcin en el infinito, con lo

cual calcularemos el valor del lmite cuando x tiende a infinito.

1202 ++ x

xLmx

Indeterminacin

1202 ++ x

xLmx

=

22

2

2

1

20

xx

x

x

x

Lmx

++

=

211

20

x

xLmx

++

= 01

0+

= 0

1202 ++ x

xLmx

= 0

AAANNNLLLIIISSSIIISSS CCCRRRTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Cuando el salario aumenta indefinidamente el gasto en dicho producto tiende a 0.

Resolucin CON LPIZ Y PAPEL apartado (c) Comprobemos si en algn momento G(x) < 0

1202 +x

x < 0

Como x2 + 1 > 0 20x < 0 (x2 + 1) 20x < 0

x < 0 AAANNNLLLIIISSSIIISSS CCCRRRTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Ser negativo para valores menores que cero, pero estos no pertenecen al dominio de la funcin, segn el

contexto. Por lo tanto, la funcin siempre ser positiva.

Resolucin CON LPIZ Y PAPEL apartado (d) Con los datos que nos da el problema, las caractersticas de la funcin calculadas en los apartados anteriores y

una tabla de valores podemos representar cualitativamente la funcin del gasto en cierto producto relacionado

con el salario.

Abel Martn

Lmites de funciones, indeterminaciones, continuidad y aplicacin en la interpretacin de situaciones 2

006

Cierta empresa de material fotogrfico oferta una mquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15.5 fotografas por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el nmero de fotografas por minuto ser funcin de la antigedad de la mquina de acuerdo a la siguiente expresin [F(x) representa el nmero de fotografas por minuto cuando la mquina tiene x aos]:

F(x) =

>+

+

52455

501.15.15

xsix

x

xsix

(a) Estudia la continuidad de la funcin F(x) (b1)Comprueba que si el nmero de fotografas por minuto decrece con la antigedad de la m-quina, entonces si sta tiene ms de 5 aos revelar menos de 10 fotocopias por minuto. (b2)Justifica que por muy vieja que sea la mquina no revelar menos de 5 fotografas por minuto. (c) Haz un esbozo de la grfica de la funcin.

BH2

PAU OVIEDO

J1998

Resolucin CON LPIZ Y PAPEL apartado (a) x "Nmero de aos que tiene la mquina".

F(x): Nmero de fotografas que realiza por minuto.

Se trata de una funcin definida por 2 trozos, por lo que para estudiar su continuidad estudiare-

mos esta funcin en cada uno de sus intervalos correspondientes:

(A) Intervalo 0 x < 5 15.5 - 1.1x Es continua pues se trata de una funcin polinmica sencilla.

(B) Intervalo x > 5

2455

+

+

x

x x + 2 = 0 x = 2

Es continua, puesto que slo sera discontinua para x = 2, y este valor cae fuera del intervalo

estudiado

(C) x = 5 Diremos que la funcin Real de variable real F(x) es continua en x = 5 cuando verifica

)(5

xFLmx

= F(5), es decir, se verifican las 3 condiciones siguientes:

(I) Existe )(5

xFLmx

)(5

xFLmx +

= 2455

5 +

++ x

xLmx

= 10

)(5

xFLmx

= )1.15.15(5

xLmx

= 10

)(5

xFLmx +

= )(5

xFLmx

(II) Existe F(5) = 15.5 1.15 = 10 (III) F(5) = )(5

xFLmx

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AAANNNLLLIIISSSIIISSS CCCRRRTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

El nmero de fotografas que una mquina realiza por minuto, con relacin al nmero de aos que tiene, es una funcin continua en todo su dominio.

Resolucin CON LPIZ Y PAPEL apartado (b1) Al ser la funcin decreciente para valores x 5, entonces F(5) ser el mximo valor que tendr la

funcin en ese intervalo:

F(5) = 15.5 1.15 = 10

F(5+) = 254555

+

+ = 10

AAANNNLLLIIISSSIIISSS CCCRRRTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Hemos comprobado que si el nmero de fotografas que una mquina realiza por minuto con relacin al nmero de aos que tiene es una funcin decreciente, inmediatamente a partir de 5 aos revelar 10 o menos fotografas por minuto.

Resolucin CON LPIZ Y PAPEL apartado (b2) Al ser la funcin decreciente, para contestar a esta cuestin slo habr que calcular el lmite de la

funcin cuando el nmero de aos tienda a +:

)(xFLmx +

= 2455

+

+

+ x

xLmx

Indeterminacin

2455

+

+

+ x

xLmx

=

xx

xxx

x

Lmx 2

455

+

+

+ =

x

xLmx 21

455

+

+

+ =

0105

+

+ = 5

AAANNNLLLIIISSSIIISSS CCCRRRTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS

Por muy vieja que sea la mquina no revelar menos de 5 fotografas por minuto.

Resolucin CON LPIZ Y PAPEL apartado (c)

Con los datos que nos da el problema, las caractersticas de la funcin calculadas en los apartados anteriores y

una tabla de valores podemos representar cualitativamente la funcin nmero de fotografas por minuto segn

el nmero de aos que tenga.