EJEMPLO 2-14 Conduccin del calor en una pared calentada por radiacin solar

Considere una pared plana grande de espesor L=0.06 m y conductividad trmica k= 1.2 W/m C en el espacio. La pared est cubierta con losetas de porcelana blanca que tienen una emisividad de e=0.85 y una absortividad solar de = 0.26, como se muestra en la figura 2-48. La superficie interior de la pared se mantiene a T1=300 K en todo momento, en tanto que la exterior est expuesta a la radiacin solar que incide a razn de qsolar=800 W/m2. La superficie exterior tambin est perdiendo calor por radiacin hacia el espacio profundo que est a 0 K. Determine la temperatura de la superficie exterior de la pared y la razn de la transferencia de calor a travs de la pared cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operacin. Qu respondera si no incidiera radiacin solar sobre la superficie?

SOLUCIN Una pared plana en el espacio est sujeta a una temperatura especfica sobre uno de sus lados y a radiacin solar sobre el otro. Se deben determinar la temperatura de la superficie exterior y la razn de transferencia de calor.

Suposiciones La transferencia de calor es estacionaria dado que no hay cambio con el tiempo. La transferencia de calor es unidimensional, ya que la pared es grande en relacin con su espesor y las condiciones trmicas en ambos lados son uniformes. La conductividad trmica es constante. No hay generacin de calor.

Propiedades Se da que la conductividad trmica es k=1.2 W/m C.

Anlisis Tomando la direccin x como la perpendicular a la superficie de la pared con su origen sobre la superficie interior, la ecuacin diferencial para este problema se puede expresar como_ 0con las condiciones de fronteraT(0) _ T1 _ 300 K_k _ es[T(L)4 _ T 4espacio] _ aqsolaren donde Tespacio _ 0. Una vez ms, por medio de dos integraciones sucesivas,se obtiene que la solucin general de la ecuacin diferencial esT(x) _ C1x _ C2 (a)donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Aplicando la primera condicin defrontera, se obtieneT(0) _ C1 _ 0 _ C2 C2 _ T1Dado que dT/dx _ C1 y T(L) _ C1L _ C2 _ C1L _ T1, la aplicacin de la segundacondicin de frontera da_k _ esT(L) 4 _ aqsolar _kC1 _ es(C1L _ T1) 4 _ aqsolarAun cuando C1 es la nica incgnita en esta ecuacin, no se puede obtener unaexpresin explcita para ella porque dicha ecuacin no es lineal y, por tanto, nose puede obtener una expresin en forma cerrada para la distribucin de temperatura.Esto debe explicar por qu se hizo el mejor esfuerzo para evitar las nolinealidades en el anlisis, como las asociadas con la radiacin.Se retrocede un poco y se denota la temperatura de la superficie exterior porT(L) _ TL, en lugar de T(L) _ C1L _ T1. En este caso, la aplicacin de la segundacondicin de frontera da_k _ esT(L)4 _ aqsolar _kC1 _ es _ aqsolarDespejando C1 daC1 _ (b)Ahora, sustituyendo C1 y C2 en la solucin general (a), se obtieneT(x) _ x _ T1la cual es la solucin para la variacin de la temperatura en la pared en trminosde la temperatura desconocida de la superficie exterior, TL. En x _ L, setransforma enTL _ L _ T1 (d )la cual es una relacin implcita para la temperatura de la superficie exterior,TL. Si se sustituyen los valores dados, se obtieneTL _ (0.06 m) _ 300 Kla cual se simplifica aTL _ 310.4 _ 0.240975Esta ecuacin se puede resolver por medio de uno de los varios programas pararesolver ecuaciones no lineales (o bien, por el antiguo mtodo de tanteos) paradar (figura 2-49)TL _ 292.7 KAl conocer la temperatura de la superficie exterior y si se sabe que debe permanecerconstante en condiciones estacionarias, se puede determinar la distribucinde temperatura en la pared mediante la sustitucin del valor de TLantes encontrado en la ecuacin (c):T(x)_ x_300 Kla cual se simplifica aT(x) _ (_121.5 K/m)x _ 300 KNote que la temperatura de la superficie exterior resulta menor que la de la superficieinterior. Por lo tanto, la transferencia de calor a travs de la pared serhacia afuera, a pesar de la absorcin de la radiacin solar por la superficie exterior.Si se conocen las temperaturas de las superficies interior y exterior de lapared, se puede determinar la velocidad estable de conduccin de calor a travsde la pared, a partir deq _ k _ (1.2 W/m K) _ 146 W/m2Discusin En el caso de que no incidiera radiacin solar, la temperatura de lasuperficie exterior, determinada a partir de la ecuacin (d), haciendo qsolar _ 0,ser TL _ 284.3 K. Es interesante notar que la energa solar que incide sobre lasuperficie causa que la temperatura superficial se incremente slo en alrededorde 8 K, cuando la temperatura de la superficie interior de la pared se mantieneen 300 K.