efecto zeman

Modelos atomicos precuanticos 47

4.4. Algunos exitos de la teorıa SWI.

Desarrollaremos en este apartado la teorıa de SWI alrededor del problema del atomo de hidrogeno

en dos direcciones distintas; primero veremos como el tratamiento relativista del problema per-

mite explicar la estructura fina que ya Michelson en 1891 habia descubierto experimentalmente.

En segundo lugar veremos como es posible describir la interaccion con un campo magnetico

externo dentro del marco de esta teorıa. Los resultados teoricos que obtenemos para estos pro-

blemas, junto con la explicacion del efecto Stark, son los exitos mas destacables de la teorıa

SWI.

En mecanica cuantica relativista no se conoce un hamiltoniano que describa exactamente el pro-

blema de dos cuerpos en interaccion electromagnetica. Sin embargo, una excelente aproximacion

a la energıa del movimiento relativo de un electron de masa reducida µ y velocidad v en el

campo de un nucleo de carga Z|e|, que incorpora la parte mas importante de las correcciones

relativistas, y ademas tiene el lımite no–relativista adecuada es

E = µc2

1√

1 − v2

c2

− 1

− Ze2

r. (4.39)

(Notese que basicamente se ha incluido la variacion de la masa con la velocidad que produce

descripcion relativista.)

Escribamos la ecuacion (4.39) en la forma

−(νc2)2v2

c2

1 − v2

c2

=

(

E − Ze2

r

)2

− 2µc2(

E − Ze2

r

)

. (4.40)

Para resolver el problema nos situamos en el plano de movimiento y trabajamos en coordenadas

polares (r, ψ). Los momentos conjugados correspondientes a (r, ψ) son

pr =µr

√

1 − v2

c2

,

pψ =µr2ψ√

1 − v2

c2

. (4.41)

(Recordar que µ/√

1 − v2

c2es la masa relativista de la partıcula a velocidad v.) Entonces como

v2 = r2 + r2ψ2 podemos escribir

p2r +

p2ψ

r2= 2µ

(

E − Ze2

r

)

− 1

c2

(

E − Ze2

r

)2

. (4.42)

La ecuaciones de las trayectorias corresponden a orbitas elıpticas con un movimiento de prece-

sion. La ecuacion de Hamilton–Jacobi se obtiene haciendo las sustituciones pr = ∂W∂r

y pψ = ∂W∂ψ

,

a partir de aquı construimos las correspondientes variables de accion

48 4 Modelos atomicos precuanticos

Jψ = 2πL,

Jr =

∮

dr

√

E

(

2µ+E

c2

)

+2Ze2

r

(

µ+E

c2

)

+1

r2

(

Z2e4

c2− L2

)

, (4.43)

donde L es el momento angular. La integral puede calcularse analıticamente obteniendose

Jr = −2π

√

L2 − Z2e4

c2−

Ze2[

µ+ Ec2

]

√

−E[

2µ+ Ec2

]

. (4.44)

Las reglas de cuantificacion de SWI nos dicen que Jr = nrh, Jψ = nψh con nr ≥ 1 y nψ ≥ 1

enteros. Por tanto tenemos que L = nψh y de la ultima ecuacion obtenemos

Zα

√

√

√

√

1(

1 + Eµc2

)2− 1 = nr +

√

n2ψ − Z2α2. (4.45)

Podemos finalmente despejar la energıa en terminos de los numeros cuanticos obteniendo

En,nψ = −µ(Zαc)2

2n2

[

1 +α2Z2

n

(

1

nψ− 3

4n

)]

, (4.46)

donde n = nr + nψ es el numero cuantico principal.

Esta formula permitio explicar la estructura fina del hidrogeno y esta de acuerdo con las medidas

realizadas por Pashen en 1916 sobre el helio ionizado. Hay que decir, no obstantes, que el

acuerdo con los datos experimentales es fortuito pues la formula correcta se obtiene utilizando

una ecuacion de ondas relativista, ecuacion de Dirac, en la que se tiene en cuenta el spin del

electron. En esta solucion exacta se llega a una formula identica a (4.46) pero donde nψ se

sustituye por j + 1/2, siendo j el momento angular total del electron, y cuyos valores posibles

son j = 12, . . . , 2n−1

2. Tampoco son correctas las multiplicidades de los niveles de energıa que

predice el modelo de SWI.

4.4.1. Efecto Zeeman.

En 1897 Zeeman descubrio que la presencia de campos magneticos externos influıa en el proceso

de emision de la radiacion electromagnetica por atomos al observar que en un campo magneti-

co de 32 kgauss la lınea azul del Cadmio (λ = 4800 A) daba origen a un triplete de lıneas

equidistantes, coincidiendo la posicion de la lınea central con la emitida en ausencia de campo.

Inmediatamente se observo el mismo efecto en algunas otras lıneas del Zinc y del Cadmio y se

encontro que la separacion entre lıneas era proporcional a la intensidad del campo magnetico e

independiente del atomo.


Este efecto conocido como Efecto Zeeman normal fue explicado clasicamente por Lorentz en

1897. A finales de 1897, Preston observo que habıa casos en los que el desdoblamiento era

distinto del observado por Zeeman. Experiencias posteriores mostraron que cada una de las rayas

espectrales de la estructura fina daban origen a multipletes de muy variada multiplicidad cuando

lo sometıan a la accion de un campo magnetico, y se observo que en muchos casos la distancia

entre ellas no solo dependia del campo magnetico sino tambien de la raya espectral considerada.

Este efecto, actualmente conocido como efecto Zeeman anomalo no podia ser explicado por la

teorıa de Lorentz.

Con la teorıa de SWI se puede abordar este problema, lo haremos sobre el atomo de hidrogeno.

Supongamos, entonces, que aplicamos sobre el atomo un campo magnetico uniforme ~B dirigido

segun el eje–z. El potencial vector podemos escribirlo como ~A = 12

(

~B × ~r)

(recuerdese que

~B = ∇ × ~A). Despreciando la energıa de interaccion del campo magnetico con el nucleo, dada

la gran diferencia de masa con la del electron, podemos escribir el lagrangiano como

L =µ

2

(

r2 + r2θ2 + r2 sin2(θ)φ2)

+Ze2

r+eB

2cr2φ sin2(θ). (4.47)

A partir de aquı se obtienen los correspondientes momentos conjugados

pr = µr, pθ = µr2θ, pφ = µr2 sin2(θ)

(

φ+eB

2µc

)

. (4.48)

El hamiltoniano del problema es

H =1

2µ

(

p2r +

1

r2p2θ +

1

r2 sin2(θ)p2φ

)

− Ze2

r− eB

2µcpφ +

e2B2

8µc2r2 sin2(θ). (4.49)

Teniendo en cuenta que r ≈ aB/Z y |pφ| ≈ h, la razon entre los modulos del ultimo termino y el

penultimo es ≈ |e|Ba2B/(4hcZ

2) del orden 10−10B/Z2 gauss, como en la practica B ≤ 105 gauss

el ultimo termino es despreciable. Notese que esto no ocurre siempre, por ejemplo en el problema

cuantico riguroso dado que el momento angular puede ser cero el ultimo termino puede ser el

dominante, en este caso se manifiesta directamente lo que conocemos como diamagnetismo en

atomos. A parte de esto, en las condiciones indicadas la correspondiente ecuacion de Hamilton–

Jacobi en una aproximacion razonable es

1

2µ

[

(

∂W

∂r

)2

+1

r2

(

∂W

∂θ

)2

+1

r2 sin2(θ)

(

∂W

∂φ

)2

− eB

c

(

∂W

∂φ

)

]

− Ze2

r= E. (4.50)

Esta ecuacion es separable y las variables de accion son

Jr = −2πL+πZe2

√2µ

√

−E − eB2µc

Lz,

Jθ = 2π (L− |Lz|) , (4.51)

Jφ = 2π|Lz |. (4.52)


De las reglas de SWI obtenemos la formula de cuantificacion para este sistema

En,m = −1

2µ (Zαc)2

1

n2− eB

2mechm. (4.53)

En el ultimo termino se ha sustituido µ por me, que no modifica el acuerdo con el experimento

en la aproximacion utilizadas.

El ultimo sumando representa la correccion a la energıa del estado por la interaccion magnetica es

clasicamente esperable. Efectivamente el electron por su movimiento orbital posee un momento

magnetico ~µ = e2mec

~Λ son Λ = ~r × (me~v), ~Λ no es necesariamente el momento angular orbital,

~L = ~r × ~p, sino que cuando hay presente un campo electromagnetico la relacion es, ~Λ = ~L −e2c

[

r2 ~B − (~r · ~B)~r]

(vease cualquier libro de electromagnetismo Panofsky, Jackson por ejemplo).

En esta relacion esta tanto el termino lineal como el cuadratico que hemos despreciado en el

hamiltoniano, ası el primer sumando contribuye solo al momento magnetico permanente de la

orbita dado que la proyeccion de ~L sobre ~B es constante, mientras que el segundo sumando lineal

en la intensidad de campo magnetico da origen a un momento magnetico inducido. Cuando ~L 6= 0

el momento magnetico inducido es despreciable frente al permanente y la energıa de interaccion

queda perfectamente aproximada por −(

e2mec

)

~L · ~B lo que justifica la aproximacion realizada.

Resaltemos como la inmersion del atomo en un campo magnetico da sentido a la cuantificacion

espacial de ~L ya que ~B fija una direccion del espacio respecto de la cual los planos de las orbitas

adquieren inclinaciones cuantificadas. De hecho los planos no permanecen inmoviles sino que ~L

precesiona alrededor de ~B con una frecuencia angular ωL = |e|B2mec

(frecuencia de Lamour).

La frecuencia de la radiacion emitida en una transicion desde el estado (n,m) al (n′,m′) es

νnm;n′m′ =µ(Zαc)2

4πh

(

1

n′2− 1

n2

)

+eB

4πmec

(

m′ −m)

. (4.54)

Entonces (m′ −m) puede ser un entero cualquiera comprendido entre −(n + n′) y (n + n′), en

la practica las transiciones solo son importante si (m′ −m) = 0,±1. La razon es que las lıneas

mas intensas del espectro corresponden a transiciones dipolares electricas para las que se puede

demostrar que existe esta regla de seleccion, explicando de esta forma el efecto Zeeman normal.

Notese por ultimo que el termino correctivo en la ecuacion (4.53) no contiene h y coincide con

la expresion clasica obtenida por Lorentz a no ser por la presencia de m.

4.4.2. Experimento de Stern-Gerlach: Spin del electron.

Aunque el efecto Zeeman demuestra de forma indirecta la existencia de una cuantificacion espa-

cial, SternGerlach en 1922 lograron experimentalmente mostrar directamente la realidad de la

cuantificacion espacial, el experimento se esquematiza en la Figura 4.4: Se produce un haz coli-

mado de atomos de Plata evaporando este metal en un horno, este haz en la direccion Ox entra


N

SP

O

x

z

y

Figura 4.4: Esquema del montaje experimental para realizar el experimento de Stern-Gerlach.

en un recipiente de alto vacio en el que se le somete a un campo magnetico ~B no homogeneo,

dirigido a lo largo del eje Oz con un gradiente grande en esta direccion.

Los atomos de Plata son paramagneticos, esto es poseen un momento magnetico permanente ~µ.

Entonces en un campo magnetico ~B el centro de masas del atomo esta sometido a una fuerza

~F = ~∇( ~B · ~µ), dirigida a lo largo del eje-z y de valor µz∂zB. Si L es la longitud atravesada por

el haz bajo la accion del campo magnetico y K la energıa cinetica de los atomos, un atomo se

habra desviado ligeramente de la direccion Ox un angulo θ =(

µzL2K

)

∂zB, siendo la deflaccion

del haz proporcional a µz.

Si µz pudiera tomar cualquier valor en el intervalo [−µ, µ] los impactos de los atomos sobre una

pantalla, tras pasar por el campo magnetico formarıan una mancha alargada en la direccion Oz,

sin embargo en el experimento se observan dos manchas que coinciden con los bordes superior

e inferior de lo que clasicamente se esperarıa. Entonces como la teorıa de la suceptibilidad

magnetica de Langevin establece que el momento magnetico permanente ~µ debe ser proporcional

al momento angular ~L, se muestra que la proyeccion del momento angular sobre la direccion Oz

esta cuantificada. Esto demuestra directamente la cuantificacion de µz.

Ahora bien si el momento angular fuese un multiplo entero nψ de h, como indican las reglas

de cuantificacion de SWI, siempre aparecerıa un numero impar de rayas (2nψ + 1) y nunca un

numero par como en el caso de la Plata, esta contradiccion solo puede ser superada mediante la

introduccion del spin (El spin se incluira posteriormente).

El mayor exito de la teorıa de Bohr y del modelo de SWI es la descripcion de los estados

estacionarios discretos, de forma que un sistema al transitar de uno de estos estados a otro de

mas baja energıa, emite un foton que justifica la existencia de espectros discretos de emision.

Sin embargo, si la transicion entre estos estados se puede llevar a cabo por camisnos diferentes,


lo que no asignan ninguna de estas teorıas es la probabilidad de que la transicion siga uno de

ellos. La mecanica cuantica, que surge a partir de 1925, sı da respuesta a esta pregunta, pero ya

antes, en 1916, Einstein tambien introduce este concepto en un contexto semiclasico, lo que se

puede seguir en el apartado de temas avanzados Probabilidades de transicion de Einstein

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