APLICACIÓN DE HISTOGRAMAS…

En estadística, un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras,

donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En

el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables,

normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están

agrupados los datos.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que

se han agrupado en clases.

En términos matemáticos, puede ser definida como una función inyectiva (o mapeo) que acumula

(cuenta) las observaciones que pertenecen a cada subintervalo de una partición. El histograma,

como es tradicionalmente entendido, no es más que la representación gráfica de dicha función.

Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de la muestra,

y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores continuos. En los casos en

los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de

estudios, es preferible un diagrama de sectores.

Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias

naturales y exactas. Y permite la comparación de los resultados de un proceso.

TIPOS DE HISTOGRAMA…

Diagramas de barras simples

Representa la frecuencia simple (absoluta o relativa) mediante la altura de la barra la cual

es proporcional a la frecuencia simple de la categoría que representa.

Diagramas de barras compuesta

Se usa para representar la información de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos

variables, las cuales se representan así; la altura de la barra representa la frecuencia

simple de las modalidades o categorías de la variable y esta altura es proporcional a la

frecuencia simple de cada modalidad.

Diagramas de barras agrupadas

Se usa para representar la información de una tabla de doble entrada o sea a partir de dos

variables, el cual es representado mediante un conjunto de barras como se clasifican

respecto a las diferentes modalidades.

Polígono de frecuencias

Es un gráfico de líneas que de las frecuencias absolutas de los valores de una distribución

en el cual la altura del punto asociado a un valor de las variables es proporcional a la

frecuencia de dicho valor.

Ojiva porcentual

Es un gráfico acumulativo, el cual es muy útil cuando se quiere representar el rango

porcentual de cada valor en una distribución de frecuencias.

En los gráficos las barras se encuentran juntas y en la tabla los números

poseen en el primer miembro un corchete y en el segundo un parentesis, por

ejemplo: [10-20).

CONSTRUCCION DE HISTOGRAMAS…

Paso 1

Determinar el rango de los datos. Rango es igual al dato mayor menos el dato menor.

Paso 2

Obtener los números de clases, existen varios criterios para determinar el número de clases (o

barras) -por ejemplo la regla de Sturgess-. Sin embargo ninguno de ellos es exacto. Algunos

autores recomiendan de cinco a quince clases, dependiendo de cómo estén los datos y cuántos

sean. Un criterio usado frecuentemente es que el número de clases debe ser aproximadamente a

la raíz cuadrada del número de datos. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 30 ( número de artículos)

es mayor que cinco, por lo que se seleccionan seis clases.

Paso 3

Establecer la longitud de clase: es igual al rango dividido por el número de clases.

Paso 4

Construir los intervalos de clases: Los intervalos resultan de dividir el rango de los datos en

relación al resultado del PASO 2 en intervalos iguales.

Paso 5

Graficar el histograma: En caso de que las clases sean todas de la misma amplitud, se hace un

gráfico de barras, las bases de las barras son los intervalos de clases y altura son la frecuencia de

las clases. Si se unen los puntos medios de la base superior de los rectángulos se obtiene el

polígono de frecuencias.

El histograma de una imagen representa la frecuencia relativa de los niveles de gris de la imagen.

Las técnicas de modificación del histograma de una imagen son útiles para aumentar el contraste

de imágenes con histogramas muy concentrados.

EJEMPLOS:

Todas las clases tendrán el mismo intervalo.No habrá solapamiento entre distintas clases.La amplitud aproximada del intervalo se halla dividiendo el recorrido por elnúmero de clases.Esta amplitud se redondea posteriormente a un número o cifra decimalconveniente para el manejo de las clases y la graduación del eje horizontal delHistograma (1, 2, 5, 10, etc).En el ejemplo de los paquetes de café hay 120 datos, necesitamos entoncesaproximadamente 8 clases para el histograma.Amplitud aproximada de cada clase 15gr./8=1.875 grs.

Amplitud elegida como conveniente en este caso: 2 grs.

Los límites de la primera clase incluirán el valor mínimo de los datos.Para evitar que algunos datos coincidan con los límites de los intervalos, definiréstos de forma que tengan una cifra más detrás de la coma.

Si, por ejemplo, los datos tienen dos cifras detrás de la coma (3,55; 3,83;3,64; 3,73; 3,78, etc), se definirán las clases hasta la tercera cifra detrás de lacoma (3,545-3,555; 3,555-3,565, etc).Si se obtiene una clase más o menos respecto del número recomendado, debidoal redondeo posteriormente efectuado, no existe deterioro ni en la sencillez ni

en la información.

Determinar el número de datos que están incluidos en cada una de las clases(frecuencia de clase).El recuento se hará de la siguiente forma:Empezar con el primer dato de la lista e identificar la clase en la cual estáincluido. Señalar para dicha clase, un "palote". Repetir el mismo proceso paracada dato del conjunto.Para facilitar el recuento final se dibujan los "palotes" en grupos de cinco,cuatro verticales y el quinto cruzándolos. La suma de los "palotes" marcadospara cada clase corresponde a la frecuencia de la misma.Comprobar que el número total de datos es igual a la suma de las frecuencias

de cada clase.

Cuando proceda, poner el título, las condiciones en que se han recogido losdatos, los límites de tolerancia nominales, etc. Estas notas ayudan a los demás

a interpretar el gráfico y sirven de recordatorio de la fuente de los datos.

*Resultados de las mediciones del contenido de café (120 paquetes medidos)

INTERPRETACIÓN…

Uno de los propósitos del análisis o interpretación de un Histograma es

identificar y clasificar la pauta de variación del conjunto de datos estudiado(valor medio, recorrido, forma) y elaborar una explicación admisible yrelevante para dicha pauta, que relacione la variación con el proceso ofenómeno en estudio.El resultado de este análisis es una teoría sobre el funcionamiento del procesoo sobre la causa del problema que se está investigando.Por ser una teoría es necesario confirmarla o rechazarla, recogiendo otros

datos que nos den información más específica sobre dicha teoría.

EJEMPLO 2:

Una empresa se interesa en el ancho de bloques de madera y ha tomado 100 muestras de

la operación de corte. Los datos han sido agrupados en intervalos o rangos y se muestran

en el siguiente cuadro:

Del cuadro se puede apreciar que de las 100 muestras de bloques de madera 5 miden de 2 a

13 centésimas de pulgada, 10 miden de 14 a 25 centésimas de pulgada, etc. El mayor número

de bloques de madera (34) miden de 28 49 centésimas de pulgada. Podemos representar

gráficamente esta información a través del siguiente histograma de frecuencia en el cual la

altura de cada barra indica la frecuencia de las observaciones en ese intervalo.

EJEMPLO 3:

RALLADURAS EN TABLEROS PARA MESA

A continuación se presenta la información tomada de 40 tableros para mesas de

vidrio, los cuales presentan defectos de ralladura. Datos recolectados en 40 muestras:

EJEMPLO 4:

Largas colas en las taquillas de una estaciónSituaciónEn una estación se constituyó un equipo para examinar las quejas de los

clientes sobre la lentitud en la venta y las largas colas en las horas punta.

El equipo midió los tiempos de las transacciones de 4 empleados durante una hora punta típica y construyó con los datos obtenidos el siguiente histograma:

DATOS:

HISTOGRAMA:

El histograma muestra claramente una distribución con 2 picos. En consecuencia el equipo formuló la teoría de que había 2 procesos en marcha.

La primera fue que los empleados nuevos eran simplemente más lentos que los más experimentados pero los histogramas estratificados por empleados mostraron la misma distribución con 2 picos. Fuera cual fuera la experiencia.

En otras palabras, la estratificación por nivel de experiencia no sirvió para separar los datos en 2 distribuciones en campañas distintas.

ESTRATIFICACION POR EMPLEADO:

EJEMPLO 5:

Una empresa de sistemas informáticos estaba siendo sobrepasada por suscompetidores que eran capaces de desarrollar un sistema y entregarlo alcliente en un promedio de 60 días, mientras que el promedio de la empresa erade 90 días.El desarrollo de un sistema se realizaba en varios pasos y para cada uno deellos existían estándares para los tiempos nominales y máximos.

Pero el sistema no funcionaba: aunque no se había dado ningún caso en que unequipo rebasara los estándares globales para su paso, el tiempo global medioera todavía 30 días mayor que la meta de 60 días que los estándares se

proponían.

Un equipo de mejora de la calidad recopiló los datos referentes a todos los sistemas desarrollados para clientes el año anterior y empezó construyendo histogramas de los tiempos empleados en cada paso.

La figura siguiente muestra la distribución de los tiempos para 4 de los pasos del proceso:

La interpretación y conclusiones del equipo se resumen a continuación:PASO (A) Un grupo bien conducido en que el trabajo progresó sinbrusquedades hacia su terminación.PASO (B) Un directivo o grupo moroso.Un análisis ulterior reveló que aunque el trabajo se terminaba alrededor del

tiempo fijado, (tiempo nominal), el equipo no lo entregaba hasta el últimomomento posible, por temor a tomar una decisión equivocada.PASO (C) La forma plana de esta distribución indica que el grupo tiene encurso una gran variedad de procesos.Un análisis ulterior reveló que la cantidad de trabajo que este grupo debíainvertir variaba mucho de una persona a otra y de cliente a cliente. No habíaprocesos estándar en el grupo ni una formación organizada para el nuevopersonal.Cada uno trabajaba en el desarrollo del sistema a su manera.Se formó un equipo de mejora de la calidad para el examen de los procesos de

trabajo de este paso, con el fin de reducir su variabilidad.

El segundo pico, justo dentro del límite máximo, tiene una explicacióninteresante: la distribución en realidad rebasaba en un cierto número de días ellímite máximo. Pero cuando esto ocurría el supervisor del grupo registraba unafecha de terminación justo en el límite máximo, para no tener que dar

explicaciones por el retraso.

PASO (D) En este paso existían 2 procesos distintos, según el tipo de sistema. El grupo centró las acciones de mejora en aquellas circunstancias que llevaban a tiempos globales mayores.