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UNIVERSIDAD DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE FISICA
EFECTOS DE PRESION DE RADIACION EN
CAVIDADES ACUSTICAS
Tesis para optar al grado de Magıster en Ciencias mencion Fısica
MARIA LUISA CORDERO GARAYAR
Profesor guıa: Nicolas Mujica Fernandez
Santiago, Chile 2006
AGRADECIMIENTOS
Ante todo, quiero agradecer a mi familia: a mis papas, a mis hermanas y her-
manos, por demostrarme siempre su apoyo y su fe en mi y alegrarse por mis proyec-
tos,
a Guillermo, por su enorme paciencia y carino,
a mi profesor guıa, Nicolas, por sus ensenanzas y experiencia, por la gran opor-
tunidad que me brindo,
a los profesores de la comision: Rodrigo Hernandez, Rodrigo Soto, Francisco
Melo, por los comentarios e ideas,
a la Fundacion Andes y a la Comision Nacional de Investigacion Cientıfica y
Tecnologica CONICYT por su apoyo a esta tesis mediantes sus programas de Inicio
de Carrera de Jovenes Cientıficos C-13960/9 y Fondecyt Regular #1050331 respec-
tivamente.
ii
Indice general
1. Introduccion 1
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Cavidades Acusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Cavidad excitada por medio de un piston en uno de sus extremos 4
1.2.2. Cavidad que vibra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Presion de radiacion acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Fuerza de radiacion acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Sistemas autoadaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Corrimiento de las resonancias 27
2.1. Experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Primer calculo: Teorıa existente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Segundo calculo: Corrimiento de las frecuencias de resonancia debido
al contraste de densidad e impedancia acustica entre el medio y una
inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Tercer calculo: Corrimiento de las frecuencias de resonancia calculado
mediante la ecuacion del sonido en tubos de seccion variable . . . . . 43
3. Autoadaptacion de una partıcula 52
3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
iii
3.2. Esfera plastica en aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3. Estudio de la fuerza de radiacion acustica en agua y las dificultades
encontradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4. Estudio del modo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5. Procedimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6. Efectos observados a presiones mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7. Expresiones de la fuerza de radiacion para los diferentes modelos . . . 73
3.7.1. Fuerza de Gor’kov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7.2. Tubo con zona de diferentes caracterısticas acusticas . . . . . 75
3.7.3. Tubo de seccion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4. Interacciones acusticas 80
4.1. Interacciones entre dos partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2. Interacciones entre cuatro partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5. Conclusiones 113
iv
Indice de figuras
1.1. Tubo excitado por un piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Solucion grafica de la condicion de resonancia para un tubo excitado
por un piston . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Amplitud de presion acustica en un tubo excitado por un piston . . . 7
1.4. Amplitud de presion acustica en un tubo forzado a vibrar . . . . . . . 10
1.5. Perfil de velocidad acustica en un tubo forzado a vibrar . . . . . . . . 10
1.6. Scattering de una onda acustica plana por una esfera . . . . . . . . . 18
1.7. Autoadaptacion en sistema cuerda-masa . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8. Autoadaptacion en pelıculas de jabon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9. Autoadaptacion en pelıculas esmecticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Espectro de presion en la cavidad acustica vacıa . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Espectro de presion en la cavidad acustica versus posicion de una
esfera intrusa fija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Teorıa existente para corrimientos de las frecuencias de resonancia
por la presencia de una partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Tubo con zona de diferente impedancia acustica . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Curvas de resonancia para valores reales y efectivos de α y β. . . . . . 39
v
2.7. Ajuste χ2 para el modelo de tubo con zona de diferente impedancia
acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8. Corrimiento de las frecuencias de resonancia para el modelo de tubo
con zona de diferente impedancia acustica . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9. Conservacion de masa en tubos de seccion variable . . . . . . . . . . . 43
2.10. Tubo de seccion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.11. Solucion de la condicion de resonancia para un tubo con seccion
transversal variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1. Montaje para la medicion del coeficiente de roce dinamico . . . . . . 55
3.2. Montaje en agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3. Espectro de presion acustica en agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4. Presion vs velocidad de vibracion de la cavidad . . . . . . . . . . . . 60
3.5. Evolucion temporal de la posicion de la esfera, presion acustica y
aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6. Posiciones iniciales de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7. Posiciones de equilibrio experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.8. Mediciones consideradas para realizar el promedio . . . . . . . . . . . 67
3.9. Visualizacion con arena del primer modo acustico a diferentes presiones 68
3.10. Corrientes convectivas en el interior de una cavidad . . . . . . . . . . 70
3.11. Fuerza de radiacion de Gor’kov y fuerza de arrastre laminar . . . . . 72
3.12. Fuerza de radiacion de Gor’kov y fuerza de arrastre turbulento . . . . 73
3.13. Fuerza de arrastre laminar y fuerza de arrastre turbulento . . . . . . 74
3.14. Fuerza de radiacion de Gor’kov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.15. Fuerza de radiacion acustica calculada con el modelo de tubo con
zona de diferente impedancia acustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
vi
3.16. Fuerza de radiacion acustica calculada con el modelo de tubo de sec-
cion variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.17. Posiciones de equilibrio para los diferentes modelos . . . . . . . . . . 79
4.1. Montaje experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2. Espectro de presion con dos esferas en el centro de la cavidad . . . . 85
4.3. Evolucion temporal de la posicion de las partıculas y de la presion
acustica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4. Evolucion temporal de la distancia entre partıculas y de la presion
acustica I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5. Evolucion temporal de la posicion de las partıculas y de la presion
acustica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6. Evolucion temporal de la distancia entre partıculas y de la presion
acustica II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.7. Histogramas de probabilidad para r12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.8. Componentes de frecuencia de las variaciones de r12(t) . . . . . . . . 90
4.9. Histograma de probabilidad para la distancia relativa entre dos partıcu-
las r12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.10. Histograma de probabilidad para la posicion del centro de masa de
dos partıculas R12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.11. 〈R12〉 versus 〈r12〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.12. Trayectorias en el espacio de fases R12 vs r12 . . . . . . . . . . . . . . 92
4.13. Histogramas de probabilidad para r12 y para R12 a 1500 Hz. . . . . . 93
4.14. Evolucion de R12 y r12 a 1500 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.15. Trayectorias de las partıculas en dos realizaciones particulares a 1500
Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
vii
4.16. Valores mas probables para el centro de masas de dos partıculas versus
frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.17. Valores mas probables para la distancia relativa entre dos partıculas
versus frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.18. Formacion de dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.19. Distancia media entre partıculas que forman dipolo. . . . . . . . . . . 99
4.20. Distancia entre dipolos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.21. Espectro de presion con cuatro esferas en el centro de la cavidad . . . 101
4.22. Realizacion particular a 1450 Hz que no llega a estado estacionario. . 102
4.23. Diferentes trayectorias y configuraciones finales realizadas por cuatro
partıculas en el interior de la cavidad I . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.24. Diferentes trayectorias y configuraciones finales realizadas por cuatro
partıculas en el interior de la cavidad II . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.25. Diferentes trayectorias y configuraciones finales realizadas por cuatro
partıculas en el interior de la cavidad III . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.26. Diagrama de fases a 1350 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.27. Diagrama de fases a 1450 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.28. Diagrama de fases a 1550 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.29. Trayectoria escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.30. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.31. Temperatura promedio a diferentes frecuencias . . . . . . . . . . . . . 111
viii
Indice de cuadros
2.1. χ2 para modelo de Leung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2. χ2 para modelo de tubo con zona de diferente impedancia acustica . . 43
2.3. χ2 para modelo de tubo con seccion variable . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4. χ2 para modelo de tubo de seccion variable utilizando longitud efectiva 50
2.5. Resumen de χ2 para los distintos modelos . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Propiedades de distintos materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1. Valores de ∆x en trayectorias escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . 109
ix
RESUMEN
Esta Tesis para optar al grado de Magıster en Ciencias, mencion Fısica, se ha
centrado en el estudio experimental de una cavidad cuasiunidimensional en la cual
se incluye una o varias esferas solidas. En particular se estudio la perturbacion de los
modos acusticos, la fuerza de radiacion acustica sobre la esfera, y las interacciones
entre partıculas mediadas por la fuerza de radiacion acustica.
En el Capıtulo 1 se introduce el sistema estudiado, una cavidad acustica cua-
siunidimensional, especificando dos ejemplos de excitacion acustica, para comentar
el significado de la resonancia. Se explican ademas los conceptos fundamentales:
presion y fuerza de radiacion en presencia de una onda de sonido, y sistemas au-
toadaptativos.
En el Capıtulo 2 se muestra el primer resultado experimental: el corrimiento de
las frecuencias de resonancia de la cavidad de los primeros cinco modos acusticos,
debido a la presencia de un objeto solido fijo. Se revisa la teorıa existente y ademas se
proponen dos modelos adicionales para explicar las curvas de resonancia. Se concluye
que los corrimientos de las frecuencias de resonancia se deben al volumen excluıdo
por el objeto solido.
En el Capıtulo 3 se estudia el efecto de la fuerza de radiacion acustica sobre
una esfera plastica al interior de la cavidad, en el primer modo de la cavidad. Se
muestran los resultados experimentales: la esfera se desplaza hacia una posicion de
equilibrio que depende de la frecuencia de excitacion, mostrando un comportamien-
to autoadaptativo. Se compara este comportamiento con la teorıa existente, cuyas
predicciones no corresponden con lo observado. Se menciona un comportamiento
diferente a presiones mayores.
En el Capıtulo 4 se incluyen mas esferas y se estudian las interacciones entre
x
ellas debido a la fuerza de radiacion acustica proveniente del scattering de la onda
externa. Se muestran diferentes comportamientos.
Finalmente, en el Capıtulo 5 se resumen los resultados obtenidos y se sugieren
los pasos a seguir en el futuro.
xi
Capıtulo 1
Introduccion
1.1. Introduccion
Los fenomenos acusticos han sido estudiados con interes tanto en siglos anteriores
como en la actualidad desde los tiempos de Newton [11], [13], [21], [22]. Usualmente la
acustica no lineal se ha considerado separadamente de la acustica lineal, asumiendo
que a valores moderados de presion los fenomenos no lineales, tales como la distorsion
de los frentes de onda, o la aparicion de armonicos, no son observables. Sin embargo,
el origen de las ecuaciones de sonido en fluidos (la ecuacion de Navier-Stokes, la
ecuacion de estado) son nolineales en la presion y densidad [10], y por lo tanto, si
bien en la mayorıa de los casos la aproximacion lineal de la acustica explica con
exito los fenomenos acusticos mas comunes, existen fenomenos que una teorıa lineal
no es capaz de explicar.
Un ejemplo de ello son las corrientes de fluido inducidas por un movimiento
vibratorio. De acuerdo a la acustica lineal, una onda no transporta materia, pero
se tiene evidencia de la existencia de corrientes estacionarias en presencia de una
superficie forzada a vibrar. Estas corrientes se conocen como Acoustic Streaming [7],
1
CAPITULO 1. INTRODUCCION 2
[10], [23], [24]. Importantes fueron las observaciones realizadas por Savart al realizar
experimentos de arena sobre una superficie forzada a vibrar (figuras de Chladni).
Si los granos de arena son gruesos, esta se acumula en los nodos de vibracion. En
cambio, Savart observo que polvo muy fino en lugar de la arena gruesa no tiene
el mismo comportamiento, sino que foma una nube en los antinodos de vibracion.
Faraday atribuyo este comportamiento a la presencia de corrientes de aire, que suben
en las zonas de maxima vibracion y caen en los nodos.
Otro fenomeno no lineal es la fuerza de radiacion acustica, de la cual hablare-
mos en esta tesis. En presencia de una onda acustica un objeto siente una fuerza
de promedio temporal no nulo. El promedio temporal de los terminos lineales nece-
sariamente llevara a una fuerza de promedio nulo, por lo tanto la aparicion de esta
fuerza se debe a los terminos de orden superior.
En esta Tesis se estudiara el resultado de introducir en una cavidad acustica cua-
siunidimensional, una partıcula de tamano comparable a las dimensiones transver-
sales de la cavidad. Por un lado, la presencia de la partıcula en una posicion dada
afecta considerablemente la onda acustica, modificando las frecuencias de resonan-
cia de la cavidad en funcion de la posicion de la partıcula (Capıtulo 2). Por otro
lado, la onda acustica ejerce sobre la partıcula, una fuerza de radiacion acustica de
promedio temporal no nulo, cuyo origen puede ser explicado solamente al considerar
terminos no lineales. En el Capıtulo 3 veremos como afecta esta fuerza de radiacion
a una partıcula libre de moverse, estudiaremos las posiciones de equilibrio de esta
fuerza y notaremos que el efecto de esta fuerza es una tendencia a la autoadaptacion,
es decir a ajustar la posicion de la partıcula para mantenerse en resonancia. En el
Capıtulo 4 se estudiaran las interacciones entre partıculas, mediadas por la fuerza
de radiacion, al incluir varias partıculas identicas libres de moverse dentro de la
cavidad. Finalmente, en el Capıtulo 5 se resumen los resultados mas importantes.
CAPITULO 1. INTRODUCCION 3
1.2. Cavidades Acusticas
Consideremos una cavidad acustica de paredes totalmente rıgidas y dimensiones
Lx, Ly, Lz. La ecuacion del sonido debe ser satisfecha por la presion acustica al
interior de la cavidad.
1
c2∇2p =
∂2p
∂t2(1.1)
La solucion estacionaria de (1.1), suponiendo que las paredes de la cavidad son
totalmente rıgidas, es de la forma: p(x, y, z) = P0 cos(ωt) cos(kxx) cos(kyy) cos(kzz)
donde k2 = k2x + k2
y + k2z , ω/k = c, y el origen esta ubicado en uno de los vertices
de la cavidad. Para satisfacer las condiciones de borde en x = Lx, y = Ly, z = Lz,
debemos imponer condiciones sobre kx, ky y kz: kxLx = nπ, kyLy = lπ y kzLz = mπ.
Es decir, no cualquier onda de sonido es permitida dentro de la cavidad. Solo aquellas
frecuencias definidas por la igualdad:
ωnlm = πc
√n2
L2x
+l2
L2y
+m2
L2z
(1.2)
o equivalentemente knlm = π√
n2/L2x + l2/L2
y + m2/L2z, con n, l, m enteros pueden
satisfacer la ecuacion y las condiciones de borde.
En el caso unidimensional, es decir al hacer tender Ly, Lz → 0 y Lx = L, se
tendra:
l = m = 0; kn =nπ
L(1.3)
Solamente serıa posible excitar ondas dentro de la cavidad con numero de onda
kn, pues de otra manera no se satisfacen las condiciones de borde. Esto no corres-
ponde a la realidad, pues experimentalmente es posible tener una onda de sonido de
cualquier numero de onda k 6= kn dentro de una cavidad. La razon es que no estamos
considerando la manera en que el sonido es excitado, y por ello las condiciones de
CAPITULO 1. INTRODUCCION 4
borde son demasiado simples. Estudiaremos, por lo tanto, condiciones de borde mas
realistas.
1.2.1. Cavidad excitada por medio de un piston en uno de
sus extremos
Consideremos una cavidad cuasiunidimensional de largo L y seccion S, excitada
por medio de un piston en uno de sus extremos x = 0, como muestra la fig. 1.1, de
masa m, constante elastica s y constante de disipacion Rm, forzado a moverse por
una fuerza oscilatoria F = fe−iωt. Si las paredes de la cavidad son suficientemente
rıgidas, la velocidad acustica (equivalentemente la derivada normal de la presion)
debe anularse en x = L, mientras que en x = 0 la condicion de borde debe deducirse
a partir de un balance de fuerzas.
Fs
Rm
m S
L
Figura 1.1: Tubo excitado por un piston
Se define la Impedancia Acustica Especıfica (por unidad de area) como la razon
entre presion y flujo especıfico, o velocidad: z = p/u, con u la velocidad acustica.
En general, z es una magnitud compleja, ya que puede haber una desfase entre
la velocidad y la presion acusticas. La parte real de z es la resistencia acustica
especıfica, y su parte imaginaria es la reactancia acustica especıfica.
En ondas planas propagandose en la direccion ± x en un medio de densidad
ρ y velocidad del sonido c, con frecuencia angular ω = kc la impedancia acustica
CAPITULO 1. INTRODUCCION 5
especıfica es constante:
z = ±ρc (1.4)
y su valor absoluto ρc corresponde a la impedancia acustica del medio. La impedan-
cia acustica de un medio para una onda acustica es analoga a la impedancia√
µ/ε
para una onda electromagnetica.
En una onda viajera la impedancia es real, y por lo tanto la presion y velocidad
acustica van en fase. En una onda estacionaria de igual frecuencia, en cambio, la ve-
locidad y presion acusticas estan desfasadas en π, y la impedancia acustica especıfica
depende de la posicion.
Volviendo al problema, la fuerza aplicada sobre el piston debe ser igual a la
impedancia mecanica total en x = 0:
F = Zmu(0, t) (1.5)
donde Zm = Z0+Zp es la impedancia mecanica total en x = 0, y es una combinacion
entre la impedancia acustica del fluido y la impedancia mecanica del piston:
Z0 =Sp(0, t)
u(0, t)(1.6)
Zp = Rm + i(s/ω − ωm) (1.7)
Para calcular la impedancia del fluido en x = 0 (Z0), debemos aplicar las condi-
ciones de borde y resolver el problema, exigiendo que la impedancia en x = L sea
infinita, debido a la pared rıgida.
Suponiendo una solucion compleja:
p(x, t) = Aei(kx−ωt) + Be−i(kx+ωt) (1.8)
CAPITULO 1. INTRODUCCION 6
obtenemos las impedancias del fluido en x = 0, L:
Z0 = ρcSA + B
A−B(1.9)
ZL = ρcSAeikL + Be−ikL
AeikL −Be−ikL(1.10)
Despejando A y B en terminos de ZL →∞, obtenemos la impedancia mecanica
Z0:
Z0 = iρcS cot kL (1.11)
La condicion de resonancia es Im(Zm) = 0, es decir cuando la reactancia al piston
se anule, condicion que equivale a:
cot(kL) = akL− b
kL(1.12)
con:
a =m
SρL(1.13)
b =sL
Sρc2(1.14)
El parametro a corresponde a la razon de masas entre el piston y el volumen de
fluido dentro del tubo, mientras que b es el cuociente entre la rigidez del piston y la
del fluido. Cuando a y b son grandes, es decir cuando el piston es masivo y rıgido
con respecto al fluido, la condicion de resonancia es muy similar a kL = nπ, y se
recupera el resultado para una cavidad con ambos extremos rıgidos, exceptuando una
resonancia para un valor pequeno de kL, que corresponde a la resonancia mecanica
del piston. En cambio, para valores muy pequenos de a y b, las resonancias ocurren
para valores de kL cercanos a (2n + 1)π/2, analogo a lo que ocurre cuando se tiene
una cuerda con un extremo fijo y el otro extremo libre.
CAPITULO 1. INTRODUCCION 7
(a)
Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0
(b)
Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0
Figura 1.2: Solucion para la condicion de resonancia (1.12) para a = 0,02, b = 0,013 (a)
y para a = 20, b = 13,1 (b). Para valores de a, b grandes se recuperan las resonancias
kL = nπ
La presion en x = L esta dada por (fig. 1.3):
p(L, t) =ρ0cfe−iωt
Zm sin(kL)(1.15)
Debido al desfase entre la velocidad acustica y la presion acustica en una onda
estacionaria, la presion en x = L corresponde al maximo de la presion dentro del
tubo, es decir es la amplitud de presion acustica. Por lo tanto, un maximo de presion
en x = L corresponde a una resonancia de la onda acustica en la cavidad.
(a) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0
pHLL
(b) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL
pHLL
Figura 1.3: Presion en el extremo x = L (1.15) para a = 0,02, b = 0,013 (a) y para a = 20,
b = 13,1 (b). Para valores de a, b grandes se recuperan las resonancias kL = nπ. En ambos
casos Rm/Sρc = 0,225
CAPITULO 1. INTRODUCCION 8
1.2.2. Cavidad que vibra
Estudiemos este caso que sera de interes para el experimento de esta tesis.
Supongamos una cavidad cuasiunidimensional de largo L que se fuerza a mover
oscilatoriamente con aceleracion constante Γ y frecuencia ω. En los extremos, que
suponemos rıgidos, las condiciones de borde ya no seran u = 0, pues el fluido en
contacto con la pared sera forzado a oscilar junto con la pared.
La condicion de borde debe ser evaluada en la pared, x = Ae−iωt, donde la
amplitud de oscilacion A de la cavidad esta dada por A = Γ/ω2. Para frecuencias
mayores o iguales a la frecuencia fundamental de una cavidad de largo L = 0,1 m,
f & 1 kHz, esta amplitud es menor a 1 µm, siendo Γ ∼ g, la aceleracion de gravedad.
Por lo tanto, podemos evaluar las condiciones de borde en x = 0, L:
u(0, t) =Γ
ωe−iωt
u(L, t) =Γ
ωe−i(ωt−ϕ) (1.16)
Ya que la velocidad del sonido en solidos es varias veces mayor que en un medio
gaseoso pero no infinita, es necesario anadir una fase, en general pequena, a la
velocidad de vibracion de un extremo del tubo con respecto al otro, pues la vibracion
tarda algo en transmitirse por las paredes del tubo.
Suponiendo una solucion a (1.1) de la forma p(x, t) = Aei(kx−ωt) + Be−i(kx+ωt),
podemos encontrar A y B al aplicar las condiciones de borde (1.16), pero no encon-
traremos ninguna condicion sobre k. Reconoceremos, sin embargo, una resonancia
de la cavidad cuando la amplitud de la velocidad acustica pase por un maximo.
Dado que la presion acustica y la velocidad acustica estan desfasadas en π y los
extremos son rıgidos, la condicion anterior de resonancia equivale a que la presion
acustica pase por un maximo en cualquiera de sus extremos, dado que ahora son
irreconocibles.
CAPITULO 1. INTRODUCCION 9
Encontramos para la presion en los extremos de la cavidad, las expresiones:
p(0, t) = −iΓρ
k
cos kL− e−iϕ
sin kLe−iωt (1.17)
p(L, t) = iΓρ
ke−iϕ cos kL− eiϕ
sin kLe−iωt (1.18)
Vemos que en ambos extremos, los maximos de la presion estan dados por la
igualdad kL = nπ, n ∈ Z, excepto cuando ϕ = 0, π. En estos casos debemos excluir
respectivamente los modos impares (n = 2m + 1) y los pares (n = 2m). Esto se
debe claramente a que la oscilacion de los extremos en fase o antifase no permite la
existencia de modos impares o pares, por forzar a las partıculas del fluido dentro de
la cavidad a un movimiento en fase o antifase, respectivamente (fig. 1.4).
En casos reales, ϕ sera, sin embargo, muy pequeno. Por ejemplo, si las paredes
son de acero inoxidable (cuya velocidad del sonido longitudinal es css = 5790 m/s) y
se excita una cavidad de 10 cm a una frecuencia de f ∼ 1500 Hz, el desfase sera de
apenas ϕ ∼ 2πfL/css ∼ 0,16 ∼ π/19. El largo deberıa ser de unos 2 m para que, a
tal frecuencia, el desfase fuera cercano a π.
En la resonancia, los extremos de la cavidad corresponden a mınimos de la ve-
locidad, tal como ocurre en el modelo teorico, donde la velocidad acustica tiene un
nodo en los extremos, y la amplitud de velocidad y de presion acustica son maximas
(fig. 1.5). Es necesario notar, sin embargo, que estos mınimos de velocidad en los
extremos no son nodos de velocidad, ya que las paredes imponen una velocidad no
nula.
Estos dos ejemplos nos permiten comprender desde otro punto de vista la condi-
cion expresada en (1.3). Como vimos, en efecto es posible excitar una onda acustica
al interior de una cavidad con un numero de onda cualquiera, pero la amplitud de
presion de la perturbacion sera pequena en la mayorıa de los casos. La condicion
(1.3) debe ser interpretada como la condicion de resonancia de la onda acustica en
una cavidad de largo L.
CAPITULO 1. INTRODUCCION 10
(a) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0
pHLL j � 0
(b) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0
pHLL j �
Π
�������
4
(c) Π 2Π 3Π 4Π 5ΠkL0
pHLL j � Π
Figura 1.4: Presion en el extremo x = L (1.18) para ϕ = 0 (a), ϕ = π/4 (b) y ϕ = π (c).
Se observa que los modos impares desaparecen para ϕ = 0, y los modos pares desaparecen
para ϕ = π, mientras que para un valor diferente, todos los modos kL = nπ estan presentes
0.25 0.5 0.75 1x�L0
uHxL
Figura 1.5: Velocidad acustica a lo largo del tubo que se hace vibrar, para f/f1 = 0,9963
(lınea continua), f/f1 = 0,9998 (lınea segmentada) y f/f1 = 1,00045 (lınea punteada). La
amplitud de velocidad acustica diverge para f/f1 = 1, si la absorcion acustica es cero.
CAPITULO 1. INTRODUCCION 11
Este ultimo ejemplo representa una manera eficiente, comparado con otros meto-
dos, como con un piston (seccion 1.2.1) o mediante un parlante, de excitar una onda
acustica dentro de una cavidad [14].
1.3. Presion de radiacion acustica
Consideremos la ecuacion de Euler, para un fluido no viscoso e irrotacional.
ρ(∂~u
∂t+ (~u · ~∇)~u
)= −~∇p (1.19)
Donde ρ = ρ0 + ρ′ es la densidad del fluido, siendo ρ0 la densidad en equilibrio,
y p = p0 + p′, con p0 la presion en el fluido no perturbado.
Usando el potencial de velocidad φ, ya que el fluido es irrotacional, ~u = ~∇φ, y
p′ = −ρ0∂φ/∂t a primer orden, la ecuacion de Euler se reescribe para φ:
~∇(∂φ
∂t+
1
2|~∇φ|2
)= −
~∇p
ρ(1.20)
A partir de la ecuacion de estado dh = Tds + dp/ρ, obtenemos ~∇p/ρ = ~∇h, ya
que el sonido es un proceso adiabatico. Por lo tanto:
h = −∂φ
∂t− 1
2|~∇φ|2 + C(t) (1.21)
donde C(t) es una constante de integracion que depende de las condiciones de borde
del problema.
Expandiendo la presion como funcion de la entalpıa:
p = p0 +(∂p
∂h
)s,0
h +1
2
(∂2p
∂h2
)s,0
h2 + ... (1.22)
donde s, 0 significa a entropıa constante y en equilibrio. Usando la ecuacion de estado
dh = Tds + dp/ρ, tenemos ∂p/∂h = ρ, y ∂2p/∂h2 = (∂ρ/∂p)s,0(∂p/∂h)s,0
CAPITULO 1. INTRODUCCION 12
Para un gas ideal, a primer orden, se tiene simplemente p = c2ρ, con c la velocidad
del sonido, pero considerando terminos no lineales, la velocidad del sonido tiene una
dependencia en la densidad [21] es decir c no es una constante, sino que c = c0 + c′,
y entonces tenemos:
p′ = c20ρ′ +
1
2
∂c′2
∂ρρ′2 (1.23)
Para un gas ideal, se tiene la ecuacion de estado adiabatico:
p
p0
=( ρ
ρ0
)γ
(1.24)
con γ = cp/cv la razon entre los calores especıficos. Por lo tanto:
c20 =
γp0
ρ0(∂c′2
∂ρ
)s
=c20(γ − 1)
ρ0
(1.25)
Para un lıquido en cambio, (1.24) no se satisface, pero se tiene la ecuacion empıri-
ca de Tate:
p = A0
( ρ
ρ0
)γ
− A1 (1.26)
donde A0, A1 y γ son constantes que dependen debilmente de la temperatura, con
A0 − A1 = p0. Por lo tanto, en los lıquidos se tiene:
c20 =
γA0
ρ0(∂c′2
∂ρ
)s
=c20(γ − 1)
ρ0
(1.27)
En ambos casos, se tiene (∂p/∂ρ)s,0 = c20. Reemplazando en (1.22), obtenemos:
p− p0 = −ρ0∂φ
∂t− ρ0
2|~∇φ|2 +
ρ0
c20
(∂φ
∂t
)2
+ ρ0C(t) + O(φ3) (1.28)
CAPITULO 1. INTRODUCCION 13
Utilizando las relaciones lineales ~∇φ = ~u y−ρ0∂φ/∂t = p′, promediando durante
un ciclo (〈〉), y llamando C = ρ0〈C(t)〉 obtenemos:
〈p− p0〉 = 〈p′〉 = −ρ0
2〈~u · ~u〉+
〈p′2〉2ρ0c2
0
+ C (1.29)
El promedio temporal, no nulo, de la presion acustica se conoce como presion de
radiacion, y es un efecto no lineal de la onda acustica, ya que el promedio temporal
de los terminos lineales es cero. Esta presion es similar a la presion de radiacion
debida a una onda electromagnetica.
Si, por ejemplo, se tiene una onda plana que incide sobre una pared totalmente
rıgida en x = 0, p(x, t) = P0 cos kx sin ωt, podemos calcular el promedio temporal
de la presion de radiacion acustica sobre la pared:
〈p′〉x=0 =P 2
0
4ρ0c20
+ C (1.30)
Expandiendo la densidad ρ′ en funcion de la presion p′:
〈ρ′〉 =(∂ρ′
∂p′
)s,0〈p′〉+
1
2
(∂2ρ′
∂p′2
)s,0〈p′2〉+ . . .
=〈p′〉c20
+1
2
γ − 1
ρ0c20
〈p′2〉+ . . . (1.31)
donde se utilizaron las ecuaciones de estado (1.24) y (1.26). Para imponer conser-
vacion de la masa integramos 〈ρ′〉 entre x = 0 y x = 2π/k e igualamos a cero, para
encontrar C:
C =P 2
0 (γ − 1)
8ρ0c20
(1.32)
Y la presion de radiacion sobre la pared es:
〈p′〉x=0 =P 2
0 (γ + 1)
4ρ0c20
(1.33)
CAPITULO 1. INTRODUCCION 14
1.3.1. Fuerza de radiacion acustica
Introduccion
La existencia de la presion de radiacion acustica sobre un objeto da lugar a
una fuerza neta sobre el, cuyo promedio temporal es no nulo. Esta fuerza puede ser
calculada al integrar el tensor de densidad de flujo de momentum Πik = pδik + ρvivk
sobre la superficie del objeto. Esta fuerza se origina en fenomenos no lineales, al
igual que la presion de radiacion, pues el promedio temporal de los terminos lineales
es nulo, pero ademas debido a que los productos entre los terminos provenientes de
la onda incidente y los de la onda producto del scattering en el cuerpo juegan un
rol principal.
El ejemplo mas basico de esta fuerza de radiacion es el Tubo de Kundt [22],
que consiste en una cavidad acustica cuasiunidimensional en la cual se agregan
partıculas muy pequenas con respecto a la seccion transversal de la cavidad y con
respecto al tamano de la cavidad, de manera que el scattering es despreciable y
la onda estacionaria no se ve afectada. Al excitar una onda acustica resonante al
interior del tubo, las partıculas se mueven, agrupandose en los nodos de presion, lo
cual se utiliza comunmente para visualizar una onda de sonido y medir la velocidad
del sonido.
Otro ejemplo donde esta involucrada la fuerza de radiacion acustica es la le-
vitacion acustica [10]. En presencia de un campo acustico de gran potencia (∼ 10
kPa) es posible levantar objetos y mantenerlos en posiciones fijas, ya sea en los nodos
o en los antinodos de presion. La diferencia entre un caso y otro reside en la razon
de impedancias acusticas y de compresibilidades entre el medio y la inclusion.
Si se tiene una gota de un fluido inmersa en otro fluido, las densidades y compre-
sibilidades son comparables y deben ser tomadas en cuenta. La fuerza en presencia
de una onda estacionaria p = P0 sin kx e−iωt, de la cual se hablara con mas detalle
CAPITULO 1. INTRODUCCION 15
mas adelante, fue calculada por Gor’kov [9] y vale:
Fx = −πP 2
0 kR3
ρc2
(λ + 2/3(λ− 1)
1 + 2λ− 1
3λσ2
)sin 2kX0 (1.34)
donde λ = ρ0/ρ y σ = c0/c son los cuocientes entre las densidades y entre las
velocidades del sonido de la gota y del fluido externo, denotando el subındice 0
a las propiedades de la gota. El primer termino proviene del scattering dipolar,
debido a la velocidad relativa entre el fluido y la gota, depende de la diferencia
de densidades, mientras que el segundo termino se debe al scattering monopolar,
originado en la compresion de la gota y por lo tanto es proporcional al cuociente
de compresibilidades χ = 1/ρc2. Esta fuerza tiene posiciones de equilibrio estables
ya sea en nodos o en antinodos de presion, dependiendo del signo del termino entre
parentesis. Utilizando esta fuerza se ha logrado hacer levitar una pequena esfera de
iridio y una pequena gota de mercurio (respectivamente el solido y el lıquido mas
denso) [26].
En el caso de una esfera solida o lıquida en un medio gaseoso, donde podemos
tratar a la esfera como totalmente rıgida, debido a la diferencia de impedancias
acusticas y compresibilidades, Lee y Wang [15] calcularon el potencial de la fuerza
de radiacion, en presencia de dos ondas estacionarias de igual frecuencia, una en la
direccion x y otra en la direccion y, px = Px0 sin kx e−iωt y py = Py0 sin ky e−i(ωt+ϕ),
donde llamemos Px0/Py0 = α y ϕ es el desfase entre las ondas, el potencial de la
fuerza U , asociado a la fuerza de radiacion ~F = −~∇U para la esfera situada en
(X0, Y0), en las cercanıas de X0 = Y0 = 0, es [10] [15]:
U =5π
6
P 2x0k
2R3
ρc2
(X2
0 + α2Y 20 +
4
5αX0Y0 cos ϕ
)(1.35)
En este caso, la esfera tiene sus posiciones de equilibrio en los nodos de presion.
Si el desfase es ±π, la fuerza es la suma de las fuerzas de cada onda, pero hay
CAPITULO 1. INTRODUCCION 16
acoplamiento en caso contrario. Si la esfera es lıquida, no se mantiene esferica, sino
que se deforma en forma de elipsoide.
Por ultimo, un ejemplo bastante espectacular que tiene relacion con la fuerza
de radiacion acustica es la sonoluminiscencia [6]. Este fenomeno ocurre al inducir
oscilaciones radiales en burbujas al interior de un lıquido, con una onda de sonido
de gran potencia (P0 ∼ 1,2−1,4Pambiente). En el caso general se observa la presencia
de una gran cantidad de burbujas que se forman por cavitacion en el lıquido. Estas
burbujas forman estructuras filamentosas, que crean un leve resplandor en presencia
de una presion acustica grande (MBSL, por sus siglas en ingles Multiple Bubble
Sonoluminescence).
Bajo ciertas condiciones es posible la presencia de una unica burbuja (SBSL,
Single Bubble Sonoluminescence), muy estable, que se mantiene en una posicion fija
en un antinodo de la presion acustica debido a la fuerza de radiacion acustica, cono-
cida en este caso como Fuerzas de Bjerknes [20]. La Fuerza de Bjerknes primaria
corresponde a la fuerza de radiacion acustica ejercida por el campo de presion exter-
no. La Fuerza de Bjerknes secundaria corresponde a la fuerza de radiacion generada
por la onda acustica scattereada por otras burbujas.
La burbuja al ser excitada por la onda acustica experimenta oscilaciones radiales
fuertemente no lineales, emitiendo luz facilmente visible en un instante del ciclo.
El proceso de emision de luz no tiene aun una explicacion satisfactoria, pero se
presume que es debido a que el colapso de la burbuja forma en su interior una onda
de choque que converje en su centro. El calentamiento producido por este colapso
causa la emision de radiacion electromagnetica por ionizacion de las moleculas de
gas al interior de la burbuja.
CAPITULO 1. INTRODUCCION 17
Fuerza de Gor’kov
La fuerza de radiacion acustica para una esfera en presencia de una onda acustica
fue calculada por Gor’kov [9]. El supone una esfera de radio R, en presencia de una
onda viajera en la direccion x y en presencia de una onda estacionaria en la direccion
x dentro de una cavidad, de numero de onda k. La esfera, de radio mucho menor a
la longitud de onda (kR << 1), puede ser de casi cualquier material, con la salvedad
que el fluido externo no la penetra (es decir, existe una interface bien definida entre
la esfera y el medio externo), y por lo tanto tiene una compresibilidad β0 no nula,
puede oscilar en torno a su posicion debido a las variaciones de presion de la onda
acustica, pero no se desplaza. Se desprecia la onda acustica en el interior de la
esfera al considerarla como mucho mas rıgida que el fluido exterior. Se utiliza como
hipotesis que la esfera se encuentra lejos de cualquier pared.
Como ya se dijo, el promedio de los terminos lineales de la fuerza tiene un
promedio nulo. Es necesario por lo tanto, utilizar el orden siguiente en la expansion
de la presion en los terminos acusticos (1.29):
p = −ρ∂φ
∂t− ρ
u2
2+
ρ
2c2
(∂φ
∂t
)2
(1.36)
de manera que la expresion para la fuerza de radiacion, a segundo orden en los
terminos acusticos, y promediada en un ciclo, es:
Fi = −∮ {[
− ρ〈u2〉2
+ρ
2c2
⟨(∂φ
∂t
)2⟩]δik + ρ〈uiuk〉
}dSk (1.37)
donde la integral se realiza sobre la superficie de la esfera.
En el calculo, Gor’kov considera la onda acustica como la suma de una onda
acustica incidente mas una onda esferica scattereada por la partıcula, como si esta
estuviera libre, sin considerar interacciones con las paredes.
El scattering debido a la esfera tiene dos terminos predominantes (fig. 1.6): el
primer termino, monopolar, es proporcional a 1/r y se debe a oscilaciones radiales
CAPITULO 1. INTRODUCCION 18
de la esfera, que se comprime o dilata por las variaciones de la presion debido a la
onda acustica incidente,
onda inicidente R(t)
onda inicidente
Figura 1.6: Scattering de una onda acustica plana por una esfera en un espacio infinito.
Los dos primeros terminos en una expansion en potencias de 1/r corresponden al scattering
monopolar debido a compresiones de la esfera y al scattering dipolar debido a oscilaciones
espaciales de la esfera.
φsc1 = − R3
3ρr
∂ρin
∂t
(1− c2ρ
c20ρ0
)(1.38)
Como vemos depende de la razon entre la compresibilidad de la esfera β0 = 1/c20ρ0
y la del fluido β = 1/c2ρ. El segundo termino, dipolar, es proporcional a 1/r2. Se
debe a los movimientos de la esfera con respecto al fluido causados por la onda
incidente, y depende de la diferencia de densidades entre la esfera y el fluido:
φsc2 =R3
2r2
2(ρ0 − ρ)
2ρ0 + ρ~vin · r (1.39)
En el caso de una onda viajera p(x, t) = P0ei(kx−ωt), la fuerza vale:
Fx =2πP 2
0
9ρc2R2(kR)4
[(1− c2ρ
c20ρ0
)2
+(1− c2ρ
c20ρ0
)(2(ρ0 − ρ)
2ρ0 + ρ
)+
3
4
(2(ρ0 − ρ)
2ρ0 + ρ
)2](1.40)
Mientras que para una onda estacionaria p = P0 cos kx cos ωt:
Fx = πP 2
0
ρc2R2(kR) sin(2kx)
(ρ0 + 2/3(ρ0 − ρ)
2ρ0 + ρ− c2ρ
3c20ρ0
)(1.41)
CAPITULO 1. INTRODUCCION 19
que es la expresion mostrada anteriormente en (1.34).
Vemos que este calculo predice que la fuerza de radiacion es mucho menor (del
orden de (kR)3 veces menor) para una onda viajera que para una onda estacionaria,
y cabe esperar que la fuerza sera mas apreciable alrededor de las frecuencias de
resonancia de la cavidad, debido a la dependencia en P 20 , la presion acustica de la
onda sonora.
Este calculo de la fuerza asume que las dimensiones de la cavidad son mucho
mayores que el diametro de la partıcula, y por lo tanto la parte de la onda prove-
niente del scattering en la esfera es mucho menos importante que la onda incidente,
de hecho, sin alterar las propiedades acusticas de la cavidad. Como veremos, al in-
troducir una partıcula en la cavidad, dependiendo de la posicion de la partıcula, y
dependiendo tambien de su tamano y de sus propiedades acusticas, las frecuencias de
resonancia de la cavidad se desplazan con respecto a las frecuencias de resonancias
de la cavidad vacıa, y por lo tanto los modos acusticos se ven afectados.
1.4. Sistemas autoadaptativos
La autoadaptacion consiste en la capacidad de un sistema de agrupar, mover o
ajustar algunos de sus componentes para permanecer en resonancia.
Existen varios ejemplos de sistemas autoadaptativos. Uno de ellos es el sistema
estudiado por A. Boudaoud et al [3], consistente en pequena masa libre de moverse
sobre una cuerda metalica, por la cual pasa una corriente alterna, y que es forzada
a oscilar mediante un campo magnetico uniforme.
La solucion de la ecuacion de onda
λ∂2y
∂t2= τ
∂2y
∂x2(1.42)
sobre una cuerda con extremos fijos de longitud L, tension τ y densidad lineal ho-
CAPITULO 1. INTRODUCCION 20
mogenea λ0, salvo por una masa puntual en la posicion X0, es un problema conocido
[22]. La presencia de la masa puntual modifica las frecuencias de resonancia de la
cuerda, que en ausencia de la masa, al igual que una cavidad acustica unidimensio-
nal, estan dadas por kL = nπ.
La densidad lineal de masa se modifica: λ(x) = λ0 + Mδ(x−X0) y se encuentra
la siguiente solucion a (1.42), bajo condiciones de borde tipo Dirichlet en x = 0, L:
y(x, t) =
y1 sin kx sin ωt x < X0
y2 sin k(x− L) sin ωt x > X0
(1.43)
con k2 = λ/τω2 = c2ω2. La solucion debe ser continua en x = X0, sin embargo,
debido a la delta de Dirac en la densidad, la derivada no es continua, sino que:
∂y
∂x(X+
0 , t)− ∂y
∂x(X−
0 , t) = −Mk2
λy(X0, t) (1.44)
Aplicando ambas condiciones en X0, se encuentra la condicion sobre k:
M
λk sin k(L−X0) sin kX0 = sin kL (1.45)
En este sistema, Boudaoud et al encontraron que, al dejar a la masa puntual
libre de moverse sobre la cuerda vibrando a una frecuencia fija (fig. 1.7(a)), la posi-
cion de equilibrio coincide, a partir de cierta frecuencia mınima ω1, con las curvas
de resonancia del sistema. La frecuencia ω1 corresponde a la mınima frecuencia de
resonancia del sistema cuerda-masa, y para la partıcula en el centro de la cuerda. A
frecuencias menores que ω1, la masa no tiene posiciones de equilibrio preferenciales,
pues las oscilaciones de la cuerda son muy pequenas (menores de 1 mm). Al hacer
oscilar la cuerda con esta frecuencia ω1, la masa se mueve al centro de la cuerda y
la amplitud de oscilacion se vuelve grande (cerca de 3 mm). A mayores frecuencias,
pero menores que la frecuencia fundamental de la cuerda sola, ω0, la partıcula en-
cuentra dos posiciones de equilibrio para cada frecuencia, simetricos con respecto al
CAPITULO 1. INTRODUCCION 21
centro de la cuerda, y la amplitud de oscilacion se mantiene grande. El sistema se
ajusta para mantenerse en resonancia. Se producen, a mayores frecuencias, sucesivas
bifurcaciones, correspondientes a las bifurcaciones de las frecuencias de resonancia.
Entre las curvas de resonancia existen rangos de frecuencia que no son solucion
de (1.45) para ninguna posicion de la partıcula. Estas brechas son mayores mientras
mas liviana sea la partıcula (fig. 1.7 (b)). En estas regiones, la partıcula tambien
tiene posiciones de equilibrio, pero en estos casos la amplitud de oscilacion no se
mantiene grande (cerca de 0,5 mm).
Al insertar dos partıculas identicas de masa M en la cuerda (fig. 1.7(c)), a partir
de una frecuencia mınima ω1, que corresponde a la mınima frecuencia de resonancia
de un sistema cuerda-masa pero con una partıcula de masa 2M , las partıculas o bien
alcanzan ambas la misma posicion de equilibrio, actuando como una sola partıcula
de masa 2M , o bien encuentran posiciones de equilibrio simetricos a ambos lados
del centro de la cuerda, pero en ambos casos el sistema se mantiene resonante. Al
igual que en el caso anterior, a frecuencias menores a ω1, no existen posiciones de
equilibrio preferenciales. Si se incrementa la frecuencia desde una frecuencia menor a
ω1, ambas partıculas se mantienen siempre juntas, como una sola partıcula de masa
2M . Si se excita la cuerda a una frecuencia mayor a ω1 y las posiciones iniciales de
las partıculas estan en mitades diferentes de la cuerda, las posiciones de equilibrio
son simetricas.
Esto ocurre para los modos impares, pero debido a la naturaleza del forzamien-
to, uniforme a lo largo de la cuerda, las partıculas no alcanzan las posiciones de
equilibrio correspondientes al segundo modo, ni de los modo pares. Usando un cam-
po magnetico de signo contrario en ambas mitades de la cuerda se obtienen las
posiciones de equilibrio de los modos pares.
Otro ejemplo de sistema autoadaptativo es el estudiado por los mismos autores
CAPITULO 1. INTRODUCCION 22
(a) (b)
(c)
Figura 1.7: Posicion de equilibrio para una o dos masas libres de moverse sobre una
cuerda que oscila. ω0 es la frecuencia fundamental de vibracion de la cuerda, sin la masa
y ξ = x/L. (a) Posiciones de equilibrio para una masa. La lınea solida corresponde a las
frecuencias de resonancia para la cuerda con una partıcula fija. Los diamantes corresponden
a las posiciones de equilibrio. M/λL = 4. (b) Igual que (a), pero M/λL = 0,46. La lınea
gruesa discontinua corresponden a posiciones de equilibrio predichas, pero no resonantes.
(c) Posiciones de equilibrio para dos masas. Los diamantes corresponden a posiciones
de equilibrio con forzamiento homogeneo, mientras que los cuadrados son equilibrios con
forzamiento asimetrico. M/λL = 1,6. Las lıneas solidas corresponden a las posiciones de
equilibrio teoricas. Las figuras pertenecen a Boudaoud et al [3].
CAPITULO 1. INTRODUCCION 23
[4] en pelıculas gruesas de jabon sostenidas por un marco rectagular, y forzadas a
oscilar por medio de una onda acustica generada por un parlante bajo la pelıcula de
jabon.
Si las pelıculas de jabon se comportaran como membranas ideales, de grosor,
densidad superficial y tension superficial uniformes d, σ y τ respectivamente, sus
oscilaciones transversales estarıan gobernadas por la ecuacion de onda en dos di-
mensiones:
σ∂2z
∂t2= τ
(∂2z
∂x2+
∂2z
∂y2
)(1.46)
Y por lo tanto tendrıan un espectro de frecuencias de resonancia, dependiendo
de su forma y tamano, de manera que al ser forzadas a esas frecuencias, la amplitud
de oscilacion serıa notoriamente grande con respecto a la amplitud de oscilacion a
frecuencias diferentes.
Pero las pelıculas de jabon no se comportan como membranas ideales debido
principalmente a que el fluido que las conforma puede moverse, cambiando la dis-
tribucion de masa sobre su superficie. Por lo tanto, ni la densidad superficial, ni el
grosor, ni la tension superficial son uniformes a lo largo de la membrana. Boudaoud
et al observaron que, a partir de una frecuencia mınima del forzamiento, la amplitud
de oscilacion se mantiene grande, y la masa del fluido se concentra en los antinodos
de oscilacion 1.8. El espesor de la pelıcula varıa entre 0,2 µm en los bordes de la
pelıcula y 200 µm en los antinodos. A medida que la frecuencia aumenta, la cantidad
de antinodos tambien lo hace, y el fluido se concentra en ellos.
Nuevamente, debido a que el forzamiento es homogeneo, solamente los modos
impares son excitados. En un primer rango de frecuencias, existe unicamente un
antinodo donde se concentra la masa. Al aumentar la frecuencia aparecen tres anti-
nodos dentro de un rango de frecuencias, y a frecuencias mayores aun, existen dos
CAPITULO 1. INTRODUCCION 24
modos. La sucesion para el numero de antinodos es 1, 1, 3, 2, 5, 3, 7, ..,2n−1, n, 2n+1
se debe justamente al forzamiento homogeneo.
Figura 1.8: Vibracion de pelıculas de jabon y su perfil teorico. Las lıneas de interferencia
permiten medir su grosor. (a) Primer modo. (b) Segundo modo. (c) Tercer modo. (d)
Cuarto modo. (e) Quinto modo. Las figuras pertenecen a Boudaoud et al [4].
Un tercer ejemplo de sistema autoadaptativo, es el estudiado por M.Brozovskaia
[5] en pelıculas esmecticas. Estas pelıculas de cristal lıquido estan formadas por un
numero N de capas paralelas de moleculas de largo l, de grosor promedio d, con
l < d < 2l, cuyo numero puede ser controlado con precision desde 2 hasta un valor
muy grande, y estan limitadas a mantenerse dentro de un marco que las sujeta,
donde forman un menisco caracterıstico [8].
Estas pelıculas pueden ser estudiadas, para el caso de pequenas vibraciones,
como membranas ideales, es decir, de densidad superficial uniforme σN , sujetas a
CAPITULO 1. INTRODUCCION 25
una tension isotropica τN , y por lo tanto sus oscilaciones transversales z pueden ser
descritas por la ecuacion de onda en dos dimensiones:
σN∂2z
∂t2= τN
(∂2z
∂x2+
∂2z
∂y2
)(1.47)
y por lo tanto, poseen un espectro de frecuencias de resonancia, que dependen tanto
de su forma como de su tamano. Esta caracterıstica ha permitido, por ejemplo,
estudiar la tension superficial de estas pelıculas.
En [5], Brazovskaia y Pieranski agregan una masa puntual sobre la membrana.
En ausencia de forzamiento, la masa se mueve al centro de la membrana debido a la
fuerza gravitatoria. Sin embargo, en ausencia de gravedad, la presencia de la masa en
una posicion cualquiera de la membrana (x0, y0) modifica el espectro de resonancias.
Este espectro de resonancias puede ser estudiado con una fibra de diametro similar
a la esfera, ubicada externamente para pinchar la membraba en una posicion fija,
imitando una partıcula de masa infinita. Nuevamente, este espectro presenta regiones
de frecuencias que no son resonantes para ningun valor de la posicion de la masa.
La membrana se fuerza a vibrar por medio de una parlante ubicado por debajo
de la membrana. A amplitudes pequenas, la fuerza de gravedad tiende a mantener a
la masa cerca del centro de la membrana, pero al aumentar la amplitud, la posicion
se desvıa hasta alcanzar una posicion lımite. Esta posicion cambia con la frecuen-
cia del forzamiento, pero la amplitud umbral es practicamente independiente de la
frecuencia.
En el rango estudiado por Brazovskaia y Pieranski, correspondiente al primer
modo de oscilacion, se observa que las posiciones finales de la masa hacen resonante
al sistema a la frecuencia de vibracion impuesta, lo cual es comprobado con la
fibra, y por lo tanto el sistema se mantiene en resonancia. A diferencia del sistema
cuerda-masa, para cada frecuencia, existen infinitas posiciones posibles que hacen
CAPITULO 1. INTRODUCCION 26
Figura 1.9: En reposo la partıcula se mueve hacia el centro de la membrana. Al excitar
oscilaciones de la membrana, la partıcula ajusta su posicion para mantener al sistema
resonante. Las figuras pertenecen a Brazovskaia y Pieranski [5].
resonante al sistema, sin embargo la partıcula se mantiene cerca de las diagonales
de la membrana.
Capıtulo 2
Corrimiento de las frecuencias de
resonancia de una cavidad por la
presencia de un objeto fijo de
radio R
2.1. Experimento
El montaje utilizado para el experimento cuasiunidimensional consiste en un
tubo de seccion cuadrada de dimensiones internas 6,8 mm ×6,8 mm ×100 mm. Dos
de sus paredes son de duraluminio y dos de acrılico (fig. 2.1).
Un extremo del tubo se encuentra sujeto a un vibrador electromecanico Bruel
& Kjael, (Mini-shaker 4810) que puede proveer una fuerza maxima de 10 N, en un
amplio rango de frecuencias (DC hasta 18 kHz) y puede mantener una aceleracion
aproximadamente constante entre 100 y 5000 Hz.
El tubo se sujeta al vibrador en uno de sus extremos, de manera de dejar las
27
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 28
paredes de acrılico perpendiculares a ~g. Ası, el tubo completo oscila, excitandose
una onda acustica dentro de la cavidad, tal como se explico en la seccion 1.2.2.
Un microfono y un acelerometro permiten medir respectivamente la presion en
el extremo opuesto y la aceleracion entregada por el vibrador al sistema completo.
El sensor de presion (PCB Piezotronics modelo 130D20) esta formado por un
arreglo de microfonos acoplados. Su extremo, de diametro 6,35 mm (1/4′′) se in-
troduce dentro de la cavidad, de manera que la mayor parte de la cara interna de
la cavidad en ese extremo es el mismo sensor. El rango de frecuencia del sensor es
amplio, 100–10000 Hz, con una sensibilidad constante. Permite medir fluctuaciones
de presion de hasta 122 dB, es decir hasta 106 Pa.
El acelerometro (PCB Piezotronics modelo 340A65) se mantiene sujeto al ex-
tremo externo del tubo, midiendo la aceleracion en el eje longitudinal del tubo. El
rango de frecuencia en que opera acelerometro es entre 0,5 y 10000 Hz, y puede
medir aceleraciones de hasta 50 g (490 m/s2).
12
3
4
g
Figura 2.1: Montaje cuasiunidimensional. 1: Vibrador. 2: Cavidad. 3: Microfono. 4: Ace-
lerometro.
El vibrador es alimentado por medio de un amplificador de potencia conectado
a un analizador de espectro (SRS modelo SR780). El analizador de espectro, por
un lado, puede entregar una senal sinusoidal a frecuencia constante, al tiempo que
recibe la senal del sensor de presion y del acelerometro y la descompone en sus
componentes de Fourier por medio de una FFT. O bien, puede realizar un barrido
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 29
en frecuencia, entregando una senal sinusoidal cuya frecuencia cambia y midiendo
simultaneamente la respuesta en frecuencia de la presion y de la aceleracion.
Realizando un barrido en frecuencia, se midieron las frecuencias de resonancia
en la cavidad vacıa (fig. 2.2). Las frecuencia de resonancia difieren un poco de las
frecuencias teoricas. La frecuencia teorica fundamental de una cavidad cuasiunidi-
mensional de largo L es:
f0 =c
2πL/2(2.1)
Dado que la velocidad del sonido tiene una dependencia en la temperatura,
tambien f0 depende de la temperatura. En el caso del aire se tiene [10]:
c = 331,5
√1 +
TC
273m/s (2.2)
A una temperatura de TC = 22,2 C la velocidad del sonido vale 343,72 m/s y por
lo tanto la frecuencia fundamental teorica de la cavidad es 1723,56 Hz. En cambio,
la frecuencia fundamental medida es 1702,7 Hz (fig. 2.2), un 1,2 % menor. Podemos
calcular una longitud efectiva de la cavidad de Leff = 0,1012 m, que corresponde a la
longitud requerida para que la frecuencia fundamental sea 1702,7 Hz. La explicacion
probablemente esta en las condiciones de borde reales del sistema. Si bien la cara
interna mas cercana al vibrador es metalica, y puede considerarse como totalmente
rıgida, en la cara opuesta se encuentra el sensor de presion. Este sensor posee una
superficie no totalmente rıgida, que afecta la reflexion de la onda acustica.
La existencia de un coeficiente de reflexion R 6= 1 puede explicar la frecuencia
medida. Considerando que la pared cercana al vibrador (x = 0) es totalmente rıgida,
la presion debe ser de la forma:
p = P0 cos kx e−iωt (2.3)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 30
El coeficiente de reflexion de presion R ∈ C corresponde al cuociente entre la
presion acustica de la onda que viaja en la direccion −x (la onda reflejada en la
pared x = L) y la presion acustica de la onda que viaja en la direccion contraria.
R =e−ikL
eikL= e−2ikL (2.4)
Si la pared fuera totalmente rıgida, se tendrıa R = 1, y en ese caso, nece-
sariamente kL = nπ, recuperandose la condicion de resonancia (1.3). Pero en
general, este coeficiente puede ser complejo, y por lo tanto (2.4) corresponde a
una condicion de resonancia diferente. Sin embargo, podemos definir una longi-
tud efectiva Leff = −2iπL/ log R, de manera que kLeff = nπ. Se puede calcular
R = 0,999993 + 0,00369985i para nuestro caso. Como vemos, un valor de R muy
cercano a la unidad es suficiente para explicar la diferencia entre f0, la frecuencia
fundamental teorica, y fMED0 , la frecuencia fundamental medida, por lo tanto es
plausible concluir que la presencia del sensor de presion, como condicion de borde,
afecta la onda estacionaria y es responsable del desplazamiento de las frecuencias
de resonancia en la cavidad vacıa.
A continuacion se estudio el cambio de las frecuencias de resonancia al agre-
gar una esfera al interior de la cavidad. Para ello se utilizo una esfera magnetica
de diametro 6,35 mm (1/4′′), algo menor que las dimensiones interiores de la cavi-
dad (6,8 mm). La esfera se mantiene en posicion fija utilizando una segunda esfera
magnetica en el exterior del tubo.
Una vez fijada manualmente la posicion de la esfera y medida con ayuda de una
regla situada en el exterior de la cavidad, se realiza un espectro de la amplitud de
presion en la cavidad, mediante un barrido de frecuencia entre 1 y 10 kHz, a una
presion maxima de aproximadamente 10 Pa, excitando la onda acustica con una
vibracion de aceleracion constante Γ ≈ 0,5g. Posteriormente el espectro se importa
al computador mediante Labview a traves de una tarjeta de comunicacion GPIB. De
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 31
1702.7 3405.40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Frecuencia (Hz)
Pre
sión
(P
a)
Figura 2.2: Espectro de presion en la cavidad vacıa a una temperatura T = 20,75 C. Se
observan los primeros dos modos de resonancia a fMED0 = 1702,7 y 2fMED
0 .
esta manera se realizaron 90 espectros para posiciones de la esfera equiespaciadas por
1 mm, entre 4 y 94 mm (posicion del centro de la esfera, X0), donde se considero el
origen como el extremo de la cavidad mas cercano al vibrador. Debido a que en
las cercanıas de los extremos de la cavidad la esfera magnetica se ve fuertemente
atraıda, tanto por el sensor de presion como por el vibrador, no es suficiente la
fijacion dada por la esfera magnetica exterior y no se logro obtener espectros de
presion para X0 < 4 mm ni para X0 > 94 mm.
El resultado de esta medicion es la fig. 2.3. Cada espectro de presion esta grafica-
do verticalmente, utilizando Matlab, en escala de color en funcion de la frecuencia.
Posteriormente la imagen se suaviza interpolando la escala de color entre un punto
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 32
y otro.
Figura 2.3: Barrido de frecuencia versus posicion de la esfera magnetica. La escala de color
representa la presion acustica en Pa. La frecuencia esta normalizada a f0, la frecuencia
fundamental teorica del primer modo para la cavidad vacıa (f0 = 1723,56 Hz). La posicion
esta normalizada a L = 100 mm, la longitud de la cavidad.
Se observa que la frecuencia correspondiente a cada modo se desplaza con res-
pecto a las de la cavidad vacıa, de manera oscilante. La cantidad de oscilaciones con
respecto al valor no perturbado es proporcional al numero del modo.
Cuantitativamente esto tiene una explicacion simple: El numero de onda puede
escribirse como el cuociente entre la energıa cinetica y la energıa potencial de la
onda acustica [17]:
k2 =12
∫ |~∇p|2dV12
∫p2dV
=T
U(2.5)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 33
de manera que cuando la esfera se encuentra cerca de un maximo de presion, como
por ejemplo los extremos de la cavidad, que al mismo tiempo corresponde a un nodo
de velocidad (~∇p ≈ 0) la energıa cinetica T apenas cambia, mientras que la energıa
potencial U disminuye, lo que se traduce en un aumento del numero de onda k y por
lo tanto de la frecuencia. Al contrario, si la esfera se situa en torno a un maximo de
velocidad acustica, que corresponde a un nodo de presion, es la energıa cinetica la
que disminuye, mientras que la energıa potencial no se ve practicamente afectada,
y por lo tanto la frecuencia disminuye.
Como en los modos mayores existe mas nodos de presion y de velocidad acustica,
la cantidad de oscilaciones con respecto a la frecuencia de resonancia es mayor para
los modos mas altos que para los modos mas bajos.
2.2. Primer calculo: Teorıa existente
El problema del corrimiento de las frecuencias de resonancia de una cavidad
debido a la presencia de una partıcula ya ha sido observado y estudiado [17], [12],
[19], [25].
En 1982 Leung et al [17] presentaron un calculo en el que mediante un formalismo
de funcion de Green para la ecuacion de Helmoltz:
∇2p(~x) + k2p(~x) = 0 (2.6)
en una cavidad rectangular, calculan un numero de onda que depende de la posicion
de una partıcula intrusa de radio R, y lo compararon con sus observaciones en una
cavidad de dimensiones 152,4 mm ×152,4 mm ×127 mm (6′′×6′′×5′′) con una esfera
de diametro 12,7 mm (0,5′′) y con otra de diametro 2,54 mm (1′′). Multiplicando
(2.6) por p(~x′) e integrando en el volumen vacıo de la cavidad (ya que consideran a
la esfera como infinitamente rıgida, en el sentido que la onda no penetra al interior
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 34
de la esfera), Leung et al expresaron el corrimiento de las frecuencias en terminos
de una integral sobre los ~x′ ubicados en la superficie de la esfera:
δk
k=
1
P 20 V k2
l
∮(pi(~x
′) + ps(~x′))
∂pi
∂nds′ (2.7)
En esta expresion, V es el volumen de la cavidad, pi = P0 cos(klx) es la presion
debida a una onda acustica incidente, con kl el numero de onda del l−esimo modo
resonante de la cavidad vacıa, y n es la normal exterior a la superficie de la esfera,
donde se asume que la presencia de la esfera solamente afecta la onda acustica al
agregar el scattering de la onda incidente ps. Este calculo supone que kR << 1 con R
el radio de la esfera, y, lo que es mas importante aun, que la esfera se encuentra lejos
de las paredes de la cavidad, por lo tanto, para el caculo de la integral de superficie,
la parte scattereada de la presion puede expresarse con bastante aproximacion como
aquella debido a la presencia de la esfera libre, una onda esferica viajando en la
direccion +r, despreciando el scattering en las paredes de la onda esferica, y por lo
tanto tambien el scattering multiple.
El resultado de este calculo a orden (klR)2 es:
δk
k=
Vs
V
[−
(1
4+
67
360(klR)2
)+
(5
4− 229
360(klR)2
)cos(2klX0)
](2.8)
donde Vs es el volumen de la esfera y X0 es su posicion. En la figura 2.4 podemos ver
que este calculo explica cualitativamente las curvas de resonancia, pero subestima
la amplitud de los corrimientos. Es importante notar que en su experimento, Leung
et al no observaron diferencias en los corrimientos de las frecuencias al cambiar el
material de la esfera, como es de esperar debido al enorme contraste de impedancia
acustica entre un gas y un solido.
Para comparar con los modelos que se entregan mas adelante se cuatifico la
diferencia entre la teorıa y las mediciones por medio del parametro χ2 (cuadro 2.1):
χ2 =N∑
i=1
(fTeo − fRes)2
Nf 20
(2.9)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 35
donde f0 = 1723,56 Hz es la frecuencia teorica fundamental de resonancia de la
cavidad y N = 90 es la cantidad de espectros realizados en el barrido de la fig. 2.3.
Modo χ2
1 0.0011
2 0.0028
3 0.0047
4 0.0037
5 0.0027
Cuadro 2.1: Valores del parametro χ2 para el modelo de Leung, en los cinco primeros
modos.
2.3. Segundo calculo: Corrimiento de las frecuen-
cias de resonancia debido al contraste de den-
sidad e impedancia acustica entre el medio y
una inclusion
Se realizo un calculo simple para explicar el corrimiento de las frecuencias de
resonancia, suponiendo que dentro de la cavidad cuasiunidimensional, de seccion
transversal S, llena con un fluido de densidad ρ0 e impedancia acustica z0 = ρ0c0
(aire), hay una region, centrada en la posicion X0 y de largo 2R, de densidad ρ1 e
impedancia acustica z1 = ρ1c1 (fig. 2.5).
Esta configuracion corresponde a una aproximacion muy simple del sistema, pues
a la esfera solida la consideramos como un segundo fluido, sin tomar en cuenta la
naturaleza tensorial de las ondas de sonido en solidos. Supondremos en cambio que
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 36
(a)
(b)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 37
(c)
(d)
(e)
Figura 2.4: Calculo del corrimiento de las frecuencias de resonancia de Leung et al segun
ec. (2.8). Las barras de color representan la presion (Pa). La lınea solida muestra el maximo
de presion en cada modo. La lınea segmentada representa la teorıa de Leung et al. (a)
Primer Modo. (b) Segundo Modo. (c) Tercer Modo. (d) Cuarto Modo. (e) Quinto Modo.
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 38
L
X0
2R
Figura 2.5: Tubo con sector de diferente densidad e impedancia acustica.
en ambos medios se cumple la ecuacion del sonido (1.1), y por lo tanto:
p(x, t) = Aei(k0x−ωt) + Be−i(k0x+ωt) x < X0−R
p(x, t) = Cei(k1x−ωt) + De−i(k1x+ωt) X0−R < x < X0 + R
p(x, t) = Eei(k0x−ωt) + Fe−i(k0x+ωt) x > X0 + R (2.10)
donde k0,1 = ω/c0,1. Suponiendo continuidad en la presion y en la velocidad acustica,
y bordes rıgidos en los extremos, se encuentra facilmente una expresion para k0, que
corresponde a la condicion de resonancia de la cavidad:
tan(2k0R
α
)[ cos k0(X0 −R) cos k0(L−X0 −R)−
β2 sin k0(X0 −R) sin k0(L−X0 −R)] = −β sin k0(L− 2R) (2.11)
donde:
α =c1
c0
(2.12)
β =z1
z0
(2.13)
Es facil observar que si α = β = 1 se reobtiene la expresion para una cavidad
resonante de largo L, es decir sin kL = 0 ⇔ kL = nπ.
La dependencia en α es muy pequena, no ası la dependencia en β. Para los valores
reales de α y β (αss = 15,96 y βss = 6116,28 para acero inoxidable, αp = 7,73 y
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 39
βp = 5334,87 respectivamente para polipropileno) no se obtienen valores cercanos
de los corrimientos de k (fig. 2.6(a)), pero es posible ajustarlos para obtenerlos.
Se calcularon valores efectivos para α y β, considerando que en el volumen de la
cavidad V = 2SR que se encuentra entre X0 − R y X0 + R la fraccion de volumen
que ocupa la esfera es φ1 = Vesfera/V y la fraccion de volumen ocupada por el aire
es φ0 = Vaire/V = 1− φ1:
αeff =c1φ1 + c0φ0
c0
βeff =z1φ1 + z0φ0
z0
(2.14)
encontrandose los valores αeff = 10,35 y βeff = 2793,19 para acero inoxidable y
αeff = 4,07 y βeff = 2436,4 para polipropileno, lo cual no es suficiente para explicar
las curvas de corrimiento de las frecuencias de resonancia (fig. 2.6(b)).
(a) 0.2 0.4 0.6 0.8x�L
1
2
3
4
5
6
f � f0
(b) 0.2 0.4 0.6 0.8x�L
1
2
3
4
5
6
f � f0
Figura 2.6: (a) Curvas de resonancia para valores reales de α = 7,73 y β = 5334,87. (b)
Curvas de resonancia para valores efectivos de α y β: αeff = 4,07 y βeff = 2436,4. Las
curvas de resonancia no coinciden con las medidas en ninguno de los casos.
No solo los valores de las resonancias, sino que tampoco la forma de las curvas
de resonancia calculadas con los valores reales de α y β ni con sus valores efectivos
coinciden con las mediciones. Sin embargo, para valores mucho menores de β, las
curvas calzan de mejor manera. Se minimizo la diferencia entre la solucion de (2.11)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 40
y la frecuencia de resonancia del primer modo:
χ2(β) =N∑
i=1
f 2TEO(β)− f 2
RES
Nf 20
(2.15)
22.345.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
6.8
7
7.2x 10
−4
β
χ2 (β)
Figura 2.7: Ajuste χ2 del parametro β para calculo de una cavidad con una zona de
diferente densidad e impedancia acustica, en el primer modo.
El mınimo esta dado por β∗ = 22,34 (fig. 2.7). Para este valor de β, las curvas
de resonancia teorica coinciden mejor para la partıcula lejos de los extremos de la
cavidad, sobre todo para los primeros tres modos (fig. 2.8). Para los modos siguientes,
el ajuste no es bueno, pero sı reproduce de mejor manera la forma de las curvas de
resonancia que (2.8).
Utilizando este valor de β∗ = 22,34, se cuantifico la diferencia entre la teorıa y
las mediciones por medio del parametro χ2(β∗) (cuadro 2.2).
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 41
(a)
(b)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 42
(c)
(d)
(e)
Figura 2.8: Segundo calculo del corrimiento de las frecuencias de resonancias (2.11) con
α = 7,7 y β∗ = 22,34. La lınea solida muestra el maximo de presion en cada modo. La
lınea segmentada muestra las frecuencias calculadas con el segundo modelo. (a) Primer
Modo. (b) Segundo Modo. (c) Tercer Modo. (d) Cuarto Modo. (e) Quinto Modo.
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 43
Modo χ2
1 0.0006
2 0.0019
3 0.0051
4 0.0067
5 0.0124
Cuadro 2.2: Valores del parametro χ2 para el segundo calculo, en los cinco primeros
modos. Se utilizo el valor ajustado de β∗ = 22,34
2.4. Tercer calculo: Corrimiento de las frecuen-
cias de resonancia calculado mediante la ecuacion
del sonido en tubos de seccion variable
Supongamos que tenemos una onda de sonido que se propaga en el interior de un
tubo cualquiera. Si este tubo presenta cambios en su seccion transversal, la ecuacion
del sonido (1.1) debera ser modificada, como veremos a continuacion.
Sea S(x) la seccion trasversal del tubo. Entonces, la cantidad de masa por unidad
de largo que ingresa a un elemento de volumen de largo dx es ρ(x)ux(x)S(x) (fig. 2.9),
mientras la que sale del mismo elemento de volumen es ρ(x+dx)ux(x+dx)S(x+dx).
r(x)ux(x)S(x) r(x+dx)ux(x+dx)S(x+dx)dx
Figura 2.9: Conservacion de masa en tubos de seccion variable.
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 44
Por lo tanto la ecuacion de continuidad se escribe ahora:
S∂ρ
∂t+ ~∇(ρ~uS) = 0 (2.16)
La ecuacion de Euler, sin embargo no cambia:
ρ∂~u
∂t= −~∇p (2.17)
Para encontrar la ecuacion del sonido lineal en terminos acusticos, escribamos
ρ = ρ0 + ρ′, y linealizando (es decir escribiendo las ecuaciones a primer orden en los
terminos acusticos), obtenemos:
∂ρ
∂t+
ρ0
S~∇ · (~uS) = 0 (2.18)
ρ0∂~u
∂t= −~∇p (2.19)
Derivando (2.18) con respecto al tiempo, tomando la divergencia a (2.19) y jun-
tando ambas expresiones, se tiene:
∂2ρ
∂t2+
ρ0
S~∇S · ∂~u
∂t= ∇2p (2.20)
Utilizando el potencial de velocidades φ tal que ~u = ~∇φ y p = −ρ0∂φ/∂t, y la
relacion entre ρ y p; p = c2ρ′, podemos reescribir la ecuacion anterior para p, que
corresponde a la ecuacion del sonido en tubos [13]:
1
c2
∂2p
∂t2=
1
S~∇ · (S~∇p) (2.21)
En el caso de un tubo cuasiunidimensional, como es el presente caso, la ecuacion
se reescribe:
1
c2
∂2p
∂t2=
1
S
∂
∂x
(S
∂p
∂x
)(2.22)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 45
Al aplicar esta ecuacion al caso nuestro, con una esfera rıgida centrada en la
posicion X0, de radio R (fig. 2.10), tenemos:
S =
S0 si x < X0 −R (Zona 1)
S0 − π(R2 − (x−X0)2) si X0 −R < x < X0 + R (Zona 2)
S0 si x > X0 + R (Zona 3)
(2.23)
Y por lo tanto, luego de escribir p(x, t) = p(x)e−iωt, es necesario resolver el
sistema de ecuaciones:
(Zonas 1 y 3) k2p +∂2p
∂x2= 0 (2.24)
(Zona 2) k2p+1
S0 − π(R2 − (x−X0)2)
∂
∂x
((S0−π(R2−(x−X0)
2)∂p
∂x)
)= 0(2.25)
Con las condiciones de borde:
p((X0 −R)−) = p((X0 −R)+) (2.26)
p((X0 + R)−) = p((X0 + R)+) (2.27)
Que corresponden a la continuidad de la presion acustica a ambos extremos de
la esfera.
La solucion en las Zonas 1 y 3 es conocida:
p(x) =
Aeikx + Be−ikx (Zona 1)
Eeikx + Fe−ikx (Zona 3)(2.28)
L
X0
R
Figura 2.10: Tubo de seccion variable por la presencia de una esfera fija y rıgida.
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 46
Para resolver (2.25), realizamos el cambio de variable z = (x−X0)/R, obteniendo
la ecuacion:
d2p
dz2+
2πz
S/R2 − π(1− z2)
dp
dz+ (kR)2p = 0 con − 1 < z < 1 (2.29)
El tercer termino de esta ecuacion lo despreciaremos, suponiendo que kR << 1.
En nuestro caso, esto es valido para los primeros modos (kR ≈ 0,1 para el primer
modo), pero ya para el quinto modo la validez de esta aproximacion es cuestionable.
Multiplicando por S0/R2 − π(1− z2):
d
dz
[( S
R2− π(1− z2)
)dp
dz
]= 0 (2.30)
⇒ dp
dz=
C
S/R2 − π(1− z2)(2.31)
La ecuacion (2.31) puede ser resuelta exactamente:
p(x) =C
π√
σ − 1arctan
( x−X0
R√
σ − 1
)+ D (2.32)
Al aplicar las condiciones de continuidad de la presion en x = X0−R y x = X0+R
y la condicion (2.31) en los mismos puntos, que corresponde a la continuidad de la
velocidad acustica, encontramos las constantes de integracion C y D. Al imponer
condiciones de borde rıgido en los extremos del tubo, se encuentra una condicion
para k, que corresponde a la condicion de resonancia:
2kRσ√σ − 1
arctan( 1√
σ − 1
)sin k(X0−R) sin k(L−X0−R) = sin k(L−2R)(2.33)
con σ = S0/πR2 = 1,46
Al igual que en los calculos anteriores, se cuantifico la diferencia entre la teorıa
y las mediciones por medio del parametro χ2 (tabla 2.3):
χ2 =N∑
i=1
(fTeo − fRes)2
Nf 20
(2.34)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 47
(a)
(b)
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 48
(c)
(d)
(e)
Figura 2.11: Solucion de la ecuacion de resonancia para un tubo de seccion variable
ec.(2.33). La lınea solida muestra el maximo de presion para cada modo. La lınea seg-
mentada y punteada ( . ) muestra las frecuencias calculadas con el tercer modelo con
el L = 100 mm. La lınea segmentada ( ) muestra las frecuencias calculadas con la
longitud efectiva de la cavidad L = 101,2 mm. (a) Primer modo. (b) Segundo modo. (c)
Tercer modo. (d) Cuarto modo. (e) Quinto modo.
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 49
Modo χ2
1 0.0013
2 0.0041
3 0.0086
4 0.0129
5 0.0211
Cuadro 2.3: Valores del parametro χ2 para el tercer calculo, en los cinco primeros modos.
Podemos observar que las curvas de resonancia calculadas en esta seccion predi-
cen con bastante exactitud tanto los valores como las formas de las curvas medidas,
pero se encuentran por sobre las curvas de resonancia. Si consideramos el largo
efectivo de la cavidad encontrado en la seccion 2.1 y usamos ese valor en (2.33):
2kRσ√
σ − 1arctan
( 1√σ − 1
)sin k(X0 −R) sin k(Leff −X0 −R)
= sin k(Leff − 2R) (2.35)
obtenemos un mejor ajuste. En la figura 2.11 se observan las curvas de resonancia y
las curvas calculadas con (2.35), normalizadas con Leff = 0,1012 m. El cuadro 2.4
muestra el valor de χ2 para este calculo.
En el cuadro 2.5 podemos ver como son los ajustes de los diferentes modelos. Se
observa que el segundo y el tercer modelo se alejan progresivamente de los valores
medidos.
Tanto el primero como el tercer modelo explican cualitativamente bien los co-
rrimientos de las resonancias sin necesidad de un parametro ajustable. Ambos con-
sideran la rigidez de la inclusion como infinita con respecto al medio. Es por lo
tanto un efecto de volumen excluido el que provoca este comportamiento, y no un
contraste de impedancia acustica o densidad.
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 50
Modo χ2
1 0.0005
2 0.0014
3 0.0034
4 0.0042
5 0.0075
Cuadro 2.4: Valores del parametro χ2 para el tercer calculo, en los cinco primeros modos,
rectificando la longitud del tubo con la longitud efectiva Leff = 0,1012 m.
El modelo de Leung, si bien predice con exactitud las magnitudes y signo de los
corrimientos en funcion de la posicion de la inclusion, no explica la diferencia entre la
forma de las curvas de resonancia y un corrimiento sinusoidal en la posicion, debido
que supone que la partıcula es pequena y que se encuentra lejos de las paredes de la
cavidad, lo cual no se cumple en nuestro caso. En cambio, el tercer modelo sı explica
bien la forma de las curvas de resonancia, pues sı considera el tamano de la esfera,
comparable con respecto a las dimensiones transversales de la cavidad y su cercanıa
a las paredes de la cavidad.
Ambos modelos utilizan la hipotesis kR << 1, lo que no necesariamente se
cumple en nuestro experimento. De hecho, como ya se menciono, para el primer
modo kR ≈ 0,1, pero para el quinto modo ya tenemos kR ∼ 0,5.
CAPITULO 2. CORRIMIENTO DE LAS RESONANCIAS 51
Modo χ21 χ2
2 χ23
1 0.0012 0.0006 0.0005
2 0.0031 0.0019 0.0014
3 0.0047 0.0051 0.0034
4 0.0044 0.0067 0.0042
5 0.0034 0.0124 0.0075
Cuadro 2.5: Valores del parametro χ2 para el primer (χ21), segundo (χ2
2) y tercer (χ23)
calculo, en los cinco primeros modos.
Capıtulo 3
Autoadaptacion de una partıcula
libre de moverse en la cavidad
acustica
3.1. Introduccion
Para estudiar los efectos de la fuerza de radiacion acustica se dejo a la partıcula
dentro de la cavidad libre de moverse. El montaje utilizado, que veremos con mas
detalle en la Seccion 3.5 fue el mismo que en el Capıtulo 2, es decir, el tubo cuadrado
se sujeta a un vibrador, que hace mover oscilatoriamente el tubo completo, excitando
de esta manera una onda acustica. En presencia de la onda acustica de frecuencia
cercana a la resonancia, la esfera, esta vez mas liviana que en el Capıtulo 2, y
libre de moverse, se desplaza hacia una posicion de equilibrio que depende de la
frecuencia de la onda acustica. A continuacion se explica el procedimiento utilizado,
las dificultades encontradas y los resultados obtenidos.
52
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 53
3.2. Esfera plastica en aire
Recordemos la fuerza de radiacion de Gor’kov ejercida sobre una esfera en pre-
sencia de una onda estacionaria unidimensional (1.41) en un fluido:
Fx = πP 2
0
ρc2R2(kR) sin(2kx)(f1 − f2) (3.1)
con:
f1 =ρ0 + 2/3(ρ0 − ρ)
2ρ0 + ρ(3.2)
f2 =c2ρ
3c20ρ0
(3.3)
donde ρ0, c0 representan la densidad y velocidad del sonido en la partıcula, y ρ, c
las del fluido.
Material ρ (kg/m3) cL (m/s) f1 f2
Aire (TC = 20 C) 1,293 343,43 1/3 1/3
Agua (TC = 20 C) 1000 1480 0,8324 2,3 · 10−5
Polipropileno 890 2660 0,8322 8 · 10−6
Acrılico Plexiglass 1190 2750 0,8325 5,6 · 10−6
Acero Inoxidable 7890 5790 0,8332 1,9 · 10−7
Aluminio 2700 6420 0,8330 4,6 · 10−7
Vidrio 220 5900 0,8329 6,6 · 10−7
Cuadro 3.1: Algunas propiedades de distintos materiales. ρ es la densidad. cL es la ve-
locidad del sonido en fluidos o velocidad del sonido transversal en el caso de los solidos.
f1 y f2 estan definidos en (3.2) y (3.3), considerando el fluido como aire.
En el cuadro 3.1 vemos los valores de f1 y f2 para algunos materiales, suponiendo
que el fluido es aire. Podemos ver que, para cualquier solido, o lıquido, debido a que
ρ0 >> ρ y β0 << β, se tiene f1 ≈ 5/6 = 0,8333 mientras que f2 ≈ 0.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 54
Utilizando f1 − f2 = 5/6, para R = 3,175 mm, una presion del orden de 10 Pa
y una frecuencia f ∼ 1000 Hz, se obtiene que la fuerza de radiacion de Gor’kov
(3.1) es del orden de 10−9 N. Este valor es varios ordenes de magnitud menor que la
fuerza de roce esperada. Dado que observamos movimientos de una esfera plastica
en presencia de una onda bajo las condiciones recien mencionadas, podemos decir
que la fuerza de radiacion es mayor que la estimada en (3.1), pero no mucho mayor
que la fuerza de roce, como veremos a continuacion. La fuerza de Gor’kov es valida
para una partıcula en presencia de una onda estacionaria dentro de una cavidad,
pero lejos de las paredes de la cavidad, lo cual no se cumple aca.
Recordemos que la cavidad completa se hace vibrar y por lo tanto las paredes
estan en movimiento, oscilando con una pequena amplitud (< 1 µm). El hecho de
que las paredes de la cavidad se mueven bajo la esfera puede contribuir a vencer el
roce estatico entre las paredes y la partıcula. Sin embargo, la fuerza de roce dinamico
puede dar una estimacion de la cota inferior para fuerza de radiacion sobre la esfera.
Se midio el coeficiente de friccion dinamico entre las esferas de poliamida y una
superficie de acrılico, identico al de las paredes del tubo, con el montaje que se
muestra en la fig. 3.1. El resultado, µd = 0,508± 0,002, demuestra que la fuerza de
friccion es cercana a 7 · 10−4 N, varios ordenes de magnitud mayor a la fuerza de
radiacion predicha por (1.41).
Por otro lado si el montaje (fig. 2.1) se gira en 90o, dejando las paredes de
duraluminio perpendiculares a ~g, de manera que la esfera se mueva sobre una de las
paredes de duraluminio en lugar de una de las paredes de acrılico, los movimientos
no se observan. El coeficiente de friccion dinamico entre la esfera de poliamida y las
paredes de duraluminio no se midio, pero se espera que sea mayor que el coeficiente
de friccion entre la esfera y las paredes de acrılico. En la literatura [18] encontramos
el coeficiente de roce estatico y dinamico entre vidrio y metal, µe = 0,78 y µd = 0,56.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 55
1
2
3
4
g
5
Figura 3.1: Montaje utilizado para la medicion del coeficiente de friccion dinamico entre
las esferas de polipropileno y una superficie pulida de duraluminio. 1: Bloque masa M =
229,27 g. 2: Esferas de polipropileno. 3: Polea. 4: Bloque masa m = 0,1607 g. 5: Fotopuerta.
Estimando como mınimo un coeficiente de friccion de µ = 0,7 entre la esfera y las
paredes de duraluminio, podemos estimar una fuerza de radiacion de entre 10−4
y 10−3 N. El rango nos dice que en general la fuerza de radiacion es cercana a la
friccion, siendo apenas mayor al roce con el acrılico.
Por lo tanto, para minimizar en lo posible la fuerza de roce, se opto por el material
mas liviano, ya que la eleccion no afecta a la fuerza de radiacion y, como se vio en el
Capıtulo 2, los modos acusticos al interior de la cavidad se ven igualmente afectados,
sin importar el material, sino solo el tamano y la posicion de la inclusion solida.
Para estudiar el problema de la autoadaptacion se utilizo una esfera de poliamida,
de masa 0,15 g, y diametro 6,35 mm, es decir, del mismo tamano que la partıcula
usada para estudiar los corrimientos de las frecuencias de resonancia en el Capıtulo
2. La impedancia acustica de la poliamida es similar a la del polipropileno, pero es
algo mas densa que este (ρ0 = 1140 kg/m3).
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 56
3.3. Estudio de la fuerza de radiacion acustica en
agua y las dificultades encontradas.
Se intento estudiar el efecto de la fuerza de radiacion sobre la esfera en la cavidad
llena de agua. Sin embargo, debido al factor 1/ρc2 en (3.1), la magnitud de la fuerza
de radiacion sobre una partıcula es mucho menor para una misma presion acustica
P0 si el medio externo es agua en lugar de aire, pues la densidad del agua es 1000
veces mayor que la del aire y la velocidad del sonido es cerca de cuatro veces la
velocidad del sonido en aire, de manera que ρaguac2agua ∼ 104ρairec
2aire. Es por ello
que la fuerza de radiacion en agua no logra producir movimientos sobre la esfera, a
pesar de que, excitando la onda acustica en agua con un piezoelectrico ceramico es
posible obtener presiones acusticas bastante grandes, de hasta 5 kPa, gracias al buen
acoplamiento de impedancia acustica entre el piezoelectrico y el agua, que hace que
la inyeccion de energıa sea eficiente.
La dificultad que se encontro al buscar presiones mayores, lo suficientemente
grandes como para mover a la esfera, fue la formacion de microburbujas por ca-
vitacion. Estas producen un efecto importante en la presion acustica, pues debido
a la gran compresibilidad del aire con respecto al agua, el scattering provocado por
la presencia de estas burbujas modifica el modo acustico. Ademas, la presencia de
estan burbujas aumenta la absorcion, debido a la interfaz agua-aire.
Para evitar la formacion de burbujas se intento un sistema de desgasamien-
to de agua que consiste en hervir el agua por 15 minutos y posteriormente cerrar
hermeticamente el contenedor hasta que el agua se enfrıe completamente. Los resul-
tados fueron mejores, pues se logro caracterizar la cavidad acustica vacıa, pero con
el tiempo las burbujas aparecen igualmente, lo que impide tener un sistema bien
controlado durante el tiempo requerido para caracterizar la fuerza de radiacion.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 57
El montaje en agua difiere del explicado anteriormente en el Capıtulo 2 (fig.
3.2). Para excitar la onda acustica se utilizo un piezoelectrico ceramico, acoplado
a un extremo de un tubo de acrılico de seccion circular mediante una pieza de
acero inoxidable. En el otro extremo del tubo se ubica un sensor de presion (PCB
Piezotronics modelo 113M226), capaz de medir hasta casi 700 kPa. El piezoelectrico
se conecta, mediante un amplificador de potencia, a un Lock-in Amplifier (SRS
modelo SR830), pues entonces no disponıamos del analizador de espectro. El Lock-
in Amplifier se emplea como generador de senales, y al mismo tiempo permite medir
la presion acustica. Se automatizo un barrido en frecuencia, mediante Labview, para
medir la respuesta en frecuencia de la presion al interior de la cavidad. Este proceso
tarda mucho bastante tiempo (varias horas), mucho mas que un barrido con el
analizador de espectro, que solo toma algunos segundos.
1
2
3
4
5
Figura 3.2: Montaje en agua. 1: Ceramica piezoelectrica. 2: Pieza de acoplamiento. 3:
Tubo acrılico de seccion circular. 4: Sensor de presion. 5: o’ring (Para sellar la cavidad).
En este sistema se realizaron espectros de presion en funcion de la frecuencia. Las
resonancias se diferencian claramente cuando el agua esta desgasada y sin burbujas
(fig. 3.3(a)), pero despues de un tiempo, a pesar de estar desgasada el agua, las bur-
bujas aparecen, y los modos ya no estan bien definidos (fig. 3.3(b)). Suponiendo que
la concentracion de gas dentro del agua fuera completamente nula, estas burbujas
igualmente aparecen pues el tubo no queda hermeticamente cerrado.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 58
(a)0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
0
500
1000
1500
Frecuencia (Hz)
Pre
sion
(P
a)
(b)0 1 2 3 4 5 6 7
x 104
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Frecuencia (Hz)
Pre
sion
(P
a)
Figura 3.3: Espectros de presion acustica realizados en agua. El primer espectro (a)
esta realizado con el agua desgasada recientemente. Se observan varios peaks de resonancia
entre 2 y 5 kHz. La presion es del orden de 1500 Pa. El segundo espectro (b) se realizo des-
pues de transcurrido cierto tiempo. Las resonancias no estan claramente definidas. Esto
se debe a la aparicion de burbujas en el agua.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 59
Las burbujas aparecen en un corto lapso de tiempo. Si se realiza un barrido e
inmediatamente se realiza otro, el resultado varıa, mostrando que en un lapso de
algunas horas las condiciones del sistema no son controlables. Durante los tiempos
requeridos para realizar los experimentos, tanto para la caracterizacion de la cavidad
como para el estudio del efecto de la fuerza de radiacion sobre la esfera, la aparicion
de burbujas provocan que las caracterısticas del sistema cambien, impidiendo la
reproducibilidad del experimento.
Finalmente, estas limitaciones obligaron a trabajar en aire. Sin embargo, un
sistema eficiente de control sobre la formacion de burbujas, como por ejemplo un
buen sistema de desgasamiento de agua, con una bomba de vacıo, y un sistema
hermetico o sumergido, es deseable, ya que la casi despreciable inercia de las burbujas
hace de ellas un buen candidato para estudiar la fuerza de radiacion acustica, y sus
cualidades de scattereador permitirıan estudiar interacciones entre ellas, mediadas
por una fuerza de radiacion acustica inducida por la onda scattereada.
3.4. Estudio del modo fundamental
Experimentalmente, a pesar de la friccion entre las paredes de la cavidad y
la esfera de poliamida, se observa que, en aire, la esfera se desplaza en presencia
de una onda acustica dentro de la cavidad. Resulta importante notar que para la
aceleracion entregada por el vibrador a la cavidad Γ ≈ 2 g, la amplitud de vibracion
es A = Γ/ω2 ∼ 0,1 µm. Ademas, se observa experimentalmente que los movimientos
de la esfera solo ocurren cuando la frecuencia de la onda acustica es cercana a la
frecuencia de resonancia de la onda acustica, lo cual confirma que movimientos de
la partıcula no son atribuıbles a vibraciones de las paredes de la cavidad, sino que
a un efecto acustico.
El movimiento de la partıcula ocurre facilmente a frecuencias bajas, dentro del
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 60
primer modo, pero a frecuencias mayores el roce parece tener una importancia pre-
dominante, y los movimientos son mas raros y menos reproducibles. A continuacion
veremos que la razon puede estar en las caracterısticas del montaje experimental.
Debido a las caracterısticas del vibrador, no es posible mantener una presion
constante al aumentar la frecuencia, sino que es la aceleracion Γ la que se mantiene
aproximadamente independiente de la frecuencia al mantener un voltaje constante
sobre el vibrador.
0 0.005 0.01 0.0150
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
Γ/ω (m/s)
P0/ρ
c (
m/s
)
Figura 3.4: Medicion de la presion acustica en la resonancia (f = fMED0 ) en funcion de
la velocidad de vibracion de la cavidad.
La presion acustica es proporcional a la velocidad con que oscila la cavidad, y por
lo tanto es proporcional a la velocidad acustica (1.18). Utilizando el mismo montaje
del Capıtulo 2 se comprobo lo anterior, midiendo con el sensor de presion la presion
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 61
acustica en la cavidad en funcion de la aceleracion, que se medıa simultaneamente
con el acelerometro. Se utilizo un forzamiento a la frecuencia de resonancia de la
cavidad, f = fMED0 , aumentando gradualmente la aceleracion al sistema. La fig. 3.4
muestra que se tiene
P0
ρc∝ Γ
ω∝ Aω (3.4)
con A la amplitud de oscilacion. De acuerdo a (1.41) se obtiene
F ∝ Γ2
ω(3.5)
Esto podrıa explicar que solo se observan movimientos de la partıcula para fre-
cuencias en la region del primer modo de la cavidad, y difıcilmente para los modos
siguientes. A frecuencias mayores la fuerza de roce dominarıa por completo y los
efectos de la fuerza de radiacion no son observables.
Por ende, se estudio la autoadapacion para frecuencias entre 1550 y 1750 Hz, es
decir dentro del primer modo acustico.
3.5. Procedimiento
El montaje experimental fue el mismo usado en el Capıtulo 2 (fig. 2.1). Se mantu-
vo una aceleracion Γ ∼= 2 g, aproximadamente constante, en el vibrador, generandose
presiones acusticas maximas de entre 10-20 Pa (en la resonancia).
El proceso de medicion, automatizado y controlado con Labview desde un com-
putador, mediante una tarjeta GPIB, es el siguiente: con el vibrador conectado al
analizador de espectro a traves de un amplificador de potencia, se excita una on-
da acustica dentro de la cavidad. La frecuencia f y el voltaje sobre el vibrador se
mantienen constantes durante un intervalo de tiempo T0 de algunos minutos. En
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 62
este lapso de tiempo se registra a intervalos regulares la presion acustica y la ace-
leracion de la cavidad utilizando los sensores respectivos conectados al analizador
de espectro. Al comienzo del procedimiento se obtiene una imagen de la cavidad con
una camara CCD (Samsung modelo SCD-313) para registrar la posicion inicial Xi
de la esfera. Al termino del tiempo de espera se obtiene otra imagen de la cavidad
para registrar la posicion final Xf de la partıcula. Este proceso se repite para fre-
cuencias entre 1550 y 1750 Hz, con un paso de 10 Hz. Antes de cambiar la frecuencia
se mantiene el sistema en reposo por algunos minutos (T1) para enfriar el vibrador,
pues el calentamiento provoca que la aceleracion disminuya en un pequeno porcenta-
je (∼ 3 % durante T0) (fig. 3.5(a)). Las imagenes son analizadas posteriomente con
ImageJ para medir Xi y Xf .
En presencia de una onda de sonido de frecuencia fija f , en una escala de tiempo
τ1 de varios segundos, mucho mayor a la escala de tiempo τ = 1/f ∼ 1 ms de
la excitacion acustica, (fig. 3.5(b)), la esfera se mueve desde una posicion inicial
arbitaria Xi hasta una posicion de equilibrio Xf . Se comprueba que la posicion Xf
alcanzada al termino del lapso de tiempo T0 es en realidad una posicion de equilibrio
mediante la medicion de la presion y ademas con la toma de mas imagenes antes
de finalizado T0. La posicion final Xf coincide con la de las ultimas imagenes, y la
presion acustica, que se ve afectada por la posicion de la partıcula, llega a un estado
estacionario (fig. 3.5(a)), donde solo se observa una pequena disminucion debido al
calentamiento del vibrador: El tiempo esperado T0 es suficiente para que la esfera
llegue a su posicion de equilibrio.
En la fig. 3.5 se muestra la evolucion temporal de la posicion de la esfera, la pre-
sion acustica y la aceleracion. Se observa que el movimiento de la esfera debido a la
fuerza ejercida por la onda acustica de frecuencia f esta totalmente sobreamortigua-
do por la fuerza de roce: no existen oscilaciones en torno a la posicion de equilibrio.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 63
0 5 10 15
x 104
10
20
30
Pre
sion
(P
a)
0 5 10 15
x 104
3.5
3.55
3.6
Ace
lera
cion
(g)
t/τ
0 5 10 15
x 104
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t/τ
x/L
Figura 3.5: Evolucion temporal de la posicion de la esfera (abajo), de la presion acustica
(arriba, *) y de la aceleracion (arriba, H) del vibrador a frecuencia f = 1550 Hz. τ = 1/f
es el perıodo de la excitacion acustica.
En una primera fase (fig. 3.5) del movimiento, la presion acustica aumenta mientras
la esfera se desplaza hacia la posicion que hace de f una frecuencia resonante, que
llamaremos posicion de resonancia Xr(f), pero la esfera no se detiene en esa posi-
cion. En una segunda fase, la esfera se mueve hacia su posicion de equilibrio, que
no es la posicion de resonancia. En una tercera fase, la esfera ya no se mueve, pero
la presion disminuye. Esto se debe a la disminucion de la aceleracion que provee el
vibrador, pues como se menciono anteriormente, el sistema mecanico de vibracion
se calienta, aumentando su resistencia, y por lo tanto disminuyendo su respuesta.
Para asegurar que la posicion incial Xi para cada frecuencia de la esfera sea
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 64
aleatorio, entre una frecuencia y otra se hace oscilar la cavidad con una amplitud
cercana a 1 mm, a una frecuencia pequena (10 Hz), lograndose que la esfera cambie
de posicion en torno a una vecindad de la posicion en que se encontraba (fig. 3.6).
Dado que las posiciones de equilibrio, como veremos en seguida, se encuentran ex-
clusivamente en la region x > L/2, las posiciones inciales estan repartidas en esta
region, pero se observo que, para cualquier frecuencia entre 1550 y 1750 Hz, ubi-
cando a la esfera en la region x < L/2, es decir en la otra mitad de la cavidad, se
obtiene la misma posicion de equilibrio.
En la fig. 3.7 se observan las posiciones de equilibrio 〈Xf (f)〉 de la esfera de
poliamida, superpuestas al grafico de resonancias de la cavidad obtenido con la
esfera magnetica. Los puntos corresponden a un promedio de diez realizaciones, y
las barras de error corresponden a la desviacion estandar.
Se puede observar una tendencia a la autoadaptacion, sin embargo las posiciones
de equilibrio no coinciden exactamente a aquellas que hacen resonante al sistema,
como muestra ademas la fig. 3.5. Ademas, a pesar de que para cada frecuencia dentro
del primer modo existen dos posiciones de resonancia Xr(f), simetricas con respecto
al centro de la cavidad, solo existe una posicion de equilibrio para cada frecuencia
en este rango, cercana a una de estas posiciones de resonancia. La asimetrıa puede
deberse a las condiciones de borde, que son asimetricas, como se explico en la Seccion
2.1, o a la presencia de atenuacion.
Las grandes barras de error son explicadas por la gran importancia de la fuerza
de roce en relacion con la fuerza de radiacion, que hace difıcil la reproducibilidad. En
efecto, se comprobo que durante el desplazamiento la esfera no rueda sin resbalar.
Dado que las posiciones iniciales son aleatorias, la esfera en ocasiones puede estar
en posiciones donde la fuerza de radiacion difıcilmente logra mover a la partıcula.
Esto puede deberse a dos razones:
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 65
0.88 0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.020
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f/f0
x i/L
0 0.5 10
10
20
30
40
xi/L
Figura 3.6: Posiciones iniciales de la esfera. Las posiciones iniciales estan distribuidas en
la region x > L/2, pues la posicion inicial se encuentra en una vecindad de la posicion
final anterior. Para las primeras frecuencias, a pesar de que se impone una posicion en
x < L/2, la posicion de equilibrio igualmente es Xf > L/2. La lınea solida marca la curva
de resonancia en presencia de la esfera magnetica. Inserto: Histograma de las posiciones
iniciales xi/L.
Una posibilidad es que la posicion incial de esfera Xi esta muy lejos de la posicion
de resonancia, y por lo tanto la presion acustica P0 es baja. La esfera se encuentra
en una posicion donde la fuerza de radiacion es menor que la friccion y no logra
mover a la partıcula.
La segunda posibilidad es que la posicion inicial Xi se encuentra muy cerca de la
posicion de equilibrio de la fuerza de radiacion. En esta caso la fuerza de radiacion
tampoco logra vencer la friccion, o logra mover apenas a la esfera, pero por una
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 66
Figura 3.7: Posiciones de equilibrio de la esfera libre superpuestas a un grafico de reso-
nancia obtenido con una esfera magnetica. La escala de color corresponde a la presion, en
Pa. La lınea solida marca el maximo de la presion, es decir la frecuencia de resonancia,
para cada posicion. Los cırculos (◦) corresponden al promedio sobre diez realizaciones de
la posicion de equilibrio de una esfera de poliamida. Se observa una tendencia hacia la
autoadaptacion.
razon diferente: A pesar que la presion acustica es grande, la fuerza de radiacion es
pequena por encontrarse cerca del mınimo.
Para evitar que la primera situacion afecte las mediciones, las ocasiones en que
la posicion de equilibrio Xf es igual a la posicion inicial Xi y la presion es pequena
(menor de 10 Pa) no fueron consideradas en el promedio, pero manteniendo en
consideracion aquellas mediciones en que la esfera no se desplaza con respecto a su
posicion inicial, pero la presion es alta (mayor a 10 Pa).
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 67
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1 1.020
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f/f0
N/N
t
Figura 3.8: Fraccion de mediciones consideradas sobre el numero total de mediciones
(N/Nt) para el promedio de la fig. 3.7. Se observa que en general no es necesario descartar
mas que algunas mediciones.
En la fig. 3.8 vemos que la cantidad de mediciones descartadas es pequena, y
esto es porque se logro un mecanismo relativamente eficiente para vencer el roce y
hacer reproducible el experimento.
3.6. Efectos observados a presiones mayores
Buscando obtener una fuerza de mayor magnitud se intento aumentar al maximo
la aceleracion del sistema utilizando un vibrador de mayor potencia (Bruel & Kjaer
modelo 4824), lograndose presiones del orden de 1 kPa. Sin embargo el compor-
tamiento a presiones mayores difiere completamente del mostrado aca. La esfera se
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 68
desplaza constantemente hasta el extremo de la cavidad cercano al vibrador, y no
se observa la tendencia a la autoadaptacion.
Incluso se observo cualitativamente que al aumentar la presion el modo acustico
se modifica drasticamente. Al introducir arena dentro de la cavidad vacıa y excitar
el primer modo resonante a 10 Pa, la arena se acumula en el centro de la cavidad,
como es de esperar, en el nodo de presion. Pero a 1 kPa la arena se acumula en los
extremos de la cavidad (fig. 3.9).
(a)
(b)
Figura 3.9: Visualizacion del primer modo acustico a diferentes presiones con arena. La
frecuencia de la onda acustica es f = 1720 Hz. La arena es de color blanco. En (a) la
presion acustica es cercana a los 10 Pa, y la arena se acumula en el centro de la cavidad.
En (b) la presion acustica es cercana a 1 kPa, y la arena se acumula en los extremos de la
cavidad.
Una de las hipotesis para explicar esto, es la aparicion de fenomenos nolineales
a presiones grandes, que sin embargo no afectan los modos acusticos, pues las reso-
nancias no se ven desplazadas a 1 kPa. Una posibilidad es la aparicion de flujos de
aire convectivos y estacionarios en el interior de la cavidad. Estos flujos estacionarios
han sido observados en otros experimentos de acustica, y en los tubos de Kundt [7],
[10], [23], [24], y se deben a la existencia de viscosidad.
La formacion de un flujo constante dentro de una cavidad cuasiunidimensio-
nal fue estudiado por Rayleigh [23], quien encontro la velocidad longitudinal u y
transversal v dentro de la cavidad causadas por estas corrientes:
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 69
u =P 2
0 sin 2kx
8ρ2c3
(e−βy(4 sin βy + 2 cos βy + e−βy) +
3
2− 9
2
(h/2− 1)2
(h/2)2
)(3.6)
v =2kP 2
0 cos 2kx
8βρ2c3
(e−βy(sin βy + 3 cos βy +
1
2e−βy) +
3
2β(h/2− y)
−3
2β
(h/2− y)3
(h/2)2
)(3.7)
donde β−1 =√
2ν/ω ∼ 10−4 m es el ancho de la capa lımite, con ν ≈ 1,5 · 10−5
m2/s, la viscosidad cinematica del aire; h = 6,8 mm es la dimension transversal de
la cavidad e y es la coordenada trasversal, medida desde el extremo inferior.
En la fig. 3.10 se presenta la corriente causada por una onda acustica para los
primeros tres modos. Se puede observar que en los nodos de velocidad acustica, la
corriente se dirige radialmente desde los bordes de la cavidad hacia en centro de la
cavidad, y en los nodos de presion acustica lo hace en sentido contrario. La corriente
longitudinal, es decir en el eje x, tiene un cambio de signo entre los bordes de la
cavidad y el centro. Existe una banda en torno a las paredes en que la corriente
se dirige desde los nodos de presion hacia los nodos de velocidad acustica. Por el
contrario, la corriente principal, en el centro de la cavidad, se dirige en sentido
opuesto, desde los nodos de velocidad a los nodos de presion acustica. Se puede
calcular el tamano de la corriente principal [23], obteniendose y∗ = h/2(1 −√3/3)
para una cavidad de seccion transversal cuadrada, y r = h/2√
2 para una de seccion
transversal circular.
La existencia de una corriente de esta naturaleza a presiones grandes explica
cualitativamente lo observado con la arena. En ausencia de corrientes, la arena, que
no perturba la onda estacionaria, simplemente se tiende a acumular en los equili-
brios estables de la fuerza de radiacion, que corresponden a los nodos de presion.
Al aparecer la corriente acustica, que tampoco es perturbada por la presencia de
la arena, los granos de arena son arrastrados hacia los nodos de velocidad por la
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 70
(a)0.2 0.4 0.6 0.8 1
x�L0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y�h
(b)0.2 0.4 0.6 0.8 1
x�L0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y�h
(c)0.2 0.4 0.6 0.8 1
x�L0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y�h
Figura 3.10: Corrientes acusticas convectivas dentro de una cavidad acustica ec. (3.6) y
(3.7) para la frecuencia fundamental (a), el segundo (b) y el tercer (c) modo acustico.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 71
corriente exterior.
Si bien esto puede explicar los cambios observados en el comportamiento de la
arena, no esta claro cual es la accion sobre la esfera. La presencia de la esfera modifica
el modo acustico, y es esperable que tambien modifique la corriente acustica, por lo
tanto no es directa la aplicacion de (3.6) y (3.7) en este caso.
Obviando esta ultima observacion, calculemos la fuerza de arrastre sobre la esfera
en presencia de una corriente (3.6) y (3.7), considerando el valor de la corriente en
el centro de la cavidad (y = h/2 en (3.6)), y suponiendo que el flujo es laminar [13]:
FDRAG = 6πRηu ≈ 9
8
πRηP 20
ρ2c3sin 2kx (3.8)
que resulta proporcional al cuadrado de la presion, al igual que la fuerza de radiacion.
En esta expresion η ≈ 1,8 · 10−5 kg/ms es la viscosidad dinamica del aire. A una
presion de 10 Pa, la fuerza de arrastre (3.8) es del orden de 10−13 N, mucho menor
que la fuerza de radiacion acustica (fig. 3.11).
La expresion de la fuerza de arrastre (3.8) es valida para numeros de Reynolds
pequenos, Re << 1. En este caso podemos definir un numero de Reynolds acustico
Re = U0λ/ν, donde U0 es la amplitud de velocidad acustica y se relaciona con la
amplitud de presion acustica: P0 = ρcU0, ν es la viscosidad cinematica del aire y
λ ≈ 2L es la longitud de onda acustica. Entonces:
Re =2LP0
νρc(3.9)
Para una presion de 10 Pa, se tiene Re ≈ 300, por lo tanto es mas adecuado usar
la expresion de arrastre para Reynolds altos [13], [1]:
FTURB =C
2ρAU2 (3.10)
donde C es una constante que depende de Re, pero para valores de 1 << Re < 105
se mantiene cercana a la unidad. A es el area transversal de la esfera, A = πR2 y
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 72
20 50 100 200 500 1000P0
1.´ 10-14
1.´ 10-11
1.´ 10-8
0.00001
F HNL
Figura 3.11: Fuerza de radiacion de Gor’kov (3.1) (lınea delgada) y fuerza de arrastre
laminar (3.8) (lınea gruesa) en funcion de la presion. La fuerza de radiacion de Gor’kov es
siempre varios ordenes de magnitud mayor que la fuerza de arrastre. La fuerza de radiacion
obtenida en el laboratorio es mayor que la fuerza de Gor’kov.
U es el valor de la corriente lejos de la esfera (en el infinito). Utilizando el valor de
u(x, y = h/2) en (3.6), pues kR << 1, tenemos:
FTURB =9π
512
CR2
(ρc2)3P 4
0 sin2 2kx (3.11)
Vemos en la fig. 3.12 que a partir de una cierta presion la fuerza de arrastre
turbulento (3.11) domina sobre la fuerza de radiacion (3.1).
Es importante mantener en mente que esta es una estimacion muy gruesa, pues,
como ya se dijo, la corriente estacionaria dada por (3.6) y (3.7) se ve afectada por
la presencia de la esfera, y por lo tanto los valores de la fuerza de arrastre (3.11)
mostrada en la fig. 3.12 pueden ser totalmente diferentes, al igual como ocurre con la
fuerza de radiacion observada en el laboratorio, que es varios ordenes mayor que la
fuerza de Gor’kov (3.1). Si en realidad son los efectos de la corriente acustica lo que
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 73
20000 50000 100000. 200000. 500000. 1.´ 106P00.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100F HNL
Figura 3.12: Fuerza de radiacion de Gor’kov (3.1) (lınea delgada) y fuerza de arrastre tur-
bulento (3.11) (lınea gruesa). Existe una presion a la cual la fuerza de arrastre turbulento
es mayor que la fuerza de radiacion.
se observa a presiones mayores, es esperable que la presion a la cual este fenomeno
domine por sobre la radiacion sea de 1 kPa aproximadamente, y no los 5 MPa que
se muestran en la fig. 3.12.
3.7. Expresiones de la fuerza de radiacion para
los diferentes modelos
A continuacion veremos como corresponden las posiciones de equilibrio obser-
vadas con las predicciones de la teorıa existente, y con los calculos realizados a
partir de los modelos explicados en las secciones 2.3 y 2.4.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 74
200 500 1000 2000 5000 10000P0
1.´ 10-11
1.´ 10-10
1.´ 10-9
1.´ 10-8
1.´ 10-7
1.´ 10-6F HNL
Figura 3.13: Fuerza de arrastre laminar (3.8) (lınea delgada) y fuerza de arrastre turbu-
lento (3.11) (lınea gruesa).
3.7.1. Fuerza de Gor’kov
De acuerdo a la teorıa existente para la fuerza de radiacion acustica sobre una
esfera [9] explicada en la Seccion 1.3.1, existen tres posiciones de equilibrio para el
primer modo, pero solo una es estable. Debido a que la diferencia de densidades y
de compresibilidades entre el aire y la esfera, la fuerza (1.41) vale esencialmente:
Fz =5π
6
P 20
ρc2kR3 sin 2kx (3.12)
La posicion de equilibrio estable, X0, para la frecuencia fundamental de la cavi-
dad vacıa f0, se encuentra en su centro. Si excitamos una onda de frecuencia distinta
a la f0, la posicion de equilibrio estable se mantendra en el nodo de presion, es decir
X0 =π
2k=
c
4f(3.13)
La razon por la cual las posiciones de equilibrio se desplazan hacia un extremo
del tubo se debe probablemente, como ya se dijo, a la asimetrıa de las condiciones de
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 75
0.2 0.4 0.6 0.8 1x�L
-1.5´ 10-9
-1´ 10-9
-5´ 10-10
5´ 10-10
1´ 10-9
1.5´ 10-9
F HNL
Figura 3.14: Fuerza de radiacion de Gor’kov para la frecuencia fundamental de la cavidad
vacıa. Las posiciones de equilibrio x = 0 y x = L son inestables, y la posicion x = L/2 es
un equilibrio estable.
borde. Sin embargo, este modelo indica un corrimiento de las posiciones de equilibrio
en sentido contrario al medido (fig. 3.17).
3.7.2. Tubo con zona de diferentes caracterısticas acusticas
Considerando el calculo realizado para un tubo con una region de diferentes
caracterısticas acustica en la seccion 2.3, se calculo la fuerza de radiacion sobre la
zona de distinta densidad e impedancia acustica, integrando el tensor de densidad
de momentum Πij = pδij + vivj a segundo orden (1.37) sobre las caras que estan en
contacto con el fluido externo.
Recordemos de (2.10):
p(x, t) = Aei(k0x−ωt) + Be−i(k0x+ωt) x < X0−R
p(x, t) = Cei(k1x−ωt) + De−i(k1x+ωt) X0−R < x < X0 + R
p(x, t) = Eei(k0x−ωt) + Fe−i(k0x+ωt) x > X0 + R (3.14)
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 76
Al integrar Πij, obtenemos:
Fx =S
ρc2(|A|2 + |B|2 − |E|2 − |F|2) (3.15)
y por lo tanto la fuerza depende de las condiciones de borde en la cavidad. Las
constantes A, B, E, F dependen de la posicion de la inclusion X0.
Para imponer las condiciones de borde supongamos que la onda acustica se excita
haciendo vibrar la cavidad acustica como se vio en la seccion 1.2.2 con aceleracion
constante Γ. La forma de la fuerza obtenida de esta manera es antisimetrica con
respecto al centro de la cavidad y por lo tanto solo posee una posicion de equilibrio
en x = L/2, que es estable. Para frecuencias menores a las que corresponden al rango
del primer modo, la fuerza es de pequena magnitud (fig. 3.15(a)). Para frecuencias
en el rango del primer modo, la fuerza posee dos picos estrechos, que divergen al
suponer que la absorcion acustica es nula, que se desplazan hacia los extremos de
la cavidad a medida que la frecuencia aumenta (3.15(b), 3.15(c)). A frecuencias
mayores que las que corresponden al rango del primer modo, al fuerza nuevamente
es de pequena magnitud (fig. 3.15(d)).
3.7.3. Tubo de seccion variable
Al igual que en el caso anterior, podemos integrar Πij para el calculo realizado
en la seccion 2.4, donde habıamos encontrado que la presion es (2.28) y (2.32):
p(x, t) = Aei(kx−ωt) + Be−i(kx+ωt) x < X0 −R
p(x, t) =
(C
π√
σ − 1arctan
( x−X0
R√
σ − 1
)+ D
)e−iωt X0 −R < x < X0 + R
p(x, t) = Eei(kx−ωt) + Fe−i(kx+ωt) x > X0 + R (3.16)
Se obtiene para la fuerza:
Fx =2π
ρc2CD
(1 +
σ√σ − 1
arctan( 1√
σ − 1
))(3.17)
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 77
(a)
0.2 0.4 0.6 0.8 1X �L
-3´ 10-6
-2´ 10-6
-1´ 10-6
1´ 10-6
2´ 10-6
3´ 10-6F HNL 1500 Hz
(b)
0.2 0.4 0.6 0.8 1X �L
-0.002
-0.001
0.001
0.002
F HNL 1550 Hz
(c)
0.2 0.4 0.6 0.8 1X �L
-0.01
-0.005
0.005
0.01F HNL 1650 Hz
(d)
0.2 0.4 0.6 0.8 1X �L
-1.5´ 10-6
-1´ 10-6
-5´ 10-7
5´ 10-7
1´ 10-6
1.5´ 10-6
F HNL 1900 Hz
Figura 3.15: Fuerza de radiacion acustica calculada con el modelo de cavidad llena con
una zona de diferentes caracterısticas acusticas. (a)1500 Hz, (b) 1550 Hz, (c) 1650 Hz, (d)
1900 Hz. (a) y (d) corresponden a frecuencias fuera del rango del primer modo.
La dependencia en X0 se encuentra en los coeficientes C y D, que estan deter-
minados por las condiciones de continuidad de la presion y velocidad acustica, y por
las condiciones de borde en los extremos del tubo.
Nuevamente, suponiendo que la cavidad se fuerza a oscilar con aceleracion cons-
tante Γ, y considerando condiciones de borde rıgida en los extremos de la cavidad, se
calculo la fuerza sobre la partıcula, encontrandose que la posicion de equilibrio tiene
una forma similar a la del modelo anterior, pero no es simetrica con respecto al centro
de la cavidad (fig. 3.16). De manera similar a lo que ocurre con el modelo anterior,
a frecuencias fuera del rango del primer modo acustico, la magnitud de la fuerza
es pequena (fig. 3.16(a), 3.16(d)), mientras que dentro del rango de frecuencias del
primer modo acustico, la fuerza posee dos picos que divergen y se desplazan hacia
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 78
los extremos de la cavidad (fig. 3.16(b), 3.16(c)). En este caso, al igual que en el
caso de la fuerza de Gor’kov, el cero de la fuerza se desplaza levemente hacia un
extremo de la cavidad (fig. 3.17).
(a)
0.02 0.04 0.06 0.08x�L
-0.000015
-0.00001
-5´ 10-6
5´ 10-6
0.00001
0.000015
0.00002
F HNL 1500 Hz
(b)
0.02 0.04 0.06 0.08x�L
-0.01
-0.005
0.005
0.01F HNL 1650 Hz
(c)
0.02 0.04 0.06 0.08x�L
-0.01
-0.005
0.005
0.01F HNL 1750 Hz
(d)
0.02 0.04 0.06 0.08x�L
-0.00003
-0.00002
-0.00001
0.00001
0.00002
0.00003
0.00004
F HNL 1900 Hz
Figura 3.16: Fuerza de radiacion acustica calculada con el modelo de cavidad cuya seccion
transversal es variable. (a)1500 Hz, (b) 1650 Hz, (c) 1750 Hz, (d) 1900 Hz. (a) y (d)
corresponden a frecuencias fuera del rango del primer modo acustico.
Podemos ver que las mediciones no coinciden con las predicciones teoricas. En el
caso de la fuerza de Gor’kov, esto es esperable, pues, como se ha mencionado varias
veces, este modelo no considera la perturbacion que causa la presencia de la esfera
en el modo acustica. El segundo modelo, si bien considera la presencia de un objeto
de caracterısticas acusticas constrastantes con las del fluido, se vio en la Seccion
2.3 que no explica bien las mediciones pues requiere del ajuste de un parametro
lejano al valor real. El tercer modelo, si bien considera la presencia de la esfera y la
modificacion del modo acustico, no considera el scattering de la esfera.
CAPITULO 3. AUTOADAPTACION DE UNA PARTICULA 79
0.9 0.92 0.94 0.96 0.98 1.02 1.04f � f0
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x�L
Figura 3.17: Posiciones de equilibrio para los diferentes modelos: la lınea segmentada
corresponde al Modelo de Leung, la lınea punteada y segmentada corresponde al modelo
para tubo de seccion variable, y la lınea continua corresponde al modelo de tubo con
seccion de diferentes caracterısticas acusticas. Los puntos corresponden a las mediciones.
Capıtulo 4
Interacciones entre partıculas
debido a la fuerza de radiacion
acustica
Una pregunta natural que surge al estudiar la fuerza de radiacion acustica sobre
una esfera es la posible existencia de interacciones entre partıculas si introducimos
mas de una dentro de la cavidad acustica. En tal caso la onda acustica en los
alrededores de una esfera esta formada no solo por la onda incidente y la onda que
scatterea ella misma, sino tambien por la onda proveniente del scattering en el resto
de las partıculas. Este problema ha sido ya planteado para el caso de burbujas [20],
donde se conoce como Fuerza de Bjerknes Primaria a la fuerza de radiacion acustica
inducida en la burbuja por la onda incidente, y como Fuerza de Bjerknes Secundaria
a la fuerza de radiacion acustica en la burbuja provocada por el scattering de la onda
incidente en el resto de las burbujas que existen en el fluido.
En el caso de las burbujas, la fuerza de Bjerknes secundaria puede ser de gran
magnitud, comparable a la fuerza de Bjerknes primaria, pues, debido a la gran
80
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 81
compresibilidad de las burbujas, el scattering de sonido por las burbujas es grande,
incluso se pueden excitar resonancias nolineales de las oscilaciones radiales de las
burbujas [2], lo que hace el scattering muy intenso.
En cambio, en el caso de un objeto solido en un medio gaseoso infinito en
presencia de una onda estacionaria, el scattering es debil con respecto a la onda
acustica estacionaria. Recordemos que el scattering de una onda plana pinc(x, t) =
P0 cos kx sin ωt por una partıcula esferica libre de densidad ρ0 y compresibilidad
β0 = 1/ρ0c20, en una expansion multipolar, esta dado por (1.38) y (1.39) en sus dos
primeros ordenes:
psc(~r, t) = (psc1(~r) + psc2(~r)) sin ωt (4.1)
donde:
psc1(~r) = −P0R3(1− β0
β
)ω2 cos kx
3c2r
psc2(~r) = −P0R3( ρ0 − ρ
2ρ0 + ρ
)ω sin kx cos θ
cr2(4.2)
Debido a la gran compresibilidad de las burbujas de aire con respecto a un medio
lıquido, el scattering monopolar puede ser muy importante, pues se tiene β0 >> β.
No ocurre lo mismo para un scattereador solido en un medio gaseoso, donde se tiene
β0 << β. En efecto, si kR << 1, la onda scattereada por el objeto solido, es de
amplitud mucho menor que la onda estacionaria en la cavidad, incluso en la vecindad
del objeto. Tomando r ≈ R, y en la misma direccion de la onda incidente (x), se
tiene:
∣∣∣psc1
pinc
∣∣∣ ∼ (kR)2
3
(1− β0
β
)
∣∣∣psc2
pinc
∣∣∣ ∼ kR( ρ0 − ρ
2ρ0 + ρ
)(4.3)
Como β0 << β y ρ0 >> ρ en el caso de un scattereador solido en un medio
gaseoso, tendremos que en las vecindades del scattereador, donde la amplitud de
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 82
la onda scattereada es maxima, psc es kR veces menor que la onda incidente y de
acuerdo a esto las interacciones entre partıculas, mediadas por la fuerza de radiacion
acustica, estarıan totalmente encubiertas por la fuerza provocada por la onda inci-
dente. En tal caso, uno esperarıa observar que cada partıcula es independientemente
llevada por la fuerza de radiacion debido a la onda estacionaria (equivalente a la
Fuerza de Bjerknes Principal) hacia una posicion de equilibrio, llegando ambas a
una posicion cercana, y en caso de colisionar, esperarıamos que actuen como una
sola partıcula. En cambio, observamos que no siempre ambas partıculas se desplazan
hacia la misma posicion de equilibrio. Dependiendo de las posiciones iniciales de las
partıculas, en ocasiones estas se mueven hacia posiciones de equilibrio diferentes. La
existencia de varias posiciones de equilibrio no se observa en ausencia de la segunda
partıcula.
En otras ocasiones se observa que ambas esferas se mueven hacia la misma posi-
cion de equilibrio, pero el movimiento no es sobreamortiguado como veıamos en el
caso de una sola partıcula, sino que las partıculas oscilan en torno a la posicion de
equilibrio. Creemos que estas oscilaciones, mas bien ruidosas, se deben a que existe
una interaccion acustica entre las partıculas diferente a la que corresponde a esferas
duras.
La diferencia entre las observaciones y lo predicho por la teorıa de scattering libre
(4.2), se debe a que la hipotesis de que la esfera se encuentre en un espacio infinito,
no es valida en este caso. La esfera se encuentra cercana, e incluso en contacto,
con las paredes de la cavidad. La presencia de una esfera en la cavidad modifica de
manera mas complicada la onda acustica que lo que propone la teorıa de scattering
(4.2).
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 83
4.1. Interacciones entre dos partıculas
Para estudiar la existencia de interacciones entre las partıculas debido a la fuerza
de radiacion acustica, se comenzo por lo mas simple, que es introducir dos partıculas
en la cavidad (fig. 4.1).
12
3
4
Figura 4.1: Montaje cuasiunidimensional. 1: Vibrador. 2: Cavidad. 3: Microfono. 4: Ace-
lerometro. Se introducen dos partıculas en la cavidad.
Se introducen dos esferas identicas, de poliamida, de masa 0,15 g y diametro 6,35
mm (1/4”). Utilizando un vibrador (Bruel & Kjaer modelo Mini-Shaker 4810) conec-
tado mediante un amplificador de potencia al analizador de espectro (SRS modelo
SR780), se excita la onda acustica haciendo vibrar la cavidad con aceleracion Γ ≈ 4 g
aproximadamente constante (tal como se explico anteriormente, el calentamiento del
vibrador hace que, a voltaje constante, su resistencia aumente y por lo tanto que su
respuesta disminuya en un pequeno porcentaje).
Con la camara CCD (Samsung modelo SDC-313) se toma una serie de 4500
imagenes de la cavidad a una tasa de 29 imagenes por segundo. El analisis posterior
de las imagenes con ImageJ permite rastrear la trayectoria de cada partıcula, incluso
cuando estas se encuentran en contacto.
La medicion simultanea de la presion y aceleracion mientras se obtiene la secuen-
cia de imagenes resulto difıcil. Con el objetivo de tomar la mayor cantidad posible
de imagenes por segundo, se debio mantener en la memoria interna del analizador
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 84
de espectro los valores de la presion y de la aceleracion, medidas a una tasa de una
medicion por segundo, y luego traspasar estos datos, mediante Labview al computa-
dor. Como resultado se obtuvo la posicion de las esferas, al mismo tiempo que la
aceleracion de la cavidad y la presion acustica, pero con muchos mas datos para la
posicion de la esfera que para la presion y la aceleracion. Veremos mas adelante que
esto no impide lograr un buen seguimiento de la evolucion de estas cantidades.
Se excito la onda acustica a frecuencias entre 1350 y 1550 Hz, con un paso de
50 Hz, realizandose quince repeticiones para cada frecuencia. Se decidio utilizar
frecuencias menores que en el Capıtulo 3 debido a que sabemos que el corrimiento
de las frecuencias de resonancia es mayor mientras mayor es el volumen excluıdo
(ver Capıtulo 2, seccion 2.1), y por lo tanto, estando ambas partıculas con su centro
de masas en el centro de la cavidad, la frecuencia de resonancia fundamental es
menor que 1550 Hz, como era el caso con una unica esfera. En este caso no se
realizo un estudio sistematico de los modos, pero se realizo un barrido con dos
esferas magneticas unidas con su centro de masa en el centro de la cavidad (fig.
4.2), encontrandose que la frecuencia de resonancia es f0 = 1447 Hz. De acuerdo a
lo observado en el Capıtulo 2, donde la mınima frecuencia de resonancia del primer
modo se obtenıa con la esfera en el centro de la cavidad (fig. 2.3), se espera que esta
sea la mınima frecuencia del primer modo, y por lo tanto las frecuencias 1350 y 1400
Hz se encuentran fuera del modo fundamental. A pesar de ello la fuerza de radiacion
en estos casos no es pequena, como lo demuestra el hecho de que igualmente se
observan movimientos de las esferas.
Al poner dos esferas dentro de la cavidad, observamos que en general existe
un perıodo transiente en que cada partıcula se desplaza independientemente una
distancia considerable (fig. 4.3, 4.5). Al termino del perıodo transiente, viene un
perıodo estacionario, en que las partıculas quedan en posiciones estables alrededor
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 85
1000 1200 1447 1600 1800 20000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Frecuencia (Hz)
Pre
sion
(P
a)
Figura 4.2: Barrido en frecuencia de la cavidad con dos esferas magneticas unidas en el
centro en la cavidad. El maximo corresponde probablemente a la frecuencia mınima de
resonancia de la cavidad con dos partıculas.
de las cuales oscilan. El perıodo transiente tiene una duracion promedio de entre un
octavo y un cuarto de las secuencias de imagenes, es decir, cerca de 20–40 segundos,
pero su duracion es variable y depende de las condiciones iniciales. Es en este perıodo
donde la presion acustica muestra una mayor variacion, mientras que en perıodo
estacionario alcanza un valor relativamente estable, que solo cambia debido a la
disminucion de la aceleracion o por grandes variaciones de las posiciones de las
partıculas.
Utilizando las posiciones de cada partıcula, se calcula la distancia relativa r12 =
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 86
|x1 − x2| y la posicion del centro de masas R12 = (x1 + x2)/2 de las partıculas.
Se observa en las fig. 4.3 y 4.4 una realizacion particular a 1400 Hz. En este
caso ambas partıculas tienden a mantenerse en contacto, pero, a diferencia de lo
que un esperarıa si no hubiese interacciones, las partıculas no se mantienen siempre
en contacto, sino que la distancia relativa oscila ruidosamente entre r12 = 2R y
r12 ≈ 3,8R. En la fig. 4.7(a) se muestra un histograma de probabilidad para r12 en
esta realizacion. Se observa que el valor mas probable para r12 no es 2R, sino que
un poco mayor.
En las fig. 4.5 y 4.6 se muestra otra realizacion a la misma frecuencia, pero con
diferentes condiciones iniciales. En este caso las partıculas no se tocan en ningun
momento. Una de ellas se mantiene practicamente estatica, pero la otra partıcula
realiza una trayectoria con grandes oscilaciones. En la fig. 4.7(b) Vemos un histogra-
ma de r12 en esta realizacion. Se observa que el maximo es ancho en relacion con
la realizacion anterior, incluso parecen haber varios maximos de probabilidad. La
presion no alcanza un valor estacionario, sino que varıa entre 5 y 6,5 Pa debido a
las oscilaciones de una de las esferas. Se observa una gran correlacion entre la posi-
cion de una de las esferas y la presion acustica. Esto se debe a que la frecuencia
de excitacion, f = 1400 Hz es cercana a la mınima frecuencia de resonancia del
primer modo, f0 = 1447 Hz (fig. 4.2), pero como la posicion de la esfera modifica la
frecuencia de resonancia, al moverse modifica la frecuencia de resonancia, haciendo
que la frecuencia de la onda acustica este mas o menos cerce de la resonancia, y por
lo tanto aumentano o disminuyendo la presion acustica.
En el caso general, como vimos, pasado el perıodo transiente el sistema llega a
un perıodo estacionario, en que las esferas muestran diferentes comportamientos,
pero en general alcanzan una posicion de equilibrio alrededor de la cual realizan un
movimiento aleatorio de pequena o mediana amplitud. Este movimiento es dominado
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 87
20 40 60 80 100 120 140 1600
0.1
0.2
0.3
0.4
t (s)
x 1/L, x
2/L
20 40 60 80 100 120 140 1602
4
6
8
10
Pre
sion
(P
a)
50 100 150 2004.22
4.24
4.26
4.28
4.3
t (s)
Ace
lera
cion
(g)
Figura 4.3: Evolucion temporal de la posicion de las partıculas (lıneas continuas) dentro de
la cavidad y de la presion acustica (lınea punteada) en presencia de una onda de 1400 Hz. Se
observa la existencia de un perıodo transiente, en el cual las partıculas se mueven hacia una
posicion de equilibrio y la presion disminuye hasta un valor aproximadamente constante.
Inserto: La aceleracion diminuye levemente debido al calentamiento del vibrador.
20 40 60 80 100 120 1400
2
4
t (s)
r 12/R
20 40 60 80 100 120 1400
5
10
Pre
sion
(P
a)
Figura 4.4: Evolucion temporal de la distancia entre las dos partıculas (lınea continua) de
la fig. 4.3 y de la presion acustica (lınea punteada). A pesar de que las partıculas tienden
a mantenerse juntas (en este caso partıcular), existen variaciones sobre r12 = 2R. Inserto:
Imagen de la cavidad con la configuracion de las partıculas. La distancia entre sus centros
de masa es r12 = 3R.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 88
20 40 60 80 100 120 140 1600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t (s)
x 1/L, x
2/L
20 40 60 80 100 120 140 1602.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
Pre
sion
(P
a)
Figura 4.5: Evolucion temporal de la posicion de las partıculas (lıneas continua) y de la
presion acustica (lınea punteada). En esta realizacion una de las partıculas quedo en una
posicion muy estable, mientras la otra oscilo fuertemente, debido a lo cual la presion varıa
mucho.
20 40 60 80 100 120 14018
20
22
24
26
28
30
t (s)
r 12/R
20 40 60 80 100 120 1402
3
4
5
6
7
8
Pre
sion
(P
a)
Figura 4.6: Evolucion temporal de la distancia entre las dos partıculas (lınea continua) de
la fig. 4.5 y de la presion acustica (lınea punteada) en presencia de una onda de 1400 Hz.
En este caso las partıculas no tienden a mantenerse en contacto, sino a una gran distancia.
Inserto: Imagen de la cavidad con la configuracion de las partıculas. La distancia entre sus
centros de masa es r12 = 25R.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 89
(a)1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.05
0.1
0.15
0.2
r12
/R
P(r
12)
(b)21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0
0.02
0.04
0.06
r12
/R
Figura 4.7: Histogramas de probabilidad para r12 para las dos realizaciones a 1400 Hz
mostradas en fig. 4.4, 4.3 y en fig. 4.6, 4.5.
por variaciones de la fuerza de radiacion acustica sobre cada esfera, sin que podamos
encontrar en su espectro ninguna frecuencia dominante. En la fig. 4.8 se muestra,
en escala bilogarıtmica, el valor absoluto de los componentes de una FFT a r12 de
la realizacion mostrada en la fig. 4.4. Se observa que, salvo una zona constante a
bajas frecuencias, la amplitud de las componentes de Fourier decae con una ley de
potencia f−x, donde x = 2,88± 0,07 ≈ 3.
Descartando el perıodo transiente de cada secuencia de imagenes y considerando
las quince realizaciones para cada frecuencia, se realizaron histogramas de probabili-
dad para la distancia relativa r12 y para el centro de masas R12 para cada frecuencia,
encontrandose que existen valores de r12 y R12, que ocurren con mayor probabilidad.
Las fig. 4.9 y 4.10 muestran los histogramas de probabilidad para r12 y R12 a
1300 Hz. Para realizar los histogramas se consideraron las posiciones de las partıculas
durante el perıodo estacionario (cerca de 4000 puntos) de cada una de las 15 rea-
lizaciones a 1300 Hz. El primer maximo en la fig. 4.9 corresponde a ambas partıculas
en contacto r12 = 2R. El tercer maximo corresponde a las partıculas casi en los
extremos opuestos de la cavidad, es decir r12 = L − 2R ≈ 29,5R. En el caso del
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 90
10−3
10−2
10−1
100
101
102
10−8
10−6
10−4
10−2
100
102
104
Frecuencia (Hz)
Esp
ectr
o de
pot
enci
a de
r12
(t)
Figura 4.8: Amplitud de las componentes en frecuencia de r12(t) de la fig. 4.4. Las oscila-
ciones no tienen ninguna componente dominante en frecuencia. El espectro de potencia
tiene una zona plana hasta f ≈ 0,3 Hz (lınea punteada) y para frecuencias mayores a 0,3
Hz, el espectro decae siguiendo una ley en potencia f−2,88 (lınea solida)
maximo central, ambas partıculas quedan a una cierta distancia una de otra, con
r12 ≈ 16,5R.
En la fig. 4.10 se observa algo similar para el centro de masas de las partıculas
R12. El primer maximo corresponden a ambas partıculas en contacto con el centro de
masa ubicado en uno de los extremos de la cavidad R12 ≈ 2R = 0,0635L. El tercer
maximo, en R12 ≈ 0,5L, corresponde a ambas partıculas en extremos opuestos de la
cavidad, y el centro de masas en su centro. El maximo central corresponde al centro
de masas ubicado en una posicion intermedia. Vemos que existe una correspondencia
entre los maximos de r12 de la fig. 4.9 y los maximo de R12 de la fig. 4.10 al graficar
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 91
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
r12
/R
P(r
12)
Figura 4.9: Histograma de probabilidad para la distancia relativa r12 considerando 4500
datos × 15 realizaciones a 1300 Hz. Se observan tres maximos: r12 ≈ 2R, r12 ≈ 16,5R
y r12 ≈ 29R. La lınea solida corresponde a un ajuste gaussiano de los maximos cuya
probabilidad es mayor a 0,1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
R12
/L
P(R
12)
Figura 4.10: Histograma de probabilidad para la posicion del centro de masas R12 con-
siderando 15 realizaciones a 1300 Hz. Se observan tres maximos: R12 ≈ 0,06L, R12 ≈ 0,3L
y R12 ≈ 0,5L. La lınea solida corresponde a un ajuste gaussiano de los maximos cuya
probabilidad es mayor a 0,1.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 92
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
⟨ r12
⟩ /R
⟨ R12
⟩ /L
Figura 4.11: (o) Valores de equilibrio de 〈R12〉 en funcion de los valores de equilibrio
de 〈r12〉 para 1300 Hz. Se forman agrupamientos que muestran una correlacion entre la
posicion de equilibrio del centro de masas de las esferas y la distancia relativa entre ellas.
(+) Valores iniciales de R12 y r12. Se intento que las condiciones iniciales llenaran el espacio
de fases. El area encerrada por el triangulo representa los pares (r12, R12) realizables.
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r12
/R
R12
/L
Figura 4.12: Trayectorias en el espacio de fases R12 vs r12 para los estados estacionarios
de las 15 realizaciones a 1300 Hz. Cada punto representa un valor de (r12, R12). Los puntos
forman nubes en las posiciones de equilibrio.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 93
el valor promedio de 〈R12〉 versus el valor promedio de 〈r12〉 del perıodo estacionario
de cada realizacion (fig. 4.11), o al graficar todos los valores de R12 versus r12 de
los estados estacionarios de cada realizacion (fig. 4.12). Las nubes de puntos indican
que existe una correlacion entre la posicion donde se ubica el centro de masas de las
partıculas y la distancia a la que estas quedan. Esto quiere decir que existen regiones
de la cavidad en que las partıculas principalmente se tienden a juntar, formando una
especie de dipolo, con ambas esferas en contacto o muy cercanas, y regiones en que
la interaccion hace que las partıculas no llegan a juntarse y se mantengan a una
mayor distancia. En la misma fig. 4.11 se muestran ademas las condiciones iniciales.
Notemos que la region disponible del espacio de fases esta formado por el area
encerrada por un triangulo de vertices (R12, r12) = (2R, 2R), (L, 2R) y (L−2R,L/2),
pues si ambas partıculas se encuentran en contacto (r12 = 2R), el centro de masas
se puede ubicar en casi cualquier lugar de la cavidad (R12 = 2R . . . L − 2R), pero
si las esferas se encuentran en extremos opuestos de la cavidad (r12 = L − 2R), el
centro de masas solo puede encontrarse en el centro de la cavidad (R12 = L/2).
(a)−5 0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
r12
/R
P(r
12)
(b)−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
R12
/L
P(R
12)
Figura 4.13: Histograma de probabilidad para la distancia relativa r12 (a) y para la
posicion del centro de masas (b) para 1500 Hz. En ambos se observa un unico maximo:
r12 ≈ 2R y Rr12 ≈ 0,7L.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 94
Un caso especial resulto ser lo que ocurre a 1500 Hz. A esta frecuencia solo se
observa una configuracion final, en la cual ambas partıculas quedan en contacto y
su centro de masas se ubica en R12 ≈ 0,7L (fig. 4.13). Las trayectorias parecen ser
menos fluctuantes a esta frecuencia que a las demas frecuencias utilizadas. En la
fig. 4.14 vemos que bajo todas las condiciones iniciales utilizadas, ambas partıculas
se desplazan hacia la misma posicion, hasta quedar en contacto y con su centro de
masa en una region alrededor de R12 = 0,7R.
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
x 1/L, x
2/L
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
10
20
30
t (s)
r 12/R
Figura 4.14: Evolucion de R12 (arriba) y r12 (abajo) para las diferentes realizaciones a
1500 Hz. Se observa que para todas las condiciones iniciales r12 tiende a 2R y R12 a un
valor cercano a 0,7R.
Si una de las dos esferas llega antes que la otra a la posicion de equilibrio, se
detiene hasta que al llegar la segunda esfera la desplaza, quedando el centro de masas
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 95
en la posicion que inicialmente ocupaba la primera esfera (fig. 4.15(a)). Si ambas
esferas se juntan antes de llegar a tal posicion, en adelante se desplazan en conjunto
hacia la posicion de equilibrio. (fig. 4.15(b))
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
x 1/L, x
2/L
(a)
0 20 40 60 80 100 120 140 1600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (s)
x 1/L, x
2/L
(b)
colisión
colisión
Figura 4.15: Trayectorias de las partıculas (x1(t) y x2(t)) para dos realizaciones particu-
lares a 1500 Hz. En (a) una de las partıculas llega a la posicion de equilibrio y se mantiene
ahı hasta que la segunda partıcula choca con ella. Despues de la colision ambas partıculas
se mueven juntas hasta que el centro de masa se ubica en la posicion que inicialmente
ocupaba la primera partıcula. En (b) ambas partıculas colisionan antes de llegar cerca de
la posicion de equilibrio. Despues de la colision ambas esferas se mueven juntas.
Para cada frecuencia se ajustaron curvas gaussianas a los histogramas de proba-
bilidad, considerando los maximos cuya probabilidad es mayor a 0,1. Debido a que la
cantidad de realizaciones es pequena, los histogramas no son suficientemente suaves
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 96
y los ajustes no son muy buenos. Esto se debe a que se tienen pocas configuraciones
iniciales diferentes, y algunas realizaciones, especialmente aquellas poco fluctuantes,
aportan un maximo muy estrecho y muy grande. En las fig. 4.16 y 4.17 se muestran
los resultados de estos ajustes para R12 y r12 en funcion de la frecuencia.
Las fig. 4.17 4.16 resumen las observaciones. A todas las frecuencias se observa,
bajo ciertas configuraciones iniciales, que las partıculas se mantienen a una distancia
r12 ≈ 2R, formando un par que oscila. La formacion de pares entre las partıculas es
estable para todas las frecuencias utilizadas. La posicion de equilibrio del centro de
masa de este par se ubica en diferentes posiciones, dependiendo de la frecuencia de
la onda acustica. Bajo diferentes condiciones iniciales, existen otras configuraciones
de equilibrio con las esferas separadas, en que la distancia entre las partıculas se
mantiene estable alrededor de un cierto valor. En general las partıculas no quedan
estaticas en una posicion, sino que oscilan en torno a sus posiciones de equilibrio.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 97
1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 16000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Frecuencia (Hz)
R12
/R
Figura 4.16: Valores de maxima probabilidad para la posicion del centro de masas de dos
partıculas en funcion de la frecuencia.
1250 1300 1350 1400 1450 1500 1550 16000
5
10
15
20
25
30
Frecuencia (Hz)
r 12/R
Figura 4.17: Valores de maxima probabilidad para la distancia relativa entre dos partıculas
en funcion de la frecuencia.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 98
4.2. Interacciones entre cuatro partıculas
El siguiente paso en el estudio de interacciones es agregar mas partıculas a la
cavidad. En experimentos exploratorios con una onda acustica de frecuencia 1350 Hz
con cuatro partıculas en el interior de la cavidad observamos la formacion de dipolos
que parecıan interactuar repulsivamente entre sı, como el caso que se muestra en la
fig. 4.18.
Figura 4.18: Formacion de dipolos al introducir cuatro partıculas en la cavidad. Se define
d como la distancia entre los centros de los dipolos, y r como la distancia promedio entre
las partıculas que forman los pares.
En las fig. 4.19, 4.20 vemos histogramas de probabilidad para la distancia media
entre las partıculas de los dipolos, r, y la distancia entre los centros de los dipolos,
d para una realizacion en que se introdujeron cuatro esferas identicas a la cavidad
y se observo la formacion de dos dipolos, separados entre sı, al excitar una onda
acustica de 1350 Hz. El histograma de probabilidad de r (fig. 4.19) muestra un
maximo en r = 2R, que indica que las partıculas se tienden a mantener en contacto,
o muy cercanas. Por otro lado, el histograma de probabilidad de d (fig. 4.20) tiene
un maximo en d > 4R, lo cual indica que los pares tienden a mantenerse separados.
Debido a estas observaciones se decidio realizar un estudio mas sistematico con
cuatro partıculas en la cavidad, en lugar de tres. El procedimiento es identico al
explicado para dos partıculas. Esta vez se introducen cuatro esferas de poliamida,
identicas, de diametro 6,35 mm y masa 0,15 g, en la cavidad de la fig. 4.1. Se excita
una onda acustica y se obtienen secuencias de 4500 imagenes de la cavidad a una
tasa de 29 imagenes por segundo, es decir secuencias de cerca de 2,5 minutos de
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 99
1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
r/R
P(r
)
Figura 4.19: Distancia media entre las partıculas que forman un dipolo. Se observa una
maximo en r = 2R. Se utilizo una frecuencia de 1350 Hz.
duracion. Analizando las imagenes con ImageJ se obtienen las trayectorias de las
partıculas. Simultaneamente, tal como se comento en la seccion 4.1, se puede medir
la presion acustica y la aceleracion del sistema a una tasa de una medicion por
segundo, obteniendose la evolucion temporal de estas cantidades.
Se excito la onda acustica a frecuencias de 1350, 1450 y 1550 Hz. Se tomaron 10
realizaciones a 1350 Hz, 10 realizaciones a 1450 Hz y 20 realizaciones a 1550 Hz. En
este caso las frecuencias se encuentran dentro del rango del primer modo, pues un
barrido con las cuatro esferas unidas y centradas en la cavidad (fig. 4.21) muestra
que la frecuencia de resonancia del modo fundamental es f0 = 1311 Hz.
Nuevamente observamos que las trayectorias poseen un perıodo transiente, en
que las partıculas realizan grandes desplazamientos, y posteriormente un perıodo
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 100
4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
d/R
P(d
)
Figura 4.20: Distancia entre los dipolos. Se observa un maximo a d ≈ 4,7R
estacionario, donde solo se observan variaciones, en ocasiones de gran amplitud, de
las posiciones de las partıculas, en torno a sus posiciones de equilibrio. Se observo que
en varios casos las partıculas no alcanzan a llegar a un estado estacionario durante
el tiempo que se daba a cada realizacion (2,5 minutos), tales realizaciones no se
utilizaron en los analisis. En la fig. 4.22 vemos las trayectorias de las partıculas en
una de estas realizaciones. En el perıodo estacionario las partıculas se organizan en
distintas configuraciones, dependiendo de las condiciones iniciales. En las fig. 4.23,
4.24, 4.25 vemos estos diferentes comportamientos. La formacion de dipolos (fig.
4.18) no resulto ser un comportamiento que se repita frecuentemente. Los graficos
corresponden a cinco realizaciones especıficas a diferentes frecuencias. Vemos ademas
el comportamiento de la presion acustica.
Dividimos las realizaciones de acuerdo a las configuraciones estacionarias en que
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 101
1000 1100 1311 1500 1700 1900 20000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Frecuencia (Hz)
Pre
sion
(P
a)
Figura 4.21: Barrido en frecuencia de la cavidad con cuatro esferas magneticas unidas en
el centro en la cavidad. El maximo corresponde probablemente a la frecuencia mınima de
resonancia de la cavidad con cuatro partıculas (ver seccion 2.1).
se ubican las partıculas, que son las que se muestran en las fig. 4.23, 4.24, 4.25:
1. Cuatro partıculas juntas (fig. 4.23(a)): Las cuatro partıculas se agrupan, en
contacto, o casi en contacto, unas con otras. Esta configuracion ocurre a las tres
frecuencias utilizadas. En general no se observa una mayor, o menor separacion
entre una y otra partıcula adyacente. La posicion del centro de masa es cercana
al centro de la cavidad en el caso de 1400 Hz, pero no lo es en el caso de 1350
Hz y 1550 Hz.
2. Dos pares (fig. 4.23(b)): En este caso, que solo se ha observado a 1350 Hz,
posiblemente por no tener un numero grande de realizaciones, las partıculas
forman dos pares, separados entre sı. En este caso se incluye la configuracion de
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 102
0 50 100 1500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x i/L
0 50 100 15020
25
30
35
40
45
t (s)
Pre
sion
(P
a)Figura 4.22: Realizacion particular a 1450 Hz en que las partıculas no alcanzan una con-
figuracion estacionaria. Las lıneas continuas representan las trayectorias de las partıculas.
Una de las partıculas aun se desplaza en una direccion al terminar la medicion. La lınea
punteada representa la presion acustica.
dipolos mostrada en el inicio de esta seccion (fig. 4.18). Las trayectorias de las
partıculas pueden tener muchas oscilaciones o ser muy planas. La separacion
entre las partıculas que forman los pares es aproximadamente 2R, mientras
que la separacion entre los pares puede llegar a ser varias veces el tamano de
los pares.
3. Trıo y una partıcula separada del resto (fig. 4.24(a) y (b)): Esta configuracion
se ha observado a las tres frecuencias utilizadas. En este caso tres partıculas
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 103
(a)
0 50 100 1500
0.5
1
t (s)
x i/L
0 50 100 15010
20
30
Pre
sión
(P
a)
(b)
0 50 100 1500
0.5
1
t (s)
x i/L
0 50 100 1500
20
40P
resi
ón (
Pa)
Figura 4.23: Lıneas continuas: Trayectorias realizadas por las partıculas. Inserto en cada
grafico se muestra una imagen de la cavidad con las configuraciones finales en las que se
ordenan las partıculas. La lınea punteada representa la presion acustica. (a) Realizacion
particular a 1450 Hz en que las cuatro partıculas se agrupan. (b) Realizacion particular a
1350 Hz en que se forman dos pares.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 104
(a)
0 50 100 1500
0.5
1
t (s)
x i/L
0 50 100 1500
20
40
Pre
sión
(P
a)
(b)
0 50 100 1500
0.5
1
t (s)
x i/L
0 50 100 15010
20
30P
resi
ón (
Pa)
Figura 4.24: Lıneas continuas: Trayectorias realizadas por las partıculas. Inserto en cada
grafico se muestra una imagen de la cavidad con las configuraciones finales en las que
se ordenan las partıculas. La lınea punteada corresponde a la presion acustica. (a) y (b)
Realizaciones particulares a 1350 Hz y 1550 Hz respectivamente en que tres partıculas se
agrupan y la restante se mantiene alejada.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 105
0 50 100 150
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
x i/L
0 50 100 150
16
17
18
19
20
21
22
t (s)
Pre
sión
(P
a)
Escalón
Figura 4.25: Lıneas continuas: Trayectorias realizadas por las partıculas. Inserto se mues-
tra una imagen de la cavidad con la configuracion final en que se ordenan las partıculas. La
presion acustica se muestra en la lınea punteada. Se muestra una realizacion particular a
1450 Hz en que dos partıculas se agrupan en un par central y las dos partıculas restantes se
ubican a ambos lados del par central. La trayectoria escalonada se discutira mas adelante.
tienden a estar casi en contacto, o cercanas y la tercera separada del trıo. La
distancia promedio de las partıculas del trıo es alrededor de 2R, mientras que
la distancia entre el centro de masas del trıo y la tercera partıcula puede tomar
valores entre 5R y 15R. Es comun que se ubiquen en posiciones diferentes, es
decir, se puede dar tanto la configuracion en que el trıo se ubica mas cercano al
vibrador (x = 0) (fig. 4.24(a)), y la partıcula excluıda mas alejada del vibrador,
o viceversa (fig. 4.24(b)). Se observa que en ocasiones las trayectorias de las
tres partıculas son muy ruidosas, mientras que la partıculas excluıda tiene
una posicion muy estable, y tambien se observa el caso contrario, en que la
partıcula sola tiene grandes fluctuaciones en torno a su posicion de equilibrio,
y el trıo se mantiene estatico.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 106
4. Par central y dos partıculas aisladas (fig. 4.25): Ocurre en ocasiones que dos
partıculas se agrupan formando un par, y las otras dos partıculas se ubican a
cada lado del par central. En general la distancia entre el par y las partıculas
laterales no es muy grande, cercana a 6R, mientras que las partıculas que
forman el par se ubican en contacto o muy cercanas. Esta configuracion no se
observo a 1550 Hz.
Para comparar las diferentes configuraciones, definimos dos variables: por un
lado llamemos r a la distancia promedio entre las partıculas. Si las cuatro partıculas
se ubican en contacto unas con otras, se tiene el valor mınimo de r = 2R = 6,35
mm. En cambio, si las partıculas se separan al maximo en la cavidad, manteniendo
una misma separacion entre dos partıculas consecutivas, se tiene el valor maximo de
r = (L− 2R)/3 = 31,2 mm.
Por otro lado, llamemos RG a la posicion del centro de masas de las cuatro
partıculas. RG puede tomar cualquier valor entre RG = 4R = 12,7 mm y RG =
L − 4R = 87,3 mm, que son los valores de RG cuando todas las partıculas se
encuentran en contacto en uno u otro extremo de la cavidad.
Utilizando estas dos cantidades, graficamos RG en funcion de r, en un diagrama
de fases para cada frecuencia, considerando todas las realizaciones a cada frecuencia.
En las fig. 4.26–4.28 vemos las trayectorias en el espacio de fases RG vs r para las
diferentes frecuencias. Se excluyeron algunas de las realizaciones, pues no llegaron a
un estado estacionario. La configuracion de cuatro partıculas juntas ocupa una region
bien definida del espacio de fases, donde la distancia media final entre partıculas es
pequena, r < 3R y la posicion del centro de masas puede encontrarse en diferentes
sitios. Las trayectorias a 1350 Hz son menos oscilatorias que en los otros casos (fig.
4.26). Debido a que se tienen mas realizaciones a 1550 Hz, las trayectorias que
incluyen los perıodos transientes, llenan mas densamente el espacio de fases, pero
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 107
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
RG
/L
r/R
Figura 4.26: Trayectorias en el diagrama de fases a 1350 Hz. Se excluyeron dos realiza-
ciones que no alcanzaron un estado estacionario. Las estrellas corresponden a los puntos
iniciales de las trayectorias. Los cırculos corresponden a los puntos finales de las trayecto-
rias.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
RG
/L
r/R
Figura 4.27: Trayectorias en el diagrama de fases a 1450 Hz. Se excluyo una realizacion
que no alcanzo a un estado estacionario. Las estrellas corresponden a los puntos iniciales
de las trayectorias. Los cırculos corresponden a los puntos finales de las trayectorias.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 108
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
RG
/L
r/R
Figura 4.28: Trayectorias en el diagrama de fases a 1550 Hz. Se exluyeron ocho realiza-
ciones que no alcanzaron un estado estacionario. Las estrellas corresponden a los puntos
iniciales de las trayectorias. Los cırculos corresponden a los puntos finales de las trayecto-
rias.
las posiciones finales ocupan regiones definidas.
En la fig. 4.25 y en la fig 4.29 se observa que, en ocasiones, la trayectoria de
algunas de las partıculas es escalonada. Esto muestra que existe metaestabilidad, es
decir que, luego de mantenerse por algun tiempo en una posicion que parece estable,
la partıcula salta a otra posicion estable. El tiempo de la transicion es pequeno,
variando entre menos de un segundo y cerca de 5 segundos. Este comportamiento se
observa comunmente, a todas las frecuencias utilizadas, sin que hasta el momento
tengamos una explicacion del fenomeno.
Vemos en el cuadro 4.1 que los desplazamientos escalonados parecen ser multiplos
del diametro 2R de las esferas, salvo el escalon mas pequeno de la fig. 4.29 (1).
Notemos que en este caso (escalon (1) de la fig. 4.29) la partıcula queda en contacto
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 109
0 50 100 1500
0.5
1
x i/L
0 50 100 1500.6
0.8
1
t (s)
Pre
sion
(P
a)
Escalon
(2)
(3)
(1)
Figura 4.29: Trayectoria a 1350 Hz en que se observan trayectorias escalonadas de dos
partıculas.
N ∆x (mm) ∆x/R ∆x/L ∆x/λ
1 1,03 0,3 0,01 0,004
2 12,9 4,1 0,13 0,05
3 6,2 2 0,06 0,03
Cuadro 4.1: Valores de los desplazamientos escalonados en la trayectoria mostrada en fig.
4.29 y su relacion con el radio de las esferas R = 3,175 mm, con la longitud de la cavidad
L = 100 mm y con la longitud de onda a 1350 Hz λ = 250 mm.
con la pared, y no puede desplazarse mas en esa direccion.
En un intento por caracterizar y diferenciar los diferentes comportamientos defi-
nimos una temperatura de las fluctuaciones, T = 〈v2〉, donde v es la velocidad de las
partıculas y 〈〉 representa una promedio sobre las cuatro partıculas. Las trayectorias
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 110
de las partıculas son fluctuantes, pero ademas existe un ruido adicional, que tiene
relacion con variaciones de la iluminacion, o leves vibraciones de la camara al tomar
las secuencias de imagenes. Para evitar que este ruido aparezca en la temperatura,
se suavizaron previamente las curvas de las partıculas. De esta manera, para una
trayectoria particular, la temperatura refleja efectivamente las fluctuaciones de las
posiciones de las partıculas (fig. 4.30).
0 50 100 1500
2
4x 10
−3
x i/L
0 50 100 1500
20
40
t (s)
Pre
sión
(P
a)
0 50 100 1500
2
4
6
8x 10
−12
t (s)
T (
m2 /s
2 )
Figura 4.30: Arriba: Trayectoria de las partıculas en una realizacion a 1550. Abajo: Tem-
peratura asociada a la realizacion.
Nuevamente, no encontramos frecuencias dominantes en el espectro de Fourier
de la temperatura. Al promediar la temperatura media de todas las realizaciones
a una frecuencia, se observa que la temperatura aumenta con la frecuencia, lo que
confirma la observacion de que las trayectorias a 1350 Hz son menos fluctuantes.
Por otro lado, se observo que la temperatura no es un factor importante al definir
en que configuracion se ordenan las partıculas.
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 111
1300 1350 1400 1450 1500 1550 16000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5x 10
−6
Frecuencia (Hz)
Tem
pera
tura
(m
2 /s2 )
Figura 4.31: Temperatura promedio sobre todas las realizaciones a cada frecuencia. La
temperatura aumenta con la frecuencia.
En resumen, al introducir cuatro partıculas en la cavidad y excitar una onda
acustica entre 1350 y 1550 Hz, se observan diferentes comportamientos. Existen
varias, al menos cuatro, configuraciones estables distintas. El ordenamiento de las
partıculas en una u otra configuracion parece depender de las posiciones iniciales de
las partıculas, pero aun no esta claro el criterio que diferencia entre uno y otro com-
portamiento. Existe metaestabilidad en las posiciones de las partıculas de algunas
configuraciones, lo que se observa en la existencia de trayectorias escalonadas, en que
las partıculas se mantienen en una posicion estable por algun tiempo y luego, en un
intervalo de tiempo pequeno, cambian a otra posicion estable. Se definio una tempe-
ratura asociada a las agitaciones de las partıculas, y se observo que las trayectorias
CAPITULO 4. INTERACCIONES ACUSTICAS 112
son mas fluctuantes mientras mayor es la frecuencia de excitacion acustica, pero no
se observaron diferencias entre las temperatura de las diferentes configuraciones de
equilibrio.
Capıtulo 5
Conclusiones
En esta Tesis se ha estudiado el efecto de la inclusion de partıculas solidas al
interior de una cavidad acustica cuasiunidimensional llena con aire. El tamano de
las partıculas es comparable a la seccion transversal de la cavidad y por lo tanto la
presencia de una partıcula en una posicion fija afecta fuertemente las caraterısticas
acusticas de la cavidad, modificando los modos acusticos y por lo tanto las frecuen-
cias de resonancia de la cavidad en funcion de la posicion de la partıcula. En este
trabajo se han medido estos corrimientos, se proponen dos modelos para explicarlos,
y se comparan con la teorıa existente. En el primer modelo propuesto la partıcu-
la solo se considera diferente del resto de la cavidad por sus propiedades acusticas
(densidad e impedancia acustica). Los resultados experimentales no corresponden a
la teorıa, a menos de ajustar un parametro a un valor mucho menor que el real. El
segundo modelo propuesto, supone a la partıcula como una zona impenetrable para
la onda acustica, y por lo tanto reduce el area trasversal de la cavidad disponible
para la onda acustica. Este modelo entrega buenos resultados para explicar los co-
rrimientos de las resonancias. Se concluye, por lo tanto, que el principal mecanismo
que actua en este fenomeno, es el volumen excluıdo por la partıcula en la cavidad
113
CAPITULO 5. CONCLUSIONES 114
acustica.
Se estudio tambien el efecto de la onda acustica sobre las partıculas dentro de la
cavidad, para frecuencias dentro del primer modo acustico. La fuerza de radiacion
acustica ejercida por una onda de sonido de frecuencia fija, sobre una unica partıcula
en el interior de la cavidad, que es de magnitud muy pequena y similar a la fuerza
de roce entre la partıcula y la cavidad, provoca un desplazamiento de la partıcula,
hacia una posicion cercana a la que hace resonante a la onda de sonido. Ni la teorıa
existente ni los modelos utilizados para explicar los corrimientos de las resonancias
son capaces de explicar las posiciones de equilibrio medidas. Estas muestran que la
fuerza de radiacion acustica no es simetrica con respecto al centro de la cavidad.
Para el primer modo, las posiciones de equilibrio se encuentran en la mitad de la
cavidad mas lejana a la fuente de sonido. Esto se debe probablemente a la asımetrıa
de las condiciones de borde y a la presencia de atenuacion.
Se cree que la partıcula se mueve, en efecto, por la fuerza de radiacion acustica,
pues los movimientos solo existen en las cercanıas de la frecuencia de resonancia de
la cavidad, donde la presion acustica es mayor. La teorıa existente no explica las
posiciones de equilibrio observadas debido, principalmente, a que utiliza dos hipotesis
que no son validas en este caso: que el tamano de la partıcula es muy pequeno
en relacion con las dimensiones transversales de la cavidad, y que la partıcula se
encuentra muy lejos de las paredes de la cavidad. De esta manera se desprecian dos
efectos importantes: La modificacion del modo acustico por la presencia de la esfera,
y el scattering en las paredes de la onda scattereada por la partıcula.
Se indica que el comportamiento a presiones mayores (∼ 1000 Pa) es diferente
al comportamiento observado a ∼ 10 Pa, y se infiere la existencia de corrientes
inducidas por la onda acustica, cuyo efecto deberıa ser estudiado a futuro. Es posible
que este efecto, aun a presiones medias (∼ 10 Pa), compita con la fuerza de radiacion
CAPITULO 5. CONCLUSIONES 115
acustica, y que a eso se deba el hecho de que las posiciones de equilibrio no calcen
exactamente con aquellas que hacen resonante al sistema.
Por ultimo, se estudio el efecto de la fuerza de radiacion acustica sobre las
partıculas al incluir dos, o cuatro, esferas identicas en la cavidad. Se observaron
comportamientos que demuestran la existencia de interacciones acusticas entre las
partıculas. Estas interacciones pueden estar provocadas por la fuerza de radiacion
acustica debido al scattering en las partıculas.
Se observa la existencia de metaestabilidad en las posiciones de las partıculas
cuando se introducen cuatro de esferas en la cavidad. Las partıculas se mantienen
en una posicion de equilibrio por algun tiempo y luego cambian rapidamente a otra
posicion de equilibrio. Comunmente, esto desplazamientos son multiplos enteros del
diametro de las esferas. El cambio entre uno y otro estado metaestable se debe a
variaciones ruidosas de la fuerza de radiacion acustica.
A futuro se debera estudiar mas sistematicamente el comportamiento de una
partıcula libre de moverse en la cavidad acustica bajo ondas de sonido de mayor
potencia, con el fin de determinar la existencia de corrientes acusticas a las presiones
en que creemos que aparecen (∼ 1000 Pa) y su efecto sobre la partıcula. Se espera
determinar un valor de la presion en la cual se produce la transicion entre el intervalo
de presiones bajas donde domina el efecto de la presion de radiacion y la region de
presiones altas en que domina el efecto de las corrientes acusticas. De esta manera
esperamos comprender los comportamientos observados a presiones mayores, que
difieren a los que ocurren a presiones menores.
En relacion al estudio de interacciones acusticas entre partıculas, tanto con dos,
cuatro o un numero cualquiera de partıculas en la cavidad, la existencia de tran-
sientes largos hace necesaria la obtencion de secuencias mas largas de las que actual-
mente se tienen. Es posible que realizaciones mas largas demuestren la existencia de
CAPITULO 5. CONCLUSIONES 116
oscilaciones de frecuencia definida, que en este momento no podemos detectar, ya
sea porque son de perıodo muy largo, o porque el ruido tiene una importancia muy
predominante. Por otro lado en secuencias mas largas se podrıa observar, en caso
de existir, oscilaciones de las esferas entre una y otra posicion metaestable, lo cual
ademas puede dar una idea sobre la profundidad de los pozos de potencial asocia-
dos a cada estado estable. Por ultimo, es deseable ademas tener mas realizaciones,
para contar con una cantidad considerable de condiciones iniciales. De esta manera,
al tener una mejor estadıstica, se espera encontrar un criterio en las condiciones
iniciales (o en otras condiciones) que determinen la realizacion de una u otra confi-
guracion en la que se ordenan las partıculas, o por lo menos definir la probabilidad
de ocurrencia de cada configuracion.
Finalmente, se espera a futuro lograr un sistema eficiente de desgasamiento de
agua, con el objetivo de estudiar la fuerza de radiacion acustica en burbujas de
tamano controlado, en un medio lıquido. Se espera con esto minimizar los efectos
de la friccion con las paredes y aumentar los efectos de la fuerza de radiacion, ya
que las burbujas tienen una inercia despreciable. Ademas, debido a que las burbu-
jas scatterean sonido con mayor intensidad que una esfera solida, creemos que las
interacciones acusticas entre burbujas deben ser estudiadas en profundidad.
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