ei2d

8/10/2019 ei2d

1/49

8/10/2019 ei2d

2/49

PREFACIO

El libro se ha escrito con la finalidad de contribuir en el apoestudiantes y todos los interesados en general en la enseanza y las estructuras isostticas, las cuales en conjunto representtrascendental en la disciplina denominada anlisis estructuconstituye uno de los pilares ms importantes de la carrera de Ingotras como Ingeniera Mecnica, Ingeniera Aeronutica y Arquite

Una estructura es el conjunto de elementos resistentes, cvinculados entre s, que accionan y reaccionan bajo los efectos dfinalidad es resistir y transmitir cargas a otros elementos y a los amodo garantizar su correcto funcionamiento. Los requisitos o exque una estructura debe cumplir son: equilibrio y estabilidad.

Se entiende por anlisis de una estructura al proceso sistemtico

8/10/2019 ei2d

3/49

8/10/2019 ei2d

4/49

CONTENIDO

CAPTULO 1. ANLISIS DE VIGAS ESTTICAMENTE DETERMINAD

1.1. REACCIONES EN LOS SOPORTES Y FUNCIONES DE FUERZDE FUERZA NORMAL Y DE MOMENTO .....................................

1.2. DIAGRAMAS DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO. TR

PENDIENTE Y CURVA ELSTICA CON EL MTODO INTEGRACIN..............................................................................

1.3. TEOREMA DE CASTIGLIANO ....................................................

CAPTULO 2. ANLISIS DE MARCOS ESTTICAMENTE DETERMIN

8/10/2019 ei2d

5/49

CLCULO DE LAS FUNCIONES DE FUERZA CORTANTE, NORMAL Y DE MOMENTO FLECTOR EN UN MARCO ISO

Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2, HeGarca Pascual2, Berruecos Sergio1

1. Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, Unidad Zacatenco, In

Nacional, Distrito Federal, Mxico.

2. Facultad de Estudios Superiores Aragn, Universidad Nacional AutNezahualcyotl, Estado de Mxico.

MARCO PROPUESTO A RESOLVER

8/10/2019 ei2d

6/49

soporte , por ser un rodillo, se genera una fuerza reactiva perpendicdeslizamiento, mientras que el soporte

por ser articulado tiene dos inc

(una horizontal y una vertical), = 4ya que hay cuatro nodos ; ; ;haber condiciones impuestas por la construccin.CLCULO DE LAS REACCIONES EN LOS SOPOR

Diagrama de cargas.Se muestra en la prxima figura. Se han definidopositivos a los ejes

y

ms convenientes para aplicar las ecuaciones

estructura; en esta ocasin, las columnas son prolongadas hasta su punto(ms adelante se explicar la razn). Para la carga triangular y la carga con

por la funcin logartmica, deben calcularse su rea bajo la curva, respec

del centroide de sus reas correspondientes. Por otra parte, se identifica c

en los soportes suponiendo su sentido arbitrariamente. Es necesario desc

concentrada equivalente y a la reaccin , individualmente, enrectangulares horizontal y vertical

8/10/2019 ei2d

7/49

sin

= 561 ;cos

= 661 ;tan

=56

A continuacin se efecta un anlisis de las cargas distribuidas. Para la

tiene que la carga concentrada equivalente es

=7.8102(8 )2 = 31.241y su punto de aplicacin se localiza a una distancia de

=23 7.8102= 5.2068Las componentes rectangulares horizontal y vertical de la fuerza resu

triangular son

8/10/2019 ei2d

8/49

=

1 = 1 21 = 1La integral que obtuvimos, + , es ms sencilla que la original pobvia, as que efectuamos lo siguiente para resolverla:

1 = 1 Esta ltima integral es del tipo

= +2 1 2

8/10/2019 ei2d

9/49

= 1

=1

2tan

El centroide del rea se determina con la siguiente expresin matemtica= =

= (1 )(1 )

El denominador ya fue resuelto.

Resolviendo el numerador tenemos (1 ) La integral en forma indefinida es

8/10/2019 ei2d

10/49

Sustituyendo = 1 en la ecuacin anterior se obtiene(1 ) =12 1 1 1

As, tenemos

(1 ) = 12 1 1 1 = 7

Finalmente, la lnea de accin de la resultante est localizada a una distan

=73.300616.242 = 4.513Ecuaciones de equilibrio. La aplicacin de las ecuaciones de equilibsecuencia permite una solucin directa para cada una de las incgnitas. Si

8/10/2019 ei2d

11/49

=

56

=65

=65 9.0089= 10.8107Las resultante es= ()=9.0089 10.8107= 14.

La reaccin faltante se puede conocer al plantear que la suma de fuerzas

= 0 10.8107 20 16.242 = 0 =Como comprobacin, la suma de momentos con respecto al puntoparadebe ser igual a cero.

=244 203.3333 16.2429.513 43 25.431

8/10/2019 ei2d

12/49

o donde el tipo o la magnitud de la carga distribuida cambia, pero ahora t

una de sus componentes, actan en la direccin del eje del miembro do

cambio en la geometra de la estructura tambin puede provocar unfunciones de las acciones internas. De acuerdo a lo anterior, podemo

tramos distintos en la estructura: , , y . Las funciointernas deben determinarse para cada uno de esos tramos; ello implic

cortar a la estructura a travs de secciones arbitrarias ubicadas en las regi

En el ltimo esquema se han especificado las coordenadas

por separ

asociados. Las coordenadas , y que tienen sus orgenes en , ydentro de las regiones desdehasta para , de a para , y de ade la flechita indica el sentido positivo de la coordenada, por tanto, es py a la derecha, es positiva hacia la derecha y es positiva hacia arribade cuerpo libre para un segmento de la estructura, los elementos m

actuando en sus direcciones positivas y sus expresiones algebraicas se ded

8/10/2019 ei2d

13/49

=61,= 81.3333 . = 0 1.02432 = 0 = 0.512 = = 0.512148

= 0

14.0724 = 0

= 14.072MIEMBRO .La distribucin de la carga que se extiende sobre este miembro no presen

as que slo es necesario realizar un corte perpendicular al eje del miemb

Corte en el tramo . Se representa el diagrama de cuerpo libre coi i i d d l t t d l t l l

8/10/2019 ei2d

14/49

[ 1 2 ] 1 1

2

1 2= 12 12 2 32 9.18= 0, = 81.3339. ; = 7, = 186.05 = 0 10.8107 20 { 1 2tan = 1 2 2 9.189

= = 1 2 2

8/10/2019 ei2d

15/49

Corte en el tramo . Se secciona la estructura en un punto arbitrarisegmento

) a una distancia

de

; el diagrama de cuerpo libre

segmento inferior de la estructura y su anlisis son3 6 = 0 29.0089

= 33.0089 12

= 0, = 87.0267;= 6, = = 0 4 29.0089 = 0

8/10/2019 ei2d

16/49

PROBLEMARIO DE ANLISIS DE ESTRUCTURAS EN 2D Y 3D

CURVA ELSTICA DE UNA VIGA CON LA INDITA FUSIN DE

INTEGRACIN DOBLE Y TRABAJO VIRTUAL

Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2, He

Garca Pascual2, Berruecos Sergio1

1. Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, Unidad Zacatenco, In

Nacional, Distrito Federal, Mxico.

2 Facultad de Estudios Superiores Aragn Universidad Nacional Aut

8/10/2019 ei2d

17/49


SOLUCIN

Clculo de las reacciones en los soportes

Diagrama de cargas.Al analizar la carga trapezoidal, es conveniencarga uniforme y una carga triangular. Se construye la tabla qucontinuacin.

8/10/2019 ei2d

18/49


El diagrama de cargas mostrado se completa identificando las rsoportes proponiendo sus sentidos arbitrariamente.

Ecuaciones de equilibrio.+ = 0 32 121 + 9 8 6 + 3 = 0

1 /2/

3

3

2 6

1

6 / = 92 = 1 2

= 83 = 1 103

8/10/2019 ei2d

19/49


Corte en el tramo . Se secciona la viga a una distanciapunto

, es decir, antes del punto de intensidad de

2/de la pre

En consecuencia, el diagrama de cuerpo libre de la seccin cortaesttico son

0 2 +=

= 6 2 3 = = = 6 Corte en el tramo . Se secciona la viga en un punto ubique justo despus de que comience la carga trapezoidal distr

3

16

/

8/10/2019 ei2d

20/49


A continuacin se hace el anlisis de la carga trapezoidal distribui

= 2 73

16 =

73

16

143 +

13 =

16

+ = 2 2 73 16 2 = 2 13 + 16 2 = 13 + 16 = 112 13 + 13

8/10/2019 ei2d

21/49


= = 112

+ 73

133

y el centroide a travs del cual acta es

= = 18 + 43 143 + 409 112 + 73 133 a la derecha de B,

+ = 0 3 62 12 2 + 2+2 12 + 73 133 2 18 + 43 143 + 409 112 + 73 133

8/10/2019 ei2d

22/49


+ = 0 3 62 12

2 + 6 + 8 + 2 296 83 + 8 + 1 . 5 8 = 0 = 3 + 1 2 1 2 4 5 + 2 2 . 5 + 4 2 9 + 1 . 5 1

=

= 0Clculo del momento mximo de cada tr0 2

Para hallar la posicin del momento mximo en la regin ha3 1

8/10/2019 ei2d

23/49


Realizando una comparativa, el momento mximo para toda la vig

= 1 8 y se presenta en el punto

= 2; la posici

de.Ecuaciones de la pendiente y la deflexin usando e

integracin directa

Aplicando la ecuacin diferencial

= e integrndola dos veces en cada tramo se obtiene0 2

8/10/2019 ei2d

24/49


=

= 3

= 3 =, = 3 +

= 3 + = 32 + + Mtodo del trabajo virtual unificado con el mtodo d

doblePara calcular las seis constantes de integracin anteriorescondiciones, primero dos de frontera y luego cuatro de continuidaalgn apoyo en , la viga puede desplazarse verticalmente y giraque, 1 = ? = 0y 2 = ? = 0. Luego, por continuique en en en

8/10/2019 ei2d

25/49


+ = 0 + 16

= 0 = 16

+ = 0 = 0Es necesario efectuar tres cortes en la viga anterior.

- Seccin cortada en el primer tramo.

0 2

+=0 + 1 = 0 =- Seccin cortada en el segundo tramo.

8/10/2019 ei2d

26/49


+1

3

0

Resolviendo integrales por separado se tiene1 3 31 = 1 3 3 = 1 [ = 1 [2 0 32 2 0] = 14 1 136 76 + 716 3359 16 + 43 = 1 1216 + 33554 + 127 149 + 1429 134027

= 1 1 + 25 127 + 1187 1340

8/10/2019 ei2d

27/49


Momentos virtuales .El desplazamiento vertical en se obtiecarga virtual unitaria en ese punto; su sentido se propone hacia ab

cargas reales son removidas y que debe usarse la misma coorestructura real. Despus de calcular las reacciones en los soportel mtodo de las secciones para formular los momentos internos

+ = 0 12 + 6 = 0 = 13 1 4

1

2 6 1

= 43 = 13

8/10/2019 ei2d

28/49


Ecuacin del trabajo virtual.Entonces el desplazamiento vertical

1 = 1 = 1 3 3

+1

1

36

76

+716

3359

13

83 +

1

Resolviendo integrales por separado se tiene1 3 3 = 1 3 + 3 = 1 [34 = 1 [34 2 0 + 2 0] = 20

8/10/2019 ei2d

29/49


Sustituyendo la condicin 2en la ecuacin da 1965 = 0 32 0 + = 1965 Sustituyendo la condicin 1en la ecuacin tenemos

3525 = 14 0 12 0 + 1965 0 + =Aplicando la condicin

3se obtiene

32 + = 1144 718 + 7112 3359 + , 2 32 2 + 1965 = 1144 2 718 2 + 7112 2 33591 7 3 71 335 1

8/10/2019 ei2d

30/49


En consecuencia, las ecuaciones de la pendiente y la deflerespectiva en cada tramo son

0 2 = 32 + 1965 = 14 12 + 1965 3525 2 8

= 1144 718 + 7112 3359 + 355445 = 1720 772 + 7136 33518 + 355445 88 9 = 3 + 66

8/10/2019 ei2d

31/49


=4.4635 32.9882

2 =2.231752.87174 = 4.4635+ 32.98822 =2.23175+2.87174Obsrvese que de las tres soluciones anteriores ninguna pertenedistancia analizado de la viga 0,2, por lo que la flecha mximael extremo donde no est el apoyo, as que = 0. Entonces, = 14 0 12 0 + 1965 0 3525 = 3525 = 70.42 8

= 0 = 1144 718 + 7112 3359 + 355445 1 7 71 335

8/10/2019 ei2d

32/49


7.66660+3.8122 7.666603.81Note que de las cuatros soluciones anteriores, la nica que est de

de distancia analizado de la viga 2,8es , as que =tanto, = 1720 4.26119 772 4.26119 + 7136 4.26119

+ 3554

45 4.26119 880

9 ma

23.32049531

ma

8 9 = 0 = 3 + 665 =6653 =4.4

Como est fuera del intervalo del intervalo de distancia anal

8/10/2019 ei2d

33/49


8/10/2019 ei2d

34/49


FUNCIONES DE LAS ACCIONES INTERNAS EN UNA VIGA

ENTRE OTRAS CARGAS, UNA DISTRIBUIDA IRREGULARMEN

Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2, He

Garca Pascual2, Berruecos Sergio1, Palomino Alex Hen

8/10/2019 ei2d

35/49


SOLUCIN

Clculo de las reacciones en los apoyos

3/

2/

3/

1/ 2/

1 2 1 1 1 1 1

34

8/10/2019 ei2d

36/49


2 = 8+ 8+8+ 8+ 8 +

2 = 32768 + 4096 + 512 + 64 + 8 + 0 = 9+ 9+9+ 9+ 9 + 0 = 59049 + 6561 + 729 + 81 + 9 + Expresando el sistema simultneo de ecuaciones en forma matric

(

1024 256 64 16 4 13125 625 125 25 5 17 7 7 6 1 2 9 6 2 1 6 3 6 6 11 6 8 0 7 2 4 0 1 3 4 3 4 9 7 13 2 7 6 8 4 0 9 6 5 1 2 6 4 8 15 9 0 4 9 6 5 6 1 7 2 9 8 1 9 1) (

) =

023120)

Resolviendo el sistema resulta

1024 256 64 16 4 1 0 0

8/10/2019 ei2d

37/49


= =

= 16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5 +.= 136 + 1615 40124 + 1363891000 24434 + 142

= 136 4.45

4.00

+1615 4.45

4.00

40124 4.45

+ 1363891000 4.45 4.00 24434 4.45 4.00 +14224.454El signo negativo indica que la resultante acta hacia arriaplicacin es

8/10/2019 ei2d

38/49


Ahora se analiza la parte de la carga distribuida que acta hacia aque se extiende de 4.45a 9. La fuerza resultante es

= = = 16 5+ 1634 4016 3+409.16721221.5+

.= 136 + 1615 40124 + 1363891000 24434 + 1422

= 136 9

4.45

+1615 9

4.45

40124 9

4.4+ 1363891000 9 4.45 24434 9 4.45 +142294.45y su punto de aplicacin es

8/10/2019 ei2d

39/49


- Para = 7

=3

+ 4

= 5

sin=45 ;cos=35

- Para = 5=1+ 1=2sin= cos = 12

34

11

sin=

7 = 7sin= 7 4

5 = 5

cos=7 = 7cos= 7 35 = 4

8/10/2019 ei2d

40/49


Ecuaciones de equilibrio. Se aplican al diagrama de cargas p

incgnitas y y usando una convencin de signos arb+ = 0 4.2 3.53553 = 0 = 0.6+ = 0 5.63 0.121.083 +8.873.685 6 +3.5 = 7.34

+ = 0 5.6 4.5 + + 0.12 8.87 + 7.34 3.53553 = 0 La fuerza reactiva vertical del soporte en tambin se puede momentos alrededor de .

+ = 0 3.535532 8.872.315 4.56 +0.124.917 +

8/10/2019 ei2d

41/49


Se ha definido una sola coordenada para toda la viga, por lo qtoda la regin 0 11, su origen ha sido asociado ehacia la derecha.

Corte en el tramo . Se secciona la viga en un punto arben el segmento ) a una distancia del punto . Se proporcde cuerpo libre del segmento de viga con longitud . Al aplicar laequilibrio se tiene

0 1

+ = 0 5.6 = o tambin34

=5.6

+ = 0 5.6 =

8/10/2019 ei2d

42/49


y su punto de aplicacin es

=1

3 1

Por lo tanto,

+ = 0 5.6 12 13 1 2= 5.6 16 13= 5.6 16 [3 321 + 312

= 5.6 16

3

+ 3 1= 16

+12

6.1 ++ = 0 5.6 12 = 0= 5.6 21 + 12 = 5.6 12 + 12= 12

8/10/2019 ei2d

43/49


+ = 0 5.6 + 15.0456 3 12 13

= 5.6 +15.0514 45.1542 16 + 12 2 += 16 + 12 +8.9456 44.9701

+ = 0 5.6 1

2 +15.0456= 0 3= 1

2o tambin= =

16 + 12 +8.9456 44.9701 = 12 +

8/10/2019 ei2d

44/49


= 16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5 +

= 136 + 1615 40124 + 1363891000 24434 + 1422 y su lnea de accin est localizada a una distancia de

= 1

65+ 16

34 401

6 3+409.1672 1221.5 +

16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5 +Resolviendo el numerador tenemos

1 16 401

8/10/2019 ei2d

45/49


= 136 6+1615 540124 4+1363891000 324434 2 + 1422

o tambin

= = 1252 7+ 845 6 401120 5+ 1363894000 4 244312 3+ 7112 13

= 136 6+ 1615 540124 4+1363891000 324434 2 + 1422 + = 0 = 4.2Corte en el tramo . Se secciona la estructura en un(intermedio en el segmento ) a una distancia de ;5

8/10/2019 ei2d

46/49


= 16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5.

16

5

+163

4

401

6 3

+409.1672

1221.5 +

.Resolviendo el numerador tenemos

16 5+ 1634 4016 3+409.1672 1221.5 +

.

16 6+ 163 5 4016 4+409.1673 1221.52+14

. 142 + 89 40130 + 4091674000 24436 + 711 106El denominador ya fue resuelto. Por lo tanto,

1 8 401 409167 2443

8/10/2019 ei2d

47/49

8/10/2019 ei2d

48/49


REFERENCIAS

1. R. C. Hibbeler. Anlisis estructural. Editorial Pearson.

2. Gonzlez Cuevas. Anlisis estructural. Editorial Limusa.

3. Selva Colindres Rafael. Dinmica de suelos y estructurasingeniera ssmica. Editorial Limusa.

4. Magdaleno Carlos. Anlisis matricial de estructuras reticulares

5. James Stewart. Clculo de una variable: Conceptos y co

CENGAGE Learning.

8/10/2019 ei2d

49/49

ei2d

Documents