eje 3 marco teorico def

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA SEMINARIO UNIVERSITARIO

MARCO TEORICO EJE TEMÁTICO III: FUNCIONES

[Contenidos: Funciones . Producto cartesiano. Relaciones. Definición de función. Representación gráfica. Clasificación. Inversa de una función. Ceros o raíces. Algunas funciones especiales. Función lineal. Concepto. Representación gráfica. Condición de paralelismo y perpendicularidad. Aplicaciones. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Clasificación de acuerdo al conjunto solución. Interpretación gráfica. Método de resolución analítica: sustitución, igualación, determinantes. Problemas. Funciones de segundo grado. Concepto. Concavidad. Desplazamientos verticales de la gráfica. Análisis de diferentes funciones. Cálculo del vértice. Ordenada al origen. Discriminante. Formas de escribir la función. Ecuaciones de segundo grado. Forma general. Ecuaciones de segundo grado incompletas. Ecuaciones completas. Problemas.]

Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida.

John Von Neumann

COORDINADORA MODULO MATEMATICA: ING.DURE,DIANA ANALIA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA MODULO DE

MATEMATICA

SEMINARIO UNIVERSITARIO

Coordinadora: Ing. DURE,DIANA ANALIA

MODULO MATEMÁTICA Página 2

FUNCIONES –INTRODUCCION

Este Módulo tiene un tema central: las correspondencias entre variables, a las que llamamos

funciones. Pero tiene un objetivo que va más allá del tema funciones: es mostrar, a través de ellas, que la Matemática es una herramienta que permitirá analizar y entender mejor muchas situaciones que se presentan en la vida cotidiana.

Temperaturas a lo largo de un día Hemos tomado nota de las temperaturas anunciadas por radio a lo largo de un día de invierno en Resistencia, desde las 5 a las 22 y 30, obteniendo los siguientes datos:

Hora del día

5 6,15 7 8,45 9,30 12 16 18 21 22,30

Temperatura (en grados C)

0 -2 -2,4 -1,8 2 8,3 12,1 9,2 7 6

Podemos ver que temprano en la mañana hizo “bajo cero”; que hacia el mediodía la temperatura había aumentado varios grados; que a las 7 la temperatura fue más baja que a las 6 y cuarto, etc. Teniendo en cuenta los datos de la tabla, responda las siguientes preguntas:

1. A las 21 hizo 7 grados. ¿Habrá hecho esa misma temperatura en algún otro momento del día? 2. ¿Cuál habrá sido la temperatura aproximada a las 17?. 3. La mínima que registramos fue - 2.4. ¿Habrá sido la mínima del día?

Responder a estas preguntas habría resultado quizá más sencillo si previamente hubiésemos graficado los datos de la tabla en un sistema de ejes cartesianos ortogonales.

Observe la gráfica y responda las siguientes preguntas:

i. ¿En qué momentos del día la temperatura aumentó y en cuáles disminuyó? ii. ¿Cuándo hizo 0º? ¿Y 5º?.

Situación

La tabla presenta en poco espacio y con comodidad de lectura la información que recogimos.

Las gráficas permiten apreciar con facilidad relaci ones entre datos.



MATEMATICA




iii. Ni la tabla ni la gráfica nos indican qué pasó antes de las 5 ni después de las 22.30. Esos horarios están fuera del dominio en el que registramos datos. ¿Podríamos realizar algún suposición respecto de la temperatura para esos horarios?

La temperatura varía en forma continua, no a los saltos. En nuestra tabla no parece haber habido cambios bruscos. Por estas dos razones hemos trazado una poligonal uniendo los puntos de los datos. También podríamos unirlos con una curva “suave”. Esta gráfica es precisa en los horarios en que registramos la temperatura, y aproximada en los demás momentos del día.

El estudio de funciones permite conocer variaciones, estimar qué sucede en valores intermedios, y a veces predecir más allá de esos valores.

Siempre hay una relación de dependencia entre las dos variables que intervienen en una función: La temperatura depende de la hora del día (si no se modifican los vientos, la humedad, etc.)

Diremos que la temperatura es la variable dependiente, y que la hora es la variable independiente.

PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B ,que se simboliza AxB, es el conjunto de todos los pares ordenados que tienen como primer componente un elemento de A y como segunda componente un elemento de B.

En símbolos: ( ){ }ByAx/y,xAxB ∈∧∈=

{ } { }VerdeRojoBSuRamonJaimeA ,,, == y

Formar los pares ordenados tomando como primeras componentes los elementos del conjunto A y como segundas componentes los elementos del conjunto B.

AxB= {(Jaime, Rojo) ;(Jaime, Verde);(Ramón, Rojo);(Ramón, Verde);(Su, Rojo);(Su, Verde)}

RELACIONES

Definimos una Relación entre A y B al Subconjunto no vacío del Producto Cartesiano AxB ,

formado por todos los pares ordenados (x, y), tales que x e y están vinculados mediante una

determinada propiedad P (x, y) → ( ) ( ){ }y,xPBy,Ax/y;xlRe ∧∈∈=

Sean los conjuntos

{ } { }11;10;9;8;6;475,3,2 == ByA y

( ){ }y"dedivisoresx"∧∈∈= ByAxyxR ,/,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }10;5;9;3;6;3;10;2;8;2;6;2;4;2=R

Las relaciones pueden ser representadas en forma gráfica (representación cartesiana) o por diagramas. Representación cartesiana: Tomamos los conjuntos A y B del ejemplo anterior,

Para recordar

Recordemos

Ejemplo

Ejemplo



MATEMATICA




Diagrama : Cada par de una relación se representa por una flecha y la relación está representada por el conjunto de flechas.

{ } { } },,,,, = { Bgo } Ran,,,= {AAlcance 111098647532 ==

Dominio: },,,, = { agen } ,,Df= { 109864Im:Im532

Resumiendo: A : conjunto de salida B: Conjunto de llegada

Queda establecida una correspondencia biunívoca entre los pares ( x ; y) y los puntos del plano ya que éstos pueden ser representados mediante coordenadas y las coordenadas, a su vez, determinan la posición de un punto del plano.



MATEMATICA




La figura siguiente es la grafica de la relación: Cada punto del plano es un par ( ) lyx Re; ∈ ; todos ellos constituyen la grafica de la relación. Obsérvese que las escalas elegidas para las rectas se adecuan a fin de obtener una representación proporcionada.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

(0,0)

(1,1)

(1,-1)

(4,2)

(4,-2)

(9,3)

(9,-3)

Abscisas

Ordenadas

Origen de Coordenadas(0;0)

A

B

C

D

E

F

G

...........................

......

.........

................................

.........................................................

...........................................................

x:

y:

x 0 1 4 9

y 0 1± 2± 3±

Ptos. A B-E C-F D-G

Ejemplo

Definamos cada uno de estos conjuntos, con el fin de poder identificarlos: a) Alcance: El alcance es el conjunto de partida.

b) Rango: El rango es el conjunto de llegada o segundo conjunto de la relación .

c) Dominio: El dominio está formado solamente por todos aquellos elementos o valores del alcance que tienen imagen en el segundo conjunto. El dominio es un subconjunto del alcance.

{ }ByxfyAxDf ∈∧=∈= )(/

d) Imagen : El conjunto Imagen está formado solamente por todos aquellos elementos o valores del rango que son imágenes de elementos del dominio. El conjunto imagen es un subconjunto del conjunto rango, y puede o no ser igual a este último. En otras palabras, el conjunto imagen es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de la r elación.

( ) { })(/Im xfyAxByfIf =∧∈∃∈=

( ){ }xyZyZxyxl ±=∈∈= ,,/;Re

Sobre ambos ejes se elige una unidad y en relación con ella se ubican los números reales como en el ejemplo.



MATEMATICA




El conjunto alcance se representa sobre el eje horizontal (X) llamado eje de las abscisas.

El conjunto rango se representa sobre el eje vertical (Y) llamado eje de las ordenadas.

DEFINICIÓN Se denominan funciones a ciertas relaciones en las cuales todos los elementos del conjunto de partida tienen una y solo una imagen. ¿Cuándo una relación es función?

Una relación es una función si a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del conjunto imagen”

f(x) y / By ! A, x : =∈∃∈∀⇔→ funciónesBAf

Entonces f es una función de A en B (denotado BA:f → y se lee “f es una función de A en B”) si y

sólo si, se verifican las condiciones de existencia y unicidad, a saber:

EXISTENCIA: Todos los elementos del conjunto de salida o alcance ,deben tener imagen en el

conjunto de llegada o rango. Por lo tanto: )(/, xfyByAx =∈∃∈∀

UNICIDAD: Todos los elementos del conjunto de salida o alcance ,deben tener una única imagen en el conjunto de llegada o rango. Por lo tanto:

)()(:, 212121 xfxfxxAxx ≠⇒≠∈∀∀

¿Cómo se representan las funciones? A través de los ejemplos hemos visto diferentes formas de representar una función:

Una explicación con palabras comunes o lenguaje coloquial, mediante una descripción detallada del comportamiento de cierta variable a partir de la cual se pueden determinar otras variables.

La nafta que consume un auto varía con la cantidad de kilómetros que recorre. Si viaja por una ruta sin detenerse y sin grandes cambios en la velocidad, su consumo es parejo. Supongamos que un coche gasta 6 litros cada 100 km.

Una tabla de valores, que a veces sólo aporta información parcial sobre la función:

Tabla de valores

Una fórmula algebraica:

El volumen V de un cubo cuya arista mide x metros es igual a : ( ) 3xxV =

Por medio de un gráfico:

X 1 -1 2 -2 2)( xxf = 1 1 4 4

Si se trata de una función real, a la variable "x" perteneciente al dominio se la llama variable independiente , mientras que a la variable "y" perteneciente al conjunto imagen se la llama variable dependiente .



MATEMATICA




La gráfica de f consiste en todos los

puntos ( )yx, del plano coordenado tales

que )(xfy = y " x " esté en el dominio

de la función. En los ejemplos dados hemos visto distintas gráficas.

La gráfica de una función f sirve para

obtener una imagen útil del comportamiento o “la historia” de una función. CLASIFICACIÓN

FUNCION INYECTIVA: Una función BAf →: es inyectiva cuando a elementos distintos del

dominio le corresponden imágenes distintas. En símbolos:

BAf →: es inyectiva ⇔ )()(:, 212121 xfxfxxAxx ≠⇒≠∈∀∀

FUNCION SOBREYECTIVA o SURYECTIVA : Una función BAf →: es sobreyectiva cuando

el conjunto imagen es igual al rango. Esto significa que todo elemento del rango es imagen de, por lo menos, un elemento del dominio. En símbolos:

BAf →: es sobreyectiva )(/, xfyAxBy =∈∃∈∀⇔

FUNCION BIYECTIVA : Una función BAf →: es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva

simultáneamente. En símbolos:

BAf →: es biyectiva f⇔ es inyectiva f∧ es sobreyectiva

Clasificar la función de la figura.

De la gráfica surge: � La función de la figura no es inyectiva porque para

; 321 xy x x

bxfxfxf === )()()( 321

(tienen todos la misma imagen).

� Es no suryectiva porque al analizar los valores de la variable dependiente " y" ,vemos en el ejemplo que por debajo del valor V no hay imágenes.

� La función de la figura no es biyectiva.

Ejemplo

f(x)=x^3-2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y



MATEMATICA




Para definir una función necesitamos establecer:

El dominio La Imagen. La ley de relación entre x e y

O sea ( )xfy/BA:f =→

| a) sea xyRRf 2/: =→ La función es biyectiva

f(x)=2x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

(1,2)

(2,4)

(3,6)

(-1,-2)

(-2,-4)

b) Sea xyZZf 2/: =→ Es el conjunto de puntos (aislados) situados sobre la recta anterior . Es función inyectiva pero no sobreyectiva ,ya que los enteros impares no son imagen de ningún elemento del dominio.

Estudiaremos la siguiente función cuadrática (parábola):

2/: xyRRf =→

Representamos la función mediante una Tabla de Valores

La clasificamos :

X 1 -1 2 -2 2)( xxf = 1 1 4 4

Para recordar

Para pensarlo

Ejemplos

La clasificación de una función en inyectiva o no inyectiva , sobreyectiva o no sobreyectiva está sujeta a los conjuntos de partida y de llegada que se consideren.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

(1,2)

(2,4)

(3,6)

(-1,-2)

(-2,-4)



MATEMATICA




Es no inyectiva porque los elementos 21 y xx tienen la misma imagen:

1)1()1(1)()( 21 =−=→== ffxfxf Es no sobreyectiva o suryectiva. porque

los ∉ℜ− al subconjunto imagen. Por lo tanto es no biyectiva

� Hallamos su Dominio: ℜ∈Df

� Hallamos su imagen: { }0/ ≥ℜ∈= yyIf .

� Graficamos la función:

FUNCION INVERSA

Sea )(/:)(/: 11 xfyABfxfyBAf −− =→⇒=→

Sea 3/:3/: 1 −=ℜ→ℜ⇒+=ℜ→ℜ − yxfxyf

Hacemos un cambio de variables para que en esta nueva función sea x la variable independiente e y la variable dependiente.

Luego 3/:1 −=ℜ→ℜ− xyf

Hemos dicho que la única función que admite función inversa es la biyectiva. Es la única que satisface la definición :

ABf →− :1 . Por ser inyectiva asegura que

los elementos de B tendrán imagen en A . Por ser suryectiva asegura que todos los elementos de A serán imagen de algún elemento de B.

La parábola 222 +=→−= xyyx de la figura, no es la gráfica de una función porque , como se ve, hay líneas verticales que intersecan dos veces la parábola;

La función BAf →: admite función inversa si y solo si es biyectiva.

La única función que admite inversa es la función b iyectiva.

Se simboliza: ABf →− :1

Ejemplo

f(x)=x+3

f(x)=x-3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f-1(x)

f(x)

Recordemos

f(x)=x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

X1X2

----------------

--------- f(x1)=f(x2)

Para recordar



MATEMATICA




₪

CEROS O RAÍCES DE UNA FUNCIÓN

Los ceros o raíces de una función son aquellos valores del dominio cuya imagen es cero. ¿Cómo hallamos los ceros de una función dada su fórmula?. Analicemos la función :

4)(/: 2 −=ℜ→ℜ xxff .

Estamos buscando los valores de x para los cuales y vale cero (0); por lo tanto , escribimos:

04)( 2 =−= xxf

Nos quedó planteada una ecuación que deberemos resolver para responder a nuestra pregunta .En este caso los ceros de la función

son: 22 −=∧= xx Representaremos gráficamente la función

2=→ y/RR:f . Esta función se denomina

función constante , ya que toma el mismo valor para todo punto de su dominio

Algunas Funciones Especiales

f(x)=-(x+2)^(1/2)

f(x)=(x+2)^(1/2)

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

O

P

PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL Una curva en el plano xy es

la gráfica de una función de x si y sólo si ninguna recta vertical interseca a la curva más de una vez. En la gráfica se puede ver la validez de la prueba de la recta vertical. Si observamos los puntos O y P, la curva no puede representar una función porque se asignan dos valores distintos al mismo valor de x .

f(x)=X^2-4

-6 -4 -2 2 4 6

-5

5

x

y

Raiz

x1x 2 Raiz

(-2,0) (2,0)

f(x)=2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-4

-2

2

4

6

8

x

y



MATEMATICA




Si tenemos, xy/RR:f =→ , obtenemos una función tal que para cada x corresponde el mismo valor de y. Se denomina función identidad

Recordando el concepto de valor absoluto, podemos trazar la función

xy/RR:f =→ , llamada

función valor absoluto o módulo. Ésta función no se puede definir en una sola expresión, por lo tanto se debe escribir por separado según sea x mayor o menor que cero.

<−≥

==→0

0/:

xsix

xsixxyRRf

Otra función que puede ser expresada en forma similar a la anterior es la llamada función signo que se define:

Ya hemos visto la representación de la función

3/: 2 +=→ xyRRf , ésta recibe el nombre de parábola cuadrática.

f(x)=x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

f(x)=x 2̂-3x

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

2

4

6

8

x

y

f(x)=- x

f(x)=x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-2

2

4

6

8

x

y

<−=>

==→01

00

01

)(/:

xsi

xsi

xsi

xsigyRRf

o bien :

0 x; x

)(/: ≠==→x

xsigyRRf



MATEMATICA




La función polinómica de tercer grado 3xy/RR:f =→ , también llamada parábola cúbica se representa:

f(x)=x^3

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

En la siguiente figura podemos ver la función hiperbólica , que se define como:

{ }x

yRRf1

/0: =→−

Observemos que para x = 0 no está definida. Para x acercándose a cero por los valores positivos, la función crece sin cesar (puede decirse que tiende a ∞+ ), mientras que para x tendiendo a cero por valores negativos, la función decrece sin cesar (puede decirse que tiende a - ∞ ).

Esto es: −∞→→

∞+→→−

+

yentoncesx

yentoncesx

,0

;,0

f(x )=1 /x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y



MATEMATICA




FUNCION LINEAL

¿Qué son las funciones lineales?

En una factura de gas se lee:

El primer renglón nos indica que siempre hay un gasto fijo de 7,74$, aunque no usemos el gas. El segundo renglón dice que esa casa consumió, en el período facturado, 111 m3 y que se cobran aproximadamente 0,15$ por m3 consumido. Nos proponemos construir una tabla que muestre el costo aproximado en $ en función del consumo de gas.

Tenga en cuenta que la empresa de gas sólo factura aproximando a m3 enteros. Si tomáramos la situación real de consumo, veríamos que la tabla sólo nos informaría sobre algunas cantidades, pero en este caso no sobre todas las cantidades posibles, que son infinitas, ya que entre dos números reales siempre hay infinitos números. Por ejemplo, entre 0.1 y 0.2 están 0.13, 0.167, 0.16725, etc.

La fórmula, en cambio, nos permitirá calcular el costo real para cualquier valor de gas consumido. Recuerde que no es lo que factura la empresa.

.g,,C 150747 += Donde C es el costo en $ y g es el consumo de gas en 3m

f(x)=7.74+0.15x

-100 -50 50 100 150 200 250 300 350 400

-20

20

40

60

x

yCosto en $

Gas en m3

El primer secreto de un gráfico, para que sea claro y útil, está en la elección de las escalas en los ejes. Antes de trazar un gráfico, se deben prever las escalas que convendrá utilizar.

Situación

En nuestro gráfico hemos marcado de 50 en 50 m3 en el eje horizontal (eje de abscisas) y llegado hasta 300 m3, que parece un máximo razonable en una casa. El dominio de la función es el conjunto de los números de 0 a 300 m3,o el intervalo (0; 300). En el eje vertical (eje de ordenadas) se debía abarcar desde 7,74 hasta 52,74y se optó por dividir de 10 en 10.



MATEMATICA




Las funciones lineales son aquellas donde la varia ble (x) aparece, a lo sumo, con exponente uno y sus gráficas son rectas no verticales. O bien: Las funciones cuya gráfica es una recta se llaman f unciones lineales. Se expresan: baxxf +=)( donde ℜ∈ba y

:a Representa la pendiente de la recta y nos indica su inclinación. :b Ordenada al origen, es el valor que toma la función para 0=x e indica el punto donde la

recta corta al eje y

:x Variable independiente. :y Variable dependiente

Si 526 =− yx es la ecuación de una recta, para la expresión explícita se despeja y ; en

este caso 2

53 −= xy ; el coeficiente de x es la pendiente 3=a y el término independiente

es la ordenada al origen 2

5−=b .

Para elaborar la tabla de valores tomamos tres puntos de manera de tener la certeza de no haber cometido errores.

Cada coordenada “y” se obtiene reemplazando el valor propuesto de “x” en la expresión explícita de la

recta. Así, para obtener “y3” del punto P3(x3, y3) se reemplaza en 2

53 −= xy por

2

51.3 −=y =

2

1

x 0 6

5 1

y 2

5− 0 2

1

Punto P

−=2

5;01P

= 0;6

52P

=2

1;13P

EL GRÁFICO DE LA FUNCIÓN LINEAL ES LA RECTA DE ECU ACION baxxf +=)(

Ejemplo

f(x )=3x-(5 /2)

Series 1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

Pendientea=3

b= - 5/2Ordenada al origen P1

P2

P3

------

Los puntos que pertenecen a la recta se escriben: P

( )yx,



MATEMATICA




Graficar una recta (sin tabla): Para graficar una recta se debe tener en cuenta la pendiente de la misma y la ordenada al origen.

Grafiquemos la recta: y = 2 x + 1 El valor de la pendiente determina el recorrido de la recta, el numerador indica el

desplazamiento vertical y el denominador indica el desplazamiento horizontal que realizaremos.

La ordenada al origen es (0, 1), y es lo primero que ubicamos en el gráfico. A partir de ese punto aplicamos el concepto de pendiente, subimos dos unidades (como el valor es positivo vamos en sentido positivo del eje Y; de ser negativo bajaríamos) y nos desplazamos una unidad hacia la derecha (sentido positivo del eje X). Por esos dos puntos trazamos la recta.

Condición de paralelismo y perpendicularidad:

Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente y diferentes ordenadas al origen.

2211 bxayebxay +=+= Dos rectas paralelas forman el

mismo ángulo con el eje X.

Son paralelas porque 21 aa =

Para pensarlo

f(x)=2x+1

1 2

1

2

3

4

x

y

2

||||||

----------------------1

---

--- (0,1)

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son opuestas y recíprocas:

−=

21

1

aa

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

y=a1x+b1

y=a2x+b2

) 90°

-4 -2 2 4 6

-5

5

x

yy=a1x+b1

y=a2x+b2

) )a1 a2



MATEMATICA




Siendo las funciones: xyxy2

1

2

5

2

121 =∧+= determinar si son paralelas.

Como 2121 2

1

2

1aaaa =⇒=∧= por lo tanto son paralelas.

Aplicaciones de las funciones lineales :

Estas funciones son de gran utilidad para resolver problemas de la vida cotidiana, como ser: problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. En economía empleamos la función para relacionar la oferta y la demanda, que son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. En otras ramas de las ciencias también se utilizan las funciones lineales:

• Distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante, en función del tiempo (Movimiento rectilíneo uniforme)

• Longitud de la circunferencia en función del radio.

¿Qué relaciona a las funciones polinómicas con los polinomios y las ecuaciones?

Toda función polinómica en una variable del tipo:

RRxP →:)( / 011

1 ...)( axaxaxaxP nn

nn ++++= −

−

Se define por una expresión algebraica llamada polinomio , que tiene la forma:

011

1 ...)( axaxaxaxP nn

nn ++++= −

−

Hallar los ceros de una función polinómica (también llamados raíces de la función) es hallar los valores de la variable cuya imagen es igual a cero. Esto determina escribir una ecuación : f(x) = P(x) = 0

Ejemplo

Para pensar

f ( x )= (1 /2 )x +(5 /2 )

f ( x )= (1 /2 )x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

y1

y2

y1 // y2

a 1 =a 2

f(x)=2x-4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x

y

Raíz

f(x)



MATEMATICA




SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

Un grupo de alumnos de jardín de infantes van al cine junto a algunas madres y la maestra. La entrada de los adultos cuesta $7 y la de los niños $4,50. A la salida van todos a tomar algo a una confitería. Todos los adultos toman café, que cuesta $1,50, y los niños toman una gaseosa, que cuesta $2,50. Si pagaron $153 en el cine y $63,50 en la confitería, ¿cuántos niños y cuántos adultos fueron al cine? .

Analicemos en principio qué queremos averiguar: Necesitamos saber cuántos adultos y cuántos niños hay. Llamamos x a la cantidad de adultos e y a la cantidad de niños; sobre x e y tenemos ciertas condiciones:

“La entrada de los adultos cuesta $7 y la de los niños,$4,50”.” Si pagaron $153 en el cine : (1) 15350,47 =+ yx

“Todos los adultos toman café, que cuesta $1,50 y los niños toman gaseosa que cuesta $2,50”. Pagaron en la cafetería $63, 50.

(2) 50,6350,250,1 =+ yx Tenemos entonces dos ecuaciones, cada una con dos variables, x e y que deben cumplirse simultáneamente.

A esto llamaremos sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Clasificación de los sistemas:

Para encontrar el conjunto solución S se utilizan los métodos de sustitución, igualación, resolución por determinantes, grafico, etc.

La representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales puede resultar en que:

a) Las rectas se intersecan en el punto S

La solución es la intersección de 21 RyR → );( 1121 yxRRS =∩= Sistema es Compatible determinado si su conjunto solución está formado por un solo punto , es decir una Solución única.

La solución del sistema grafico será: { })2;1(=S

Ejemplo

Situación

Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es buscar soluciones comunes a todas

las ecuaciones lineales con dos incógnitas:

=+=+

...........................222

111

cybxa

cybxa

Una solución de un sistema de ecuaciones es un punto (x,y) que verifica todas las ecuaciones. El conjunto solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto formado por todos los puntos ( x,y) que son solución de todas las ecuaciones.

=−=+

13

52

yx

yx

f(x)=(5/2)-(1/2)x

f(x)=3x-1

Series 1

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6

-4

-2

2

4

6

x

yR2

S=(1,2)

x=1

y=2



MATEMATICA




b) Las rectas tienen más de un punto en común, o sea que ambas rectas coinciden.

La solución está formada por todos los puntos de la recta 2121 RRRRS ==∩= . El sistema es Compatible Indeterminado si su conjunto solución tiene infinitos( ∞) puntos.

La solución es el conjunto:

4

5

2

1/),( 2 +−=ℜ∈= xyyxS

c) Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común. Este caso no tiene solución, { }.21 =∩= RRS

El sistema es Incompatible si su conjunto solución es vació ∅=S . La solución es el conjunto: { }=S MÉTODOS DE RESOLUCIÓN ANALÍTICA DE SISTEMAS DE ECU ACIONES

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

a) Método de sustitución

Para emplear el método de sustitución comenzamos despejando

una incógnita de una de las ecuaciones (cualquiera de ellas).

En este caso podemos despejar x de la primer ecuación (1)

f(x)=(5/4)-(1/2)x

f(x)=(5/4)-(1/2)x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Y1 Y2

Y1=Y2

a1=a2

f(x)=2x-2

f(x)=2x+3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

R1

R2

R1// R2

a1=a2

S={}

+=−=

32

32

xy

xy

yx

yx

=+=+

1084

542Ejemplo

Ejemplo

Recordemos

Ejemplo

(a) 2

35532

yxyx

−=⇒=+

−=−

=+

2

1

2

13

532

yx

yx

−=−

=+

(2)

(1)

2

1

2

13

532

yx

yx



MATEMATICA




A continuación, en la otra ecuación ( en este caso (2) sustituimos x por la expresión obtenida en (a).

Queda planteada una ecuación de primer grado con una incógnita: y. Al resolverla obtenemos el valor de esta incógnita:

Por ultimo se sustituye la incógnita hallada en cualquiera de las dos ecuaciones iníciales o en la expresión (a), calculando así el valor de la incógnita restante:

b) Método de Igualación

En primer lugar, se despeja la misma incógnita en las dos

ecuaciones .Si se despeja x, tendremos:

Luego ambas expresiones se igualan, ya que xx = ⇒ 2

527

yy

+−=+−

Al resolver esta ecuación obtenemos el valor de y

35414

5)27(22

527

=⇒+−=+−

+−=+−⇒+−=+−

yyy

yyy

y

El valor de la otra incógnita puede calcularse reemplazando en las expresiones (1) o (2) el valor “ y” obtenido:

Este sistema es compatible determinado y su solución es:

2

1

2

1-

2

35.3 −=

−y

y

5

8

2

1

2

1

2

9

2

15

2

1

2

35.3 =⇒−=−−⇒−=−

−yy

yy

y

21

==

=−

=−

=→−=

5

8

10

1

10

1

10

1

2524

5

258

.35

2

35

;Sx

xy

x

es sistema del solución La

Ejemplo

=+−−=−

52

72

yx

yx

(2)

(1)

2

55252

2772

yxyxyx

yxyx

+−=⇒−=−⇒=+−

+−=⇒−=−

1

167327

27

-x

--)(-x

yx

==+=+=

+−=

{ }3 , 1- =S



MATEMATICA




c) Método de determinantes (Regla de Cramer) Dado el sistema:

=+=+

222

111

cybxa

cybxa con los coeficientes se forma una estructura

llamada determinante general → 1

22

1

ba

ba=∆

De los elementos 1a y 2b se dice que están sobre la diagonal principal del determinante y

de 2a y 2b que están sobre la diagonal secundaria . El valor numérico de un determinante se obtiene

calculando el producto de los elementos que están sobre la diagonal principal y sumando a este número el opuesto del producto de los elementos que están sobre la diagonal secundaria.

Podemos formar tres determinantes para resolver el sistema:

22

11ba

ba=∆ = 1221 .. baba − llamado determinante general

22

11 bc

bcx =∆ = 1221 .. bcbc − llamado determinante de “x”

. 22

11

ca

cay =∆ = 1221 .. caca − llamado determinante de “y”

Con los tres valores resultantes se calcula el valor de la incógnita “x”:

∆∆= x

x

y el valor de la incógnita “y” : ∆∆= y

y

Sea el sistema:

−=+=+

442

234

yx

yx

22

11ba

ba=∆ = 106163.24.4

42

34=−=−=

22

11 bc

bcx =∆ =

44

32

−= 201283).4(4.2 =+=−−

22

11 ca

cay =∆ =

42

24

−= 4.(-4)-2.2=-16-4=-20

Ejemplo

Importante: Este método de determinantes o Regla de Cramer se puede aplicar si el determinante general es distinto de cero



MATEMATICA




Por lo tanto el valor de x = 210

20 ==∆∆x

mientras que el valor de y = 210

20 −=−=∆∆y

El conjunto solución es { }2,2 −=S También pueden utilizarse los sistemas para plantea r y resolver problemas.

Problema: Supongamos que el perímetro de un rectángulo es de 36 cm y la diferencia entre la base y la altura es de 4 cm. Se desea calcular el área del la figura.

Perímetro: 2x + 2y = 36 Diferencia entre x e y: x – y = 4

Formando el sistema de ecuaciones

=+−=+

4

3622

xy

yx

Las rectas determinadas por las ecuaciones son:

−=+−=

4

18

xy

xy

Si igualamos ambas funciones para calcular x:

11

418

184

=+=++−=−

x

xx

xx

Reemplazando este valor en cualquiera de las funciones obtenemos el valor de y 71811 =⇒+−= yy

Luego el área es 277711 cmcm.cmA ==

Si tenemos dos o más ecuaciones que deben resolverse simultáneamente, decimos que se ha formado un sistema de ecuaciones.

Si todas las ecuaciones que forman parte del sistema son ecuaciones lineales (aquellas cuya representación gráfica es una recta) se tiene un sistema de ecuaciones lineales.

₪

Área = x . y y

x

Recordemos

Ejemplo



MATEMATICA




FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO El precio de un espejo cuadrado depende de su tamaño y de si incluye marco de madera o no. El metro cuadrado de espejo cuesta $ 30 y el metro lineal de marco de madera cuesta $ 25 ¿Cuánto cuesta un espejo de 1 m de lado con marco? ¿Y uno de 2 m sin marco? ¿Cuánto cuesta un espejo de 2,5 m de lado con marco? ¿Con $ 367,50 de qué medidas se puede comprar un espejo sin marco? ¿Y si se quiere el espejo con marco? ¿Cuál es la fórmula que permite determinar el costo (en $) de un espejo cuadrado con marco, en función de la medida (en m) de su lado?

Para resolver este problema hay varias posibilidades. Una de ellas es hacer una tabla colocando las posibles medidas del lado del espejo y, a partir de ellas, calcular el precio del espejo solo, el precio del marco y el costo total.

Por ejemplo, un espejo cuadrado de 1 m de lado lleva 1 2m de espejo solo y 4 m de marco de madera; por lo tanto, su costo surge de sumar $ 30 del metro cuadrado de espejo y $ 25 por cada metro lineal de marco, o sea, $ 100. Entonces, el espejo de 1 m de lado con marco cuesta $ 130.

De manera similar puede calcularse el costo para otras medidas de lados.

₪ La funciones que están representada por expresiones cuadráticas se denominan funciones

cuadráticas y tienen la forma: 0 Rc Rb R y ≠∧∈∧∈∧∈++=→ aacbxaxxfRRf 2)(/:

donde a es el coeficiente del término cuadrático b es el coeficiente del término lineal c es el término independiente

1. Si representamos gráficamente la función 2)(/: xxff =ℜ→ℜ

Para graficar la función ƒ es útil hacer una tabla de valores, pero se puede anticipar que su gráfica contiene puntos cuyas ordenadas sólo toman valores positivos o bien cero pues los valores se obtienen elevando x al cuadrado.

x 0 1 -1 2 -2 3 -3

2)(/: xxff =ℜ→ℜ 0 1 1 4 4 9 9

Situación

Ejemplo

Una característica a destacar de esta gráfica es que a valores opuestos del dominio les corresponde la misma imagen, es decir f(x) = f(–x). Se dice entonces que el eje y es eje de simetría. Es una función no inyectiva y no sobreyectiva



MATEMATICA




f(x)=x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

2

4

6

8

x

y

a=1y= x2

Vértice

Función 2)( axxf =

Representa una función cuadrática. 2)(/: axxff =ℜ→ℜ

Para el valor arriba hacia orientadas están ramas sus cóncava, es curva la ⇒> 0a

f(x)=x^2

f(x)=4x^2

f(x)=(1/6)x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-2

2

4

6

8

x

y

y=4x2

y=1/6 x2

a>1a=1

a>0 indica concavidad

y=x2

a<1

La representación grafica es una curva denominada parábola .



MATEMATICA




Para el valor abajo hacia orientadas están ramas sus convexa, es curva la ⇒< 0a

f(x)=-x^2

f(x)=- 4x^2

f(x)=-(1/6)x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

x

y

y=-4x2

y= - 1/6 x2

a>1

a=1

a<0 indica concavidad

y= - x2

a<1

Desplazamientos verticales de la gráfica Para hallar la fórmula de funciones como y ℜ→ℜℜ→ℜ :: hg conociendo su representación gráfica, las comparamos con

2)(/: xxff =ℜ→ℜ

La gráfica de 2xay = , es una parábola en la que a actúa como un factor de escala. Si se compara

la gráfica de 2)( xaxg = con la de 2)( xxf = resulta que la gráfica de g(x) comparada con f(x) es:

Igual a la de ƒ, si a = 1. Igual a la de ƒ pero convexa, si a = –1 Más cercana al eje Y y cóncava , si a > 1. Más separada del eje Y y cóncava , si 0 < a < 1. Más separada del eje Y pero convexa, si –1 < a < 0. Más cercana al eje Y pero convexa, si a < –1. El dominio de ambas funciones es ℜ

La gráfica de una función de fórmula caxxt += 2)( tiene la misma forma que la gráfica de la función

de fórmula 2)( xxf = , pero desplazada c unidades hacia arriba, si c es positivo, o c unidades hacia abajo, si c es negativo. En estos casos varía la posición del vértice de la parábola pero no varía el eje de simetría que es el eje Y.



MATEMATICA




Es posible reconocer que en la función g(x) todos los valores de las imágenes han disminuido dos unidades, por lo que la gráfica se desplazó dos unidades hacia abajo. Esto quiere decir que la

fórmula de la función g(x) es la de f(x) menos dos. En símbolos: 22)()( 2 −=−= xxfxg

Si ahora se compara h(x) con f(x) será: 22)()( 2 +=+= xxfxh que corresponde a una parábola desplazada 2 unidades hacia arriba respecto de la gráfica de f(x).

Función bxaxxf += 2)(

Si graficamos la función: xxxf 4)( 2 −=

Todas las funciones de fórmula bx )( 2 += axxf tienen una raíz en x = 0. Luego, todas pasan por el origen

de coordenadas. El término lineal "bx " representa el desplazamiento lateral de la parábola respecto del origen de coordenadas. El punto cuya ordenada representa el valor máximo (o bien el valor mínimo) de la parábola se llama vértice y

sus coordenadas son ),( vv yxV

f(x)=x^2-4x

-2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

RaízRaízx2x1

Vértice V=(xv;yv)

Eje

de

s imetría

|||||||||||||||||

0

f(x)=x^2-2

f(x)=x^2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-2

2

4

6

8

x

y

g(x)= x2-2

Vértice

f(x)=x2

Ejemplo

El eje de simetría: Es la recta que tiene por

ecuación vxx =

Para que un producto sea cero alguno de sus factores debe ser 0 En símbolos: a . b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0

f(x)=x̂ 2+2

f(x)=x̂ 2

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-2

2

4

6

8

x

y

f(x)=x2

h(x)= x2+2?



MATEMATICA




Función cbx axxf ++= 2)(

Dada la función 34)( 2 ++= x xxf determinar el vértice, los ceros de la función y su

gráfica.

Si a los ceros de la función cuadrática f (x) los denominamos 21 xx ∧ , entonces es posible calcular el vértice

de la parábola ),( vv yxV = de la siguiente manera:

a

bx

xxx vv 22

21 −=∨+

= luego la coordenada )( vv xfy =

En nuestro ejemplo:

)1,2(

13)2(4)2()(

21.2

4

2

41

2

−−=−=+−+−==

−=−=−=

==

V

xfy

a

bx

;ba

vv

v

Para calcular las raíces se utilizan la fórmulas:

{ })1,3(

1.2

3.1.4

2

4

1.2

3.1.4

2

4

2

1

−−=

==−

=−−=

=+=−+

=−+−=

S

a

acx

a

acx

-3 2

12-16-4-(4)-4- b-b

-1 2

12-164-(4)4- bb

22

22

f(x)=x^2+4x+3

-5 -4 -3 -2 -1

-3

-2

-1

1

2

3

4

x(-3,0) (-1,0)

(-2,-1)

(0,3)

V=(xv;yv)V=(-2;-1)

-----------------------------

|||||||||||

Eje de simetría

x1

x2

Raíz Raíz

Ordenada al origen

xv

yv

En general, para graficar una parábola podemos seguir los siguientes pasos:

a) Analizamos su concavidad, es decir: Si a > 0, entonces es cóncava (U); Si a < 0, entonces es convexa (∩)

b) Hallamos sus raíces: ( ) ( )

a

cabbx

a

cabbx

2

.4;

2

.4 2

2

2

1

−−−=

−+−=

c) Determinamos el eje de simetría: a

bx

xxxxx vvv 22

21 −=∨+=⇒=

Ejemplos

Para recordar

Ordenada al origen: Es el punto de intersección de la gráfica con el eje Y, es decir que si

cfx =⇒= )0(0



MATEMATICA




d) Calculamos las coordenadas del vértice de la parábola ),( vv yxV =

e) Hallamos la intersección con los ejes: La intersección con eje x es coincidente con los valores de las raíces: (x1, 0) ; (x2, 0) ; La intersección con el eje y es coincidente con la ordenada al origen

cfx =⇒= )0(0 :(0; y).

En caso que 21 xx ∧ existan, coinciden con las raíces reales; si son raíces complejas, la función

no interseca al eje de las abscisas f) Luego marcamos en un sistema de ejes coordenados cartesianos los valores hallados y los unimos

Respecto de las raíces podemos decir que el valor cab ..42 − ,

llamado el discriminante ( )∆ puede ser positivo, negativo o nulo.

i. Si 040 2 >−→>∆ acb entonces la gráfica corta al eje X en dos puntos (tiene dos raíces reales y

distintas).

ii. si 040 2 =−→=∆ acb , la raíz es múltiple 212,1 2xx

a

bx =→

−= (las dos raíces son reales e

iguales) y la gráfica toca al eje X precisamente es ese punto.

iii. si 040 2 <−→<∆ acb la gráfica no corta al eje X ya que no hay raíces reales.

Gráficamente: f(x)=x^2+4x+8

f(x)=x^2-4x+4

f(x)=-x^2+1

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

(1,0)(-1,0)

x1=x2

b2-4ac<0

b2-4ac=0

b2-4ac>0

x1

x2

Para pensar



MATEMATICA




ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Una ecuación en la cual el mayor exponente al que aparece elevada la variable es dos y los

demás exponentes son todos naturales se denomina ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado.

Para construir una caja se recortan las cuatro esquinas de una plancha de cartón cuadrada, tal como se muestra en el dibujo. Cada recorte es un cuadrado de 4 cm de lado. Luego se pliegan los bordes hasta obtener la caja, sin tapa. Cuánto debe medir cada lado de la plancha de cartón para que la caja tenga un volumen de 33 856 ?

Para resolver este problema se puede suponer que el lado de la plancha cuadrada mide a (en cm). Se plantea la ecuación del volumen, que es la superficie de la base multiplicada por la altura de la caja. La base es cuadrada de lado "a" menos los dos recortes de 4 cm cada uno.

La altura es la del recorte de 4 cm.

Por lo tanto será: ( )( ) 4.2.4.2.4 −−= aaV = ( )4.64162 +− aa = 256644 2 +− aa

Y como el valor del volumen está establecido en el enunciado escribiremos: 256644 2 +− aa = 33856 cm3

Hemos planteado así una ecuación de segundo grado que, de ser resuelta, nos permitirá calcular las dimensiones de la caja.

₪ Una ecuación de segundo grado es aquella cuya forma general es:

002 ≠∧ℜ∈∧ℜ∈∧ℜ∈∧=++ acbacbxax

donde a es el coeficiente del término cuadrático b es el coeficiente del término lineal c es el término independiente

Ecuaciones de segundo grado incompletas:

Si b=0,la ecuación es incompleta de la forma 02 =+ cax

Tener en cuenta que: x 2 =x

−∨=

−=∨=

=⇒=

=⇒=−

3

5

3

53

5

3

53

5

9

25

9

250

3

253)

21

2

22

S

x x

x x

xxa

Ejemplos

Plantear la situación:

{ }2323

2323

2318

63

063

)

21

2

22

−∨=

−=∨=

=⇒=

=−⇒=+−

S

x x

x x

xxb -



MATEMATICA




Si c=0, la ecuación es incompleta de la forma 02 =+ bxax

{ }40

40

404

00)4(2

042)

21

2

1

2

∨==∨=

=⇒=−=

⇒=−

=−

S

x x

xx

xxx

xxa

Ecuaciones de segundo grado completas:

Si la ecuación es completa, significa que ninguno de sus coeficientes es nulo o sea : 02 =++ cbxax y los valores de x que la verifican se determinan mediante:

( ) ( )a

cabbx

a

cabbx

2

.4;

2

.4 2

2

2

1

−−−=

−+−=

El análisis del discriminante

xxxx∆

xxxx∆

xxxx∆

ac -b∆

ℜ∉∧ℜ∉∧≠⇒<ℜ∈∧ℜ∈∧=⇒=ℜ∈∧ℜ∈∧≠⇒>

=

2121

2121

2121

2

0

0

0

:Si

4

a) 122201222 2 −=∧−=∧=⇒=−− cbaxx 0>∆

Raíces: 234

102

4

9642

2.2

)12.(2.4)2(2; 21

2

21 −==⇒±=+±=

−−−±= xyxxx

b) 9610962 =∧−=∧=⇒=+− cbaxx

0=∆

Raíces: 32

06

2

36366

1.2

9.1.4)6()6(; 21

2

21 ==⇒±=−±=

−−±−−= xxxx

c) 4320432 2 =∧=∧=⇒=++ cbaxx

0<∆

Raíces: { }φ=⇒ℜ∉∧⇒−±−=−±−=

−±−= Sxxxx 21

2

21 4

233

4

3293

2.2

4.2.4)3(3;

Ejemplos

{ }30

30

303

00)3(

03)

21

2

1

2

∨==∨=

=⇒=+−=

⇒=+−

=+−

S

x x

xx

xxx

xxb

Ejemplos

Tener en cuenta que: 000 =∨=⇒= n m m.n

Recordar

{ }=S



MATEMATICA




RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. A. El cuadrado de un número sumado a su duplo da 8. ¿Cuál es dicho número?

Plantear una expresión que permita resolver el problema:

x es el número desconocido , se establece que 822 =+ xx

Se calculan las raíces de la ecuación 0822 =−+ xx : 24 21 =∧−= xx Se verifica que ambos valores satisfagan la ecuación. Al plantear situaciones físicas hay que hacer una interpretación de las soluciones calculadas dado que puede ocurrir que alguna de ellas no tenga sentido físico, no obstante tener sentido algebraico.

B. Susana debe confeccionar manteles rectangulares para las mesas de un comedor escolar. No tiene

aún las medidas exactas pero sabe que en todas ellas el largo es igual al doble del ancho. Además calcula que alrededor de cada mantel necesita 10 cm más de tela para el volado y el dobladillo. ¿Cuál es la expresión que permite calcular la cantidad de tela que necesita para cada mantel en función de la medida del largo de las mesas?

Solución:

Hagamos un esquema para representar la situación: Necesitamos calcular la cantidad de tela o sea la superficie de los manteles. Recordemos que la superficie de un rectángulo se calcula con la fórmula: alturabaseS por = Según los datos , la base es igual a 2x más 20 cm que corresponden a los 10 cm que hay que dejar a cada lado para volados y dobladillo y el ancho es igual a x más 20 cm, también para volados y dobladillo.

Remplazando estos datos en la fórmula de la superficie se obtiene la siguiente expresión: S = (2x + 20) · (x + 20)

Aplicando propiedad distributiva: 400602

400204022

2

++=+++=

xxS

xxxS

Siendo x el ancho de las mesas. Sólo resta hallar las raíces y verificar los resultados.

₪

eje 3 marco teorico def

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