REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

TEORÍA DE INTERPOLACIÓN

Efrain Cortez.

C.I: 21.505.204

Mayormente en una función sólo conocemos un conjunto de

valores. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa

diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la

aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una

aproximación del valor real o como también puede suceder que

sepamos la expresión analítica de la función, pero sea lo

suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los

valores de la función a partir de otros ya conocidos.

Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de

las más utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una

función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar

ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan

polinomios como funciones de aproximación, hablamos de

interpolación polinómica. Si la abscisa para la que queremos encontrar

un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor

intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos

haciendo extrapolación. Siempre que se utiliza un valor aproximado se

está cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de los

límites del curso al que está dirigida esta unidad didáctica.

Ya antes mencionado, podemos recordar que la Teoría de

Interpolación consiste en construir una función que pase por los

valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación

de la función primitiva

Tabla De Diferencias

Dados los valores de una función desconocida correspondiente a

dichos valores de X, ¿Cuál será exactamente el comportamiento de la

función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las

muestras de los pares de datos (X, F(X)); se encontrará un polinomio

que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (Xi, F (Xi)) donde

los valores que aporten el polinomio y la función se comportan casi de

la misma manera, en el intervalo en cuestión.

Si deseamos conseguir un polinomio que pase a través de los

mismos puntos que la función desconocida se puede implantar un

sistema de ecuaciones, pero este desarrollo es un poco complicado;

resulta adecuado organizar los datos en una tabla con los valores de X

en forma ascendente. Por ello, las columnas para X y para F(x) se

tabulan las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las

columnas de la derecha de F(x), se determina calculando las diferencias

entre los valores de la columna a su izquierda.

La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias,

Ejemplo:

Polinomios Interpolantes de Newton-

Gregory y Gauss Polinomio.

Interpolante de Newton-Gregory.

Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un

polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una

forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de

puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de

Newton-Gregory (en avance y retroceso).

Fórmula de Avance

Fórmula de Retroceso

Éstas fórmulas usan la notación, que es el número de

combinaciones de “s” cosas tomadas de “n” a la vez, lo que lleva a

razones factoriales. Donde “s” viene dada por: X es el valor a interpolar

el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para

seleccionar los valores, que serán seleccionados de la tabla de

diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la

fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores

forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la

longitud o distancia entre los valores de Xi.

Polinomio Interpolante de Gauss

Existe una gran variedad de fórmulas de interpolación además del

Método de Newton-Gregory, que difieren de la forma de las

trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula

del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la

trayectoria es en forma de Zigzag, es decir los valores desde el punto

de partida Xo serán seleccionados en forma de Zigzag.

En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en

forma de zigzag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba,

luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los

valores son tomados en forma de zigzag, iniciando primero hacia

arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente.

Interpolación De Hermite

Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico

en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La

función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones

y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño

4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que

requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en

muchas aplicaciones.

Interpolación Usando Splines

Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos

hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es

continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en

aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar

discontinuidades en las segundas derivadas de una función, haciendo

que los gráficos con este tipo de funciones no luzcan uniformes. Esto

motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continúas por

pedazos con las siguientes propiedades:

1. s(x) es polinomio cúbico en.

2. existen y son continuas en.

3. s(x) interpola a la función f en los datos.

4. s(x) es continua en el intervalo.

Si escribimos, entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las

condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3)

obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad.

Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera

adicionales en s(x).

Polinomio Interpolante De LaGrange.

Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que

pase por los n+1 puntos:, donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio

Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de LaGrange.

Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del

espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se

conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que

determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la

interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se

compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos

si no, se repite el procedimiento.

Para entender las diferentes formas de interpolación

Diferencias Divididas Y La fórmula General

De Newton

La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de

Polinomios está entre los modelos más populares y útiles. Para un

polinomio de grado n se requiere de n + 1

puntos: ..., se usan estos datos para

determinar los coeficientes para las diferencias divididas.

Partiendo de una tabla de diferencias divididas que viene dada por:

Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas

de Newton, no es necesario que los datos tabulados sean

necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar

ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de

Newton está sujeto a un error.

Aplicación De Los Métodos Numéricos De

Interpolación En La Resolución De

Problemas.

Para datos tabulados en forma equiespaciada o no

esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la

llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación,

sin embargo, con fórmulas como las de Newton Gregory, Gauss,

LaGrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y

debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas

de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de

ecuaciones diferenciales ordinarias.

Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos

particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de

auto valores para un operador diferencial auto adjunto. No entraremos

en los detalles de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de

Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-

Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal,

con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios

ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada

polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y

típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de

subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas

familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos

problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las

mismas características que hemos identificado en los polinomios de

Hermite.