Se efectúa la medición de la corriente en un circuito cuyoequivalente se muestra en la figura, utilizando la funciónamperímetro de continua de un multímetro del tipo delos que se emplearán en los Trabajos Prácticos.

Ejemplo de aplicación del cálculo de la Incertidumbre Expandida

Se pretende determinar el valor de I con su incertidumbre expandida, para un factor de cobertura del 95 %.

i Ii [A]

1 10,22

2 10,11

3 10,35

4 10,17

5 10,26

Resultado de las mediciones

5

1iiI

51I A222,10

Evaluación de la incertidumbre Tipo A

2

1)(

11)(

n

ii II

nIs

1n A0909,0(Se comprobó que

mediciones sucesivas arrojaban distintas

indicaciones, por lo que se decidió tomar 5 lecturas)

( Incertidumbre Tipo A )

n)I(s 1n

I_

1uA0407,05

A0909,0

La desviación de la media es:

(Para el desarrollo que sigue sólo consideraremos las dos primeras)

Evaluación de la incertidumbre Tipo B

a) Incertidumbre del multímetro en su función amperímetro de continua: se obtiene a partir de las especificaciones del aparato (manual del fabricante).

b) Resolución del instrumento: en nuestro caso está directamente relacionada con su número de dígitos.

c) Influencia de otras magnitudes tales como temperatura, campos externos, humedad, posición, etc.: surge de las especificaciones del fabricante, el control de las condiciones de contraste, o la experiencia previa.

Dato obtenido del manual del aparato, para lascondiciones en las que ha sido usado. Se detalla además,que esta incertidumbre posee una distribución rectangular.

a) Incertidumbre del multímetro:

)mA20I%1,0(U medidomultímetro

Para nuestro caso será:

A02,0222,10*100

1,0Umultímetro

A0302,0

Dado que se trata de una distribución rectangular:

A0174,03

A0302,03

Uu multímetro2

(componente de la incertidumbre Tipo B, correspondiente a la incertidumbre del instrumento )

podemos escribir entonces:

b) Resolución del instrumento:

3.2A01,0uu resolución3

Siendo un instrumento de 3½ dígitos, y para la mediciónen cuestión, su presentación es 10,00 A, por lo que suresolución será 0,01 A. De acuerdo a lo visto antes parauna distribución rectangular:

A01,01

005,0 005,0 ]A[I

A0029,0

(componente de la incertidumbre Tipo B, correspondiente a la resolución de la incógnita )

3A005,0

La incertidumbre final será entonces:

2332

222

11 u.cu.cu.c)I(u

Además, y ya que en nuestro caso se trata de una medición directa: 1ccc 321

23

22

21 uuu)I(u

A0029,00174,00407,0 222

A0444,0

Así, ya estamos en condiciones de efectuar una primera presentación de los resultados de forma tabulada:

MagnitudXi

Tipo de incerti-dumbre

Incertidum-bre típica

u(xi)

Coeficiente de

sensibilidadci

Contribución a la

incertidumbre típicaui(y)

Grados de Libertad

νi

Repetibi-lidad A 0,0407 A 1 0,0407 A 4

Instrumento B 0,0174 A 1 0,0174 A ∞

Resolución B 0,0029 A 1 0,0029 A ∞

;A222,10I (Incertidumbre típica de la estimación de salida)

A0444,0)I(u

Resta ahora determinar la incertidumbre expandida U(I),multiplicando la incertidumbre típica u(I), por un factor decobertura k. Según lo solicitado en el enunciado delproblema se debe hallar la incertidumbre de medición parauna probabilidad de cobertura del 95 %.

Empleando la expresión de Welch-Satterhwaite, se tiene:

)I(u)I(u4

)I(u)I(u

)I(u)I(u

43

42

41

4

N

1i i

4i

4

eff

444

4

0029,00027,04

0407,00444,0

6

Así, mediante la distribución de Student, para una probabilidad de cobertura (p) del 95 % y 6 grados de libertad, se obtiene un factor de cobertura k ( tp() ) igual a 2,45.

La incertidumbre expandida U(I), se obtienen ahoramultiplicando la incertidumbre típica u(I), por el factorde cobertura k hallado:

A11,0A0444,0*45,2)I(u*k)I(U

Así, la expresión final del resultado, de acuerdo a lo sugeridoantes, se puede escribir como:

A)11,022,10(I “Correspondiente a una probabilidad de cobertura de aproximadamente el 95 %.”

Número de grados de libertad, v

Fracción p, en porcentaje

68,27a) 90 95 95,45 a) 99 99,73 a)

1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80 2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21 3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22 4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62 5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51 6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90 7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53 8 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,28 9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96 11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,85 12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,76

Tabla G.2 - Valor de tp() de la distribución t, para grados de libertad, quedefine un intervalo de −tp() a +tp(), que incluye la fracción p de la distribución.

Método del Voltímetro y el Amperímetro

V

A

Ri

U

I

IV IX

RA

RV XUX

(Conexión

Corta)

X

X

IUX

XX IUX eee

El amperímetro no medirá IX , sino insUU eeem

V

A

Ri

U

I

IV IX

RA

RV XUX

Conexión

Corta

V

mm

m

Vm

X

RUI

UII

UX

mm IU

VX ee

RX1e

Ejemplo: se efectuó la determinación del valor de una resistencia R, empleando el método del voltímetro y el amperímetro (en conexión corta).

Valores medidos:

Expresar la incertidumbre de medición según la forma (y ± U), para una probabilidad de cobertura de aproximadamente el 95%.

Medición Nº 1 2 3 4 5 6Vm [V] 12,615 12,610 12,614 12,612 12,615 12,613

Im [mA] 237,21 237,20 237,18 237,22 237,20 237,21

Instrumentos utilizados: multímetros Hewlett Packard, modelo HP974A, en los alcances de 50 V y 500 mA de corriente continua, respectivamente.

Expresión de la magnitud de salida en función de las magnitudes de entrada, en primera aproximación:

)X,...,X,X(fY N21m

mmm I

VR)I,V(f

Pero, teniendo en cuenta el consumo del voltímetro para la conexión usada, se debería efectuar, al menos inicialmente, la siguiente corrección:

V

mm

mVmmN21

RVI

VR)R,I,V(f)X,...,X,X(fY

resistencia del voltímetro.

VRcon

Estimación de salida y, a partir de las estimaciones de entrada x1 , x2 , … , xN . Para el primer par de valores:

M10V615,12mA21,237

V615,12)x,...,x,x(fy N21

181,53

Repitiendo el procedimiento para los restantes pares de valores, se obtiene:

Medición Nº 1 2 3 4 5 6

Rm [Ω] 53,181 53,162 53,184 53,166 53,183 53,173

Para determinar la incertidumbre de la estimación de salida, u(y), se tendrá en cuenta que en este caso conviven el Tipo A y el Tipo B, y que el valor de la

resistencia RV se conoce sin error.

Evaluación Tipo A de la incertidumbre típica:

175,53R61R

6

1jj

A partir de los 6 valores determinados de Rm, se obtiene:

y la incertidumbre típica de Tipo A :

0038,06RsRsRuA

(coeficiente de sensibilidad igual a 1)

Resoluciones de los instrumentos:

V0005,02

V001,0sRemV

De las expresiones de los errores de los instrumentos, para el promedio de los valores medidos de tensión y corriente:

V0083,0)díg2V%05,0(E mVm

mA73,0)díg2I%3,0(E mIm

Evaluación Tipo B de la incertidumbre típica:

mI0 ,01 mARe s 0 ,005 mA

2

Considerando para los cuatro valores anteriores, una distribución de probabilidad rectangular:

V0048,03

V0083,0)E(umV

mA42,03mA73,0)E(u

mI

V00029,03

V0005,0)s(ReumV

mA0029,03

mA005,0)s(ReumI

N

1i

2

ii

B )x(uxf)R(u

NNii xX...xXiii X

fxfc

Para hallar la incertidumbre típica de Tipo B, ( uB (R) ), resta determinar los coeficientes de sensibilidad ci , que para este caso son:

2

V

mm

m

mV

RVI

IVRc

m

2

V

mm

m

mI

RVI

VIRc

m

A12159,4

2AV18,224

(No se ha determinado el coeficiente de sensibilidad correspondiente a RV ya que se ha considerado que su valor se conoce sin error)

)]s(Reu)E(u[c)]s(Reu)E(u[c)R(ummmmmm I

2I

22IV

2V

22VB

La incertidumbre típica de Tipo B,uB(R), será:

N

1i

2

ii

B )x(uxf)R(u

]0000029,000042,0[18,224]00029,00048,0[2159,4)R(u 222222B

096,000065,009416,000122,002024,0 2222

)]R(u)R(u[)R(u 2I

2VB mm

Considerando ahora todas las contribuciones a la incertidumbre (Tipo A y Tipo B ), la incertidumbre típica de la estimación de salida, u(R), será:

)R(u)R(u)R(u 2B

2A

096,0096,00038,0 22

(Notar que, para este ejercicio, la contribución a la incertidumbre típica de Tipo A es despreciable frente a la de Tipo B)

Para determinar la incertidumbre expandida de medida U, se deberá hallar el factor de cobertura kque asegure un intervalo de confianza de aproximadamente el 95 %. Según lo visto antes, se tendrán en cuenta las siguientes consideraciones:

El número de grados de libertad i para la componente de incertidumbre de Tipo A, (n-1), es igual a 5.

El número de grados de libertad i para las componentes de incertidumbre de Tipo B es infinito ().

Con lo cual el número efectivo de grados de libertad, eff , según la expresión de Welch-Satterhwaite, será:

)R(u)R(u5

)R(u)R(u

)R(u)R(u

4I

4V

4A

4

N

1i i

4i

4

effmm

64

4

10.2

5)0038,0()096,0(

Por lo tanto, de la tabla de la Distribución “t”de Student, para un intervalo de confianza del

95 % e grados de libertad, se obtiene un factor de cobertura k (tp () ) igual a 1,96.

Número de grados de libertad, v

Fracción p, en porcentaje

68,27 90 95 95,45 99 99,73

1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80

2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21 3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22

4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62

5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,20

45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 3,18

50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16

100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077

∞ 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000

Tabla G.2 - Valor de tp() de la distribución t, para grados de libertad, que define un intervalo de −tp() a +tp(), que incluye la fracción p de la distribución.

Tabla de presentación de datos del análisis de incertidumbre

magnitudXi

Estima-ción

xi

Incertidum-bre típica

u(xi)

Coeficiente de

sensibilidadci

Contribución a la

incertidumbre típicaui(y)

Grados de

libertadi

Rm 53,175 Ω 0,0038 Ω 1 0,0038 Ω 5

Vm 12,613 V0,0048 V

4,21590,02024 Ω

0,00029 V 0,00122 Ω

RV 10 MΩ - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Im 237,20 mA0,42 mA

- 224,180,09416 Ω

0,0029 mA 0,00065 Ω

R 53,18 Ω - - - - - - - - - - 0,096 Ω

mVE

mVsRe

mIE

mIsRe

A1

2AV

Considerando el factor de cobertura k=1,96, la incertidumbre expandida asociada será:

096,0.96,1)y(u.kU 19,0

Por lo que el resultado de la medición, expresado de la forma (y ± U), será:

)19,018,53(R

“La incertidumbre expandida de medida se ha obtenido multiplicando la incertidumbre típica de medición por el factor

de cobertura k = 1,96 que, para una distribución normal, corresponde a una probabilidad de cobertura de

aproximadamente el 95 %.”

Resolución del Problema 1.4 a) del T. P. Nro. 1:

Resolver analizando errores límites.

El resultado de una medición de tensión se obtuvo a partir de la expresión: U = Um * (R2 / R1), donde Um fue medida con un instrumento de 4½ dígitos, EUm = ±(0,05% Um + 2 díg.) y RV = 10 MΩ, en el que se leyeron 14,820 V. La tolerancia de la caja utilizada era de ± 0,2%.

Considerar en forma genérica: R1= RC + R'1 y R2 = RC + R'2donde RC corresponde a las décadas comunes de R1 y R2, y R'1 y R'2 a las no comunes de cada una de ellas, evalúe la expresión del error en la determinación de U y cuantifique los siguientes casos:

Caso c), R1 y R2 fueron reguladas en distintas cajas de décadas:

1

2m R

R*UU

1

12

2m

m

RRUR

RUU

UUU

12m RRUU eeee

Caso a), R1 y R2 fueron reguladas en la misma cajas de décadas:

1

2m R

R*UU

1,5761,0*11*610*7100*5R1

1,4211,0*11*110*2100*4R2

Como fueron reguladas en la misma caja de décadas, no pueden considerarse independientes.

Entonces, podemos escribir:

1,5761,0*11*610*7100*5R1

1,4211,0*11*110*2100*4R2

'1c1 RRR '

2c2 RRR y

1,4211,0*11*110*2100*4Rc

0,1551,0*01*510*5100*1R'1

0,0R'2

Con lo cual:

Siendo:

Entonces:

1

2m R

R*UU

'1c

cm RR

R*U

'

1'1

cc

mm

U RRXR

RUU

UUEU

'

1cm R2'1c

cmR2'

1c

'1m

U'1c

cU E*

RRR*UE*

RRR*UE*

RRRE

'

1cm R21

cmR2

1

'1m

U1

cU E*

RR*UE*

RR*UE*

RRE

Con:

V0094,0V002,0820,14*100

05,0EmU

84,01,421*100

2,0R*100e

E cR

Rc

c

31,00,155*100

2,0E '1R

V0185,0V0058,00058,00069,0EU

V833,101,5761,421*V820,14

RR*UU

1

2m

VU 02,083,10

Entonces:

En tanto que, para el Caso c), sería:

,,

%46,0%2,02,006,0 Ue

Con:

Entonces:

Siendo entonces el error relativo porcentual para el caso a):

, ,