educación para la reconstrucción: matemáticas 3 · 10' 11 . toda recta del plano es un...
TRANSCRIPT
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8JO NacIonal de Educaclon
Edutatioacuten
paa la
Rfton~truttioacuten
BUENOS A RES - RffU5l1CA ARGENTINA N99
iacute
CONSEJO NACIONAL DE EDUCACION
Presidente Profesor ALFREDO NATALlO FERNANDEZ Vicepresidente Prof ESTHER ABELLEYRA de FRANCHI Vocal Prof ESTER TESLER de CORTI Vocal Dra ROSA GLEZER Vocal Dr FRANCISCO HUGO TORIJA
Vocal Prof HERIHERTO AURELlO BARGIELA Secretario General Prof ANGEL GOMEZ Prosecretaria Prof MARTHA ELENA MOLINUEVO Superv GraL Pedaiexcliexcloacuteg Prof CRISTINA ELVIRA FRITZSCHE
Ji iexcl 2 z iS 2 iexcliexcl 14 SE ~I=middot -T
1 Ibull bull
I
i i Ibull El Consejo Nacionol de Educacioacuten con el fin de brindar a
los docentes dependientes del Organismo el apoyo que lesbullI permita desarrollar su labor en forma maacutes eficiente pone en sus manos esta primera parte de la publicacioacuten de Geometriacutea
Se pretende con ella en forma orgaacutenica y actualizada brinshy~ dar en uncioacuten unificadora conceptos baacutesicos que todo docente
debe dominar para aplicar en el nivel primario Los contenidos desarrollados estaacuten dirigidos a los docentes y no a los alumnos Para ser presentados en el aula el maestro deberaacute reelaborarlos y graduarlos teniendo en cuenta el nivel de maduracioacuten de los nintildeos con los que trabaja
Los maestros hallaraacuten en eacuteste trabajo una variada ejercitacioacuten que les permitiraacute una evaluacioacuten luego de la lectura de cada capiacutetulo encontrando en las uacuteltimas hOjas las respuestas a los ejercicios propuestos
t
bull
9
l - ENTES GEOMETRICOS FUNDAMENTALES PUNTO RECTA Y PLANO 1- CONCEPTOS PRIMITIVOS
El punto la recta y el plano son entes fundamentales o conceptos primitivos por lo tanto no se definen
Existen infinitos puntos rectas y planos El conjunto de todos los puntos se llama espacio El espacio es el conjunto referencial en Geometriacutea Los planos y las rectas son subconjuntos del espacio
11- Representacioacuten y notacioacuten Como el punto la recta y el plano son entes
fundamentales que no se definen se conviene en representarlos asiacute
Puntos Rectas Planos x
bull
Vi
AcostumQramos a designar los puntos con letras mayuacutesculas de imprenta y las rectas con minuacutesculas
Sin embargo conforme con los conceptos expresamiddot dos en 1- la notacioacuten que adoptaremos es la simiddot guiente
Puntos a b (elementos) Rectas A B (conjuntos)
Ejemplos p
A pEA
--E a i~RL7 RCa ~Ea t~R1
11 10
Toda recta del plano es un conjunto incluido eil eacutel y por consiguiente R es un subconjulltu ele ltY
2 - Propiedades fundamentales
rectas
Por una recta~221~ Por un punto pasan
pasan
R ltY 1lt c 3PEApEIlpEC
4 middot-Por tres plintos23 Por dos puntos pasa no alineados pasa
una sola recta un plano uacutenio
l Aacute 7a Llt
a b
por a b y e pasa (Xpor a y b pasr R (X csliacute detcrmnauo porR estaacute rleterm por a y b a b y e
de un25~ La recta determinada por dos estaacute incluida en el
a E Di b E Di
a y b determinan R
R DiLZ
3~ Ordenacioacuten de los puntos de la recta
Los puntos de una recta pueden relacionarse de acuerdo a dos ordenamientos naturales opuestos o sentidos tales que
- en ninguno dc los dos sentidos existe un primer o uacuteltimo punto
- entre dos puntos diferentes cxiste siempre otro punto por eso se dice que la rccta es densa
- dados dos puntos diferentes 11 y b seguacuten el sentido que se considere resulta que a precede al punto b o bien iexcl precede JI punto a
Ejemplo R lt bull ) a tJ
Sentido abo selltido en el cual a precede a b o bien b sigue a (
Sentido ba sentido en el cual h precede a ( o bien ( sigue a b
11 ~ FIGURAS
Todo conjunto de puntos es una ~lra Ejemplos
fX)D iexclQ ~ Figuras en el plano Figuras el1 el espacio
r-shy ---~ BJ6CJ ~----~vr------J 7 ~ Iuerpos geomeacutetricos
12
13
1- CURVAS Cada una de las figuras dishybujadas en aidO es una curva7A 0)
11 __ Curvas abiertas y cerradas
Las eurvas pueden ser
abierfas~SiacutemPles (ejemplo C E)
_cruzadas (ejemplO
cerrada~simPles (ejemplo D)
cruzadas (ejemplo B)
Iacute2- Regioacuten interior Regioacuten exterior Frontera
Toda curva cerrada simple separa al plano en dos regiones una interior Y otra exterior La curva es la frontera-
regioacuten interior
frontera regioacuten vtfrior
A e regioacuten exterior
B q regioacuten interior
En la regioacuten interior no estaacute induida ninguna recta
Dos puntos de una misma regioacuten siempre pueden unirse mediante una curva que no corta la frontera
Dos puntos de regiones diferentes pueden unirse mediante una curva que corta la frontera
copy )Lb lUa a
2 - IGUALDAD Y CONGRUENCIA UE FiGURAS
21 - Igualdad Recordar
Conjuntos iguales son los que estaacuten formados por los mismos elementos es decir que un conjunshyto solamente es igual a siacute mismo
Por lo tanto la igualdad de conjuntos es la identidad
Ejemplos
A = iexclvocales B = Ha e i o u 1 A B = e ( xix es vocalt
A B Y e son nombres distintos para designar el mismo conjunto
Ya que toda figura es un conjunto de puntos la definicioacuten de igualdad de conjuntos es vaacutelida para definir figuras iguales
En consecuencia el concepto de igualdad soacutelo es aplicable a una figura relacionada consigo misshyma es decir que toda figura solamente es igilal a siacute misma
La igualdad Je figuras es la identidad
l
Si una figura cualquiera se designa F resulta
IF = FI En caso de que a dicha figura se la llame
tambieacuten A resulta
IF = Al porque F y A son nombres distintos para designar la misma figura
22- Congruencia Dos figuras son congruentes si mediante un moshy
vimiento se pueden superponer de modo que todos los punto de una de eUas se correspondan ordenashydamente uno a uno con los de la otra
Notacioacuten AB yBA
se lee A congruente con B B congruente con A
Forma praacutectica de comprobar la congruencia de figuras
Para determinar si las figuras A y B son congruenshytes es suficiente calcar una de ellas sobre una hoja de papel recortarla y superponerla iObre la otra moviendo el calco procurando lograr una perfecta adaptacioacuten Si se logra esta perfecta adaptacioacuten las figuras son congruentes
Por este procedimiento praacutectico podemos estableshycer intuitivamente que las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamantildeo
~
De las consideraciones anteriores resulta que toda figura ademaacutes de igual es congruente consigo misshyma
Por ejemplo
A=AyA~A
B=ByB~B
pero AB
Propiedades de la congruencia
10 - Reflexiva F ~ F
20 - Simeacutetrica F ~ R - R ~ F 30 - Transitiva F ~ R
r- r ~ S R ~ S)
La congruencia de figuras es relacioacuten de equivashylencia Por lo tanto en todo conjunto de figuras al aplicar la relacioacuten es congruente con se determishyna una particioacuten en clases de equivalencia
m SEMIRRECTA SEMI PLANO y SEMIESPACIO
1- SEMffiRECTA
La figura formada por un punto de una recta y todos los que le siguen en un sentido se l1ama semirrecta R ( )
b a c Notacioacuten atr semirrecta de origen a que contiene I
~ semirrecta de origen a que contiene c
r () atmiddot Ia II
~ ab y al scmlfrcctas opuestas
16 11
Todo punto de la recta es origen de dos semirrecshytas opuestas
Observacioacuten al Considerada la recta como conjunto de puntos
resulta que al efectuar la diferencia entre R y iexclt se obtiene una semirrecta an sin el orgien a llamada semirrecta abierta
R ~ ( bull 1)
b a c
Todo punto a separa a los puntos_ e la recta en dos semirrectas abiertas opuestas iib tit Por lo tanto en R se produce una particioacuten en los tres siguientes subconjuntos
Iiit a1 iexcliexclf I 2- SEMI PLANO
Semiplano abierto y scmiplano cerrado Toda recta R de un plano separa los puntos del
mi~mo en dos regiones llamadas
semiplanos abiertos
l iexcl 7 Cada una de las regiones I y Il del plano situadas
a ambos lados de R es un semiplano abierto
R borde o frontera de cada semiplano abierto
La unioacuten de cada semiplano abierto con la recta R es un semiplano cerrado o simplemente semishyplano
1 iexcl-u1 RZ 7 1 U R sp cerrado II U R sp cerrado
Notacioacuten
~ a) sP(Re) scmiplano de borde RQue contiene a c
o bien sP(mp e) semiplano de borde mp que contiene
a e b)sPIe) ab semiplano abierto determinado por R
que eoacuten tiene a e o bien
sP(mbull lt)ab semiplano abierto detenninado por mp que contiene a e
2 J Particiones determinadas por una recta R en Un plano
En dos subconjuntos
Se presentan dos casos
SPR e) sPIRe) abo
a) ab b)
SIP(Ib) sp(Rb)
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
iacute
CONSEJO NACIONAL DE EDUCACION
Presidente Profesor ALFREDO NATALlO FERNANDEZ Vicepresidente Prof ESTHER ABELLEYRA de FRANCHI Vocal Prof ESTER TESLER de CORTI Vocal Dra ROSA GLEZER Vocal Dr FRANCISCO HUGO TORIJA
Vocal Prof HERIHERTO AURELlO BARGIELA Secretario General Prof ANGEL GOMEZ Prosecretaria Prof MARTHA ELENA MOLINUEVO Superv GraL Pedaiexcliexcloacuteg Prof CRISTINA ELVIRA FRITZSCHE
Ji iexcl 2 z iS 2 iexcliexcl 14 SE ~I=middot -T
1 Ibull bull
I
i i Ibull El Consejo Nacionol de Educacioacuten con el fin de brindar a
los docentes dependientes del Organismo el apoyo que lesbullI permita desarrollar su labor en forma maacutes eficiente pone en sus manos esta primera parte de la publicacioacuten de Geometriacutea
Se pretende con ella en forma orgaacutenica y actualizada brinshy~ dar en uncioacuten unificadora conceptos baacutesicos que todo docente
debe dominar para aplicar en el nivel primario Los contenidos desarrollados estaacuten dirigidos a los docentes y no a los alumnos Para ser presentados en el aula el maestro deberaacute reelaborarlos y graduarlos teniendo en cuenta el nivel de maduracioacuten de los nintildeos con los que trabaja
Los maestros hallaraacuten en eacuteste trabajo una variada ejercitacioacuten que les permitiraacute una evaluacioacuten luego de la lectura de cada capiacutetulo encontrando en las uacuteltimas hOjas las respuestas a los ejercicios propuestos
t
bull
9
l - ENTES GEOMETRICOS FUNDAMENTALES PUNTO RECTA Y PLANO 1- CONCEPTOS PRIMITIVOS
El punto la recta y el plano son entes fundamentales o conceptos primitivos por lo tanto no se definen
Existen infinitos puntos rectas y planos El conjunto de todos los puntos se llama espacio El espacio es el conjunto referencial en Geometriacutea Los planos y las rectas son subconjuntos del espacio
11- Representacioacuten y notacioacuten Como el punto la recta y el plano son entes
fundamentales que no se definen se conviene en representarlos asiacute
Puntos Rectas Planos x
bull
Vi
AcostumQramos a designar los puntos con letras mayuacutesculas de imprenta y las rectas con minuacutesculas
Sin embargo conforme con los conceptos expresamiddot dos en 1- la notacioacuten que adoptaremos es la simiddot guiente
Puntos a b (elementos) Rectas A B (conjuntos)
Ejemplos p
A pEA
--E a i~RL7 RCa ~Ea t~R1
11 10
Toda recta del plano es un conjunto incluido eil eacutel y por consiguiente R es un subconjulltu ele ltY
2 - Propiedades fundamentales
rectas
Por una recta~221~ Por un punto pasan
pasan
R ltY 1lt c 3PEApEIlpEC
4 middot-Por tres plintos23 Por dos puntos pasa no alineados pasa
una sola recta un plano uacutenio
l Aacute 7a Llt
a b
por a b y e pasa (Xpor a y b pasr R (X csliacute detcrmnauo porR estaacute rleterm por a y b a b y e
de un25~ La recta determinada por dos estaacute incluida en el
a E Di b E Di
a y b determinan R
R DiLZ
3~ Ordenacioacuten de los puntos de la recta
Los puntos de una recta pueden relacionarse de acuerdo a dos ordenamientos naturales opuestos o sentidos tales que
- en ninguno dc los dos sentidos existe un primer o uacuteltimo punto
- entre dos puntos diferentes cxiste siempre otro punto por eso se dice que la rccta es densa
- dados dos puntos diferentes 11 y b seguacuten el sentido que se considere resulta que a precede al punto b o bien iexcl precede JI punto a
Ejemplo R lt bull ) a tJ
Sentido abo selltido en el cual a precede a b o bien b sigue a (
Sentido ba sentido en el cual h precede a ( o bien ( sigue a b
11 ~ FIGURAS
Todo conjunto de puntos es una ~lra Ejemplos
fX)D iexclQ ~ Figuras en el plano Figuras el1 el espacio
r-shy ---~ BJ6CJ ~----~vr------J 7 ~ Iuerpos geomeacutetricos
12
13
1- CURVAS Cada una de las figuras dishybujadas en aidO es una curva7A 0)
11 __ Curvas abiertas y cerradas
Las eurvas pueden ser
abierfas~SiacutemPles (ejemplo C E)
_cruzadas (ejemplO
cerrada~simPles (ejemplo D)
cruzadas (ejemplo B)
Iacute2- Regioacuten interior Regioacuten exterior Frontera
Toda curva cerrada simple separa al plano en dos regiones una interior Y otra exterior La curva es la frontera-
regioacuten interior
frontera regioacuten vtfrior
A e regioacuten exterior
B q regioacuten interior
En la regioacuten interior no estaacute induida ninguna recta
Dos puntos de una misma regioacuten siempre pueden unirse mediante una curva que no corta la frontera
Dos puntos de regiones diferentes pueden unirse mediante una curva que corta la frontera
copy )Lb lUa a
2 - IGUALDAD Y CONGRUENCIA UE FiGURAS
21 - Igualdad Recordar
Conjuntos iguales son los que estaacuten formados por los mismos elementos es decir que un conjunshyto solamente es igual a siacute mismo
Por lo tanto la igualdad de conjuntos es la identidad
Ejemplos
A = iexclvocales B = Ha e i o u 1 A B = e ( xix es vocalt
A B Y e son nombres distintos para designar el mismo conjunto
Ya que toda figura es un conjunto de puntos la definicioacuten de igualdad de conjuntos es vaacutelida para definir figuras iguales
En consecuencia el concepto de igualdad soacutelo es aplicable a una figura relacionada consigo misshyma es decir que toda figura solamente es igilal a siacute misma
La igualdad Je figuras es la identidad
l
Si una figura cualquiera se designa F resulta
IF = FI En caso de que a dicha figura se la llame
tambieacuten A resulta
IF = Al porque F y A son nombres distintos para designar la misma figura
22- Congruencia Dos figuras son congruentes si mediante un moshy
vimiento se pueden superponer de modo que todos los punto de una de eUas se correspondan ordenashydamente uno a uno con los de la otra
Notacioacuten AB yBA
se lee A congruente con B B congruente con A
Forma praacutectica de comprobar la congruencia de figuras
Para determinar si las figuras A y B son congruenshytes es suficiente calcar una de ellas sobre una hoja de papel recortarla y superponerla iObre la otra moviendo el calco procurando lograr una perfecta adaptacioacuten Si se logra esta perfecta adaptacioacuten las figuras son congruentes
Por este procedimiento praacutectico podemos estableshycer intuitivamente que las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamantildeo
~
De las consideraciones anteriores resulta que toda figura ademaacutes de igual es congruente consigo misshyma
Por ejemplo
A=AyA~A
B=ByB~B
pero AB
Propiedades de la congruencia
10 - Reflexiva F ~ F
20 - Simeacutetrica F ~ R - R ~ F 30 - Transitiva F ~ R
r- r ~ S R ~ S)
La congruencia de figuras es relacioacuten de equivashylencia Por lo tanto en todo conjunto de figuras al aplicar la relacioacuten es congruente con se determishyna una particioacuten en clases de equivalencia
m SEMIRRECTA SEMI PLANO y SEMIESPACIO
1- SEMffiRECTA
La figura formada por un punto de una recta y todos los que le siguen en un sentido se l1ama semirrecta R ( )
b a c Notacioacuten atr semirrecta de origen a que contiene I
~ semirrecta de origen a que contiene c
r () atmiddot Ia II
~ ab y al scmlfrcctas opuestas
16 11
Todo punto de la recta es origen de dos semirrecshytas opuestas
Observacioacuten al Considerada la recta como conjunto de puntos
resulta que al efectuar la diferencia entre R y iexclt se obtiene una semirrecta an sin el orgien a llamada semirrecta abierta
R ~ ( bull 1)
b a c
Todo punto a separa a los puntos_ e la recta en dos semirrectas abiertas opuestas iib tit Por lo tanto en R se produce una particioacuten en los tres siguientes subconjuntos
Iiit a1 iexcliexclf I 2- SEMI PLANO
Semiplano abierto y scmiplano cerrado Toda recta R de un plano separa los puntos del
mi~mo en dos regiones llamadas
semiplanos abiertos
l iexcl 7 Cada una de las regiones I y Il del plano situadas
a ambos lados de R es un semiplano abierto
R borde o frontera de cada semiplano abierto
La unioacuten de cada semiplano abierto con la recta R es un semiplano cerrado o simplemente semishyplano
1 iexcl-u1 RZ 7 1 U R sp cerrado II U R sp cerrado
Notacioacuten
~ a) sP(Re) scmiplano de borde RQue contiene a c
o bien sP(mp e) semiplano de borde mp que contiene
a e b)sPIe) ab semiplano abierto determinado por R
que eoacuten tiene a e o bien
sP(mbull lt)ab semiplano abierto detenninado por mp que contiene a e
2 J Particiones determinadas por una recta R en Un plano
En dos subconjuntos
Se presentan dos casos
SPR e) sPIRe) abo
a) ab b)
SIP(Ib) sp(Rb)
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
Ji iexcl 2 z iS 2 iexcliexcl 14 SE ~I=middot -T
1 Ibull bull
I
i i Ibull El Consejo Nacionol de Educacioacuten con el fin de brindar a
los docentes dependientes del Organismo el apoyo que lesbullI permita desarrollar su labor en forma maacutes eficiente pone en sus manos esta primera parte de la publicacioacuten de Geometriacutea
Se pretende con ella en forma orgaacutenica y actualizada brinshy~ dar en uncioacuten unificadora conceptos baacutesicos que todo docente
debe dominar para aplicar en el nivel primario Los contenidos desarrollados estaacuten dirigidos a los docentes y no a los alumnos Para ser presentados en el aula el maestro deberaacute reelaborarlos y graduarlos teniendo en cuenta el nivel de maduracioacuten de los nintildeos con los que trabaja
Los maestros hallaraacuten en eacuteste trabajo una variada ejercitacioacuten que les permitiraacute una evaluacioacuten luego de la lectura de cada capiacutetulo encontrando en las uacuteltimas hOjas las respuestas a los ejercicios propuestos
t
bull
9
l - ENTES GEOMETRICOS FUNDAMENTALES PUNTO RECTA Y PLANO 1- CONCEPTOS PRIMITIVOS
El punto la recta y el plano son entes fundamentales o conceptos primitivos por lo tanto no se definen
Existen infinitos puntos rectas y planos El conjunto de todos los puntos se llama espacio El espacio es el conjunto referencial en Geometriacutea Los planos y las rectas son subconjuntos del espacio
11- Representacioacuten y notacioacuten Como el punto la recta y el plano son entes
fundamentales que no se definen se conviene en representarlos asiacute
Puntos Rectas Planos x
bull
Vi
AcostumQramos a designar los puntos con letras mayuacutesculas de imprenta y las rectas con minuacutesculas
Sin embargo conforme con los conceptos expresamiddot dos en 1- la notacioacuten que adoptaremos es la simiddot guiente
Puntos a b (elementos) Rectas A B (conjuntos)
Ejemplos p
A pEA
--E a i~RL7 RCa ~Ea t~R1
11 10
Toda recta del plano es un conjunto incluido eil eacutel y por consiguiente R es un subconjulltu ele ltY
2 - Propiedades fundamentales
rectas
Por una recta~221~ Por un punto pasan
pasan
R ltY 1lt c 3PEApEIlpEC
4 middot-Por tres plintos23 Por dos puntos pasa no alineados pasa
una sola recta un plano uacutenio
l Aacute 7a Llt
a b
por a b y e pasa (Xpor a y b pasr R (X csliacute detcrmnauo porR estaacute rleterm por a y b a b y e
de un25~ La recta determinada por dos estaacute incluida en el
a E Di b E Di
a y b determinan R
R DiLZ
3~ Ordenacioacuten de los puntos de la recta
Los puntos de una recta pueden relacionarse de acuerdo a dos ordenamientos naturales opuestos o sentidos tales que
- en ninguno dc los dos sentidos existe un primer o uacuteltimo punto
- entre dos puntos diferentes cxiste siempre otro punto por eso se dice que la rccta es densa
- dados dos puntos diferentes 11 y b seguacuten el sentido que se considere resulta que a precede al punto b o bien iexcl precede JI punto a
Ejemplo R lt bull ) a tJ
Sentido abo selltido en el cual a precede a b o bien b sigue a (
Sentido ba sentido en el cual h precede a ( o bien ( sigue a b
11 ~ FIGURAS
Todo conjunto de puntos es una ~lra Ejemplos
fX)D iexclQ ~ Figuras en el plano Figuras el1 el espacio
r-shy ---~ BJ6CJ ~----~vr------J 7 ~ Iuerpos geomeacutetricos
12
13
1- CURVAS Cada una de las figuras dishybujadas en aidO es una curva7A 0)
11 __ Curvas abiertas y cerradas
Las eurvas pueden ser
abierfas~SiacutemPles (ejemplo C E)
_cruzadas (ejemplO
cerrada~simPles (ejemplo D)
cruzadas (ejemplo B)
Iacute2- Regioacuten interior Regioacuten exterior Frontera
Toda curva cerrada simple separa al plano en dos regiones una interior Y otra exterior La curva es la frontera-
regioacuten interior
frontera regioacuten vtfrior
A e regioacuten exterior
B q regioacuten interior
En la regioacuten interior no estaacute induida ninguna recta
Dos puntos de una misma regioacuten siempre pueden unirse mediante una curva que no corta la frontera
Dos puntos de regiones diferentes pueden unirse mediante una curva que corta la frontera
copy )Lb lUa a
2 - IGUALDAD Y CONGRUENCIA UE FiGURAS
21 - Igualdad Recordar
Conjuntos iguales son los que estaacuten formados por los mismos elementos es decir que un conjunshyto solamente es igual a siacute mismo
Por lo tanto la igualdad de conjuntos es la identidad
Ejemplos
A = iexclvocales B = Ha e i o u 1 A B = e ( xix es vocalt
A B Y e son nombres distintos para designar el mismo conjunto
Ya que toda figura es un conjunto de puntos la definicioacuten de igualdad de conjuntos es vaacutelida para definir figuras iguales
En consecuencia el concepto de igualdad soacutelo es aplicable a una figura relacionada consigo misshyma es decir que toda figura solamente es igilal a siacute misma
La igualdad Je figuras es la identidad
l
Si una figura cualquiera se designa F resulta
IF = FI En caso de que a dicha figura se la llame
tambieacuten A resulta
IF = Al porque F y A son nombres distintos para designar la misma figura
22- Congruencia Dos figuras son congruentes si mediante un moshy
vimiento se pueden superponer de modo que todos los punto de una de eUas se correspondan ordenashydamente uno a uno con los de la otra
Notacioacuten AB yBA
se lee A congruente con B B congruente con A
Forma praacutectica de comprobar la congruencia de figuras
Para determinar si las figuras A y B son congruenshytes es suficiente calcar una de ellas sobre una hoja de papel recortarla y superponerla iObre la otra moviendo el calco procurando lograr una perfecta adaptacioacuten Si se logra esta perfecta adaptacioacuten las figuras son congruentes
Por este procedimiento praacutectico podemos estableshycer intuitivamente que las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamantildeo
~
De las consideraciones anteriores resulta que toda figura ademaacutes de igual es congruente consigo misshyma
Por ejemplo
A=AyA~A
B=ByB~B
pero AB
Propiedades de la congruencia
10 - Reflexiva F ~ F
20 - Simeacutetrica F ~ R - R ~ F 30 - Transitiva F ~ R
r- r ~ S R ~ S)
La congruencia de figuras es relacioacuten de equivashylencia Por lo tanto en todo conjunto de figuras al aplicar la relacioacuten es congruente con se determishyna una particioacuten en clases de equivalencia
m SEMIRRECTA SEMI PLANO y SEMIESPACIO
1- SEMffiRECTA
La figura formada por un punto de una recta y todos los que le siguen en un sentido se l1ama semirrecta R ( )
b a c Notacioacuten atr semirrecta de origen a que contiene I
~ semirrecta de origen a que contiene c
r () atmiddot Ia II
~ ab y al scmlfrcctas opuestas
16 11
Todo punto de la recta es origen de dos semirrecshytas opuestas
Observacioacuten al Considerada la recta como conjunto de puntos
resulta que al efectuar la diferencia entre R y iexclt se obtiene una semirrecta an sin el orgien a llamada semirrecta abierta
R ~ ( bull 1)
b a c
Todo punto a separa a los puntos_ e la recta en dos semirrectas abiertas opuestas iib tit Por lo tanto en R se produce una particioacuten en los tres siguientes subconjuntos
Iiit a1 iexcliexclf I 2- SEMI PLANO
Semiplano abierto y scmiplano cerrado Toda recta R de un plano separa los puntos del
mi~mo en dos regiones llamadas
semiplanos abiertos
l iexcl 7 Cada una de las regiones I y Il del plano situadas
a ambos lados de R es un semiplano abierto
R borde o frontera de cada semiplano abierto
La unioacuten de cada semiplano abierto con la recta R es un semiplano cerrado o simplemente semishyplano
1 iexcl-u1 RZ 7 1 U R sp cerrado II U R sp cerrado
Notacioacuten
~ a) sP(Re) scmiplano de borde RQue contiene a c
o bien sP(mp e) semiplano de borde mp que contiene
a e b)sPIe) ab semiplano abierto determinado por R
que eoacuten tiene a e o bien
sP(mbull lt)ab semiplano abierto detenninado por mp que contiene a e
2 J Particiones determinadas por una recta R en Un plano
En dos subconjuntos
Se presentan dos casos
SPR e) sPIRe) abo
a) ab b)
SIP(Ib) sp(Rb)
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
9
l - ENTES GEOMETRICOS FUNDAMENTALES PUNTO RECTA Y PLANO 1- CONCEPTOS PRIMITIVOS
El punto la recta y el plano son entes fundamentales o conceptos primitivos por lo tanto no se definen
Existen infinitos puntos rectas y planos El conjunto de todos los puntos se llama espacio El espacio es el conjunto referencial en Geometriacutea Los planos y las rectas son subconjuntos del espacio
11- Representacioacuten y notacioacuten Como el punto la recta y el plano son entes
fundamentales que no se definen se conviene en representarlos asiacute
Puntos Rectas Planos x
bull
Vi
AcostumQramos a designar los puntos con letras mayuacutesculas de imprenta y las rectas con minuacutesculas
Sin embargo conforme con los conceptos expresamiddot dos en 1- la notacioacuten que adoptaremos es la simiddot guiente
Puntos a b (elementos) Rectas A B (conjuntos)
Ejemplos p
A pEA
--E a i~RL7 RCa ~Ea t~R1
11 10
Toda recta del plano es un conjunto incluido eil eacutel y por consiguiente R es un subconjulltu ele ltY
2 - Propiedades fundamentales
rectas
Por una recta~221~ Por un punto pasan
pasan
R ltY 1lt c 3PEApEIlpEC
4 middot-Por tres plintos23 Por dos puntos pasa no alineados pasa
una sola recta un plano uacutenio
l Aacute 7a Llt
a b
por a b y e pasa (Xpor a y b pasr R (X csliacute detcrmnauo porR estaacute rleterm por a y b a b y e
de un25~ La recta determinada por dos estaacute incluida en el
a E Di b E Di
a y b determinan R
R DiLZ
3~ Ordenacioacuten de los puntos de la recta
Los puntos de una recta pueden relacionarse de acuerdo a dos ordenamientos naturales opuestos o sentidos tales que
- en ninguno dc los dos sentidos existe un primer o uacuteltimo punto
- entre dos puntos diferentes cxiste siempre otro punto por eso se dice que la rccta es densa
- dados dos puntos diferentes 11 y b seguacuten el sentido que se considere resulta que a precede al punto b o bien iexcl precede JI punto a
Ejemplo R lt bull ) a tJ
Sentido abo selltido en el cual a precede a b o bien b sigue a (
Sentido ba sentido en el cual h precede a ( o bien ( sigue a b
11 ~ FIGURAS
Todo conjunto de puntos es una ~lra Ejemplos
fX)D iexclQ ~ Figuras en el plano Figuras el1 el espacio
r-shy ---~ BJ6CJ ~----~vr------J 7 ~ Iuerpos geomeacutetricos
12
13
1- CURVAS Cada una de las figuras dishybujadas en aidO es una curva7A 0)
11 __ Curvas abiertas y cerradas
Las eurvas pueden ser
abierfas~SiacutemPles (ejemplo C E)
_cruzadas (ejemplO
cerrada~simPles (ejemplo D)
cruzadas (ejemplo B)
Iacute2- Regioacuten interior Regioacuten exterior Frontera
Toda curva cerrada simple separa al plano en dos regiones una interior Y otra exterior La curva es la frontera-
regioacuten interior
frontera regioacuten vtfrior
A e regioacuten exterior
B q regioacuten interior
En la regioacuten interior no estaacute induida ninguna recta
Dos puntos de una misma regioacuten siempre pueden unirse mediante una curva que no corta la frontera
Dos puntos de regiones diferentes pueden unirse mediante una curva que corta la frontera
copy )Lb lUa a
2 - IGUALDAD Y CONGRUENCIA UE FiGURAS
21 - Igualdad Recordar
Conjuntos iguales son los que estaacuten formados por los mismos elementos es decir que un conjunshyto solamente es igual a siacute mismo
Por lo tanto la igualdad de conjuntos es la identidad
Ejemplos
A = iexclvocales B = Ha e i o u 1 A B = e ( xix es vocalt
A B Y e son nombres distintos para designar el mismo conjunto
Ya que toda figura es un conjunto de puntos la definicioacuten de igualdad de conjuntos es vaacutelida para definir figuras iguales
En consecuencia el concepto de igualdad soacutelo es aplicable a una figura relacionada consigo misshyma es decir que toda figura solamente es igilal a siacute misma
La igualdad Je figuras es la identidad
l
Si una figura cualquiera se designa F resulta
IF = FI En caso de que a dicha figura se la llame
tambieacuten A resulta
IF = Al porque F y A son nombres distintos para designar la misma figura
22- Congruencia Dos figuras son congruentes si mediante un moshy
vimiento se pueden superponer de modo que todos los punto de una de eUas se correspondan ordenashydamente uno a uno con los de la otra
Notacioacuten AB yBA
se lee A congruente con B B congruente con A
Forma praacutectica de comprobar la congruencia de figuras
Para determinar si las figuras A y B son congruenshytes es suficiente calcar una de ellas sobre una hoja de papel recortarla y superponerla iObre la otra moviendo el calco procurando lograr una perfecta adaptacioacuten Si se logra esta perfecta adaptacioacuten las figuras son congruentes
Por este procedimiento praacutectico podemos estableshycer intuitivamente que las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamantildeo
~
De las consideraciones anteriores resulta que toda figura ademaacutes de igual es congruente consigo misshyma
Por ejemplo
A=AyA~A
B=ByB~B
pero AB
Propiedades de la congruencia
10 - Reflexiva F ~ F
20 - Simeacutetrica F ~ R - R ~ F 30 - Transitiva F ~ R
r- r ~ S R ~ S)
La congruencia de figuras es relacioacuten de equivashylencia Por lo tanto en todo conjunto de figuras al aplicar la relacioacuten es congruente con se determishyna una particioacuten en clases de equivalencia
m SEMIRRECTA SEMI PLANO y SEMIESPACIO
1- SEMffiRECTA
La figura formada por un punto de una recta y todos los que le siguen en un sentido se l1ama semirrecta R ( )
b a c Notacioacuten atr semirrecta de origen a que contiene I
~ semirrecta de origen a que contiene c
r () atmiddot Ia II
~ ab y al scmlfrcctas opuestas
16 11
Todo punto de la recta es origen de dos semirrecshytas opuestas
Observacioacuten al Considerada la recta como conjunto de puntos
resulta que al efectuar la diferencia entre R y iexclt se obtiene una semirrecta an sin el orgien a llamada semirrecta abierta
R ~ ( bull 1)
b a c
Todo punto a separa a los puntos_ e la recta en dos semirrectas abiertas opuestas iib tit Por lo tanto en R se produce una particioacuten en los tres siguientes subconjuntos
Iiit a1 iexcliexclf I 2- SEMI PLANO
Semiplano abierto y scmiplano cerrado Toda recta R de un plano separa los puntos del
mi~mo en dos regiones llamadas
semiplanos abiertos
l iexcl 7 Cada una de las regiones I y Il del plano situadas
a ambos lados de R es un semiplano abierto
R borde o frontera de cada semiplano abierto
La unioacuten de cada semiplano abierto con la recta R es un semiplano cerrado o simplemente semishyplano
1 iexcl-u1 RZ 7 1 U R sp cerrado II U R sp cerrado
Notacioacuten
~ a) sP(Re) scmiplano de borde RQue contiene a c
o bien sP(mp e) semiplano de borde mp que contiene
a e b)sPIe) ab semiplano abierto determinado por R
que eoacuten tiene a e o bien
sP(mbull lt)ab semiplano abierto detenninado por mp que contiene a e
2 J Particiones determinadas por una recta R en Un plano
En dos subconjuntos
Se presentan dos casos
SPR e) sPIRe) abo
a) ab b)
SIP(Ib) sp(Rb)
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
11 10
Toda recta del plano es un conjunto incluido eil eacutel y por consiguiente R es un subconjulltu ele ltY
2 - Propiedades fundamentales
rectas
Por una recta~221~ Por un punto pasan
pasan
R ltY 1lt c 3PEApEIlpEC
4 middot-Por tres plintos23 Por dos puntos pasa no alineados pasa
una sola recta un plano uacutenio
l Aacute 7a Llt
a b
por a b y e pasa (Xpor a y b pasr R (X csliacute detcrmnauo porR estaacute rleterm por a y b a b y e
de un25~ La recta determinada por dos estaacute incluida en el
a E Di b E Di
a y b determinan R
R DiLZ
3~ Ordenacioacuten de los puntos de la recta
Los puntos de una recta pueden relacionarse de acuerdo a dos ordenamientos naturales opuestos o sentidos tales que
- en ninguno dc los dos sentidos existe un primer o uacuteltimo punto
- entre dos puntos diferentes cxiste siempre otro punto por eso se dice que la rccta es densa
- dados dos puntos diferentes 11 y b seguacuten el sentido que se considere resulta que a precede al punto b o bien iexcl precede JI punto a
Ejemplo R lt bull ) a tJ
Sentido abo selltido en el cual a precede a b o bien b sigue a (
Sentido ba sentido en el cual h precede a ( o bien ( sigue a b
11 ~ FIGURAS
Todo conjunto de puntos es una ~lra Ejemplos
fX)D iexclQ ~ Figuras en el plano Figuras el1 el espacio
r-shy ---~ BJ6CJ ~----~vr------J 7 ~ Iuerpos geomeacutetricos
12
13
1- CURVAS Cada una de las figuras dishybujadas en aidO es una curva7A 0)
11 __ Curvas abiertas y cerradas
Las eurvas pueden ser
abierfas~SiacutemPles (ejemplo C E)
_cruzadas (ejemplO
cerrada~simPles (ejemplo D)
cruzadas (ejemplo B)
Iacute2- Regioacuten interior Regioacuten exterior Frontera
Toda curva cerrada simple separa al plano en dos regiones una interior Y otra exterior La curva es la frontera-
regioacuten interior
frontera regioacuten vtfrior
A e regioacuten exterior
B q regioacuten interior
En la regioacuten interior no estaacute induida ninguna recta
Dos puntos de una misma regioacuten siempre pueden unirse mediante una curva que no corta la frontera
Dos puntos de regiones diferentes pueden unirse mediante una curva que corta la frontera
copy )Lb lUa a
2 - IGUALDAD Y CONGRUENCIA UE FiGURAS
21 - Igualdad Recordar
Conjuntos iguales son los que estaacuten formados por los mismos elementos es decir que un conjunshyto solamente es igual a siacute mismo
Por lo tanto la igualdad de conjuntos es la identidad
Ejemplos
A = iexclvocales B = Ha e i o u 1 A B = e ( xix es vocalt
A B Y e son nombres distintos para designar el mismo conjunto
Ya que toda figura es un conjunto de puntos la definicioacuten de igualdad de conjuntos es vaacutelida para definir figuras iguales
En consecuencia el concepto de igualdad soacutelo es aplicable a una figura relacionada consigo misshyma es decir que toda figura solamente es igilal a siacute misma
La igualdad Je figuras es la identidad
l
Si una figura cualquiera se designa F resulta
IF = FI En caso de que a dicha figura se la llame
tambieacuten A resulta
IF = Al porque F y A son nombres distintos para designar la misma figura
22- Congruencia Dos figuras son congruentes si mediante un moshy
vimiento se pueden superponer de modo que todos los punto de una de eUas se correspondan ordenashydamente uno a uno con los de la otra
Notacioacuten AB yBA
se lee A congruente con B B congruente con A
Forma praacutectica de comprobar la congruencia de figuras
Para determinar si las figuras A y B son congruenshytes es suficiente calcar una de ellas sobre una hoja de papel recortarla y superponerla iObre la otra moviendo el calco procurando lograr una perfecta adaptacioacuten Si se logra esta perfecta adaptacioacuten las figuras son congruentes
Por este procedimiento praacutectico podemos estableshycer intuitivamente que las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamantildeo
~
De las consideraciones anteriores resulta que toda figura ademaacutes de igual es congruente consigo misshyma
Por ejemplo
A=AyA~A
B=ByB~B
pero AB
Propiedades de la congruencia
10 - Reflexiva F ~ F
20 - Simeacutetrica F ~ R - R ~ F 30 - Transitiva F ~ R
r- r ~ S R ~ S)
La congruencia de figuras es relacioacuten de equivashylencia Por lo tanto en todo conjunto de figuras al aplicar la relacioacuten es congruente con se determishyna una particioacuten en clases de equivalencia
m SEMIRRECTA SEMI PLANO y SEMIESPACIO
1- SEMffiRECTA
La figura formada por un punto de una recta y todos los que le siguen en un sentido se l1ama semirrecta R ( )
b a c Notacioacuten atr semirrecta de origen a que contiene I
~ semirrecta de origen a que contiene c
r () atmiddot Ia II
~ ab y al scmlfrcctas opuestas
16 11
Todo punto de la recta es origen de dos semirrecshytas opuestas
Observacioacuten al Considerada la recta como conjunto de puntos
resulta que al efectuar la diferencia entre R y iexclt se obtiene una semirrecta an sin el orgien a llamada semirrecta abierta
R ~ ( bull 1)
b a c
Todo punto a separa a los puntos_ e la recta en dos semirrectas abiertas opuestas iib tit Por lo tanto en R se produce una particioacuten en los tres siguientes subconjuntos
Iiit a1 iexcliexclf I 2- SEMI PLANO
Semiplano abierto y scmiplano cerrado Toda recta R de un plano separa los puntos del
mi~mo en dos regiones llamadas
semiplanos abiertos
l iexcl 7 Cada una de las regiones I y Il del plano situadas
a ambos lados de R es un semiplano abierto
R borde o frontera de cada semiplano abierto
La unioacuten de cada semiplano abierto con la recta R es un semiplano cerrado o simplemente semishyplano
1 iexcl-u1 RZ 7 1 U R sp cerrado II U R sp cerrado
Notacioacuten
~ a) sP(Re) scmiplano de borde RQue contiene a c
o bien sP(mp e) semiplano de borde mp que contiene
a e b)sPIe) ab semiplano abierto determinado por R
que eoacuten tiene a e o bien
sP(mbull lt)ab semiplano abierto detenninado por mp que contiene a e
2 J Particiones determinadas por una recta R en Un plano
En dos subconjuntos
Se presentan dos casos
SPR e) sPIRe) abo
a) ab b)
SIP(Ib) sp(Rb)
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
12
13
1- CURVAS Cada una de las figuras dishybujadas en aidO es una curva7A 0)
11 __ Curvas abiertas y cerradas
Las eurvas pueden ser
abierfas~SiacutemPles (ejemplo C E)
_cruzadas (ejemplO
cerrada~simPles (ejemplo D)
cruzadas (ejemplo B)
Iacute2- Regioacuten interior Regioacuten exterior Frontera
Toda curva cerrada simple separa al plano en dos regiones una interior Y otra exterior La curva es la frontera-
regioacuten interior
frontera regioacuten vtfrior
A e regioacuten exterior
B q regioacuten interior
En la regioacuten interior no estaacute induida ninguna recta
Dos puntos de una misma regioacuten siempre pueden unirse mediante una curva que no corta la frontera
Dos puntos de regiones diferentes pueden unirse mediante una curva que corta la frontera
copy )Lb lUa a
2 - IGUALDAD Y CONGRUENCIA UE FiGURAS
21 - Igualdad Recordar
Conjuntos iguales son los que estaacuten formados por los mismos elementos es decir que un conjunshyto solamente es igual a siacute mismo
Por lo tanto la igualdad de conjuntos es la identidad
Ejemplos
A = iexclvocales B = Ha e i o u 1 A B = e ( xix es vocalt
A B Y e son nombres distintos para designar el mismo conjunto
Ya que toda figura es un conjunto de puntos la definicioacuten de igualdad de conjuntos es vaacutelida para definir figuras iguales
En consecuencia el concepto de igualdad soacutelo es aplicable a una figura relacionada consigo misshyma es decir que toda figura solamente es igilal a siacute misma
La igualdad Je figuras es la identidad
l
Si una figura cualquiera se designa F resulta
IF = FI En caso de que a dicha figura se la llame
tambieacuten A resulta
IF = Al porque F y A son nombres distintos para designar la misma figura
22- Congruencia Dos figuras son congruentes si mediante un moshy
vimiento se pueden superponer de modo que todos los punto de una de eUas se correspondan ordenashydamente uno a uno con los de la otra
Notacioacuten AB yBA
se lee A congruente con B B congruente con A
Forma praacutectica de comprobar la congruencia de figuras
Para determinar si las figuras A y B son congruenshytes es suficiente calcar una de ellas sobre una hoja de papel recortarla y superponerla iObre la otra moviendo el calco procurando lograr una perfecta adaptacioacuten Si se logra esta perfecta adaptacioacuten las figuras son congruentes
Por este procedimiento praacutectico podemos estableshycer intuitivamente que las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamantildeo
~
De las consideraciones anteriores resulta que toda figura ademaacutes de igual es congruente consigo misshyma
Por ejemplo
A=AyA~A
B=ByB~B
pero AB
Propiedades de la congruencia
10 - Reflexiva F ~ F
20 - Simeacutetrica F ~ R - R ~ F 30 - Transitiva F ~ R
r- r ~ S R ~ S)
La congruencia de figuras es relacioacuten de equivashylencia Por lo tanto en todo conjunto de figuras al aplicar la relacioacuten es congruente con se determishyna una particioacuten en clases de equivalencia
m SEMIRRECTA SEMI PLANO y SEMIESPACIO
1- SEMffiRECTA
La figura formada por un punto de una recta y todos los que le siguen en un sentido se l1ama semirrecta R ( )
b a c Notacioacuten atr semirrecta de origen a que contiene I
~ semirrecta de origen a que contiene c
r () atmiddot Ia II
~ ab y al scmlfrcctas opuestas
16 11
Todo punto de la recta es origen de dos semirrecshytas opuestas
Observacioacuten al Considerada la recta como conjunto de puntos
resulta que al efectuar la diferencia entre R y iexclt se obtiene una semirrecta an sin el orgien a llamada semirrecta abierta
R ~ ( bull 1)
b a c
Todo punto a separa a los puntos_ e la recta en dos semirrectas abiertas opuestas iib tit Por lo tanto en R se produce una particioacuten en los tres siguientes subconjuntos
Iiit a1 iexcliexclf I 2- SEMI PLANO
Semiplano abierto y scmiplano cerrado Toda recta R de un plano separa los puntos del
mi~mo en dos regiones llamadas
semiplanos abiertos
l iexcl 7 Cada una de las regiones I y Il del plano situadas
a ambos lados de R es un semiplano abierto
R borde o frontera de cada semiplano abierto
La unioacuten de cada semiplano abierto con la recta R es un semiplano cerrado o simplemente semishyplano
1 iexcl-u1 RZ 7 1 U R sp cerrado II U R sp cerrado
Notacioacuten
~ a) sP(Re) scmiplano de borde RQue contiene a c
o bien sP(mp e) semiplano de borde mp que contiene
a e b)sPIe) ab semiplano abierto determinado por R
que eoacuten tiene a e o bien
sP(mbull lt)ab semiplano abierto detenninado por mp que contiene a e
2 J Particiones determinadas por una recta R en Un plano
En dos subconjuntos
Se presentan dos casos
SPR e) sPIRe) abo
a) ab b)
SIP(Ib) sp(Rb)
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
l
Si una figura cualquiera se designa F resulta
IF = FI En caso de que a dicha figura se la llame
tambieacuten A resulta
IF = Al porque F y A son nombres distintos para designar la misma figura
22- Congruencia Dos figuras son congruentes si mediante un moshy
vimiento se pueden superponer de modo que todos los punto de una de eUas se correspondan ordenashydamente uno a uno con los de la otra
Notacioacuten AB yBA
se lee A congruente con B B congruente con A
Forma praacutectica de comprobar la congruencia de figuras
Para determinar si las figuras A y B son congruenshytes es suficiente calcar una de ellas sobre una hoja de papel recortarla y superponerla iObre la otra moviendo el calco procurando lograr una perfecta adaptacioacuten Si se logra esta perfecta adaptacioacuten las figuras son congruentes
Por este procedimiento praacutectico podemos estableshycer intuitivamente que las figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamantildeo
~
De las consideraciones anteriores resulta que toda figura ademaacutes de igual es congruente consigo misshyma
Por ejemplo
A=AyA~A
B=ByB~B
pero AB
Propiedades de la congruencia
10 - Reflexiva F ~ F
20 - Simeacutetrica F ~ R - R ~ F 30 - Transitiva F ~ R
r- r ~ S R ~ S)
La congruencia de figuras es relacioacuten de equivashylencia Por lo tanto en todo conjunto de figuras al aplicar la relacioacuten es congruente con se determishyna una particioacuten en clases de equivalencia
m SEMIRRECTA SEMI PLANO y SEMIESPACIO
1- SEMffiRECTA
La figura formada por un punto de una recta y todos los que le siguen en un sentido se l1ama semirrecta R ( )
b a c Notacioacuten atr semirrecta de origen a que contiene I
~ semirrecta de origen a que contiene c
r () atmiddot Ia II
~ ab y al scmlfrcctas opuestas
16 11
Todo punto de la recta es origen de dos semirrecshytas opuestas
Observacioacuten al Considerada la recta como conjunto de puntos
resulta que al efectuar la diferencia entre R y iexclt se obtiene una semirrecta an sin el orgien a llamada semirrecta abierta
R ~ ( bull 1)
b a c
Todo punto a separa a los puntos_ e la recta en dos semirrectas abiertas opuestas iib tit Por lo tanto en R se produce una particioacuten en los tres siguientes subconjuntos
Iiit a1 iexcliexclf I 2- SEMI PLANO
Semiplano abierto y scmiplano cerrado Toda recta R de un plano separa los puntos del
mi~mo en dos regiones llamadas
semiplanos abiertos
l iexcl 7 Cada una de las regiones I y Il del plano situadas
a ambos lados de R es un semiplano abierto
R borde o frontera de cada semiplano abierto
La unioacuten de cada semiplano abierto con la recta R es un semiplano cerrado o simplemente semishyplano
1 iexcl-u1 RZ 7 1 U R sp cerrado II U R sp cerrado
Notacioacuten
~ a) sP(Re) scmiplano de borde RQue contiene a c
o bien sP(mp e) semiplano de borde mp que contiene
a e b)sPIe) ab semiplano abierto determinado por R
que eoacuten tiene a e o bien
sP(mbull lt)ab semiplano abierto detenninado por mp que contiene a e
2 J Particiones determinadas por una recta R en Un plano
En dos subconjuntos
Se presentan dos casos
SPR e) sPIRe) abo
a) ab b)
SIP(Ib) sp(Rb)
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
16 11
Todo punto de la recta es origen de dos semirrecshytas opuestas
Observacioacuten al Considerada la recta como conjunto de puntos
resulta que al efectuar la diferencia entre R y iexclt se obtiene una semirrecta an sin el orgien a llamada semirrecta abierta
R ~ ( bull 1)
b a c
Todo punto a separa a los puntos_ e la recta en dos semirrectas abiertas opuestas iib tit Por lo tanto en R se produce una particioacuten en los tres siguientes subconjuntos
Iiit a1 iexcliexclf I 2- SEMI PLANO
Semiplano abierto y scmiplano cerrado Toda recta R de un plano separa los puntos del
mi~mo en dos regiones llamadas
semiplanos abiertos
l iexcl 7 Cada una de las regiones I y Il del plano situadas
a ambos lados de R es un semiplano abierto
R borde o frontera de cada semiplano abierto
La unioacuten de cada semiplano abierto con la recta R es un semiplano cerrado o simplemente semishyplano
1 iexcl-u1 RZ 7 1 U R sp cerrado II U R sp cerrado
Notacioacuten
~ a) sP(Re) scmiplano de borde RQue contiene a c
o bien sP(mp e) semiplano de borde mp que contiene
a e b)sPIe) ab semiplano abierto determinado por R
que eoacuten tiene a e o bien
sP(mbull lt)ab semiplano abierto detenninado por mp que contiene a e
2 J Particiones determinadas por una recta R en Un plano
En dos subconjuntos
Se presentan dos casos
SPR e) sPIRe) abo
a) ab b)
SIP(Ib) sp(Rb)
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
18 19
En tres subconjuntos SP(R )ab
Se presenta un solo caso ~P(Rb)b
En este caso para un punto p de a se cumple una y solarnente una de las tres sishyguientes posibilidades
o bien pE SP(R b)ab o bien EE SP(R pE R
3-SEMIESPACIO
Semiespaciacuteo abierto y semiacuteespaciacuteo cerrado Todo plano a separa a los puntos del espacio
exteriores a eacutel en dos regiones 1 y 11 llamadas semiespacios abiertos
L 1
11
De acuerdo con este criterio los puntos del phlshyno a nO pertenecen a ninguna de las dos regiones 1 y 11
La unioacuten de cadn cm iCiuacluacute abierto con el a es un iemiespado ccrrado o
11111
a
1 U a = semiespacio II U = scrniespaclo cerrado Lcrr~lhJ
amp IIIW
Notacioacuten sle a que contiene p p sic a que no contiene p
a cara de cada semiespacio
a
31 Particiones determinadas por un plano a en el espacio Todo plano a determ ina en el espacIO una particioacuten
r se a que con p rsle abierto a
en dos I que con p subcon- 1 sIe abierto a o bien
que no a que nojuntos I contiene p con p
sle abierto a que con p
b) en tres subculljulltos [ plano a se abierto el que no conL p
IV POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
1- RECTAS COPLANARES
Dadas dos rectas A y B de un plano a pueden presentarse las siguientes situaciones
11- A Y B tienen solamente un punto omuacuten
A Y B de termmun en a AyBcuatro regiones llamadas secantesXiquest aacutengulo
A(iB p
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
20 21
12- a) A y B no tienen ninguacuten punto comuacuten
7 )AyB
disjuntas
AnB=riexcl
AyBb) A Y B tienen todos los puntos comunes paralelas
r--- --7 -7
AyB AilB=A B coincidentes j
Dos rectas paralelas no tienen ninguacuten punto comuacuten o son coincidelltes Dos rectas coplanares son paralelos cuando no son secanes Toda recia es paralela a siacute misma
Propiedades del paralelismo de rectas
- Reflexiva AlA - Simeacutetrica AB lt=gt BA
Transitiva Si A Bl BCj- ACy
El parapelismo entre rectas es una relacioacuten de equiva- len cia
Direccioacuten
En el conjunto de rectas la relacioacuten es paralela a determina una particioacuten Cda subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una direccioacuten de modo que dos rectas tienen la misma direccioacuten si pertenecen a una misma clase
Semirrectas del mismo sentido
Dos semirrectas incluidas en la misma recta son del mismo sentido si una incluye a la otra
-- bc - He ~ Dos semirrectas iacutendu idas en redas paralelas diferenshy
tes tienen el mismo sentido si estaacuten incluidas en el mismo serniplono con respecto a la recta determinada por los oriacutegenes Ejemplo
R a b RS I ab J ed ao L siexclP(acb)S d ~ y del miliJlloclr e sP(ae bull ) e J sentido
Ra b - -r ) ~ S lb cd S lt ~( sP(e) ~ y de sctido
iexcl ti e cu sP(acd) J eontrano 2- RECTAS NO COPLANARES O_ALABEADAS
bull
MIlR=riexcl
-
M Y R alabeadas
Dos rectas son alabeadas cuando no son coplanares Dos rectas alabeadas no son secan tes ni paralelas
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
22
I ------------------_~~ V _ POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN I Yl - POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
PLANO 11 Dados dos planos a Y (J pueden presentarse los siacuteguienshy
1 tes casos Dados un plano a y una recta A pueden presentarse los
siguientes casos I L-a y (J tienen solamente una recta comun l - A Y a tienen solamente un punto comuacuten
Al
1m A t[ a 1 A ya
f secantes J I J
An a=mj
2 a) A y a no tienen ninguacuten punto comuacuten
A
m
ALai Ana=ltgt
b) Todos los puntos de A pertenecen a a
A e a
A n a = A
Una recta y cuando no tienen
un comuacuten o
Aya
paralelos
bien cuando la recta estaacute incluida en el plano
a y (J determinan en el l ay(Jespado cuatro regiones
llamadas aacutengulos die- f secantes dros
J
2- al a y f3 no tienen punto comuacuten 1 ay(J 7
disjuntus(1 an(J~cp
ayjl
a y jl tienen todos los comunes
ayjliexcl I coincidentes
anjl=a~il
lO ticnen ninguacutenDos punto conniacuten (j 011 coincidenes Todo nlano es oaralelo a siacute mismo
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
24
VII - SEGMENTO
1- DEFINICIONES 11- Segmento Se llama segmento ab a la interseccioacuten
de las semirrectas ab y bao
~
a - abCati -- __ - ab n ha = ab ah Lba
_ a y b extremos del scgmento 1a E Jb ) bE ab
Todo punto dc ab distinto de a y de b es punto interior
- Si a = b iiii segmcnto nulo
12- Segmento abierto es el conjunto de los puntos interiores de un scgmento (se excluyen los extreshymos)
R a Nl)ll1cioacuten-k -f _ bull a rlc ab ab o bienab a bl = ao b~ se lee segmcn to abierto ab
13- Segmento semiabierto (se excluye un extremo)
( R a b Notacioacuteno bull l c-- shyab - a 1= degab a q~ ab o bien lab se lee segm semishyabierto ab
211
Notacioacuten
iexclf ~o bien ao[ R abull I ~
S - b 1= a b e ati se lee segmento semiabierto ab
2- SEGMENTOS CONSECUTIVOS
Dos segmentos son consecutivos cuando tienen solamente un extremo comuacuten Ejemplos
b e avea
b
abnbeacute = b b extremo comiexcl
21- Segmentos consecutivos colineales be d R
( a bull )
ab CR be e R co C R
ab y be consecutvos ~ iib be cd consecutivosOc y w conseculJvos J
22 - Segmentos consecutivos no ca lineales Poligonales
g7fd~h b
a~ e b
f g ~p
abierta e cerradaabierta cerrada ~ ~
poligonal cruzada poligonal simple
3- COMPARACION DE SEGMENTOS
Dados dos segmentos pueden presentarse las sishyguientes posibilidades
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
26
31- Segmentos congruentes
Dos segmentos son congruentes mando al transo portar uno sobre otro mediante un movimiento coinciden sus extremos Ejemplo
iexcliexcliexcl ~ cd---- c
Propiedades de la congruencia de segmentos a) Reflexiva ab al)
b) Simetrica Si ab ca ca 2 ab e) Transitiva Si 3D 2 ca _ al) el
y ca 2eacuteT a - e
La congruencia de segmentos es una relacioacuten de equivalencia
Longiacutetud
En el conjunto de segmentos la relacioacuten es congruente con determina una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es Una clase de eq uivashylencia que define una longitud De modo que dos segmentos tienen la misma longitud si pertenecen a la misma clase Ejemplo
Si ati cd =gt long ao = long ca
3 Segmentos no congruentes
Dados dos segmentos no congruentes resulta que uno de ellos es siempre congmente Con una parte propia del otro
a i
e
i b b
d iexcliexclY~ca
iexcljjj cb Cb e ca long iib lt long Cd long ca gt longiiiacute
El uso de los siacutembolos lt = y gt entre segmentos se refiere a la longitud de los mismos
4- OPERACIONES CON SEGMENTOS
4 l - Adicioacuten
Dado que los segmentos son conjuntos de punshytos y los conjuntos no se suman es necesario aclarar queacute se entiende por adicioacuten de segmentos
- - - -Dados ab y CQ iquest queacute significa ab + cd Sean por ejemplo Construimos
r E s j bull fa~)
rp 2 ab ps 9 cae d r
ptal que 1 r y _ colineales ps
e
La construccioacuten geomeacutetrica que realiacutezamos ~ra hallar lo que comuacutenmente llamamos suma de iili y C(I es la unioacuten de dos segmentos consecutivos colineales congruentes a los dados
Entonces
[ab-u~es deciriexclaD+Cir-Ts
Cualquier otro segmento congruente con iS pueshyde considerarse como resultado de la unioacuten
La longitud de n es la suma de las longitudes de iexcljjj y ca
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
42- Sustraccioacuten Dados dos segmentos mp y qr tale que
TIrp gt qr se llama diferencia al segmento t que sumado a qr deacute por resultado intildefi
Entonces
[IDTgt=middotclr if-~ -sr + qr = mpl
Constnlccioacuten geomeacutetrica
Sean por ejemolo Construimos
~~ C _ ~ mpA
bull -- BID r pmr~
Ji -lf= t=t +lr= A
43- Producto de un segmento por un nlIacutemero nalllra
Se llama producto de aiexcl por un numero natural n a la suma de n segmentos congnlentes al dado ao X 6 = as tal que lrr es 6 veces iili
44-- Cociente de un segmento por un lIacutemero natural
Se llama cociente de un segmento ab por un nuacutemero natural n al segmento que rntildeultiplicado por n es igual a -iexcliexcliexclj
ab 3 = as tal que as X 3 ~ ao
al s iexcl
VIII- FIGURAS CONCAVAS y FIGURAS CONVEXAS
Una figura es convexa cuando todo segmento detershyminado por dos puntos de la misma estaacute incluido en ella
~ a
a iexcliexcl el
f Hg coacutencavaiib c F F
f - Hgmiddot cotwe)ta b
definicioacuten de figuras conve~as De acuerdo con la
el plano result~l que -
figuras (ull shy
R~ uumlbL R ib e ()(
- ab ~ ab ~ ~ ~~
~
al) rs aacuteb e Ipmiddotl ~
_ AacuteNGULOSl Daco (IU luuml definidones son con~~ncic1es se pueshyde1 adoptarcdiferentes criterios para defnr a1julos
_ CONSU)ElANDUuml SEMlLiexclNOS
Definicioacuten Dados tres pU1to 10 ahneados (lJ) _ AngulaS convexos ) e
~
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
10
se llama aacutengulo convexo o simplemente aacutenlJldo a la interseccioacuten de los semiplanos ab que contiene e y ac que contiene b
tZff SP(a) n P(abe) = b~c convexo o simplemente
aacutengulo
~alt ab y ac lados ab- (1 -l IIaac =
-------f-- a veacutertice e
bac llano
31
b
a
n
~H1 ffi1 lt spacb) U sP(abe) = ntilde1rin coacutencavo
t 2middot CONSIDERANno SE~LRRECTAS
Definicioacuten se llama aacutengulo a la unioacuten de dos semishyrrectas de oriacutegen comuacuten
a
-+ -r o~ oa (j OD = aob
i
A De acuerdo con este concepto d aob estaacute forma-
do SO[iexcllwnte por las dos semirrectas oa y ob El Job separa los puntos del plano en dos regiacuteoshy
nes iexcliexclbiertas una convexa y otra coacutencava
Los lados de un aacutengulo Hano son semirrectas opuestas regioacuten a
regiOacuten El aacutengulo llano es un semiplana cerrado y
maacutes es una figura convexa adeshy coacutencava o Convexa
m P ba
12- Angulos coacutencavos
Definkiacuteoacuten Dados tres puntos a b c no alineados se llama aacutengulo coacutencavo a la unioacuten de los semiplashy A
nos ab que contiene a c y ae que conlIacuteene a b m eacute aob rn E regioacuten convexa A
p eacute aob p E regiQn coacutencava
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
32
A El aob determina en el
tres subconjuntos r)lioacuten convexa
- aob regioacuten coacutencava
A
a una particioacuten en
La unJon de aob con cada Una de las regiones anteriores conduce a la nocioacuten tnldicional de aacutengushylo expresada en 1
a) a
o~ - reglOll convexa
A aob U convexa =- regioacuten angular convexa
~Iangu o convexo
b)
1~~lWpa
~MJ$ A
aob U feacutegioacuten cOacutencava = regioacuten anftuJnr coacutencavl
aacutengulo coacutencavo
En el desllrrolo del Imsentc trabajo se utilizaraacute el criterio expuesto cn1 -
~ 11I1)
Bmiddotmiddot
3- COMPARACION DE ANGULOS
Dados dos aacutengulos pueden presentarse las si guientes posibilidades
3 l - Angulos congruentes
Dos aacutengulos convexos (o coacutencavos) son conshygruentes cuando al trmsportar uno sobre el otro medmnte un movimiento coinciden sus
A a y P congruentes
Notacioacuten
I~tl La congruencia de aacutengulos cumple las mismas
propiedades que la congruencia de segmentos por consiguiente es una relacioacuten de equivalencia
Amplitud
En el conjunto de aacutengulos convexos (o coacutencavos) la relacioacuten es congruente con detemlIacutena una particioacuten Cada subconjunto de la particioacuten es una clase de equivalencia que define una amplitud De modo que dos aacutengulos tienen la misma amplishytud siacute pertenecen a la misma clase
32- Angulo no congnentes
Si dos aacutengulos convexos no son congruentes uno de ellos es congruente con una parte propia del otro
A 1
e abe mpq A ~iquestA A
abe moc y mpc e mpq
b~ p v 1 I m
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
34
A A A A
amp abe lt ump rnpq aillpL mpq gt abt
Debe knerse presente que el empico de los signos lt = ygt entre uumlnguos se refiere a las amplttudcs de 1m mismos
4- ANGULOS CONSECUTIVOS
Dos aacutengulos son consecutivos cuando titnen solashymen te u n lado CQITl Uacuten
A A bltJi Y tad con~ecLltivos
A hae n cad = al (ludo comuacuten)
5- ANGULOS ADYACENTES
Dos aacutengulos Consl-C-utivos son adyacentes cuando los lados no comunes son semirrectas opucsta~
A ltshybae y cad consecutivos 1 A A
ti y ii~ semirrectas op J buc y cad adyacentes
La unioacuten de dos uacutengulo- adyacentes es un aacutengulo llano
En este caso
A
bae u cad bad (llano)
6- ANGULO RECTO Si dos aacutengulos adyac~lItes son congruenwscadfmiddot
uno de ellos es un aacutengulo recto Noacutetaciacuteoacuten
aacutengulo recto 1 R il
(
A A l A A aob y bol adyaceacutenleacuteS [ aob y bol rectos
A A Job bol aoh = 1 R boc = I R
7- ANGULOS AGUDOS y OBTUSOS
7 L Angulos iexcliexclgudos
1 I
ti agudo I~L Jlegtlt l R
72- Angulos obtusos
______ bI I
AogtlR PR lt(ilt 2 R] jlt2R
lti obtuso]
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
36
8 OPERACIONES CON ANGULOS
81- Adicioacuten
Las consideraciones hechas para adicioacuten de seg mentos (ver VIlmiddot-A) son vaacutelidas para adicioacuten de aacutengulos
Dados
~amp fj=ltfj ~ y fj consecutivos
Se puede construir
llama diacutefe=r=en=-c-iexcl-a-e-n-tr-e--~--t----middot---o-~ sumado a t deacute por reSultadiquest~ al iexcliexcl -angulo
t hA A A ex - ~ =Ii tiacute + ~ = ex
Construccioacuten geomeacutetrica ConstruimosSean por ejemplo
a
o
b
a aOc ti aSb 13
b~ ~~ ex -13 = oacute porque iexcliexcl + 13 = ex
83- Producto de UII aacutengulo por un nuacutemero lIatural Se llama producto de un aacutengulo por un nuacutemero
natural n a la suma de n aacutengulos congruentes al dado
gt oex X S = aOO tal que aob es S veces a
~ U~ =lt ~ es decir ~ +iacute=5 o
Existen infinitas soluciones todas congruentes entre siacute entonces basta elegir una cualquiera de ellas Lo
La amplitud de Q es la suma de las amplitudes de ampy t bo
84- Cociente de un aacutengulo por un nuacutemero natural82 Sustraccioacuten
Se llama cociente de un aacutengulo por un nuacutemero Dados dos aacutengulos ex y ~ tales que ~gtiacutef se
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
~ ~38
ma de sus amplitudes es igual a la amplitud de unnatural n al aacutengulo que multiplicado por n es igual al aacutengulo dado recto
Ejemplo I~ +j=1 RI bullbull 1 Aaob 3 = a porque a X 3 = aob
Clt
11- ANGULOS SUPLEMENTARIOS Dos aacutengulos SOn suplementarios cuando la suma
de sus ampliacutetudes es igual a la amplitud de un
o b llano
9- MEDIDA DE ANGULOS
A cada clase de equivalencia (ver Amplitud IX 31 -) se le puede hacer corresponder un nuacutemero que es su medida
Si a cada aacutengulo reclo se le hace corresponder el nuacutemero 90 entonces 90 es la medida del aacutengulo recto ~+1 1 llano bull--Si se divide un recto por 90 se obtiene un aacutengulo 2R
1 R li ~ 1 R 90 - 90 Dos aacutengulos adyacentes son siempre suplemenshy
Este aacutengulo se llama aacutengulo de un grado (10) y es la unidad tarios del sistema sexagesimal de medicioacuten de aacutengulos
Luego 1 R ~ O Y 13 adyacentes ampy ~ suplemldeg 1 R = 90deg dA 90
4 Dos aacutengulos suplementarios no siempre son adyashy
ldeg Submuacuteltiplos del grado
centes - minuto ( ) 60 l 11 e = 60 I - segundo ( ) Gy 13 suplementarios
amp y 1t no adyacentes60 =1 E= 60J
10 ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos aacutengulos son complementarios cuando la sushy
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
---- -----------------------------40 ~
4f 12- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los cuatro aacutengulos formados por dos rectas perpenshy -gt diculares son rcctos d ati y ae 1
En la praacutectica para verificar si dos rectas secantes - gt semirrectas opuestasae y r j son perpendiculares es suficiente comprobar que uno
de los aacutengulos formados es recto ya que se puedeb ae y dae baacuteCJ Y caacutee J opuestos por el veacutertice demostrar que los otros tres tambieacuten lo son
Luego los lados de un aacutengulo recto y sus semirrecshye e tas opuestas forman rectas perpcndiculares En esta
Los aacutengulos opuCStos por el veacutertice son conshy condicioacuten se basa d trazado de reclas perpendicularesgruentes con eseultldr
13- BISECTRIZ DE UN ANGULO L l Propiedades de la relacioacuten de perpendicularidad enshy() e lb 1oc ao tre rectas
ot= bisectriz de a~b Propiedad simeacutetrica middota~~ rob J
r
ACf b
iexcl I
A1SSlAB
X PERPENDICULARIDAD
1- RECTAS PERPENDICULARES No se cumleIl las siguintcs propiedades
A al Rdkxiva AJA A n B = 1r A Y 13 secan tes h) Transitiva si AlB 4 ~~~ yBIC AI- e1320304 AlB
resulta 11 e 312
r r piacutee de la perpend icu lar
B Lutgtgo la perpendJcularidad no es relaclolI de equishyvaknda
OBSER VAClOlV
Al 13 1 Dos rectas secuntls son pf~rpendjculares cuan~ A 1 C
1II =o-AIIBdD determinan cuatro tIacutenguos congruentes B 1 eDos rectas secuntcs son oblicua) cuando IlO C 1 ~ J
son perpendiculares
i
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
J
42 4(j
bos rectas coplanares perpendiculares a una tercera son paralelas (En esta propeddd se basa la Cuumliexcl1struccioacuten de rectas paralelas)
H-1shy A I Siacute A 1 B toda reeta perteneciente
a la direccioacuten de A es perpendicular
- 1shy- c-B
+
1 f-- - shy a toda tecta perteneckntc ti la direeshy
~ - shy cioacuten de B 1shy 1shyl- 1shyf-
~f-+- H-I--fshy
12- Mediatriz de un segmento
~ R a
rb lb I middot r R bull
ar = ro r b _ R mediatriz de ah
R 1 ah en r
2 RECT A Y PLANO PERPENDICULARES
M
a
M na iexclrl M Y a ltleantcs Ac(iacuteiexclBC a(Ca
MIA MIB lI L ( l en r M 1 a
_ ~~~Him- ~I
43
Una recta secante a un plano es perpendicular al mismo cuando es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan por el punto de interseccioacuten Una recta secante no perpendicular a un plashyno es oblicua al mismo
La condicioacuten necesaria y suficiente paraacute que una recta sea perpendicular a un plano es que sea pershypendicular a dos rectas del mismo que pasen por el punto de inkrseccioacuten
ACa Bea AnB=iexclp)
RIAenpl R la RLBenp f
3 PLANOS PERPENDICULARES R
Ci a n (1 R =gt a y (1 secantes
AA 1 1
R dall=diexcllll=doY=dYa altlY
Ii
Dos planos secantes son perpendiculares cuando ddcrminan cuatro aacutengulos diedros C()ngnJcnlcx
Dos plJlnOS secantes son oblicuos cuando no son perpendicuans
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
44
XI - DISTANCIA
1- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos dados l~S la longishy
tud del segmento que tiene por extremos a d puntos Ejemplo )
a_______
distancia entre a y b ) 10nlitud ab
Id (a b) = long ii) I L l Propiedades
al a = b d (a b) ~ O = a = b _b a
b) - d (lb) ~ d (ba) a b
e) x
~ a b
d (ab) lt d (ax) + d(xb) 1 d(ax) + d(xb) d (ab) = d (ax) + dlxb) j
diquest a d x hb
X punto medIO
Si d(ax) = d(xb) x equidista de a y b
2-- DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y
La distancia entre un punto y una recta es la distancia entre el punto y el pie de perpendiacutecubtt trazada desde dicho punto a la recta
Dados p eR pm 1 R
p R d Ip R) = d (p m)
m
3 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS La distancia entre dus rectas paralelas es la disshy
tancia entre un punto cualquiera de una de ellas a la otra Ejemplo Dadas Al B
P E A pmlB l
d(AB) = d(pB)
4 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO La dislanciiexcliexcl entre un punto y un plano es la
distancia entre el punto y el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto al plano Ejemplo Dados p Et IX pm l iexclX
p
d (pIX) d (p m)
IX
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
-----
46 5- DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS
La distancia entre dos planos paralelos es la distancia entre un punto cualquiera de uno de dios al o Iro plano Ejemplo Dados 9 I (3 l E O pm 1 (3
p
Q
ltI(rx(3) d(p(3)
In
(3
EJERCICIOS DE APLICAClON
L En los casos posibles remarcar la inteacuterseccioacuten de A y B Dalos rA cuadrado
lB borde del triaacutengulo
a) b) el 0
)71d) e) fl
2 Rayar la regioacuten que correspofllleacute a la operacioacuten indicada
A --gt- Be~-_-shyQ a -shy
amiddotA a B A ciacuterculo abkrlo B ciacuterculo
OO
a Ce c dnunfercncia
J- a ~ el i l
iexclJi middotC abmp r Da P poIiacuteg prmcdl R lt1[lt1
b m c Compktar
a)UP b)CliP= eiR-e tl)(Cnp)middotmiddot( ej( (((lP)middotmiddotmiddoto
4 Normbrar las semirreelas tlc origcn ti b b que se detennishynan en R
( R bull gt raquo b
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
48
5 - Designar los semiplanos determinados por RoM en a
6 - Completar bull
R al t U 6 = ( bull ji b) ab n bo
a b e dcblfte= d) be ba =
7 Dibujar un plano a al Representar la [Cel R y los puntos m P s t v tal
que R L a mEam1 R pE pE sP(Rm) sEa sfsl(Rml
t tf (X
vERyvEps
b) Completar con V o F el Completar mp e sP(Rm) ntildeIacutepnR=
ps n RPs e sP(Rm)
8 Dado
Resolver
al sP(Mr)n SP(Ms) =
b) SP(Mr) U Sp(Ms)ab = el sP(Mr) M =
d) (X - sP(Mr))
el (X - [ sP(Mr)ab U sp(Ms)ab J~
T de modo que9 - Dado un plano (X dibujar las rectas R y
cumplan las siguientes condiciones
RC(XT~RnT s 10- Dada la siguiente figura a
I l v -- I f y
I H j
b e
d
g r
a) Determinar por extensioacuten el conjunto S de segmentos
que tienen por extremo al ponto b b) Los segmentos bj y bg iquestson consecutivos SI NO
iquestpor queacute) e) Considerar las poligonales aeigdc y jbk
Nombrar dos segmentos no consecutivos en acigdc 20 Nombrar segmentos consecutivos en jbk
11middot Dados los siguientes pares de aacutengulos a) Completar
2deg)
OV) ampnamp O ampn~=ID 3deg) 4deg)
(j
deg~---__---P aY
fine eacuteJ ampn6=D
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
--
50
50)
(0) 7deg)
~ Liquest_ ~~ ltn~D -amp nf=CJ dn~=D
b) Rayar en cada caso la zona que corresponde a ampn~ 10
20
q ~ _______i3
30
4deg
ex 3
12- Dados los siguientes aacutengulos
( ex
a) Construir lQ Angulas consecutivos respectivJmentc congruenshy
tes a cada uno de los dados 2iexcliexcl Angulas del mismo veacutertice congruentes respectishy
vamente a cada uno de los dados tal que A o_3L(C
b) Elcgir pares de aacutengulos de modo que su unioacuten sea
-2-- Un aacutengulo convexO 2D - Un aacutengulo coacutencavo
13-- En la figura del ejercicio 10 J) Considerar los oacutengulos de veacutertice b Y nombrar
1Q) uacutengulos agudos ~~ ingulos rectos 3Q) pares de [iexclngulos complcmcntJrios 4Q) lares de aacuten~u los suplen10n tarios - shy
SQ) aacutengulos consecutivos con abj
b) Nombrar los pares de I1~ulos opuestos por el veacutertice e) Completar C(Y ~ Oacute 4 scguacute n corresponda
~ lkf di eki ~ A ~ ~ )bhgol gbh hbl
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
52
d) Expresar el resultado en grados ~ ~
10) djb + bje = ~ ~
20) hile + kif = ~ ~
30) bgi + gib + ibg =
el Completar las siguientes expresiones
10) bjJ jbe =shy~ ~
20 l abe U jbe =
14- Dados en un plano
m al iquestCuaacutentas rectas se pueden trazar por m
b) iquestCuaacutentas rectas oblicuas a R se pueden trazar por m
el iquestCuaacutentas rectas perpendiculares a R
~ se pueden trazar por m d) iquestCuaacutentas rectas paralelas a R se
al Representar graacuteficamente las distintas posibilidades en que puede encontrarse C respecto de A y expresarlas simboacutelicamente
b) [ndicar en queacute casos se cumple la transitividad
a17 Dada la siguiente figura
Aplicar en C ce l a b e d m p p
m
dba) R es oblicuo aH b) R2 bullbull bull es paralelo a e) R es perpendicular aH
e
lQ Representarlas cn un diagrama de Venn 22 Determinar el conjunto de pares ordenados que
cumplen cada relacioacuten 32 Indicar las propiedades que se cumplen
18- Comoletar el cuadro con Oacute 1 seguacuten corresponda
pueden trazar por m ~
15 Dados
Rectas A Y B no coincidentes
mEAmEB Puntos m p tales que p E A P E B
al iquestQueacute se puede decir de m y p b) iquestQueacute se puede decir de A y B
16~ Dadas en a A B y C Suponiendo que A y B fijas
y ALBBLC
CID I A B
A
1L
B J
e 1shy- r-
D
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
54
XII - FIGURAS CIRCULARES
]- CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia de centro o y radio r al
conjunto de puntos del plano cuya distancia al punshyto o es igual a r
o C(or) circunferencia de centro O
y radio r
C(or) = Ipp Ea d(op) = r a
La circunferencia es la frontera que separa al conshyulltO de puntos del plano en dos regiones una ilteshyrior y otra exterior
La regioacuten interior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor que el radio
interior bull
d(p o) lt r p es punto interior a C(o r)
Regioacuten iacutenterior=jppEo d(po)ltr 1
frontera
La regioacuten exterior es el conjunto de puntos cuya distancia al centro es mayor que el radio
~ frontera
d(q o) gt r q es punto ~ exterior a C(o Tiacute
Regioacuten exte~ior=qqE( d(poKrq ( exterior
2lt CIRCULO
Se llama ciacuterculo de centro o y radio r al conjunshyto de puntos del plano cuya distancia al punto o es menor o igual a r
ltlO
Circ(or) ciacuterculo de centro o y radio r
Circ (or) =pPEa d(p o) lt rl
regioacuten interior
Otra forma de definir c(rculo
Se llama ciacuterculo de borde C y radio r al conjunto unioacuten de los puntos de la circunferencia con los puntos de la regioacuten interior
Ciacuterc(or) = C(or) U Regioacuten interior
3 CONGRUENCIA DE CIRCUNFERENCIAS Do circunferencias de distintos centros son conshy
gruentes cuando sus radios son iguales
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
56 bull
~ 04 o
o I C(or) ~ C(o r)
Si r r
4- POSICIONES RELATIVAS DE UNA CIRCUNshyFERENClAY UNA RECTA
Dadas una circunferencia y una recta en un mismo plano pueden presentarse las siguientes situaciones
41
ro ----- C(or) n E 1gt =gt E Recia exterior
Se verifica que
d(oE) gt r
42shyT
ro
C(pr) n T ~ iexclmI=gt T~recla langente 1 l en m
Se verifica que doT) = r
----~---~ 43-shy s
C(or) n S =pq=- S recta secante
Se verifica que dloS) lt r
pq L S iexclq cuerda
s q
Si o E pq =gt pq diaacutemetro
5- ARCOS Y SEGMENTOS CIRCULARES
Toda cuerda determina
dos arcos en la dos segmentos drculares circunferencia en el ciacuterculo
Ejemplo Ejemplo
C(or) Clor)aiexcl--_ ~ iexclt ~
tl al)shy apb
c c
Cuerda iexcliexcl r- cuerda ab arcos ati y acb segmentos circulares ab y acb
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
1
58 ( e
Cuando la cuerda es un diaacutemetro
C(or) Ciacutere( On ~
a I ~ iexclb ili diaacutemetro a o ) h ab diaacutemetro
e - ati aeb ~8i
iexcliexcliexcl y aeacute~ semicircunferencias y iftt) lemic iacuterclllos
6 POSICIONES RELA TIV AS nE DOS CIRCUNFEmiddot RENCIAS EN EL PLANO
Dadas C(or) y C(or) pueden presentarse las siguientes situaciones
61- Circunferencias disjuntas C(or) n C(or) = 1gt
a) Exteriores b) Interior
o
l)
k ehlo l i
Conceacutentricas 0= o
62middot Circunferencias no disjntas C( or) n C( o r) i
a) Orcunjerencias tangentes
C(or) n C(or) = iexclq
1) Ex teriores 2) Interiores
bl Orcunjaacuteenclas secantes
C(or) n C(or) = sp
s ---- r
o
7 ANGULO CENTRAL
Angula cuyo veacutertice es el centro de la circunfeshyrencia y sus Jados pasan por dos puntos de la misma
( Ire(or)
A
alb n
-iexcl aacutellgu lo cen Ira I
() b n (or) = ab C(or) = sector circular aob
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
I
Si 30b 2 Rectos =gt sector circular aob semiciacuterculo
60
teacuteticamente inelaacutestico) La longitud del hilo exten dido representa la lonjlitud de la circunferencia
8- CORONA CIRCULAR 1O 1 - El nuacutemero Matemaacuteticamente se demuestra que la relacioacuten
entre la longitud de una circunferencia y la longi tud de su diaacutemetro es un nuacutemero constante
long cimmfer= 314159 long diaacutemetro
d longitud del diaacutemetro
se expresa C(oriacute = 314159bullbullbull d
Corona circular(orr) =
Este nuacutemero constante se designa con la lemiddot = Ciacuterc(or) - ~ puntos iniacute Ciacuterc(or) 1 tra Usualmente el valor que se torna de esl )
=3141 9- TRAPECIO CIRCULAR
De la expresioacuten anterior se deduce
long C(or) = 1Id o bien long C(or) = 211r 2f
W 2 - Longitud de un arco de circunftr l1ua
Partiendo de las relaciones entre arcos y aacutengumiddot los centrales se puede calcular la longitud de cualquier arco de aacutengulo central erbullbull
Considerando a la circunferencia el mayor de los arcos cuyo aacutengulo central es de 3600
es
Trapecio circular abcd Corona circular (o r r) n aob 360-- 211 r
211 r 360
10- LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 211ro ~ 0--shy360 180Concretamente se puede obtener la longitud de
una circunferencia cubrieacutendola con un hiacutelo (hiposhy 1-o-n-g--a-rco--=-1-Tlr~iacutei~1
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
I I
1 1
62
EJERCICIOS DE APLICACION 19- Indicar en los enunciados siguientes con V si es verdadero
y con F si es falso al Una recta que interseca a una circunferenciacutea en un pun-to la interseca en dos ( 1 b) La interseccioacuten de una recta y una circunferencia pueshy
de ser vaciacutea ( 1 el Una circunferencia y una recta pueden tener tres punshy
tos comunes ( ) dl Circunferencia de radios congru~ntes son congruentes
( ) e) Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en
suacute punto medio diacutecho puntildeto es el ccntro de la circunshyferencia ( )
f) Una circunferencia puede contener 3 puntos alineados ( )
g) Dos tangentes a la misma circunferencia pueden ser perpendiculares entre sIacute ( 1
20- Si ah y cdson diaacutemetros de Circo (or) completar a) ab n cd _ b) abD
XIII- POLlGONOS
1- DEFINICION
ya
eb
regioacuten interior
poligonal I ~ c d
- mpqrstuvLa unioacuten de cada poligonal abcde y
con su correspondient~ regioacuten interior se llama poliacutegono Ejemplo poligonal abcde U regioacuten interior poliacutegono abode
poligonal mpqrstuv v regioacuten interior = poliacutegono mpqrstuv
De acuerdo con la clasificacioacuten de figuras convexas y coacutencavas (ver VIII-) resulta
poliacutegono abcde convexo poliacutegono mpqrstuv -- gt coacutencavo
2 POLlGONO CONVEXO Ademaacutes del criterio enunciado en 1- se pueden
adop tar otros criacutetcrios para definir poliacutegonos conveshyxos
Dados en un cierto orden tres o maacutes puntos por ejemplo a b e d e tal que tres cualesshyquiera no esteacuten alineados y que la recta detcrminashyda por dos consecutivos deje a los restantes en un mismo semiplano Seacute llama poliacutegono convexo abcde
21 a la interseccioacuten de
sP(abc) sP(bc sP(eab)
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
811
poliacuteg abede = sp (abc)n SP(bcdJn siexclp (ede) n sp(dea) n SP(eab)
22- a la interseccioacuten de abe b~ ceacutete dCa y eiacuteib
A
11 poliacutegbullbede = tc n bCd n cde n
I I 1 de n eab
1
11 I 1I
Ir
3- ELEMENTOS DEL pOLIacuteGONO CONVEXo
veacutertices jgt S d _ lados ab be cd de ea aacutengulosirJferiacuteores btc be
- - - -1 I - - 1
I _
-
3
1 beacuted--dlc iexclfea
aacutengulos exteriores Aacute1 k 3 45
2
diagonales ac id bd be ce
Angulo exterior aacutengulo adyacente a uno inshyterior
En cada veacutertice hay dos aacutengulos exteriores opuestos por el veacutertice y por lo tanto congruentes
~ ~ bull bull
b A
bac aacutengulo interior
Wiexcl aacuteftgulos ex teriores a B
e
En general al hablar de aacutengulos exteriores de un poliacutegono se considera uno por cada veacutertice
Diagonal segmento determinado por dos veacutertices no consecutivos
4- CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS SEshyGUN EL NUMERO DE SUS LADOS
Cuando en el coacutenjunto de 105 poliacutegonos se aplica la relacioacuten tiene tantos lados como se produce una particioacuten en clases de equivalencia que da lugar a la siguiente clasificacioacuten
NO de lados
3 4 5 6 7 8 9
10
nombre
triaacutengulo cuadrilaacutetero pentaacutegono hexaacutegono heptaacutegono octoacutegono eneaacutegono decaacutegono
NO de lados
11 12 13 14 15 16
n
nombre
undecaacutegono dodecaacutegono poliacuteg de 13 lados poliacuteg de 14 lados pentadecaacutegono poliacuteg de 16 lados poliacuteg de Iacutellado~
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
66
5- TRIANGULOS POUGONOS DE TRES LADOS 53- Suma de los aacutengulos interiores de un triaacutengulo 51- Veacutertices y lados opuestos La suma de los aacutengulos interiores de un triaacutenshy
Un veacutertice y un lado de un triaacutengulo son gulo es igual a un aacutengulo llano o dos rectos A A Aopuestos cuando el veacutertice no es extremo de a+b+c=2R
dicho lado Ejemplo
54- CLlIgruenciacutea de triaacutengulos
Dos triaacutengulos son congruentes ellando al sushya veacutertiacuteces lados perponerlos mediante un movimiento coinciden
a y sus pares de veacutertices correspondiente be b y ac ~uestos e y al)
bL e
sbull mGeneralmente se designa cada lado con la letra
mayuacutescula correspondiente al veacutertice opuesto
a t r
u
p b ~oA
e52- Angulas y lados opuestos
a aaacutengulos lados A
h a
y y ~l
b opuestos b
e y ~J Estos triaacutengulos son congruentes
Por ejemplo lA I rffe a mA - a~c SE rJPrpueden coincidir mediante un movi b-pmiento
c-r
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
68
De donde resulta
lados aacutenguios
Aa~ mah e mp OcePr Abep
ac~ mr e r
Si dos triaacutengulos tiexclenen sus lados y aacutengu-I los ordenadamente congruentes entonces
llos triaacutengulds so~ congruentes__ __
bull
Para establecer la congruencia entre dos trianshygulas es suficiente que se cumpla la congruencia entre tres pares de elementos convenientemente elegidos
De acuerdo con lo expresado se enuncian los siguientes criterios de congruencia de triaacutengulos
Primer criterio Si dos triaacutengulos tienen sus tres lados ordeshy
nadamente congruentes son congruentes
c
6b f ~~1 ~ ~ abc~ def
ac di
d~
Segundo criterio
Si dos triaacutengulos tienen dos lados y el aacutengulo comprendido ordenadamente congruentes son congruentes
c
a~b a1 de
f 1
I beacuteef r=gtabc def shyhe J6
Tercer criterio Si dos triaacutengulos tienen un lado y dos aacutengushy
los ndenadamcnte congruentes son conshygruentes
e
~b ab de 1 a
f h a
gtd - J abe ~ def
d~e b~ e
6
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
70
e
~ aacuteblde ~ JI ltlof aS d abe def A e S f ~
Para recordar los criterios se puede recurrir al siguiente esquema
Primer Criterio i L L Segundo criterio L a L Tercer criterio L a a _ _ _~ _-__shy _ __shy -__ shy -
L Jado
a aacutengulo
55- Clasificacioacuten de triaacutengulos a) Seguacuten los lados
- TridnguJosi~oacutesceJes Si un triaacutengulo tiene por lo menos dos lados congruentes es isoacutesceles En el caso particushylar de que el triaacutengulo isoacutesceles tenga los tres lados congruentes se llama equilaacutetero
- Triaacutengulo escaleno El triaacutengulo que no es iacuteoacutesceles se llama escashyleno
b) Seguacuten sus angulos
Si el triaacutengulo tiene Se llama
un aacutengulo recto rectaacutengulo
un aacutengulo obtuso obtusaacutengulo
tres aacutengulos agudos aeu taacutengulo
-1j f - Tritingulo rectaacutengulo~
El lado Opuesto al aacutengulo recto se llama hipotenusa los otros dos lados catetos
1 1 1 a l~[o b y e agudos
be hipotenusa b ba yac catetos
a
La suma de los aacutengulos agudos de un triaacutenshygulo rectaacutengUlo es igual a 1 R 1 -1 b+c=lR
56 - DiIlgromas de clasificaCioacuten de triaacutengulos
a) Por los lados r ~ I triaacutengulos 1 E I escalenos I
1=
tisoacutesceles l L = IJ equilaacuteterosl
JE 1tr L
E U 1 = T Eflr=~
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
72
Esta clasificacioacuten produce en el conjunto de daacutengulos una particioacuten en dos subconjuntos
EeI
b) Por los aacutengulos
T =triaacutengulos1 1 IA t obtusaacutengulos
B 7 rectaacutengulos 1 T
~ B G
t U
e = acutaacutengulos1 bulli
AUBUC=T
bull
AnB=BnC=Anc=q
Esta clasificacioacuten produce una particioacuten en bull
tres subconjuntos A Il C
57- RELACION ENTRE LOS LADOS DE UN TRIANGULO (Propiedad triangular)
Cada lado de un triaacutengulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su difereneacuteIacutea
bull
b Ej Para el lado -iexcl es _
abltmiddotbc+ca
ahgt bc - ca iexcl
Oc esta rdacioacuten surge la condicioacuten necesaria y
suficiente pan que sea posible la construccioacuten de un triaacutengulo con tres eglllen tos dados
Para que tres segmentos puedan ser lados de un triaacutengulo basta que el mayor de ellos sea menor que la suma de los otros dos
A
B Blt A +(
(
Obsellaciuacuten
b importante destacar que dados tres segmenshytos se puede construir con ellos Ull uacutenico trJaacuten~ gulo
En cambio dados cuatro segmentos se pueden contmr con ellos distintos poliacutegonos
58 OTROS ELEMENTOS DE LOS TRIANGULOS a) Alturas de UlI triaacutengulo
Altura de un triaacutengulo correspondiente a tillO de sus lados es el segmento de perpenshydicular trazada desde el veacutertiacutece a la recta que incluye el lado opuesto
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
--
-----------------------------74 75
HA altura corresp lado ir
~b
HB altura corresp lado B HC altura corresp lado e HA()HB()Hc= t r
r or ocen tro
b HA altura corresp a la hipotenusa
HB =13
He oC e HA()HB()HC=HA()B()C= lal
a ortolteiexclJtro
a
Las rectas que incluyen a las alturas concushyrren en un punto llamado ortocentro
b) Medianas de un triaacutengulo
a
-- -l Mediana de un triaacutengulo es cada uno de los
segmentos determinados por un veacutertice y 11 punto medio del lado opuesto
59 shy
b
aa mediana corresp al iexclado bc a bb mediana corresp alladoC
iexcl mediana corresp alIado ib
e Las medianas concurren en un punto que se
llama baricelltro del triaacutengulo
Ma () Mb () Mc = g iexcl g biexclcelllro
510- Bisectrices de un triaacutengulo Bisectrices de un triaacutengulo son los segmen tos
de bisectriz de cada uno de los aacutengulos interioshyres comprendidos entre el veacutertice y el lado opuesto b
Ba bisectriz corresp al ~ Bb bisectriz corresp al6
Bc bisectriz corresp al1
a
e
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
76 77
Las bisectrices de un triaacutengulo concurren en un punto equidistante de los lados llamado inshy 1
1 IlBcentro e -~ shy ti equidista de A B Y eDa n Bb n Bc = i
i incentro Ziexcli es centro de la circunshy
ferencia inscripta ~ l511- Mediatrices de un triaacutengulo ~Mediatrices de un triaacutengulo son las mediashy
trices de cada uno de sus lados
~
b
Z A mediatriz corresp aliado bc 6- PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS CONVEshyXOS DE MAS DE TRES LADOSZB mediatriz corresp alIado ac bull 6 l - Nuacutemero de diagonales desde un veacutertice-- Ze mediatriz corresp alIado ab
Dado un poi iacutegono de n lados
a) Desde cada veacutertice se pueden trazar 11-3 diagoshynales
Ejemplo bull
e pentaacutegono abcdc
~ (le diagonales desde a
ad
NO de diagonales desde a S - 3 = 2bj Z~ n ZB n Ze = o
le iZA
ZB io I nQ de diagonales desde un veacutertice = n - 3 t
b) Si desde un veacutertice de un poliacutegono se trazano equidista de los veacutertices
todas las diagonales posibles se obtienen n-2 a b y c triaacutellgulos
o es el centro de la circunferencia Ejemplocircunscripta
a
a V rj I -raquo b
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
78
pentaacutegono abcde ~ed a _ ac diagonales desde a
3 e ad
nO de triaacutengulos 5 - 2 =3 b
62- Nuacutemero total de diagonales de un poliacutegino de n lados
Se obtiene aplicando la siguiente foacutermula
n (n 3)nO total de diagonales 2
n nO de veacutertices
n 3 (nO de diagonales que concurren en un veacutertice)
63-middot Suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono La suma de los aacutengulos interiores de un poiiacutegoshy
no es igual al producto de 2R por el mlmero de iexcliaacutengulos que se obtienen al trazar todas las diagonales posibles desde un veacutertice Ej
Suma de los aacuteng del poliacuteg = 2R h -5 - 2
En general
Suma de los aacutengulos interiores del poliacuteg = 2R (n-2)
11I
lt bull
ji
1 I i
79 64- Suma de los aacutenguloacutesexteriacuteores
Suma de los aacutengulos exteriores del poliacuteg = 4R
Dado Construimos con Tal que veacutertice o
1= l a $ l~Ib
4 31 2
l
t 552
Resulta 11+1+3+4+5= 4 R I
65- Propiedad de los lados En todo poliacutegono cada lado es menor que la
suma de los restantes (generalizacioacuten de la propieshydad triangular l
7- CONGRUENCIA DE POLIGONOS Dos poliacutegonos son congruentes cuando al supershy
ponerlos mediante un movimiento coinciden sus par~s de veacutertices tomados en un cierto ordiquestn
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
- -
80 81
Ej=Plo t
1 c d V
p
veacutertices lados y aacutengulos
iI a-m 1 shyb-t 1i t a= m
A shy~sr e ~ sC s
d-r lt=gt
de rp dr e-p lea mp eacute iacutel
7 L Definicioacuten Dos poliacutegonos son congruen tes cuando sus lashy
dos y sus aacutengulos correspondientes son respectivashymente congruentes
CriteNos a) Si dos poliacutegonos de n lados tienen n - liados
y n - 2 aacutengulos comprendidos respectivamente congruentes son congruentes
b) Siacute dos poliacutegonos de n lados tienen ti 2 lados consecutivos y los n - 1 aacutengulos adyacentes a ellos respectivamente congruentes son conshygruentes
Observacioacuten En los poi iacutegonos de maacutes de Ires lados la congruencia de lados no asegura la conshygruencia de las figuras
-- - ---- - Al amp S
73- De acuerdo con los criterios anteriores para decishydir siacute dos poliacutegonos son congruentes es suficiente comprobar la congruencia entre
a) los pares de lados correspondientes menos uno y los pares de aacutengulos comprendidos entre ellos
b) los pares de lados correspondientes menos dos siempre que sean consecutivos y los pares de aacutengulos adyacentes a ellos
Por Ejemplo Da(o poliacutegono abcde Construir poliacuteg abcde poliacuteg abcde
la construccioacuten
Dato
f
a ~
d
tL1i---Lb
b
A A10) b 20 ) e e 30 ) d ~ d
b a == a e d cd d e de
b e = e 40 ) a e
~ ~ bull iexcl iexcl J1lII
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
I
B1 4 za construccioacuten La longitud de af eS el perimetro del poliacutegono
Perimetro del poliacuteg =suma de las longitushyDato des de los lados
emiddot
9- CUADRILATEROS POLlGONOS DE CUATRO a LADOS
Il 91- CLASIFICACION
aJ Cuadrilaacutetero convexo b) Cuadrilaacutetero coacutencavo
b e eb 40 t rla) b e b 20 ) ~iquest )a d
b a ha iexclld) cd
b e be 30 ) d d 5deg) e n dc i( e1
j t a
a e
8- PERIMETRO e b1iexcl bd
Dado
a
Construimos e
92- LADOS VERTICES y ANGULOS OPUESTOS c ba
b d e DE UN CUADRILATEROf r t a
cuadrilaacutetero abcd
abYCdd lados opuetoss - shyTal que be y ad
lab~ ab E cd e f-2 ea
bc ~ be 2 de e veacutertices opuesto~i~~ ~ J~YcResulta aacutengulos oPuestdeglb Yd
ab + bc + eacuted + de + ea af ~ b
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
811
b
1 1
84
bull 93- Suma de middot101 aacutengulos interiores de un cuadrilaacutetero
d bull De acuerdo con la foacutermula dada en 63-
a S 2 R (n - 2)
resulta
1abe + bCd + cffiiexcl + dili = 4 R
e 1 94- Cuadrilaacuteteros especiales
Seguacuten se considere el paralelismo o la conshy~
gruencia de los lados se pueden obtener cuadrilaacuteshyteros especiales
a) Generacioacuten de cuadrilaacuteteros especiales a partir del paraleUiexclmo de lados bull l Sl) Trapecio
Siacute un cuadrilaacutetero tiene por lo menos un bull par de lados paralelos es un trapecio
trapecio lt==gt un par de lados paralelos bull
1aacuted 11 se lt==gt abed trape ciacuteo uuum----J bull
bull
1
doooI b eb cb eb e
trapecio ademaacutes b 1 R ademaacutesb ac ademaacutesiexcl jiexclea escaleno trapecio trapecio paralelogramo
rectaacutengulo isoacutesceles (doblemente
Zi 2 bull ~
22) Paralelogramo Si un cuadrilaacutetero tiene sus dos pares de
lados orestos paralelos es paralelogramo
paralelogramo - dos pares de lados opuestos paralelos
iexcl JI ed ~ _ _ lt= abed paralelogramo
be ad
a d d I middot O
e b bulle bb o ade~smiddota=lc=d= IR_lldWiaacuteL _ ad~maacute~ ab~bc~Cifdaab~hc~cddamiddotb=c=3= IR cuadradoromborect~ngulo~alelogramo
trapeCio)
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
86
~Y1
fIi
Representando Hl) Y 21) en un esquema reshya63d Cdbe sulta abcd romboide
i a~
Resulta i Aa e b d
b Jd ~
DD _ SUS pares de lados consecutivos conshy
---y Iv gruentes entre siacute es rombo bull _ Si el rombo tiene dos aacutengulos eacuteonsecutishysolamen te un par dos pares de de lados 11 lados 11 vos congruentes es cuadrado
bull
2) Esquemabull Si un paralelogramo tiene
- un aacutengulo recto es rectaacutengulo bull d os lados consecutivos congruentes es
7Ombo - un aacutengulo recto y dos lados consecutivoS
congruentes es ctlIldrodo
b) Generacioacuten de cUlIdrltaacuteteros especklles a partir cuadradode la congruencia de lados conseeutillos romboromboideSI) Romboide
Siacute un cuadrilitero tiene dos 1aacutetes de ~ colUecu1lIJoacuteS coacutengUenles es IOO1hoiacutede
95- Propiedades de lados y aacutengulos Y aacutengulos de los cuadriacutelaacuteteros
fomboide -dos pareacutes de lados consecushya) Lados congruentes tivas oollgtWlntes l Q) Dos pares de lados consecutivos congrUentes
_Tr- --_ ~r =1 ~ iexcl ~~~
e
Si el romboide tiene
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
as
22) Dos pares de lados opuestos congruentes
omboide
rectaacutengulo I 7~l
11 11 oaralelolIamo
cuadrado
Il t-+
O~ rombo 4 lados
b) Angulos congruentes
I Q) Un solo par de aacutengulos congruentes
romboide trapecio-rectaacutengulo
ll9
2Q) Dos pares de aacutengulos congruentes
rombo
OiexclaD trap Iacutesoacutescele paralelogramo cuadradoI
~O rectaacutengulo 4 aacuteng
96~ Propiedades de las diagonales
a) Diagonales congruentes
0 ~ ~ cuadradotrapecio isoacutesceles rectaacutengulo
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
b) Detenninan al cortarse segmentos congruentes 1Q) Una sola diagonal
romboideltC]) 22) Cada diagonal
rombo
~iexclgiexcllgtltJ-- ~ltfrdoloJo~mo - ~~ I
rectaacutengulo ~
4 segmen tos
c) Diagonales perpendiculares y bisectrices de aacutenshygulos opuestos 111) Una sola diagonal es bisectriz
~ romboide
22j Cada diaiexcliexcloaal es bisectriz
rombo
cuadrado
97- Rilpesentacioacuten en diagramas de Venn
Considerando como conjunto universal al conshyjunto de todos los cuadrilaacuteteros resulta
a) lQ) 22)11 U
11 = I cuadrilaacuteteros I ~I---~=--l
1 T = I trapecios
t P = parahlogramos I __
~C-C-=B--C-P-C-T-CCACPCT
A rectaacutengulos 1 13 = iexclrombos I
~( = Icuadrados
- --- ~ - ~~---- -1
-- -- -- --~~ ~_~u _---3 QUS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
92
Los diagramas 1Q) Y 2Q) pueden representarse en un uacutenico esquema
3Q)
u
AI1B=C
) ti
l
u~ 1cuadrilaacuteteros 1 R= iexclromboides]
B = Jrombos iexcl iacute
C = iexclcuadrados iexcl
CC BC R
Los diagramas de a) y b) de 97-
iexcl
puedense presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshy
CRIPTOS 10 l poliacutegonos inscriptoS
poliacutegono inscripto en una circunferencia es aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma
La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
la al poliacutegono e
a d
I I
b ---e
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
92
u
Los diagramas 12) Y en un uacutenico esquema
32)
2Q) pueden representarse
1
b) AnB=C
u
u iexclcuadrilaacuteteros l R= Iromboides I B = rombos iexcl C= jcuadrados 1
ce Be R
~lIJ
Los diagramas de a) y b) de 97- se pueden presentar en un esquema uacutenico
u
v C]
10- POLlGONOS INSCRIPTOS y CIRCUNSshyCRIPTOS
101- Poliacutegonos inscriptos Poliacutegono inscripto en una circunferencia es
aquel cuyos veacutertices pertenecen a la misma La circunferencia se dice que estaacute circunscripshy
ta al poliacutegono
dd
a~) b~C
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
1 11 II 94 I 1
102- Cuadrilaacuteteros inscriptos En lodo cuadrilaacutetero inscripto los aacutengulos
opuestos son suplementarios
Ejemplos
cuadrilaacutetero cuadrado dd a
1 e ~
iJ ~ b bd+ L lsao a-+t =180
~ + ~= 180middot 1t+eacute= 180middot
d
lieacutea J
La circunferencia se dice que estaacute inscripta el poliacutegono
b
11- POLlGONOS REGULARES
I L l- Un poliacutegono convexo es regular si todos sus lados y lodos sus aacutengulos son respectivamente congruentes
Poliacutegono regular - poliacuteg equilaacutetero y equiaacutengulo
c iexclbc~ca
i ~6 ~
b dD eacute
a b
ab ~ be ~ ca ~ di
1 ~6 ~ ~-
aacute+t lISO 6+1= 180middot b
1Iacute+ e= 180middot 4+iquest= 180middot
al
103- Paliacutelltonos rireunscriptos
Poliacutegono circunscripto a la circunferencia es aquel cuyos lados son tangentes a la misma iexcl
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
96
El triaacutengulo eq uiacutelaacuteIacuteero y el cuadrado son los uacutenicos poliacutegonos regulares de tres y cuatro lados respeotivamente
Si una circunferencia de centro li se divide en l arcos congruentes (ngt 2) Y se trazan las cuerdas correspondientes el poliacutegono inscriacuteptil
I que se obtiene es regular
E centro de la circunferencia circunscripta llamado circuncentro es el centro del poliacutegono regular
e
( Yb
~ - - C(or)ab bc=ca=--shy3
iiacuteb be Ca cuerdas
Si una circunferencia de CCtw n se divide en n arcos congruentes (ngt 2) y por us puntos de divisioacuten se trazan tangentes a la misma el poliacuteshygono circunscripto que se obtiene es regular
c
ceor)rm = ntildep = pq = fr= fs=]1 n
ab tangente en I bc tangente en m cd tangente en p
de tangen le en q ef tangente en r
fa tangente en s
Todo poliacutegono regular
es iacutenscriptible en una cirshycunferencia Y circunscripshytibie a otra ambas del mismo centro
112- Elementos del poliacutegono regular al El centro del poliacutegono regular cltiexclUldlsta de
sus veacutertices y de sus lados Un poliacutegono regular se puede descomponer en tantos triaacutengulos isoacutesceles congruentes con veacutertice en el centro como lados tiene el poliacuteshygono
h g dj
~f ~c
~e a I~
de b
e
e
b hexaacutegono abcdef regular inscripto en C(or) circunscnpto en ceor)
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
98
Elhexaacutegono es el uacutenico pOliacutegono regular que se puede separar en triaacutengulos equilaacuteteros c)Radio
El radio de la circunferencia circunscripta es el radio del poliacutegono regular correspondiente
La apotema es siempre menor que el radio porque es un cateto de un triaacutengulo rectaacutengulo cuya hipotenusa es el radio
a Xv ) d d
e Ab e c omb rectaacutengulo
b) Apotema del poliacutegono regular Aplt r Segmen to de perpendicular trazada desde el centro a uno cualquiera de los middotlados
da
b e d) Angulo central iexcl Angulo central del poliacutegono regular es el queLa longitud de la apotema es igual al radio de
tiene como veacutertice el centro del poliacutegono y sus la circunferencia inscripta lados pasan por dos veacutertices consecutivos La altura de uno cualquiera de los triaacutengulos
isoacutesceles de veacutertice o es la apotema del poliacutegono regular e Polig de n lados 1aacutengulo central =~I
113 - Angulo interior del polfgono regular d
Como la suma de los aacutengulos interiores de un poliacutegono de n lados igual a 2R(n - 2) resulta
1 d l l 2 R (n 2) lang m tenor e po Jg reg b e n
a
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
BIBUOT c tJ nlrNn DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
100
114- Angulo exterior del poliacutegono regular
Como la suma de los aacutengulos exteriores de un poliacutegono de n lados es igual a 4R resulta
dI l 4Raacuteng extenor e po Ig reg =-nshy
]1 115- Inscripcioacuten de poliacutegono regulares a partir del
1 aacutengulo central
a) I 0
Triaacutengulo o = 360 = I 20deg Cuadrado o = ~o= 900
I I
3 4 d
e
11 b
Pentaacutegonoo 360 = 72deg Hexaacutegono ~= 36~o = 60degI 5 II
3e d
bb c
BIBlI()TEC~ NI~ l DE MAESTfiexcl( ~---------------------~--
b) Otro procedimiento para inscribir el hexaacutegono regular y el triaacutengulo equilaacutetero
Heacutexagono regular Con el radiacuteo de la cireunshyferenciaacute a partir de un punto de la misma se deshyterminan 6 arcos conseeushytivos congruentes Las cuerdas correspondientes son los lados del hexaacutegoshyno regular inscripto
C ---- b4 ~
d ~ X ~ a
e---f
Triaacutengulo equilaacutetero U n a vez inscripto un exaacutegono regular se pueshyde obtener mi triaacutengulo equilaacutetero trazando las cuerdas correspondientes a cada dos arcos conseshyeutivos
e b - shy
d a
e) A partir de cualquiera de la Construcciones anteriores bisecando los aacutengulos centrales se obtienen nuevos poliacutegonos regulares inscriptos Ejemplo del pentaacutegono se obtiene el decaacutegoshyno
Otro ejemplo
- Octoacutegono g Se puede obteshy
ner trazando las bishysectrices de losaacutenshygulos ce ntrales de un cuadrado insshy Ir I~( lecripto
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21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
102
t
EJERCICIOS DE APLICACION d c
21- Dados
Expresar el poliacutegono abcd a
a) como interseccioacuten de seroiplanos b b) como interseccioacuten de aacutengulos
22- Completar con E cr tic seguacuten corresponda considerando elmiddot poliacutegono abcde delinido como
e d
sa
r
b eacute
I0) r Poligonala) unioacuten de la 2deg) s Poligonal
poligonal 30) t Regioacuten exterior con su reshy 40) s Regioacuten interiorgioacuten interior 50) s abcdeJ
10) r abcdeb) intersecclOn 20) s abcde
de semiplanos 30) t abcde
iexcl10) s aJcde 2deg) s ede
c) interseccioacuten e3deg) t abcdede aacutengulos
4deg) t e~ 5deg) t cde
23- Dados los puntos abcde Dibujar a) un poliacutegono convexo a
b) un poliacutegono coacutencavo h
103
24- Completar
Nuacutemero de lados del poliacutegono
Nuacutemero de diagonales
desde ordf Nuacutemero de
total de diagonales
Suma de los aacutengulos in-
teriores
~ 3
b 9000
el 12
I~ 16 ~--
25- Analizar y decidir en cada caso si es posible la consshytrucci6n de pentaacutegonos cuyos lados tengan las siguientes longitudes
a) 5 cm 3 cm 10 cm 6 cm 2 cm b) 95 mm 25 cm 1 m 3 dm 38 cm
26- Nombrar los elementos necesarios que hagan posible la congruencia entre a) dos cuadrilaacuteteros b) dos octoacutegonos c) dos triaacutengulos
27- Indicar en cada caso con A si se sentildealan los elementos necesarios y suficientes B si estaacuten mal sentildealados los elementos
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
-- 013
----------~
c si se sentildealan maacutes elementos que los necesarios para construir un poigonoacute congruente a cada uno de los dados
1
19) 22)
30 )
28- Completar la tabla con V (verdadero) o F (falso)
equilaacutetero isoacutesceles escaleno acutaacutenglllo
rectaacutengulo
oblusaacutengIacutel10
29- Dados los triaacutengulos abe y def sentildealar eon V o F si las condiciones indicadas aseguran la congruencia c
bullbull
b) d fgt a- ~abc- ter b O
a) aacute2 sect ~c feiexcl t r a) be ~ O
fd c
aL b t 1
30-- Dato abc ISOsce es
a) lraLar las alturas medianas bisectrices j mediatrices
b) Indicar con IJ Q F19) Ha Ba Ma coincidentes coincidentes 8
29) Hb Mb coincidentes 31) He Be Mc O
~~Q 1~ cJ 31- Calcular los aacutengulos lB E=l b) a ti cJ
a) ~tJ - A ~ cJ
a
b~c c
b
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
1)6~___T-=---------~ lo
I I
j ~ 28
~ 1 iquest
EiiexclCmp iexclce bef) -o ]I= SS -ah) i~15deg 654= 32middot entre 25
~= 85 tgt-Jl y 054 a ftl =0 ~ ~=tJm-----~pljjo Iacutei =C iacute
q s b 2_ 55
e 332- Completar la siguiente tabla 3
4d
~ b A
e
a 30middot 80middot 70middot
b 30middot 30
e 25middot 50middot
d
e 35deg
f
g 32deg
Clase de triaacutengulo
escaleno loacutangu
isoacutesceles rectaacutengulo
rectaacutengulo
equilaacutetero
isoacutesceles obtusaacutengulo
5 e
33- DaOos - -lb )c ac lados de on trlango ulosj completar la tabla con loS valores en cm que hagan~R bull ca ~c ~~1t- cJ ble la existencia de cada on
O de los tnang
En loS caSos en qoe la solucioacuten nO sea unl n 1 ar~~CJ~~ 60middot
-_ estaacute comprendida iexcl~Cl 1~ 350
34 [JatosEjemplo
a
o
~c
d
Clase de triiniexclulo
escaleno
equilaacutetero
isoacutesceles
~ bull h ltgtndo cada
(
COO)Ul1tv -shytOS completar las siguientes igualdashy
de )ate ( bdc ~ ~ o) tm ( bdc bullbull(3e) ate n iexclnbe =
d) atm nrntildec Q e) ate n dlnc = td n Iacuteim J bIacutehc = ~ g) a~iexcln J b(nC J mM = c
-~~ -- shy
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
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Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
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para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
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_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
102 35 -Datos c
21 Il Q
abe equilaacuteteroa-
m h He altura
COnsiderndo las longitudes de los segmentos y ampli_22 tudes de los aacutenglllos completar congt ~ o lt seguacutencorresponda
a) am o 106
109
37- En cada caso1 nombrar el cuadrilaacutetero que cumple la condicioacuten indicada a) Diagonales que se in tersecan en el punto medio b) Diagonales perpendiculares e) Dos pares de lados consecutivos congruentes d) Solamente un par de aacutengulos congruentes e) Angulos opuestos congruentes l) Cuatro aacutengulos congruentes
38- Indicar cuaacuteles de estas propiedades son suficientes para definir un paralelogramo a) Diagonales congruentes
e) al 1 b) Un par de lados opuestos congruentesA acm
A O e) Diagonales perpendicularesb) acm d) Un par de lados opuestos congruentes y paralelosO mcb
d) f O g+~ iexcl I
e) Un par de lados paralelos f) Cuatro lados wngruentes g) Cuatro aacutengulos congruen tes
36 Completar Con V (verdadero) o F (falso) 39- Responder siacute o no al Si Un cuadrilaacutetero tiene un par de lados paralelos a) iquestSon inscriptibles los rombosentonces es Un trapecio ( )
b) iquestSon inscriptibles los rectaacutengulos1 b) En Un paralelogrmO las diagonales se cortan mutua_
mente en partes congruentes ( ) 40middot- Indicar si es posible que los lados de un cuadrilaacutetero e) cuadrilaacutetero que tiene 2 aacutengulos oPuestos rectos es tengan las siguientes longitudesi UnUn rectaacutengulo ( )
a) 114m 2 m 114m 1m dJ Si un cuadrilaacutetero es equilaacutetero entonLes sus aacutengUlos b) 16cm 24cm 30 cm 10cmson congruen tes ( )
e) 25 cm 08 dm I cm 3 dm e) Las diagonales de Un rombo son bisectrices de losaacutengulos cUYos veacutertices unen ( ) 41- Dadas las amplitudes de los aacutengulos del cuadrilaacutetero abcd t) Cada diagonal de un romboide es bisectriz de los aacutengu_ tacbar lo que no correspondalos cuyos veacutertices unen ( )
g) El cuadrado es Un rombo ( ) al A = 75o I iexclrombo] b ~ 8(1degh) En un CuadriJaacute tero inscriptible los aacutengulos opuestos sonsuplementarios ( ) r
lcuauril general
-0= _
----~- - -~ ---~~-- --T ~-- shyP iquest
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
10 111
b) ~= 900 shyb = J 10deg
Aacute= 50deg q= 110deg
42- Completar con los valores correspondientes
aa)
a ~ 1200
b~ oacute~ l ~=
b) a D aacute
e ~
~
~ Cc lL
A
c= 400 A d=
43-Si~ 1 hh l~cc~ I aacuteYu~21 iquestsPOSJA A A l A 6 E ble que sean los aacutengulos de un cuadrilaacutetero
a P dd
44shy - r w E~ puntosdelcuadradOabcd
A~ iexclpuntos del trapeciombco bull B ~ iexcl pUMos del triaacutengulo amo J
m L )(0 J~ C Ipuntos del triaacutengulo abd
InPUntos del rectaacutengulo pqcd
1 b q
e
VJ ~ ~
Resolver a)AUB = d) Anc=
b)A U C = el An B=
-) (C U D) U A = ~t) BnD=
45- Completar con = lt ogt seguacuten corresponda
a) triaacutenguloacute equilaacutetero
b) Suma de los aacutengulos inL cuadrado O Suma de los aacutengulos eXL
e) Suma de los aacutengulos inl pentaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
d) Sum a de los aacutengulos in t hexaacutegono regular O Suma de los aacutengulos exl
Suma de los aacutengulos int O Suma de los aacutengulos exl
46- Completar
Suma de los aacutengulos Nuacutemero de lados del interiores en grados poliacutegono regular
a 1080
2700b
e 900 -
I 1980d j
-
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
112
47 - Completar
nuacutemero de ladosl Suma de los del poliacutegono I ang interiores
B
6
s
Angulo interior
Angulomiddot exterior
RESULTAHOS HE LOS EJERCICIOS HE APLlCACION
l b)
al el ri~~7~7
An B=ltP
1)d)
~
------- b) Ct - B
2- a) IX - A rVffffP~
c)Ct-C
3 _ al R bl nfPr e) ~cd d) ltP el poliacutegono coacutencavo abmrp
4 ab sir de origen que no contiene b ba sir de origen b que no contiene Q bull
5- SIPMa) SIP(Mb) SIP(Ra) SIP(Rtl
- - 6- a) ac b) be e) eb dI R
7 al b) 0) V 20) F
el iexclO) ltP 20) vs
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
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Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
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Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
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_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
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1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
--------114
8- a) M b) a el sPCMnub
d) s(PCMs) e) M
9- Ejemplo de solucioacuten
T
a R
s
10- al S = secta b3j bg be bh bk Ntilde lUuml iexclb) NO bj e og ello iiC y iii deg cr yga o ere y acete
2deg ji) y bk
11 a) iexclordm amp --iexcl2Q l~ 39 oc49 52 amp 6ltf
7deg 11b) Ejemplo 4
b) un pOU5VUV -shy J__T r
11
12- a) Soluciones posibles 29iexcl2
ex
~-v-v Ii
deg bien
b) Soluciones posibles 2ordmiexclQ
(
--- --------------~
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
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Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
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1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
116
8
13-- a)jQ abjjbejbkebkkbc 2Q abe ebc
32 abj y jbe ebk y kbc iexcliexclbj y ebk jbe y kbc 42 ltiraquo y jbc abe y ebc abk y kbc abj y abk kbc yjbc 51 jbc jbk jbc
b)djb y lie bjf Y d~ j~~ Yh~~ bek y jeh ekb y Iki bkf Yeki - ~ ~ ~~ ~~ ~
e) djb 2 bkf djb - eki gbh t gbi gbh 2 hbi d) 12) 1800
2Q) 90deg 32) 1800
e) 12) abe
2Q) abe
14 a) infinitas b) infinitas e) una
d) una 15 a) In y fJ representan el mismo punto
b) A Y B son rectas secantes C16
A C A
ALB A LBB Le BLc
l A-LCJ [iquestlC] [ Transitiva]
--
1 C
AiB B LC
I A-LC I
[- Transitiva
(gt 4
1
B
e ALB ALC
BLC BLC
I A 1 C I IAlcl 17- Ejemplo R es oblicuo a
l o-
a~~iquest7d bjfP~c
_ J_ _
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
120
32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
2iacute1 R = [(ap) (pa) (bp) (Pb)~p) (pe) (dp)(Pd) (mp) (pm)
1 3Q Simeacutetrica a R p -p R a etc
18-_
_J
A
A 1-B i
e 1
D i
B e D
i i
i -i II i1 i i
19_ a) F b) V e) F d) Vg) V e) V f)F
20 a) 101 b) cd
21- a)
poliacuteg abed = sp (abe) n sp (bcd) () sp (eda) n sp(adb)
~ A A b) poliacuteg abed = abe n bed () cda n dab
22- al 19) E 22) ~
b) 39) E 42) EIQ) E 2Q) E 5Q) E32) IteJ 12) E 2Q) E 32) Eacute23 a e 42) E 52) It
d b) No es POsible
a
b e
Dibujar ~J shy__ ltOr bullbullbullbull~_
119
24- a) 3 O O 180 b) 7 4 14 900 e) 12 9 54 1800 d) 19 16 152 3060
25- a) Es posible porque el lado de mayor longitud (10 cm) es menor que la suma de los restantes
b) No es posible porque 1 m es mayor que la suma de la longitud de los demaacutes lados
26- a) 3 lados y 2 aacutengulos comprendidos oacute 2 lados consecutishyvos y 3 aacutengulos
b) 7 lados y 6 aacutengulos comprendidos oacute 6 lados consecutishyvos y 7 aacutengulos adyacentes
e) 2 lados yel aacutengulo comprendido oacute I lado y 2 aacutengulos o tres lados
27- 12 C 2Q) A 3Q) B
28shyequilaacutetero isoacutesceles escaleno
acutaacutengulo I V v rectaacutengulo I F v v
Obtusaacutengulo I fgt v v
29- al V b) F
30- b) iexclQ) F 21l) F 3Q) V
31- aJ-aacute = 90deg b) 11 = 60deg e)~ = 90deg d)K = 117deg t = 45deg b = 60deg l = 30deg 1- = 45deg ~ 60deg
e) ~ = 30deg f)1 = 93deg -p= 65deg p- = 87deg
--
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32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
47
Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
n - 2 = lQ80
ISO n-2 =6
n =6+ 2
In - 8
Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
l in 2 lrf int 1t35deg1 2ext= ~
lllBlGnC~ tI(O~ 2cxt= ~ DE MAESTFlOS
Ndeg de lados Suma 2 del polfgono lt- ext1lt- intin
1080middot 13508 I
720deg bull 120middot6 -~
lOSo540middot5 ~ 8
li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
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BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
--
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32- b) a= 1200
isoacutesceles _ obtusaacutengu]o e) S= lOSo escaleno _ obtusaacuteng41o d) Ejemplo si 1= 90middot ~== 45
el Ejemplo sit 90middot ~ 55deg escaleno obtusaacutenguo Oa= B 2= 60deg acut~o g) Ejemplo si 1) == 32 c == 1160
33 b) 8 y 8 e) 55 d) entre O y 6e) entre 9 y 19
434_ a) bmc b) bm e) iiiC e) mtc d) f~
f) a~c g) Poliacutegono eoacutenca abcde
35_ a) b) e) gt d) ==
36- al V e) F e) Vb) V g) Vd) F f)F
n) V 37 - a) paralelogramOs
b) romboides e) rom boides
d) trapecios rectaacutengulos y romboides e) paralelogramos f) rectaacutengulos
38- di f) g)
39 - a) En general no El uacutenico rombo inscriacuteptiacuteble es el cuadrado b) Si
40- a) no b) siacute cho
41- Se tacha a)rombo y cuadrado
b) paralelogramo y trapecio 42- a) t = 60deg eacutef 1200
JI 0- o o0)a=900=90 d= 140
43- No
~
44- a) abe b) poliacutegono coacutencavo aoeod c)a~d d)l~ e) iiiQ l) 1al
45- a) lt b) e) gt d) gt
46- a) 8 b) 17 e) 7 d) 13
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Solucioacuten de aj Suma lt- in = 180deg (5 - 2)
~
Suma int = 540) 3 Suma lt- ex = 360deg~Sllma JI in gt Suma l ext
Solucioacuten de aJ Suma 2 int 180 (n shy 2) = 1080
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ISO n-2 =6
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Solucioacuten de a) Suma 2 int = 1080
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li l
1
ml1CnC~ iexcliexclront L_~Drc~AESTROS_ J
BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
li l
1
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BffiLlOGRAFIA
Matemaacutetica Moderna - Tomo 1 Papy EU DEBA - Bs Aixe
__ Los primeros pasos en Matemaacutetica 3 exploracioacuten del espacio y praacutecshy
tica de la medida_ Dienes -- Golding BU Teide Barcelona Espalla
_ Curso de Geometriacutea Meacutetrica - Tomo 1 Fundamentos Pedro Puig Adam Ed Biblioteca Matemaacutetica Madrid Espala
Ciclo Medio de Maremaacutetica Moderna I Trejo - Bosch EU DEBA - Bs Aires
_ Estudios de Matemaacutetica - Volumen IX Curso conciso en Matemaacutetica
para los profesores de Escuela Primaria Grupo de Estudio de la Matemaacutetica Escolar
Traduccioacuten al espantildeol EEUU
Matemaacutetica intuitiva Houssay - Romero - Vicente Ed Troquel Bs Aires
Geometriacutea Intuitiva Nelly Vaacutezquez de Tapia - EIsa De MartinoEd_ Cuarta Dimensioacuten Bs AiRS
_ Matemaacutetica 1 Rojo - Saacutenchez - Greco Ed El Ateneo - Bs Aires
Matemaacutetica 1 Y IIFerrari _ Loacutepez Henriacutequez - MagarifiacuteOS - MassaEd Losada - Bs
_ Matemaacutetica Dinaiacutenica I Y n VaRIa - Foncuberta
_ Algebra y Geometriacutea del Espacio - 2 Gonzaacutelez - Mancill Ed KapelUSZ - els
_ Matemaacutetica 10 y 2degCaacuterdenas Curriacuteel Loacutepez Pineda Y otros
Ed compantildeiacutea Editorial Continental -
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
DIDllon Nlel l DE MAESTROS
1 ruUOnCA IiACIO~l 1 DE MAESTROS I 1
INDICE
CAPITULO 1 - Entes geomeacutetricos fundamentales punto rec ta y plano 9
1- Conceptos primitivos 9 2 - Propiedades fundamentales lO 3- Ordenacioacuten de los puntos de la recta II
CAPITULO 11 - Figuras 11 1 - Curvas abiertas y cerradas Regioacuten interior reshy
gioacuten exterior fronteras 12 2- Igualdad y congruencia de Ilguras 13
CAPITULO III - Semirrecta semiplano y semiacuteespaciacuteo 15 l-Semirrecta 15 2middot Semiplano 16 3- Semiespacio 18
CAPITULO IV - Posiciones reariFos de dos rectas 19 1- Rectas coplanares secantes y paralelas 19 2 - Rectas no coplanares o alabeadas 2 I
CAPITULO V - Posiciones relativas de una recta y un 22 plano 22
1 - Recta y plano secantes 22 2 - Recta y plano paralelos 22
CAPITULO VI - Posiciones relativas de dos planos 23 1 Planos secantes 23 2- Planos paralelos 23
CAPITULO VII Segmento 24 1- Definiciones 24 2- Segmentos consecutivos 2S 3- Comparacioacuten de segmentos 25 4 - Operaciones con segmentos 27
CAPITULO VIII - Figuras coacutencavas y figuras convexas 28 CAPITULO IX Angulas 29
1- Angulas considerando scmiplanos Ang convexos Ang coacutencavos 29
2- Angulas considerando semirrectas Regioacuten angular 31
V) __ ~
3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
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3-middot Comparacioacuten de aacutengulos 3 4 - Angulos consecutivos 3 5- Angulos adyacentes 3 6 - Angulo recto 35 7 - Angulos agudos y obtusos 358 Operaciones con aacutengulos 3 9 - Medida de aacutengulos 3
10 - Angulos complementarios 381
3911- Angulos suplementarios 12- Angulos opuestos por el veacutertice 40
4013- Bisectriz de un aacutenitiro - ----
CAPiTULO X - Perpendicularidad 401- Rectas perpendiculares 402 - Recta y plano perpendiculares 42 3 - Planos perpendiculares 43
44CAPITULO XI -middotDLUancia 1 Distancia entre dos puntos 44 2- Distancia entre un punto y una recta 45 3- Distancia entre dos rectas paralelas 45 4- Distancia entre un punlo y un plano 45 5- Distancia entre dos planos paralelos 46
EJERCICIOS DE APLICAClON 46
54CAPITULO XII - Figuras circulares 1- Circunferencia 54 2middot- Ciacuterculo 55 i 3- Congruencia de circunferenciacuteas 55 4-- Posiciones relativas de una circunferencia y una
recta 56 5- Arcos y segmentos circulares 57 6- Posiciones relativas de dos circunferencias en el
plano 58 7- Angulo central 59 8- Corona circular 60 9 Trapecio circular 60
10- Longitud de la circunferencia 60
r1
EJERCICIOS DE APLlCAClON
CAPITULO XIII - Poliacutegonos 62 1- Defmicioacuten 62 2 - Poliacutegono convexo 63 3- Elementos del poliacutegono convexo 64 4 - Clasificacioacuten de los poliacutegonos seguacuten el nuacutemero
de sus lados 65 5- Triaacutengulos poliacutegonos de tres lados 66 6 - Propiedades de los poliacutegonos convexos de maacutes
de tres lados 77 7 - Congruencia de poliacutegonos 79 8 - Periacutemetro 82 9- Cuadrilaacuteteros poliacutegonos de cuatro lados 83
10- Poliacutegonos inscriptos y circunscriptos 93 11- Poliacutegonos regulares 95
EJERCICIOS DE APLICAClON 102
RESULTADOS DE TODOS LOS EJERCICIOS DE APLIshyCAClON INCLUIDOS EN ESTA PUBLlCACION 112
BIBLIOGRAFIA 123
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