CAPITULO 14ECUACIONESDIFERENCIALES14.1. DEFINICIONESUnaecuaciondiferencial esaquelladondeintervieneunavariabledependienteysusderivadas con respecto de una o mas variables independientes.Estudiaremos algunas de ellas, en particular, aquella donde existe una unica variableindependiente y, en ese caso la ecuacion diferencial se llama ecuacion diferencial ordinaria.Siy = f(x) entonces la forma general de la ecuacion diferencial ordinaria es del tipoF(x, y, y

, y

, . . . , y(n)) = 0.14.2. GENERACIONDEECUACIONESDIFERENCIALESSi y=f(x)esunafunciondada,entoncessabemosquesuderivadadydxpuedeinter-pretarse como el ritmodecambiodelavariableyconrespectodelcambiodelavariablex.En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus ritmos de variacion estanrelacionadas entre s por medio de los principios basicos que gobiernan dicho procesos. Alexpresar la conexion en smbolos matematicos el resultado es, con frecuencia, una ecuaciondiferencial.El siguiente ejemplo ilustra estos comentarios.Ejemplo 14.2.1.De acuerdo a la 2daley de Newton, la aceleraci on a que experimen-ta un cuerpo de masa m es proporcional a la fuerza total F que act ua sobre el cuerpocon1mcomo constante de proporcionalidad, as entonces,a =1mF, es decir,ma = F.Supongamos que un cuerpo de masa m cae solo bajo la inuencia de la gravitacion,ental casola unicafuerzaqueact uasobreel esmg, dondegdenotalaaceleraciondegravedad (g 980cm. por cada segundo).Siyeslaalturamedidahaciaabajodesdeunaposicionprejada,entoncessuve-locidadv =dydteselritmodecambiodesuposicionysuaceleraciona =dvdt=d2ydt2esel275276 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAritmo de cambio de la velocidad. Con esta notacion, la ecuacionmg = Fse convierte enmd2ydt2= mg, es decir,d2ydt2= g.Si alteramos la situacion, admitiendo que el aire ejerce una fuerza de resistencia pro-porcionalalavelocidad,lafuerzatotal Fesmg kdydtylaecuacionplanteadaesahoramd2ydt2= mg kdydt.Denicion14.2.1. Sellamaordendeunaecuaciondiferencial ordinariaal ordendederivacion mas alto que aparezca en la ecuacionF(x, y, y

, y

, . . . , y(n)) = 0.Sellamagradodeunaecuaciondiferencial ordinariaal exponentequeafectaaladerivada de mas alto orden.Ejemplo14.2.2.1.dydx= x + 5 es de primer orden, primer grado.2.d2ydx2 + 5dydx 2 = 0 es de segundo orden, primer grado.3. (y

)2(y

)3+ 3y x2= 0 es de segundo orden, tercer grado.14.3. SOLUCIONDEUNAECUACIONDIFERENCIALDenicion 14.3.1. Toda funciony = y(x) que transforma la ecuacion diferencial en unaidentidad se denomina solucion o integral de la ecuacion diferencial.Ejemplo14.3.1. Considere la ecuacion diferenciald2ydx2 +y = 0,pruebequelasfuncionesy=sin(x), y=cos(x), yengeneral y=Asin(x) + Bcos(x),A, Bconstantes, son solucion de la ecuacion planteada.Solucion.Siy = Asin(x) +Bcos(x) entoncesdydx= Acos(x) Bsin(x), de donde,d2ydx2es tal qued2ydx2= Asin(x) Bcos(x), as, reemplazando en la ecuacion diferencial obtenemosd2ydx2 +y = Asin(x) Bcos(x) +Asin(x) +Bcos(x) 0.Observacion14.3.1. Una ecuacion diferencial de primer orden tiene la forma F(x, y, y

) =0, si esta ecuacion es soluble para la derivada entonces y

= f(x, y), se llama forma normalde la ecuacion diferencial.Denicion14.3.2. Llamamossoluciongeneral deunaecuaciondiferencial normal deprimer orden a la funciony = S(x, C) conC = Ctetal queCAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 277a) satisface la ecuacion diferencial para todo valor deCb) cualquieraquesealacondicioninicial y=y0parax=x0puedeencontrarseunvalorC = C0 tal quey = S(x, C0).Denicion14.3.3. Todafunciony =S(x, C0) deducidadelasoluciongeneral y =S(x, C) se llama solucion particular de la ecuacion.Ejemplo14.3.2. Laecuaciondiferencial deprimerordendydx= yxtieneporsoluciongeneral la familia de funcionesy =Cxya que, derivando la funcion obtenemosdydx= Cx2;comoC = yx entonces,dydx= yxx2= yx.La solucion particular que satisface la condicion inicial y0 = 1 parax0 = 2 nos indicaque se cumple 1 =C2 , es decirC= 2, de donde, la solucion particular esy =2x(aquellahiperbola equilatera que pasa por el punto (2, 1)).Observacion14.3.2.1. Confrecuenciaaparecensolucionesdeecuacionesdiferencialesdenidasimplcita-mente y a veces es difcil o imposible expresar explcitamente la variable dependienteen terminos de la variable independiente.As por ejemplo xy = ln(y)+C, C una constante, es solucion de la ecuacion diferencialdydx=y21xy, ya que derivando implcitamente la expresionxy = ln(y) + Ctenemos,y +xdydx=1ydydx, al despejardydxobtenemosdydx=y1yxes decir, obtenemosdydx=y21xy,en la cual no podemos expresar la derivada solo en funcion de la variablex.2. Si laecuaciondiferencial tienelaformanormal y

=f(x, y)ysi f(x, y) =g(x)entonces la ecuacion diferencial quedadydx=g(x), la cual se puede solucionar, gen-eralmente, escribiendody=g(x)dx, dedondey= _g(x)dx + C, estaintegral sepuede resolver, generalmente, con los metodos del calculo.Por ejemplo, la ecuacion diferencialy

= e3x+x tiene solucion generaly = _(e3x+x)dx +C =13e3x+x22+C.Sin embargo, recordemos que existen otras integrales como _ex2dx, _sin(x)xdx queno son expresables mediante un n umero nito de funciones elementales.14.4. ECUACIONESDIFERENCIALESDEVARIABLESSEPARA-BLESYSEPARADASSi en la ecuacion diferencial normaldydx=f(x, y), el segundo lado de ella se factorizaen un producto de funciones dex por funciones dey entonces la ecuacion esdydx= f1(x)f2(y);sif2(y) = 0 entonces podemos anotarla como1f2(y)dy = f1(x)dx, y por integracion obten-emos _1f2(y)dy = _f1(x)dx +C. Esta ecuacion es de variables separables.278 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAEjemplo14.4.1. Resuelva la ecuaciondydx= yx.Solucion.Notamos inmediatamente que es una ecuacion de variables separables, entoncesdyy=dxx , integrandoobtenemosln(y) = ln(x) +C. Enestecasoesconvenienteescribirln(y) = ln(x) + ln(K) de donde ln(y) = lnKx , as entonces la integral o solucion generalde la ecuacion esy =Kx .Observacion14.4.1.1. La ecuacion diferencialM(x)dx +N(y)dy = 0se llama ecuacion de variables separadas y su integral general es_M(x)dx +_N(y)dy = C.Porejemplo,alconsiderarlaecuaciondiferencial xdx + ydy= 0tenemos _xdx +_ydy = Cde donde la solucion general esx2+y2= K2conK2= 2C.2. Una ecuacion del tipoM1(x)N1(y)dx +M2(x)N2(y)dy = 0se puede reducir a una ecuacion de variables separadas dividiendo porN1(y)M2(x);la ecuacion diferencial quedaM1(x)M2(x)dx +N2(y)N1(y)dy = 0.Ejemplo14.4.2. Resuelva la ecuacion (t2xt2)dx + (x2+tx2)dt = 0.Solucion.(t2xt2)dx + (x2+tx2)dt = 0 t2(1 x)dx +x2(1 +t)dt = 01 xx2dx + 1 +tt2dt = 0_1 xx2dx +_1 +tt2dt = C_ _x1 1x_dx +_ _t2+ 1t_dt = C1x ln(x) 1t+ ln(t) = C1x + ln(x) + 1t ln(t) = Kx +txt+ ln_xt_ = K.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 27914.5. ECUACIONESHOMOGENEASDEPRIMERORDENRecordemos que la funcionf(x, y) es homogenea de gradon con respecto de las vari-ablesx ey si para todo R {0} se cumplef(x, y) = nf(x, y).Ejemplo14.5.1.1. La funcionf(x, y) =3_x3y3es homogenea de grado 1 ya quef(x, y) =3_(x)3(y)3=3_3x33y3= 3_x3y3= f(x, y).2. La funcionf(x, y) = x2+y2es homogenea de grado 2 ya quef(x, y) = (x)2+ (y)2= 2x2+2y2= 2(x2+y2) = 2f(x, y).3. La funcionf(x, y) =x2+y2xyes homogenea de grado 0 ya quef(x, y) =(x)2+ (y)2(x)(y)= f(x, y).Denicion14.5.1. Laecuaciondiferencial deprimerordendydx=f(x, y)sellamaho-mogenea respecto dex ey si la funcionf(x, y) es homogenea de grado 0 con respecto dex ey.14.5.1. SoluciondelaEcuacionHomogeneaComof(x, y) =f(x, y), haciendo =1xobtenemosf_1,yx_ =f(x, y), con esto, laecuacion diferencial quedadydx= f_1, yx_. (14.1)Consideremosel cambiodevariableu=yx, oequivalentemente, y =ux, entoncesdydx= u+xdudx, reemplazando en (14.1) obtenemos la ecuacion diferencial u+xdudx= f(1, u)que es de variables separables, tenemosu +xdudx= f(1, u) xdudx= f(1, u) uduf(1, u) u=dxx ;al integrar y sustituir la variableu poryxconseguimos la solucion general.280 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAEjemplo14.5.2. Resuelva la ecuacion diferencialdydx=xyx2y2.Solucion.Claramente la ecuacion es homogenea, al reconocerla como tal hacemos el cambio devariabley = ux, con lo cual obtenemosdydx= u +xdudx;ademas, usando sinteticamente el desarrollo dado anteriormente, la funcion f(x, y) =xyx2y2quedaf(1, u) =u1u2de donde, la ecuacion original es ahorau +xdudx=u1u2.Otraforma,quizasmasdirecta,deobtenerlaecuacionu + xdudx=u1u2esprocedercomo sigue, ya sabemos quedydx= u+xdudx, por otro lado, al reemplazar y por ux enxyx2y2obtenemosx(ux)x2(ux)2=ux2x2u2x2=u1 u2,as,u +xdudx=u1u2.Resolvamos la ecuacion deducida,u +xdudx=u1 u2 xdudx=u1 u2 u xdudx=u31 u21 u2u3du =dxx_u3 1u_du =dxx12u2 ln(u) = ln(x) +C112u2= ln(x) + ln(u) + ln(C)12u2= ln(Cux).Al reemplazaru poryxen la ultima ecuacion conseguimos x22y2= ln(Cy), de donde,al despejar la variablex, la solucion general se puede expresar porx = y_2 ln(Cy).Reemplazandou poryxobtenemos x22y2= ln(Cy) y nalmentex =y_2 ln(Cy) esla solucion general de la ecuacion.Observacion14.5.1. La ecuacion diferencial de la formaM(x, y)dx +N(x, y)dy = 0sera una ecuacion homogenea si M(x, y), N(x, y) son homogeneas del mismo grado ya queen este caso el cuociente es de grado cero.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 281Ejemplo14.5.3. Resuelva la ecuacion (y x)dx + (y +x)dy = 0.Soluci on.(y x)dx + (y +x)dy = 0 (y +x)dy = (x y)dxdydx=x yx +y,con el cambio de variabley =ux tenemosxyx+y=xuxx+ux=1u1+u, por otro lado, dey =uxconseguimosdydx= u +xdudxde donde la ecuaciondydx=xyx+yquedau +xdudx=1u1+u.Para esta ultima ecuacion tenemos:u +xdudx=1 u1 +u xdudx=1 u1 +u u xdudx=(1 u) u(1 +u)1 +u xdudx= u22u + 1u + 1 xdudx= u2+ 2u 1u + 1u + 1u2+ 2u 1du = dxx12 ln(u2+ 2u 1) = ln(x) +C1 ln(u2+ 2u 1)12= ln(x) + ln(C) ln(u2+ 2u 1)12= ln_Cx_ (u2+ 2u 1)12=Cx.Alvolveralavariableoriginal,reemplazandou =yxobtenemos_y2x2 + 2yx 1 =Cx,es decir,y2+2yxxx=Cx, al simplicar y elevar al cuadrado tenemos la solucion generaly2+ 2xy x = K, dondeK = C2.14.6. ECUACIONESLINEALESDEPRIMERORDENEnlaseccionanteriorvimoscomoresolverunaecuaciondiferencial separable. Inte-grando, despues de multiplicar cada termino por un factor adecuado.Por ejemplo, para resolverdydx= 2xymultiplicamos por1y, y obtenemos1ydydx= 2x, esdecir,d(ln(y)) = d(x2), al integrar obtenemos ln(y) = x2+C.Alafuncion(y) =1ylallamamosfactor integrantedelaecuacion. Medianteunfactorintegranteadecuadoexisteunatecnicaestandarizadaparasolucionarlaecuaciondiferencial lineal de primer ordendydx +P(x)y = Q(x).282 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAEl factor integrante es(x) = e

P(x)dx; tenemos,e

P(x)dxdydx +P(x)e

P(x)dxy = Q(x)e

P(x)dx.El primer lado de la ecuacion es la derivada de ye

p(x)dx, de donde, integrando obtenemosye

p(x)dx=_Q(x)e

P(x)dxdx +Cy entonces la solucion general esy = e

P(x)dx__Q(x)e

P(x)dxdx +C_.Observacion14.6.1. No es recomendable memorizar esta ultima formula, en su reemplazodebemos realizar los siguientes pasos,1. Reconocer la ecuacion como una ecuacion lineal.2. Calcular el factor integrantee

P(x)dx.3. Multiplicar la ecuacion por el factor integrante.4. Reconocer el primer lado de la ecuacion como la diferencial de un producto.5. Integrar.Ejemplo14.6.1. Resuelva la ecuaciondydx 3y = e2x.Solucion.La ecuacion planteada es lineal tanto en la variable como en su derivada; tenemosP(x) = 3 , Q(x) = e2xentonces el factor integrante es(x) = e

3dx= e3x.Almultiplicarlaecuacionoriginalpore3xobtenemose3x dydx 3ye3x=ex, esta ultima ecuacion la escribimos comoddx(e3xy) = exde donded(e3xy) = exdx.Integrando tenemos e3xy = _exdx+C, es decir, e3xy = ex+C, entonces la soluciongeneral de la ecuacion esy = e3x(ex+C) = Ce3xe2x.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 283Ejemplo14.6.2. Resuelva la ecuacion (x2+ 1)dydx + 3xy = 6x.Soluci on.De la ecuacion original deducimosdydx +3xyx2+1y =6xx2+1, la cual es lineal conP(x) =3xyx2+ 1, Q(x) =6xx2+ 1.El factor integrante es(x) = e

3xyx2+1dx= exp__3xx2+ 1dx_ = exp_32 ln(x2+ 1)_ = (x2+ 1)32,de donde, la ecuacion queda(x2+ 1)32dydx + 3x(x2+ 1)12y = 6x(x2+ 1)12.Integrando obtenemos(x2+ 1)32y =_6x(x2+ 1)12dx +C = 2(x2+ 1)32 +C,de donde la solucion general esy = 2 +C(x2+ 1)32.Ejemplo14.6.3. Resuelvadydx ayx=x+1x,a R {0, 1}.Soluci on.Notamos que la ecuacion planteada es lineal, entonces el factor integrante es(x) = e

p(x)dxdondep(x) = ax; tenemos,(x) = e

axdx= ea ln(x)= eln(x)a= xa.Al multiplicar la ecuacion diferencial original por este factor integrante obtenemosxadydx ayxa+1=x + 1xa+1 ,es inmediato reconocer el lado izquierdo de la ecuacion comoddx(yxa), de donde d(yxa) =x+1xa+1dx. Al integrar tenemosyxa=_x + 1xa+1 dx +C,es decir,yxa=_(xa+xa1)dx +C,as,yxa=xa+1a + 1 +xaa+C;aldespejarlavariableyobtenemosy=x1a 1a + Cxaqueeslasoluciongeneraldelaecuacion diferencial planteada.284 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAEjemplo 14.6.4. Considere la ecuacionxe2y dydx +e2y=ln(x)x. Resuelva con la sustitucionu = e2y.Solucion.Siu = e2yentonces derivando con respecto dex tenemosdudx= 2e2ydydxde donde,dydx=12e2ydudx,reemplazando en la ecuacion original tenemos,12e2yxdudx +u =ln(x)x,la ecuacion que resulta esx2dudx +u =ln(x)xla cual es lineal enu.En denitiva, la ecuacion esdudx + 2xu =2 ln(x)x2.Aqu el factor integrante es x2, de donde ux2= _ 2 ln(x)dx+C, as, integrando obtenemosux2= 2(xln(x) 1) + C.Alreemplazarupore2ytenemoslasoluciongeneral x2e2y=2xln(x) 2x +C.14.6.1. EcuaciondeBernoulliLa ecuacion diferencialdydx +P(x)y = Q(x)yndondeP(x),Q(x) son funciones continuas,n = 0,n = 1 se llama ecuacion de Bernoulli.Esta ecuacion, escrita comoyndydx +P(x)yn+1= Q(x)se reduce a una ecuacion lineal con el cambio de variablez = yn+1.En efecto, derivando con respecto dex obtenemosdzdx= (n + 1)yndydxes decirdydx=yn(n + 1)dzdx.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 285Reemplazando enyn dydx +P(x)yn+1= Q(x) obtenemos1(n + 1)dzdx +P(x)z = Q(x)es decir,dzdx + (n + 1)P(x)z = (n + 1)Q(x)la cual es una ecuacion lineal enz; despues de resolverla reemplazamosz poryn+1.Ejemplo14.6.5. Resuelva la ecuaciondydx +xy = x3y3.Soluci on.La ecuacion planteada es de Bernoulli y la escribimosy3dydx +xy2= x3. ()Seaz = y2entoncesdzdx= 2y3dydxde dondedydx=12y3dzdx.Si reemplazamosdydx,y2en () conseguimos la ecuaciony312y3dzdx +xz = x3que, al multiplicar por 2 entrega la ecuaciondzdx 2xz = 2x3que es lineal enz.Aqu el factor integrante es(x) = e

2xdx= ex2, entonces la ecuacion es ahoraex2 dzdx 2xzex2= 2x3ex2de dondezex2= _ 2x3ex2dx +C.Enla ultimaintegral,quelaresolvemosporintegracionporpartes,consideramoslaintegral escrita como _x2(2xex2)dx y, al consideraru = x2,dv = 2xex2la integralesx2ex2+ ex2+ C, as, zex2=x2ex2+ ex2+ C, entoncesz=x2+ 1 + Cex2; alreemplazarz tenemos nalmentey =1x2+1+Cex2 .14.6.2. EcuaciondeRicattiEstaecuacionesdelaformadydx+P(x)y2+Q(x)y +R(x) =0, P(x) =0; nosepuede resolver por metodos elementales, sin embargo, si conocemos una solucion partic-ulary1(x) podemos resolverla, transformandola en una ecuacion diferencial lineal con latransformaciony = y1 +1u.286 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIASiy = y1 +1uentoncesdydx=dy1dx 1u2dudx,reemplazando en la ecuacion original obtenemosdy1dx 1u2dudx +P(x)_y1 + 1u_2+Q(x)_y1 + 1u_+R(x) = 0,la cual, dado quey1 es solucion particular, se transforma en 1u2dudx +P(x)_2y1u+1u2_+ 1uQ(x) = 0.Al multiplicar por u2la ecuacion quedadydx P(x)[2y1u + 1] +uQ(x) = 0,es decir,dudx 2y1uP(x) P(x) +uQ(x) = 0,al reagrupar los terminos conseguimos la ecuaciondudx u[2P(x)y1 +Q(x)] = P(x);esta es una ecuacion lineal enu.Ejemplo14.6.6. Resuelva la ecuaciondydx +y2x2x3 +x 2x x2y = 0.Solucion.Es unaecuacionRicatti; dadoqueel terminoR(x) es nuloentonces unasolucionparticular es y1(x) = 0. Siguiendo la metodologa dada anteriormente, realicemos la trans-formaciony = 0 +1u, tenemos,dydx= 1u2dudx,reemplazando en la ecuacion obtenemos 1u2dudx +1u2x2x3 + 1ux 2x x2= 0,de la cual deducimosdudx 1x2x3 x 2x x2u = 0,as, la ecuacion lineal que conseguimos esdudx x 2x x2u =1x2x3. ()CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 287El factor integrante es(x) = e

x2xx2dx.Calculemos _x2xx2dx usando fracciones parciales; tenemos,x 2x x2=x 2x(1 x)=Ax+B1 x,deducimos quex 2 = A(a x) +Bx de donde obtenemosA = 2,B = 1, as,x 2x x2= 2x+11 xy entonces_x 2x x2dx =_ _2x+11 x_dx = 2 ln(x) + ln(1 x).El factor integrante es entonces,(x) = e

x2xx2dx= e2 ln(x)ln(1x)= eln

x21x

=x21 x.Al multiplicar la ecuacion () por el factor integrante conseguimosx21 xdudx x21 xx 2x x2u =x21 x1x2x3,entonces podemos escribirla comoddx_x21 xu_ =1(1 x)2,es decird_x21 xu_ =1(1 x)2dx;al integrar obtenemosx21xu =11x +C, despejando tenemosu =1x2 +C1 xx2,y comou =1yentonces la solucion general es1y=1x2 +C1 xx2;naturalmente que realizando arreglos algebraicos podemos conseguiry =x21+CCx.288 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIA14.7. ECUACIONESDIFERENCIALESEXACTASDenici on 14.7.1. Si u(x, y) es una funcion continua y con primeras derivadas parcialescontinuas entonces la diferencial total deu esdu =uxdx +uydy.Denicion14.7.2. La expresionM(x, y)dx +N(x, y)dysellamadiferencialexactasiexistealgunafuncionu(x, y)paralacualestaexpresiones la diferencial de u, es decir M(x, y)dx +N(x, y)dy es diferencial exacta si existe algunafuncion tal queux= M(x, y) yuy= N(x, y).Denicion14.7.3. La ecuacionM(x, y)dx +N(x, y)dy = 0se llama ecuacion diferencial exacta si y solo siM(x, y)dx + N(x, y)dyes una diferencialexacta.Teorema 14.7.1.La ecuacion M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 es exacta si y solo siNx=My .Demostracion. (Solo una parte de ella). SiM(x, y)dx +N(x, y)dy es la diferencial exactade alguna funcionu(x, y) entoncesM(x, y)dx +N(x, y)dy = du =uxdx +uydy,as,M=uxyN=uy, derivando obtenemosMy=2uxyyNx=2uyx,suponiendo que las segundas derivadas parciales son continuas conseguimosNx=My .Teorema 14.7.2. Lasoluciongeneral de laecuaciondiferencial exacta M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0 esta dada poru(x, y) = Cdondeu(x, y) es tal queux= M yuy= N, C = Cte.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 289Demostracion. Si M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 es exacta entonces existe una funcionu =u(x, y) tal queux= Myuy= N, as,uxdx+uydy = 0, es decir, du = 0, de donde u = Ces solucion general.Ejemplo14.7.1. Resuelva la ecuacion (2xy + 1)dx + (x2+ 4y)dy = 0.Soluci on.La ecuacion (2xy + 1)dx + (x2+ 4y)dy = 0 es exacta siNx=My . ComoNx=x(x2+ 4y) = 2x yMy=y(2xy + 1) = 2x,entonces la ecuacion es exacta, as, existeu = u(x, y) tal queux= Myuy= N.Tenemos el sistema_ux= 2xy + 1uy= x2+ 4yintegrando la primera ecuacion del sistema obtenemosu =_(2xy + 1)dx +(y) = x2y +x +(y),ahora, derivando con respecto dey, la expresion que obtenemos esuy= x2+ddy((y)).Al comparar con la segunda ecuacion del sistema tenemosx2+ 4y = x2+ddy((y)),es decir,ddy((y)) = 4y, as,(y) =_4ydy +C1 = 2y2+C1,entonces u = x2y +x +2y2+C1. Como la solucion de la ecuacion es u(x, y) = Centoncesla solucion general para la ecuacion planteada esu =x2y + x + 2y2+ C1=C, es decir,x2y +x + 2y2= KdondeK = C C1.Ejemplo14.7.2. Resuelva2xy3dx +y23x2y4dy = 0.Soluci on. ComoMy=y_2xy3_ = 6xy4yNx=x_y23x2y4_ = 6xy4entonces laecuaciondiferencial es Exacta, as, existe u=u(x, y) tal queux=Myuy= N.290 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIADeux=2xy3concluimos queu = _2xy3dx +f(y), entoncesu =x2y3+f(y).Comouy= N=y23x2y4entoncesy_x2y3+f(y)_ =y23x2y4;derivando obtenemos3x2y4+f

(y) =y23x2y4;al despejar la derivada tenemosf

(y) =1y2. Debemos determinarf(y); naturalmente quef(y) = _dyy2+C1, es decir,f(y) = 1y +C1.Como la solucion de la ecuacion exacta es u = C entonces, de u =x2y3 +f(y) obtenemosx2y3 1y +C1 = C; nalmente la solucion general esx2y3 1y= KconK = C C1.14.8. FACTORESINTEGRANTESA veces tenemos ecuaciones diferenciales no exactas, escritas en la formaM(x, y)dx +N(x, y)dy = 0lascualessepuedenconvertirenexactasmultiplicandosusterminosporunfactorinte-grante adecuado.Por ejemplo, la ecuacionydx xdy = 0 no es una ecuacion diferencial exacta ya queMy=yy= 1 =Nx=(x)x= 1,sinembargo,simultiplicamospor1y2obtenemosyy2dx xy2dy= 0,lacualesexacta,yaqueMy=y_1y_ = 1y2yNx=x_ xy2_ = 1y2;ahora podramos seguir el metodo de solucion ya estudiado.Notemos que la ecuacion original se puede solucionar por el metodo de variables sepa-rables (la solucion sera, y = Cx), sin embargo, se muestra este metodo solo para ejempli-car; por otro lado al multiplicar por1y2podramos escribir,ydxxdyy2= 0, donde el primermiembro es la diferencial dexy, as, d_xy_ = 0, de donde, integrando obtenemosxy=C;en esto ultimo radica la potencia del metodo.Denicion 14.8.1. Un Factor Integrante para la ecuacion M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0 esuna funcion(x, y) tal que(x, y)M(x, y)dx +(x, y)N(x, y)dy = 0 es exacta.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 291Ejemplo14.8.1. Laecuaci ondiferencialdevariablesseparablesydx + sec(x)dy = 0noes exacta ya queMy=yy= 1 =Nx=(sec(x))x= sec(x) tan(x),sinembargo, si multiplicamos por1y sec(x)obtenemos cos(x)dx +1ydy =0que es unaecuacion diferencial exacta ya queMy=(cos(x))y= 0 =Nx=_1y_x,la solucion de la ecuacion es sin(x) + ln(y) = C.Desgraciadamente no se conoce un metodo general para encontrar un Factor Integranteexplicito, sin embargo, existen algunas ecuaciones en que podemos determinar sistematica-mente al Factor Integrante.14.8.1. FactorIntegranteSistematicoSeaM(x, y)dx +N(x, y)dy = 0a) Si1N_MyNx_ = f(x) entonces(x, y) = e

f(x)dx.b) Si1M_Nx My_ = g(y) entonces(x, y) = e

g(y)dy.c) SiM= yf(x, y),N= xg(x, y) entonces(x, y) =1xM yN.Veamos el caso a).Supongamos que1N_MyNx_ = f(x) y denamos (x, y) = e

f(x)dxentonces, al multi-plicar la ecuacionM(x, y)dx +N(x, y)dy = 0 por(x, y) = e

f(x)dxobtenemos, en formasimplicada, la ecuacionMdx +Ndy = 0.Como(N)x=x N + Nx= 1N_MyNx_ N + Nx= Myy, como por otro lado, se puede vericar de manera analoga que,(M)y= Myentoncesla ecuacion diferencialMdx +Ndy = 0 es exacta.292 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIA*: Si(x, y) = e

f(x)dxentonces,x= e

f(x)dxd__f(x)dx_dx= e

f(x)dx f(x)= (x, y) f(x)= 1N_MyNx_.Ejemplo14.8.2. Resuelva la ecuaciony2cos(x)dx + (4 + 5y sin(x))dy = 0.Solucion.Laecuacionplanteadanoobedecealosmetodosanteriores,intentamosFactorInte-grante; comoMy=y(y2cos(x)) = 2y cos(x) yNx=x(4 + 5y sin(x)) = 5y cos(x)y ademas1M_Nx My_ =5y cos(x) 2y cos(x)y2cos(x)=3y= g(y),entonces el factor integrante es(y) = e

3ydy= e3 ln(y)= y3.Al multiplicar la ecuacion original por este Factor Integrante obtenemos la ecuacion difer-encialy5cos(x)dx + (4y3+ 5y4sin(x))dy = 0que es exacta ya queMy= 5y4cos(x) =Nxas, existe la funcionu(x, y) tal queux= Myuy=N. Tenemosux=y5cos(x), dedonde u= _y5cos(x)dx=y5sin(x) + (y);derivando con respecto dey obtenemosuy= 5y4sin(x) +

(y), as,5y4sin(x) +

(y) = 4y3+ 5y4sin(x),concluimosque

(y)=4y3dedonde(y)= _ 4y3dy + C1=y4+ C1, nalmente, lasolucion general esy5sin(x) +y4= C.14.8.2. FactorIntegranteporinspeccionExisten muchas ecuaciones para las cuales el Factor Integrante se puede encontrar porinspeccion, loqueimplicalab usquedadeunaagrupaciondeterminosquemuestrenladiferencial de alguna funcion conocida.Por ejemplo, la presencia de ydx+xdy sugiere una funcion de xy como Factor Integrantedadoque d(xy) =xdy +ydx. Demaneraanaloga, lasdiferenciales d_xy_=ydxxdyy2,d_yx_ =xdyydxx2sugieren la b usqueda de las expresiones ydxxdy, xdyydx que conducena factores integrantes de la forma1y2f_xy_ y1x2f_yx_ respectivamente.Veamos algunos ejemplos que nos indicaran el camino.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 293Ejemplo14.8.3. Resuelva la ecuacionydx + (x +x2y)dy = 0.Soluci on.Aldesarrollarlaecuacionobtenemosydx + xdy + x2ydy=0,lapresenciadelaex-presionxdy + ydx, contenida en la ecuacion sugiere un Factor Integrante funcion dexy;comoeneltercerterminox2ydynosconvieneeliminarx2,paraque,sinlapresenciadeel, el terminoquequedaseaintegrabledemanerainmediata, concluimosqueel FactorIntegrante, funcion dexy es1(xy)2, tenemosydx +xdy(xy)2+x2y(xy)2dy = 0,o lo que es lo mismo,(xy)2d(xy) + 1ydy = 0,integrando esta ultima expresion obtenemos_(xy)2d(xy) +_1ydy = C,es decir, la solucion general es 1xy + ln(x) = C.Ejemplo14.8.4. Resuelva la ecuacion (xy4+y)dx xdy = 0.Soluci on.Al desarrollar la ecuacion tenemosxy4dx +ydx xdy = 0, la presencia deydx xdysugiere un Factor Integrante de la forma1y2f_xy_; como debemos eliminar el factor y4delterminoxy4dx produciendo con ello que el termino que quede, sea integrable de manerainmediata, el Factor Integrante es1y2_xy_2; tenemos,1y2_xy_2xy4dx +1y2_xy_2(ydx xdy) = 0,con algunos arreglos algebraicos obtenemosx3dx +_xy_2ydx xdyy2= 0,es decir,x3dx +_xy_2d_xy_ = 0,al integrar tenemos_x3dx +_ _xy_2d(xy) = C,es decir, la solucion general esx44+13(xy)3= C.294 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIA14.9. ALGUNASAPLICACIONESDELASECUACIONESDIFERENCIALESEcuacionesdiferencialesyModelosmatematicosLos siguientes ejemplos muestran el proceso de traducir leyes y principios cientcosenEcuacionesDiferenciales, interpretandorazonesdecambiocomoderivadas; general-mente la variable independiente es el tiempot.Ejemplo14.9.1. LeydeEnfriamientodeNewtonLa ley de enfriamiento de Newton dice, La tasa de cambio de la temperaturaT(t) deun cuerpo, con respecto al tiempot es proporcional a la diferencia entre la temperaturaTdel cuerpo y la temperaturaA del medio ambiente.La ecuacion que se produce esdTdt= k(AT), k > 0la cual se puede tratar como una ecuacion de variables separables tanto como lineal.Notemosque, si T >AentoncesdTdt 0y el cuerpo se esta calentando.Para valores de la constantek y temperatura ambiental constanteA podemos determi-nar una formula explicita paraT(t).Resolvamos la ecuacion diferencial,dTdt= k(AT) dTAT= kdt_dTAT=_kdt +C1ln(AT) = kt +C1 ln(AT) = kt +C2 AT= ekt+C2 AT= ekteC2 AT= C3ekt T= A+Cekt.As, el fenomeno esta gobernado por la ecuacionT(t) = A+Cekt.Ejemplo14.9.2. LeydeTorricelliLaleydeTorricellidice,Latasadecambioconrespectodel tiempodel volumenVde agua en un tanque que se vaca, es proporcional a la raz cuadrada de la profundidadydel agua en el tanque.La ecuacion que se obtiene esdVdt= ky.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 295Ejemplo14.9.3. CrecimientoodecrecimientopoblacionalLatasadecambio,conrespectodel tiempo,deunapoblacionP(t),con ndicescon-stantes de nacimiento y mortalidad, es, en muchos casos simples, proporcional al tama node la poblacion, en este caso, la ecuacion que se produce esdPdt= kP, k = Cte.Cada funcion de la forma P(t) = Cektes solucion de la ecuaci on diferencialdPdt= kP,ya quedPdt=ddt_Cekt_ = Cektk = kP.Aunque el valor de la constantek sea conocido, la ecuacion diferencialdPdt= kPtieneinnitassolucionesP(t)=Cektquedependendel valordeCynosinteresaraconoceruna solucion particular del fenomeno; para ello debemos realizar algunas observaciones enel fenomeno que deseamos modelar.Por ejemplo, supongamos queP(t) = Cektes la poblacion de una colonia de bacteriasenel tiempot, quelapoblacioninicial debacteriasfuede1000yquedespuesdetreshorasdeobservacion,desdeel iniciodel proceso,sedetectan2000bacterias.Estainfor-macionadicional acercadeP(t)nosconducealassiguientesecuaciones,cuyasolucionnos permitira caracterizar el proceso,_P(0) = 1000 = Cek0(1)P(3) = 2000 = Ce2k(2)De(1)obtenemos C=1000yreemplazandoen(2), laecuacion2000=1000e2knospermitira conocer el valor dek,2000 = 1000e2k 2 = e2k ln(2) = 2k k =ln(2)2= 0, 34657359;as entonces, la ecuacion que modela el fenomeno esP(t) = 1000e0,34657359t.Observemosqueekt=eln(2)2t=eln(2)t2= _eln(2)_t2=2t2, dedondelaecuacionseescribeP(t) = 1000 2t2.Conestaecuacionpodemos determinar, por ejemplo, lacantidadde bacterias quehabra al termino de 4 horas; ella seraP(4) = 1000 242= 4000; note que con la primeraecuacion, el valor esP(4) = 3999, 999996.296 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIA14.10. TRAYECTORIASORTOGONALESDenici on 14.10.1.Dos familias uniparametricas de curvas son isogonales si cada miem-bro de una de ellas corta a cada miembro de la otra familia en un angulo constante. Si =2entonces las familias son ortogonales.Por ejemplo, la familia de circunferenciasx2+ y2=c2y la familia de rectasy =mxson familias ortogonales.Estoesevidentegeometricamenteovistodeotramanera,si x2+ y2=c2entonces,derivando implcitamente obtenemos 2x + 2ydydx= 0 de dondedydx= xy; considerando laotra familiay =mx obtenemosdydx=m; es inmediato que las curvas son ortogonales yaque_xy_m =_xy__yx_ = 1.Para casos mas generales, veamos el metodo analtico siguiente.Teorema 14.10.1. Si F(x, y, y

) =0es laecuaciondiferencial de unafamiliauni-parametricaentoncesF(x, y, 1y

) = 0eslaecuaciondiferencial delafamiliadecurvasortogonales.Demostracion. Sean F(x, y, y

) = 0 y F( x, y, y

) = 0 la ecuacion de las familias ortogonalesyf1, f2dos curvas arbitrarias mutuamente ortogonales. SiP(x, y) es un punto com un def1 yf2 entonces x = x, y = y,y

= 1y

, as,F( x, y, y

) = F_x, y, yy

_ = 0.Observacion14.10.1. El metodo para hallar la familia de curvas ortogonales a una familiade curvas determinada es,1. Encontrar la ecuacion diferencialdydx= f(x, y) de la familia dada.2. Sustituirdydxpor dxdyparaobtenerlaecuaciondiferencial delafamiliadecurvasortogonales.3. Resolver esta ultima ecuacion dxdy= f(x, y).Ejemplo 14.10.1.Determine la ecuacion de la familia de curvas ortogonales a la familiade circunferenciasx2+y2= c2.Solucion.Al derivar x2+ y2=c2obtenemos x + ydydx=0, queeslaecuaciondiferencial dela familia de circunferencias; reemplazandodydxpor dxdyes la ecuacion previa obtenemosx + y_dxdy_ = 0, que corresponde a la ecuacion diferencial de la familia de trayectoriasCAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 297ortogonales buscada; debemos resolver esta ultima ecuacion,x +y_dxdy_ = 0 x = ydxdyxdx=ydy ln(x) = ln(y) +K ln(x) = ln(y) + ln(C1) conln(C1) = K ln(x) = ln(C1)y x = C1y y = Cxtal queC =1C1.Ejemplo 14.10.2.Determine la ecuacion de la familia de curvas ortogonales a la familiade ecuaciony = Cx4.Soluci on.Laecuaciondiferencialasociadaalaecuaciony=Cx4esdydx= 4Cx3,debemosadi-cionalmente, determinar laconstante C; como C=yx4entonces, reemplazandoenlaecuacion diferencial obtenemosdydx=4yx .La ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales es dxdy=4yx . Resolvemos esta ultimaecuacion,dxdy=4yxxdx = 4ydyx22= 2y2+C1x2= 4y2+C2 dondeC2 = 2C1 x2+ 4y2= C2, conC2= C2,es la ecuacion pedida.Ejemplo 14.10.3.Determine la ecuacion de la familia de curvas ortogonales a la familiade ecuacion 4y +x2+ 1 +Ce2y= 0.Soluci on.Derivando 4y +x2+ 1 +Ce2y= 0 tenemos4dydx + 2x + 2Ce2ydydx= 0,298 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAdebemos reemplazarCy encontrar la formadydx= f(x, y),4dydx + 2x + 2Ce2ydydx= 0 dydx(4 + 2Ce2y) = 2xdydx= x2 +Ce2ydydx= x2 + (4y x21)ya que Ce2y= 4y x21dydx= x1 4y x2.Ahora, la ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales esdxdy=x1 4y x2.Debemos resolver esta ultima ecuacion; conviene escribirla comodydx=1 4y x2x,as,dydx=1x 4yxx,la cual es la ecuacion diferencial lineal eny,dydx + 4xy =1x x.El factor integrante es(x) = e

4xdx= e4 ln(x)= x4,de donde obtenemosx4y =_x4_1x x_dx +C.Esta tiene solucionx4y =x44x66+Cde dondey =14 x26+Cx4es la ecuacion pedida.14.11. ECUACIONESLINEALESDEORDENSUPERIORIntroduccionEn esta seccion nos interesa resolver ecuaciones diferenciales lineales homogeneas de or-den n con coecientes constantes. Para ello daremos la teora basica necesaria que sustentaesta tarea, como por ejemplo, reduccion de orden, el determinante Wronskiano, determi-naciondeunasegundasolucionconocidaotra,haciendoun enfasisenlasecuacionesdesegundo orden.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 299Denicion14.11.1. La ecuacion diferencial lineal general de ordenn tiene la formaan(x)dnydxn +an1(x)dn1ydxn1 + +a1(x)dydx +a0(x)y = G(x).Suponemos que los coecientes ai(x),i = 0, 1, 2, . . . , n y la funcion G(x) son funcionescontinuas en cierto intervalo abierto I, sin embargo no necesariamente deben ser funcioneslineales.Porejemplo, laecuacionexy

+ sin(x)y

+ (1 + x)y=tan(x)eslineal yaquelavariable dependiente y sus derivadas aparecen linealmente, en tanto que la ecuaciony

+(y

)2+ 4y2= 0 no es lineal.Un problema de valor inicial para una ecuacion diferencial lineal de ordenn consisteen resolver la ecuacionan(x)y(n)+an1(x)y(n1)+ +a1(x)y

+a0(x)y = G(x), (14.2)sujetaay(x0)=y0, y

(x0)=y

0, . . . , y(n1)(x0)=y(n1)0dondey0, . . . , y(n1)0soncon-stantes.Buscamos una solucion en un intervaloIque contiene ax0.Teorema14.11.1. Existenciayunicidaddelasolucion.Seanan(x), an1(x), . . . , a1(x), a0(x), G(x) funciones continuas en cierto intervaloIyan(x) = 0 para todox enI. Six0 Ientonces existe una soluciony(x) del problema devalor inicial (14.2) en el intervaloIy esa solucion es unica.Ejemplo 14.11.1.Es facil vericar que y = 2e3x+112x4e3xes una solucion de la ecuaciondiferencial y

6y

+ 9y =x2e3xy que satisface la condicion inicial y(0) = 2,y

(0) = 6.Laecuaciondiferencial eslineal, loscoecientesas comoG(x)=x2e3xsonfuncionescontinuasencualquierintervaloquecontieneax = 0,luego,porelteoremaanterior,lasolucion es unica.Observacion14.11.1. Para la ecuacion lineal de segundo ordena2(x)y

+a1(x)y

+a0(x)y = G(x)sujetaay(x0)=y0, y

(x0)=y

0, unasolucionesunafunciony=f(x)denidaenunintervaloIcuyo graco pasa por (x0, y0) tal que la pendiente de la curva en el punto esy

0.14.11.1. CasossimplesdereducciondeordenEnciertoscasosesposiblereducirel ordendeunaecuaciondiferencial, loquehacemas facil su integracion. Algunas de los casos mas frecuentes son los siguientes.300 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIALa ecuacion no contiene la funcion buscada y sus derivadas hasta el ordenk1La ecuacion esF_x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)_ = 0. (14.3)Conelcambiodevariabley(p)=p,elordendelaecuacion(14.3)puedeserreducidoan k; la forma que tiene ahora esF_x, p, p

, . . . , p(nk)_ = 0.Deestaecuacionsedeterminapylafuncionysedeterminadelaecuaciony(k)=pintegrando k veces. En el caso particular de la ecuacion de segundo orden que no contienea la funciony, el cambio de variabley

= p conduce a una ecuacion de primer orden.Ejemplo14.11.2. Resuelva la ecuaciony(5)1xy(4)= 0.Solucion.Haciendo y(4)= p la ecuacion original quedadpdx1xp = 0, al separar variables e integrarobtenemos ln(p) = ln(x)+ln(C), es decir, p = Cx, es decir, y(4)= Cx, entonces al integrar4 veces obtenemosy(3)=C2 x2+C1, y(2)=C6 x3+C1x +C2,y

=C24x4+C12x2+C2x +C3, y =C120x5+C16x3+C22x2+C3x +C4,es decir,y = K1x5+K2x3+K3x2+K4x +K5.LaecuacionnocontienelavariableindependienteLa ecuacion esF_y, y

, y

, . . . , y(n)_ = 0.Por medio del cambio de variable y

= p, el orden de la ecuacion se reduce en una unidad.Como p = p(y) entonces todas las derivadasdkydxkdeben expresarse mediante las derivadasdep con respecto dey, tenemosdydx= pd2ydx2=dpdx=dpdydydx= pdpdyd3ydx3=ddx_pdpdy_ =ddy_pdpdy_ dydx=d2pdy2p2+_dydp_2y as sucesivamente para las otras derivadas.Esinmediatoquednydxnseexpresamediantelasderivadasdepconrespectodey, deorden no superior a n1, lo cual, precisamente indica la disminucion en una unidad en elorden de la ecuacion. En particular, si la ecuacion diferencial de segundo orden no contienea la variable independiente x, tal sustitucion conduce a una ecuacion diferencial de primerorden.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 301Ejemplo14.11.3. Resuelva la ecuaciony

= (y

)2.Soluci on.Seadydx= p, luegod2ydx2= pdpdyde donde la ecuacion original quedapdpdy= p2; separandovariables e integrando obtenemosp =Cey, ahora la ecuacion esdydx=Ceyy su soluciones ey= Cx +D, de dondey = Kex.14.11.2. DependenciaeindependencialinealDenicion 14.11.2. Se dice que las funciones f1(x), f2(x), . . . , fn(x) son linealmente de-pendientes sobre el intervaloIsi existen constantesa1, a2, . . . , an, no todas nulas, tal quea1f1 +a2f2 + +anfn = 0, x I. Si los unicos escalares que satisfacen la igualdad sontodos nulos entonces las funciones son linealmente independientes.Ejemplo14.11.4. Lasfuncionesek1x, ek2x, . . . , eknx,dondeki =kjsi i =jsonlineal-mente independientes en cualquier intervalo real.Consideremos la combinacion lineala1ek1x+a2ek2x+ +aneknx= 0 ()y supongamos que las funciones son linealmente dependientes, entonces existe alg un escalarno nulo, supongamos quean = 0.Dividiendo la igualdad() porek1xy derivando obtenemosa2(k2 k1)e(k2k1)x+ +an(kn k1)e(knk1)x= 0 ()que es una combinacion lineal den1 funciones exponenciales con diferentes exponentes.Dividiendolaigualdad () por e(k2k1)xyderivando, obtenemosunacombinacionlineal entre den 2 funciones exponenciales con diferentes exponentes.Prosiguiendo este proceson 1 veces obtenemosan(kn k1)(kn k2) . . . (kn kn1)e(knkn1)x= 0lo que es una contradiccion ya que por hipotesisan = 0 yki = kjparai = j.Ejemplo14.11.5. Lasfuncionesf1(x) = 1 + tan2(x), f2(x) = 2 sec2(x), f3(x) =exsonlinealmente dependientes ya que 2(1 + tan2(x)) + 1(2 sec2(x)) + 0ex= 0.14.11.3. EldeterminanteWronskianoCuandotenemosunagrancantidaddefunciones fi(x), i =1, 2, . . . , nydeseamosanalizar la linealidad de tal conjunto nos enfrentamos a una gran cantidad de calculos en elprocesos de determinar que se pueda o no encontrar valores no triviales de los coecientes,felizmente tenemos el determinante Wronskiano (G. Wronsky (1775-1853)),denotadoW(f1, f2, . . . , fn)que nos ayuda en la tarea.302 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIATeorema 14.11.2.Supongamos que las funciones f1(x), f2(x), . . . , fn(x) tienen al menosn 1 derivadas. SiW(f1, f2, . . . , fn) =f1f2. . . fnf

1f

2. . . f

n............f(n1)1f(n1)2. . . f(n1)n= 0por lomenosenunpuntodelintervaloIentonces {f1, f2, . . . , fn} esunconjunto lineal-mente independiente.Demostracion. Consideremos la combinacion lineala1f1(x) +a2f2(x) + +anfn(x) = 0entonces, derivandon 1 veces conseguimos el sistema___a1f1 + +anfn = 0a1f

1 + +anf

n = 0...a1f(n1)1+ +anf(n1)n= 0Del capitulo Sistemas de Ecuaciones Lineales, sabemos que un sistema lineal homogeneotieneunasolucionnotrivialsieldeterminantedesuscoecientesesigualacero.Enelsistemahemosformado, lasai, i=1, 2, . . . , nsonlasincognitasyentoncesel determi-nante de coecientes esW(f1, f2, . . . , fn), asW(f1, f2, . . . , fn) = 0 lo que constituye unacontradiccion.Ejemplo 14.11.6. Demuestre que las funciones f1(x) = e3x, f2(x) = e2xson linealmenteindependientes en R.Solucion. ComoW(f1, f2) =e3xe2x3e3x2e2x = 5ex= 0, x Rentonces las funciones son linealmente independientes en R.Teorema14.11.3. PrincipiodeSuperposicion.Si las funcionesy1, y2, . . . , yn son cada una solucion de una ecuacion diferencial linealhomogeneadeordennenel intervaloI entonceslacombinacionlineal y=c1y1(x) +c2y2(x) + +cnyn(x) tambien es solucion.Demostracion. Lo haremos pare el cason = 2Seany1, y2 dos soluciones en el intervaloI, de la ecuacion diferencial homogeneay

+p(x)y

+q(x)y = 0. Debemos demostrar quey = c1y1 +c2y2 tambien es solucion.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 303Si y=C1y1 + C2y2entoncesy

=C1y

1 + C2y

2dedondey

=C1y

1+ C2y

2, as secumpley

+p(x)y

+q(x)y = _C1y

1 +C2y

2_+p(x)_C1y

1 +C2y

2_+q(x)(C1y1 +C2y2)= C1_y

1 +p(x)y

1 +q(x)y1_+C2_y

2 +p(x)y

2 +q(x)y2_= 0.Corolario 14.11.1. El n umero maximo de soluciones linealmente independientes de unaecuacion diferencial homogenea es igual a su orden.Ejemplo14.11.7. Sepuedevericarquey1(x)=cos(x), y2(x)=sin(x)sondossolu-ciones de la ecuaci ony

+y = 0; tambien se puede vericar que la combinacion lineal deellasy = C1 cos(x) +C2 sin(x) es solucion general.14.11.4. Construccion de una segunda ecuacion a partir de una solucion cono-cidaEn una ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo orden podemos determinaruna solucion general a partir de una solucion conocida. Supongamos que y1(x) es solucionno nula de la ecuaciona2(x)y

+a1(x)y

+a0(x)y = 0y deseamos construir la segunda solucion particular.Si miramos unadelas ecuaciones diferenciales homogeneas desegundoordenmassencillas como es la ecuaciony

y = 0, podemos vericar facilmente quey1(x) =exessolucion de la ecuacion y entonces podramos intentar una segunda solucion de la formay2(x) = u(x)ex. Hagamoslo as, entonces se debe cumpliry

2 y2 = 0.Como y

2 = uex+exu

entonces y

= uex+2exu

+exu

de donde, y

2y2 = 0 nos indicaque se debe cumplir y

2 y2 = ex(u

+2u

) = 0; esto requiere que se cumpla u

+2u

= 0,debemos resolver esta ultima ecuacion.Seau

= w entoncesu

= w

y la ecuacionu

+ 2u

= 0 se convierte enw

+ 2w = 0;al resolverla como ecuacion diferencial lineal con factor integrante(x) =e2xobtenemosddx(e2xw) = 0, as,e2xw = C, de dondew = Ce2x.La ecuacion que se genera esdudx= Ce2xcuya solucion esu = C2 e2x+Ky entonces la segunda solucion esy2(x) = u(x)ex= C2 ex+Kex;304 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAescogiendoC = 2,K = 0, la segunda solucion esy2(x) = ex.ComoW(y1, y2) = 0entonceslasdossolucionessonlinealmenteindependientesylasolucion general es combinacion lineal de estas.Veamos el caso general.La ecuaciona2(x)y

+a1(x)y

+a0(x)y = 0,a2(x) = 0, se puede escribir comoy

+P(x)y

+Q(x)y = 0, (14.4)conP(x),Q(x) funciones continuas en cierto intervaloI.Supongamosquey1(x)essolucionconocidadelaecuacion(14.4)yquey1(x) =0paratodox I,denamosy2(x)=u(x)y1(x),entoncesy

2=uy

1 + y1u

,ademasy

2=uy

1 + u

y

1 + y

1u

+ y1u

, reemplazando estas ultimas derivadas en (14.4) y reordenandoobtenemos u(y

1 +P(x)y

1+Q(x)y1) +y1u

+(2y

1+P(x)y1)u

= 0, como y1(x) es solucionde la ecuacion (14.4) entonces la ultima ecuacion queday1u

+ (2y

1 +P(x)y1)u

= 0. (14.5)Con el cambio de variable w = u

la ecuacion (14.5) queda y1w

+(2y

1+P(x)y1)w = 0,la cual es lineal y tambien de variables separables, tratandola bajo esta ultima clasicaciontenemosy1dwdx+ (2y

1 +P(x)y1)w = 0,es decir,dww+_2y

1y1+P(x)_dx = 0,al integrar conseguimos ln(w) +2 ln(y1) = _P(x)dx+C, o sea, ln(wy21) = _P(x)dx+C, si tomamos exponencial obtenemoswy21= C1e

P(x)dx; al despejarw la expresion esw =dudx= C1e

P(x)dxy21, de tal manera queu = C1_e

P(x)dxy21dx +C2, as,y2(x) = u(x)y1esy2(x) = C1y1(x)_e

P(x)dxy21(x)dx +C2y1(x).HaciendoC2= 0, C1= 1obtenemosy2(x) =y1(x)_e

P(x)dxy21(x)dx.Ustedpuedevericarquey2 satisface la ecuaciony

+P(x)y

+Q(x)y = 0.Note que,W(y1, y2) =y1y1_e

Pdxy21dxy

1y

1_e

pdxy21dx +ePdxy1= e

Pdx= 0.Ejemplo 14.11.8. Considere la ecuacion diferencialx2y

7xy

+16y = 0 y seay1 = x4una solucion particular. Determine una segunda solucion y la solucion general.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 305Soluci on.Escribimos la ecuacion en la formay

7xy

+ 16x2y = 0entonces la segunda solucion particular esy2 = x4_e

7xdxx8dx = x4_1xdx = x4ln(x).14.12. ECUACIONESDIFERENCIALESLINEALESCONCOEFICIENTESCONSTANTESLa ecuacion diferencialany(n)+an1y(n1)+ +a1y

+a0y = 0,homogeneadeordennyconcoecientes constantes an, an1, . . . , a1, a0es laquenosinteresa resolver.Basandonosenlaecuaciondiferenciallinealhomogeneadydx + ay=0quetienesolu-cionexponencial y=Ceaxen R, resultanatural tratardedeterminarsi existenotrassolucionesexponenciales.Loextraordinarioesquetodaslassoluciones(particulares)dela ecuacion lineal homogenea de ordenn y con coecientes constantes son exponencialeso se construyen a partir de exponenciales.Estudiemos la ecuacion diferencial lineal homogeneaay

+by

+cy = 0,dondea, b, c R,a = 0.Como (emx)

= memxy (emx)

= m2emxentonces, es claro que las derivadas de primery de segundo orden de la funcion y = emxson m ultiplo de emx, as, si sustituimos y = emxen la ecuacionay

+by

+cy = 0, cada termino de la ecuacion sera m ultiplo de emx; estonos sugiere que tratemos de encontrar un valor dem de modo que estos m ultiplos deemxsumen cero, si hay exito entoncesy = emxsera una solucion de la ecuacion.Porejemplo, si sustituimos y =emxenlaecuaciony

5y

+ 6y =0obtenemosm2emx 5memx+ 6emx=0, estoindicaque _m25m+ 6_emx=0, estaecuacionsesatisfaceparam Rtal quem2 5m + 6=0, esdecir, param=2, m= 3; luego,y1 = e2xey2 = e3xque son linealmente independientes.En el caso general tenemos am2emx+bmemx+cemx= 0, es decir, emx(am2+bm+c) = 0,comoemx= 0, x,entoncesdebemosencontrarmtalqueam2+ bm + c = 0paraquey = emxsea solucion.Esta ultimaecuacionsellamaecuacionauxiliaroecuacioncaractersticadelaecuaciondiferencial y consideramos tres casos.306 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIACaso 1.Siam2+bm+c = 0 tiene dos races reales y distintas m1,m2 entonces las dos solucionesparticulares sony1=em1x, y2=em2x. Como estas funciones son linealmente independi-entes entonces la solucion general de la ecuacion diferencialay

+by

+cy = 0 esy = C1em1x+C2em2x.Caso 2.Si am2+bm+c = 0 tiene dos races reales iguales m1 = m2 entonces en realidad tenemosuna solucion exponencial del tipoy1 = em1x.La segunda soluciony2 = em1x_e

badxe2m1xdx = em1x_ebaxe2m1xdx = em1x_ex(ba2m1)dx.Comoam2+ bm+ c = 0 tiene dos races reales igualesm1 = m2entoncesm1 = b2a,asi, ba + 2m1 = 0, luego _ex(ba+2m1)dx = x de dondey2 = xem1x.ComoW(y1, y2) = 0 entonces la solucion general esy = C1em1x+C2xem1x.Caso 3.Si las soluciones de la ecuacion caractersticaam2+ bm + c = 0 son las races complejasm1 = +i,m2 = i entonces la solucion esy = C1e(+i)x+C2e(i)x.Observacion14.12.1. Como deseamos trabajar con funciones reales en lugar de funcionescomplejas entonces usando la ecuacion de Euler,ei= cos() +i sin()tenemoseix= cos(x) +i sin(x) , eix= cos(x) i sin(x)de donde la solucion general podemos escribirlay = ex(C1eix+C2eix)= ex(C1(cos(x) +i sin(x)) +C2(cos(x) i sin(x))= ex((C1 +C2) cos(x) +i(C1 C2) sin(x)).Puesto que las funcionesexcos(x) yexsin(x) son linealmente independientes, deno-tandoK1 aC1 +C2 yK2 a (C1 C2)i, la solucion general la escribimosy = ex(K1 cos(x) +K2 sin(x)).CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 307Ejemplo14.12.1. Resuelva la ecuaciony

+y

8y

12y = 0.Soluci on.Laecuacioncaractersticaesm3+ m2 8m 12 = 0;unarazesm = 3,aldividirm3+m28m12 porm = 3 obtenemos el cuocientem2+ 4m+ 4 = (m+ 2)2entoncesm3+m28m12 = (m3)(m+ 2)2= 0; las races de la ecuacion sonm = 3,m = 2(de multiplicidad 2), entonces la solucion general esy = C1e3x+C2e2x+C3xe2x.Ejemplo14.12.2. Resuelva la ecuaciony

3y

+ 4y

2y = 0.Soluci on.Laecuacioncaractersticaesm3 3m2+ 4m 2 = 0;unarazesm = 1;aldividirm33m2+4m2 porm = 1 obtenemos el cuociente m22m+2 entoncesm33m2+4m 2=(m 1)(m2 2m + 2)=0;lasracesdelaecuacionsonm=1, m=1 + i,m = 1 i, entonces la solucion general esy = C1ex+ex(C2 cos(x) +C3 sin(x)).Ejemplo14.12.3. Resuelva la ecuaciony

+ 16y = 0 sujeta ay(0) = 2,y

(0) = 2.Soluci on.La ecuacion caracterstica esm2+ 16 = 0 cuyas races sonm = 4i,m = 4i de dondela solucion general esy = e0x(C1 cos(4x) +C2 sin(4x)).Las condiciones iniciales nos sirven para determinar el valor de las constantes,y(0) =2=C1 cos(0) + C2 sin(0), esdecir, C1=2, entonceslasoluciones y=2 cos(4x) +C2 sin(4x), de donde y

= 8 sin(4x) +4C2 cos(4x); y

(0) = 2 = 8 sin(0) +4C2 sin(0),as,C2 = 12.La solucion particular esy = 2 cos(4x) 12 sin(4x).14.13. UNA BREVE INTRODUCCION A LA TRANSFORMADA DELAPLACE14.13.1. IntroduccionUnaclasedetransformacionlinealdeespecialrelevanciaesladeintegracion,as,siy = f(x) es una funcion denida en un intervalo nito [a, b] R o en intervalo de longitudinnitaysi K(s, x)esunafuncionjaquedependedelavariablexydelparametrosentonces denimos la funcionF(s) comoT[f(x)] =_baK(s, x)f(x)dx = F(s).308 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIALa funcionK(s, x) se llama n ucleo de la transformacion linealTy evidentemente, Tes lineal con independencia de la naturaleza deK(s, x), es decir, se cumpleT[f(x) +g(x)] = T[f(x)] +T[g(x)] ; T[kf(x)] = kT[f(x)] , k = Cte.La transformacion de Laplace es especialmente util para simplicar el proceso de re-solverproblemasdevalorinicial cuyasecuacionesdiferencialessonlinealesyprincipal-mente cuando se incluyen funciones discontinuas.14.13.2. DeniciondetransformadadeLaplaceConsidere la funcion f(t) denida en (0, ) R. Se dene la transformada de Laplacedef(t), denotadaL{f(t)} porL{f(t)} =_0estf(t)dt = F(s).Observacion14.13.1.1. Debera existir la integral impropia dependiente del parametro s, es decir, la integraldeberaserconvergenteparaciertosvaloresdes,entalcasodiremosqueexistelatransformada de Laplace def(t) o quef(t) esL-transformable.2. L{f(t)} =_0estf(t)dt =lmb_b0estf(t)dt = F(s)Ejemplo14.13.1. Si f(t)=1, t 0entonces L{f(t)}=L{1}= _0estdt=1ssis > 0, ya que_0estdt = lmb_b0estdt= lmb_1sest_t=t=0= lmb_1sesb_1se0__=1s,si el parametros es positivo, dado que en este caso 1sesb 0 sib .Ejemplo14.13.2. Si f(t) =eat, t 0entoncesL{f(t)} =L_eat_ =1sasi s>a.EnCAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 309efecto,L_eat_=_0esteatdt=_0et(as)dt= lmb_1a set(as)_t=bt=0= lmb_1a seb(as)1a se0_=1s a, s > a.Ejemplo14.13.3. Sif(t) = ta;t 0,a R,a > 1 entoncesL{ta} =1sa+1(a + 1)sis > 0.Al igual que en los ejemplos anteriores, lo demostramos calculando la integral impropiacorrespondiente, tenemos,L{f(t)} = L{ta} =_0esttadt.Estaintegral impropiasepuederesolverporintegracionporpartesomejor, usandolafuncion Gamma; recordemos esta ultima.La funcion Gamma, denotada (x) se dene por(x) =_0ettx1dt,esta integral impropia converge parax > 0 y, entre otras propiedades cumple,a) (x + 1) = x(x),b) (n) = (n 1)!,n N,c) _12_ = .As, volviendo a la integral que deseamos calcular y con el cambio de variableu = st,de dondedu = sdt, obtenemos_0esttadt =_eu_us_adus=1sa+1_0euuadu=1sa+1(a + 1),cons > 0 tal queu = st > 0.310 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAObservacion14.13.2.1. L{tn} =n!sn+1,n N.Sabemos que el factorial de n N{0}, denotado n! es n! = n(n1)(n2) 3 2 1con0! =1yusandoL{tn} =n!sn+1, n>0entonces, por ejemploL{t} =1s2,L_t2_=2s3, L_t3_=6s4; muycomodoyaquenosevitael calcularlasintegralesimpropias correspondientes.2. Usando la linealidad de la Transformada de Laplace, es decir, usandoL{f(t) +g(t)} = L{f(t)} +L{g(t)} ; L{kf(t)} = kL{f(t)} , k = Cte,tenemos, por ejemplo:a)L_2t2+ 5t + 7_= 2L_t2_+ 5L{t} + 7L{1}= 2 2s3 + 5 1s2 + 71s=2 + 5s + 7s2s3.b) L{cosh(kt)} =ss2k2,s > |k|.Para demostrar esto, basta con usar cosh(kt) =ekt+ekt2,k > 0 y la linealidad de latransformada.14.13.3. FuncionesysusTransformadasAlgo similar a la tablas de derivadas e integrales inmediatas podemos presentar en lasiguiente, breve tabla de transformadas de Laplacef(t) L{f(t)} = F(s)11s, s > 0t1s2, s > 0tn,n Nn!sn+1, s > 0ta,a > 1(a+1)sa+1, s > acos(kt)ss2+k2, s > 0sin(kt)ks2+k2, s > 0cosh(kt)ss2k2, s > |k|sinh(kt)ks2k2, s > |k|ekt 1sk, s > kCAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 31114.13.4. LaTransformadaInversaPor medio de la denicion de Transformada de Laplace de una funcion fhemos deter-minado otra funcion F(s) tal que L{f(t)} = F(s). Ahora, dada la funcion F(s) queremosencontrar la funcionf(t) que corresponde a esta transformada de Laplace, tal funcion esla transformada inversaf(t) = L1{F(s)} .Podemos deducir la siguiente tablaf(t) L{f(t)} = F(s) L1{F(s)} = f(t)11s, s > 0 L1_1s_ = 1t1s2, s > 0 L1_1s2_ = ttn,n Nn!sn+1, s > 0 L1_n!sn+1_ = tnta,a > 1(a+1)sa+1, s > a L1_(a+1)sn+1_ = tacos(kt)ss2+k2, s > 0 L1_ss2+k2_ = cos(kt)sin(kt)ks2+k2, s > 0 L1_ks2+k2_ = sin(kt)cosh(kt)ss2k2, s > |k| L1_ss2k2_ = cosh(kt)sinh(kt)ks2k2, s > |k| L1_ks2k2_ = sinh(kt)ekt 1sk, s > k L1_1sk_ = ektObservacion14.13.3. La transformada inversaL1{F(s)} es lineal.Ejemplo14.13.4. CalculeL1_1s4_.Soluci on.ComoL1_n!sn+1_ = tn, entoncesL1_ 1s4_ =13!L1_3!s4_ =16t3.Ejemplo14.13.5. CalculeL1_2s3s2+7_.Soluci on.L1_2s 3s2+ 7_= L1_2ss2+ 7 3s2+ 7_= 2L1_ss2+ 7_3L1_1s2+ 7_= 2 cos(7t) 37 sin(7t).312 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAEjemplo14.13.6. CalculeL1_1s2+3s_.Solucion.Debemos separar la fraccion racional1s2+3sen fracciones parciales para llevar la trans-formada inversa a otras conocidas, tenemos,1s2+ 3s=1s(s + 3)=As+Bs + 3=13s 13s + 3,de dondeL1_1s2+ 3s_= L1_13s 13s + 3_=13L1_1s_ 13L1_1s + 3_=13 13e3t.14.13.5. TeoremadeTraslacionHasta el momento las transformadas y las transformadas inversas han sido casi directasyexpresiones, porejemplocomoL_e5tt3_demandaranunagrancantidaddecalculos,estotambienocurreconlastransformadasinversas. El siguienteTeoremadetraslacionnos ayuda.Teorema14.13.1. Sia R entoncesL_eatf(t)_ = F(s a) dondeF(s) = L{f(t)}.Demostracion.L_eatf(t)_ =_0esteatf(t)dt =_0et(sa)f(t)dt = F(s a).Si conocemosL{f(t)} = F(s) entonces podemos calcularL_eatf(t)_ de manera muyfacil, cambiamosF(s) porF(s a).Es muy util la siguiente notacion;L_eatf(t)_ = L{f(t)}ssa.Ejemplo14.13.7. CalculeL_e4tt3_.Solucion.L_e4tt3_ = L_t3_ss4 =3!s4ss4=6(s 4)4.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 313Ejemplo14.13.8. CalculeL_e3tcos(5t)_.Soluci on.L_e3tcos(5t)_ = L{cos(5t)}ss+3 =ss2+ 25ss+3=s + 3(s + 3)2+ 25.Observacion14.13.4. La forma recproca del Teorema eseatf(t) = L1{F(s a)} = L1{F(s)|ssa} .Ejemplo14.13.9. CalculeL1_ss2+4s+5_.Soluci on.En primer lugar debemos llevar el denominador de la expresionss2+4s+5a una suma odiferencia de cuadrados; como s2+4s+5 = (s2+4s+4) +1, es decir, (s+2)2+1 entoncesL1_ss2+ 4s + 5_ = L1_s(s + 2)2+ 1_,ahora debemos usar las expresiones basicas conocidas de la transformada inversa, tenemos,L1_ss2+ 4s + 5_= L1_s(s + 2)2+ 1_= L1_ (s + 2) 2(s + 2)2+ 1_= L1_s + 2(s + 2)2+ 1 2(s + 2)2+ 1_= L1_s + 2(s + 2)2+ 1_2L1_1(s + 2)2+ 1_= L1_ss2+ 1ss(2)_2L1_1s2+ 1ss(2)_= e2tcos(t) 2e2tsin(t).14.13.6. TransformadadeDerivadasLo que deseamos es usar la transformada de Laplace para resolver cierto tipo de ecua-ciones diferenciales, para ello necesitamos calcular expresiones como L_dydt_, L_d2ydt2_, etc.Veamos estos dos casos y luego lo extendemos a derivadas de mayor orden.Consideremos la funciony = f(t) entonces,L_f

(t)_ =_0estf

(t)dt,314 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAcalculando por integracion por partes tenemos_u = estdv = f

(t)dtentonces_du = sestv = f(t)as_estf

(t)dt = estf(t) +s_estf(t)dt,de donde_0estf

(t)dt = _estf(t)_ 0+s_0estf(t)dt= f(0) +sL{f(t)}= sF(s) f(0).Ahora,L_f

(t)_=_0estf

(t)dt= L__f

(t)_

_= sL_f

(t)_f

(0)= s(sF(s) f(0)) f

(0)= s2F(s) sf(0) f

(0).Extendiendo esta formula tenemosL_f(n)(t)_ = snF(s) sn1f(0) sn2f

(0) f(n1)(0)dondeF(s) = L{f(t)} yf(t), f

(t), . . . , f(n1)(t) son funciones continuas parat 0.14.13.7. Aplicacion de la Transformada de Laplace a una ecuacion diferencialconcoecientesconstantesConsideremoslaecuaciondiferencial y

+ ay

+ by=g(t); a, bconstantes, y=f(t)sujeta ay(0) = y0,y

(0) = y

0.Aplicando transformada de Laplace a ambos lados obtenemosL_y

_+aL_y

_+bL{y} = L{g(t)}entoncess2L{f(t)} sf(0) f

(0) +asL{f(t)} af(0) +bL{f(t)} = L{g(t)} ,CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 315luego_s2+as +b_L{f(t)} = L{g(t)} +sf(0) +af(0) +f

(0),de donde,L{f(t)} =L{g(t)} + (a +s)f(0) +f

(0)s2+as +b,nalmente, al aplicar la transformada inversa obtenemosf(t).Ejemplo 14.13.10. Resuelva la ecuaciony

4y

+4y = t3e2tsujeta ay(0) = y

(0) = 0.Soluci on.AplicandotransformadadeLaplacetenemosL{y

} 4L{y

} + 4L{y}=L_t3e2t_,ass2F(s) sy(0) y

(0) 4[sF(s) y(0)] + 4F(s) =6(s 2)4reemplazando las condicion inicial y factorizando por F(s) obtenemos (s24s +4)F(s) =6(s2)4, de donde (s 2)2F(s) =6(s2)4, es decir,F(s) =6(s2)6.Ahora,f(t) = L1_6(s 2)6_ = 6L1_1(s 2)6_ =65!L1_5!s6ss2_ =120t5e2t.Para calcularL_t3e2t_ usamos el Teorema de Traslacion, tenemosL_t3e2t_ = L_t3|ss2_ =3!s4ss2=6(s 2)4.Recuerde queF(s) = L{f(t)}.Ejemplo14.13.11. Resuelva la ecuaciony

6y

+ 9y = t sujeta ay(0) = 0,y

(0) = 1.Soluci on.Aplicando transformada de Laplace tenemosL_y

_6L_y

_+ 9L{y} = L{t} ,ass2F(s) sy(0) y

(0) 6[sF(s) y(0)] + 9F(s) =1s2reemplazando las condicion inicial y factorizando porF(s) obtenemos(s26s + 9)F(s) =1s2 + 1,es decir, (s 3)2F(s) =1+s2s2, de donde,F(s) =1 +s2s2(s 3)2.316 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIADebemos separar en fracciones parciales, tenemos,1 +s2s2(s 3)2=As+Bs2 +Cs 3 +D(s 3)2=227s+19s2 + 227s 3 +109(s 3)2,de dondeF(s) =227s+19s2 + 227s 3 +109(s 3)2,as, aplicando la transformada inversa obtenemosf(t) =227 19t 227e3t+ 109te3t.14.14. EJERCICIOSPROPUESTOSEjercicio 14.1. Para que valores del n umero real m, la funcion y = emxes solucion de laecuacion diferencialy

5y

+ 6y = 0?. Resp.m = 2,m = 3.Ejercicio14.2. Determinea yb para quea) y(x)=ae2x+ bex+ 2 sin(x)satisfagalaecuacionconcondicioninicial y(0)=0,y

(0) = 0. Resp.a = 1,b = 1.b) y(x) =a sin(x) + b cos(x) + 1satisfagalaecuacionconcondicioninicial y() = 0,y

() = 0. Resp.a = b = 1.Ejercicio14.3. Verique que la funcion dada en forma implcita pory + sin(y) =x essolucion de la ecuacion (y cos(y) sin(y) +x)y

= y.Ejercicio14.4. Veriquequelafunciony =ex2_x0et2dt essoluciondelaecuaciony

= 2xy + 1.Ejercicio14.5. Obtenga la funciony = f(x) sidydx= u, dondedudx= 5x3+ 2, si ademasse sabe que (1, 3) f, (2, 0) u.Ejercicio 14.6. Por integracion inmediata determine una funciony = y(x) que satisfagala ecuacion diferencial dada y las condiciones iniciales declaradas.a)dydx= 2x + 1; y(0) = 3. Resp.y = x2+x + 3.b)dydx= x; y(4) = 0. Resp.y =2x32 163.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 317c)dydx= (x + 2)12; y(2) = 1. Resp.y = 2x + 2 5.d)dydx=10x2+1; y(0) = 0. Resp.y = 10 arctan(x).e)dydx= xex; y(1) = 3. Resp.y = xexex+ 3.f) (x + 1)(x2+ 1)dydx= 2x2+x. Resp.y =14 ln(x + 1)2(x2+ 1)312 arctan(x) + 1.Ejercicio14.7. Resuelva las siguientes ecuaciones de variables separables.a) y

+ 2xy = 0. Resp.y = Cex2.b) dy = y sin(x)dx. Resp.y = Cecos(x).c) 2xdydx= _1 y2. Resp.y = sin(C +x).d) (1 x2)dydx= 2y. Resp.y =C(1+x)1x.e) y3 dydx= (y4+ 1) cos(x). Resp. ln(y4+ 1) = C + 4 sin(x).Ejercicio14.8. Resuelva las siguientes ecuaciones homogeneas.a) (x +y)dx +xdy = 0. Resp.x2+ 2xy = C.b) xy2dy (x3+y3)dx = 0. Resp.y = x3_3 ln(Cx).c) y

=y+xx. Resp.y = xln(Cx).d) (x +y)dx + (y x)dy = 0. Resp. ln(x2+y2)12 arctan_yx_ = C.e) y

=2y4+x4xy3. Resp.y4= Cx8x4.Ejercicio14.9. Integre las siguientes ecuaciones lineales.a)dydx nxy = exxn. Resp.y = exxn+Cxn.b) y

+y = sin(x); y() = 1. Resp.y =12(ex+ sin(x) cos(x)).c)dydx 7y = sin(2x). Resp.y = Ce7x253 cos(2x) 753 sin(2x).Ejercicio14.10. Resuelva la ecuacion (1 +x2+y2+x2y2)dy = y2dx.Ejercicio 14.11.Pruebe que el cambio de variable z = ax+by +c transforma la ecuaciondiferencialdydx=f(ax + by + c)enunaecuaciondevariablesseparablesyapliqueestemetodo para resolvera)dydx= (x +y)2. Resp.x +y = tan(x +C).318 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAb)dydx= sin2(x y + 1). Resp. tan(x y + 1) = x +C.Ejercicio 14.12. Resuelva la ecuacion diferencialxdy + (xy + 2y 2ex)dx = 0 sujeta ala condicion inicialy(1) = 0. Resp.y = ex1x2ex.Ejercicio14.13. Siy1es una solucion particular de la ecuacion diferencialy

+p(x)y =q(x), demuestre que la solucion general de la ecuacion esy = y1 +Ce

p(x)dx.Ejercicio14.14. Pruebequelaecuaciondiferencial y

+ a(x)y=b(x)y ln(y)puedere-solversemedianteelcambiodevariablez= ln(y).Apliqueestemetodopararesolverlasiguiente ecuacion,xy

= 2x2y +y ln(y). Resp. ln(y) = 2x2+Cx.Ejercicio 14.15.Resuelva la ecuacion diferencial lineal sujeta a la condicion inicial dada.dTdt= k(T 50) dondek es una constante yT(0) = 200. Resp.T(t) = 150ekt+ 50.Ejercicio14.16. Integre 3xdydx 2y =x3y2. Resp.y3= x3+Cx2.Ejercicio 14.17.Muestre que la ecuacion no separable (x+y+1)dx+(2x+2y+3)dy = 0se puede transformar en separable haciendo el cambio de variable x+y = t, resolviendola.Resp.x +y ln(x +y + 2) = y +C.Ejercicio 14.18. Resuelvadydx=2(2y2+2xyx2)3x(y+x); y(1) = 2. Resp.x4= (x 2)2(2x +y).Ejercicio14.19. Si ae =bdmuestrequesepuedeelegirlasconstanteshykdemodoque la sustitucionx = z h,y = w k reduce la ecuacion diferencialdydx= F_ax+by+cdx+ey+f_a una ecuacion diferencial homogenea.Aplique esto para resolverdydx=x+y4xy6(h = 1,k = 5).Ejercicio14.20. Resuelvadydx 1sin(x)xtan(y)= 0.Ejercicio14.21. Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli.a) (1 +x2)y

xy axy2= 0. Resp. (C1 +x2a)y = 1.b) 3y2y

ay3x 1 = 0. Resp.a2y3= Ceaxa(x + 1) 1.c) y y

cos(x) = y2cos(x)(1 sin(x)). Resp.y =tan(x)+sec(x)sin(x)+C.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 319Ejercicio 14.22.Demuestre que la ecuacion diferencialdydx +P(x)y2+Q(x)y +R(x) = 0,P(x) = 0 (ecuacion de Ricatti) se convierte en una ecuacion lineal con la transformaciony = y1 +1u,y1 solucion particular.Ejercicio14.23. Usando Ejercicio 14.22 resuelvaa) y

+y2x2x3 +yx2xx2= 0, y1(x) = 0.b) y

=yx +x3y2x5, y1(x) = x.Ejercicio14.24. Usando factor integrante resuelva.a) ydx + (x +x2y)dy = 0. Resp. 1xy + ln(y) = C.b) (xy2+y)dx + (x 3x2)dy = 0. Resp. ln(x) +3y 1xy= C.c) (4 +y)dx (x + 3x2)dy = 0. Resp.4x + 3y +yx= C.Ejercicio14.25. Resuelva las siguientes ecuaciones.a) (x2+y)dx + (x 2y)dy = 0. Resp.x33+yx y2= C.b) (y 3x2)dx (4y x)dy = 0. Resp. 2y2xy +x3= C.c)_y2(xy)2 1x_dx +_1y x2(xy)2_dy = 0. Resp. ln_yx_xyxy= C.Ejercicio14.26. Resuelva las siguientes ecuaciones diferencialesa) xe2y dydx +e2y=ln(x)x, useu = e2y. Resp.x2e2y= 2xln(x) 2x +C.b) ydx + (1 +yex)dy = 0, usev = yex. Resp.ex= y ln(y) +Cy.c)dydx 4xy = 2x5eyx4, usev = eyx4. Resp. eyx4= x2+C.Ejercicio14.27. Escriba una ecuacion diferencial, en formay

= f(x, y), para cada unode los siguientes enunciados.a) Lapendientedelagracadelafuncionfenelpunto(x, y)eslasumadexey.Resp.y

= x +yb) La recta tangente a la graca dey = f(x) en el punto (x, y) intercepta al ejeXenel punto _x2, 0_. Resp.y

=2yx .c) Todalnearectaperpendicularalagracadey=f(x)pasaporel punto(0, 1).Resp.y

=x1y.320 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAEjercicio 14.28. Un pastel se retira de un horno a 210F y se deja enfriar a la temperaturaambiente constante de 70F. Despues de 30 minutos la temperatura del pastel es de 140F.Cuando estara a 100F?. Resp. 66 minutos, 40 segundos.Ejercicio14.29. Cierta ciudad tena una poblacion de 25000 habitantes en 1970 y unapoblacion de 30000 habitantes en 1980. Suponiendo que su poblacion contin ua creciendoexponencialmente con una tasa constante. Que poblacion pueden esperar los urbanistasque tenga la ciudad el a no 2010?. Resp. Aproximadamente 51840 habitantes.Ejercicio14.30. Lasionnuclearproduceneutronesenunapilaatomicaaunritmoproporcional al n umerodeneutronespresentesencadamomento. Si hayn0neutronesinicialmente yhayn1yn2, respectivamente, enlos instantes t1yt2, demuestre que_n1n0_t2=_n2n0_t1.Ejercicio14.31. Exprese mediante una ecuacion diferencial el hecho que en cada punto(x, y) de una curva de ecuaciony =f(x), la recta tangente corta a los ejes coordenadosde modo que la suma de tales intersecciones es una constanteC. Resp. x(y

)2+ (C c y)y

+y = 0.Ejercicio14.32. El moho crece a un ritmo proporcional a la cantidad presente. Inicial-mente haba 2 gramos, en dos das ha pasado a haber 3 gramos.a) Six = x(t) es la masa de moho en el instantet, pruebe quex(t) = 2_32_ t2.b) Calcule al cantidad al cabo de diez das. Resp. 15, 2 gramos.Ejercicio14.33. El uranio 238 se desintegra a un ritmo proporcional a la cantidad pre-sente. Si hayx1yx2en los instantest1yt2respectivamente, pruebe que la semivida es(t2t1) ln(2)ln

x1x2

.Ejercicio14.34. Unmagnateposeeunafortunaquecreceaunritmoproporcional alcuadrado de su valor en cada momento. Si tena 10 millones de dolares hace un a no y hoytiene 20 millones, cual sera su fortuna dentro de 6 meses?. Resp. 40 millones.Ejercicio14.35. Si lamitaddeciertacantidadderadiosedesintegraen1600a nos,que porcentaje de la cantidad inicial quedara al cabo de 2400 a nos. Resp. 35, 35 %.Ejercicio 14.36.Un cuerpo de temperatura desconocida se coloca en un refrigerador quese mantiene a una temperatura constante de 0C. Tras 15 minutos el cuerpo esta a 30Cy despues de 30 minutos ya esta a 15C. Cual era su temperatura inicial?. Resp. 60C.CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 321Ejercicio 14.37.Inicialmente haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Despuesde6horaslamasadisminuyeen3 %.Silarapidezdedesintegraciones,enuninstantecualquiera, proporcional a la cantidad presente de sustancia en dicho instante, encuentre lacantidad que queda despues de 24 horas. Cual es la vida media de la sustancia?. Resp.136, 5 horas.Ejercicio14.38. Untanquecontiene200litrosdeuidoenloscualessedisuelven30gramos de sal. Una salmuera que contiene un gramo de sal por litro se bombea dentro deltanqueconunarapidezde4litrosporminuto; lasolucionadecuadamentemezcladasebombea hacia fuera con la misma rapidez. Encuentre el n umero N(t) de sal que hay en eltanque en un instante cualquiera. Resp.N(t) = 200 170e150t.Ejercicio 14.39. La ecuacion diferencial que rige la velocidad v de un cuerpo de masa wque cae sometido una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantanea esmdvdt= mg kv.Resuelva la ecuacion sujeta a la condicion inicial v(0) = v0 y determine la velocidad lmite.Si la distancias se relaciona con la velocidad instantanea mediantedsdt= v, encuentreunaexpresionexplcitaparassi ademassesabeques(0)=s0. Resp. v(t)=mgk+_v0 mgk_ektm; s(t) =mgkt mk_v0 mgk_ektm+mk_v0 mgk_+s0.Ejercicio14.40. Hallelastrayectoriasortogonalesdelafamiliadecurvasdeecuaciony =Cx1+x. Resp. 3y2+ 3x2+x3= C.Ejercicio 14.41. Determine la familia de trayectorias ortogonales de la familia de curvasde ecuacion 4y +x2+ 1 +Ce2y= 0. Resp.y =14 x26+Cx4.Ejercicio14.42. Encuentreunmiembrodelafamiliadetrayectorias ortogonales dex +y = Ceyque pasa por el punto (0, 5). Resp.y = 2 x + 3ex.Ejercicio14.43. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:a) yy

= (y

)2. Resp.y = KeC1x.b) yy

+ (y

)2= yy

. Resp.y = C +Kex.c) xy

= y

+ (y

)3. Resp.x2+ (y C2)2= C21.d) y

= 2y(y

)2. Resp.y3+ 3x +C1y +C2 = 0.322 UNIVERSIDADDESANTIAGODECHILE,FACULTADDECIENCIAEjercicio 14.44.A continuacion se entrega una ecuacion diferencial y una solucion y1(x),determine la otra solucion.a) y

4y

+ 4y = 0, y1 = e2x. Resp.y2 = xe2x.b) 9y

12y

+ 4y = 0, y1 = e23x. Resp.y2 = xe23x.c) (1 2x x2)y

+ 2(1 +x)y

2y = 0, y1 = x + 1. Resp.y2 = x2+ 2x + 2.d) x2y

4xy

+ 6y = 0, y1 = x2+x3. Resp.y2 = x2.e) (3x + 1)y

(9x + 6)y

+ 9y = 0, y1 = e3x. Resp.y2 = 3x + 2.Ejercicio14.45. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales,a) y

16y = 0. Resp.C1e4x+C2e4x.b) y

4y

+ 5y = 0. Resp.y = e2x(C1 cos(x) +C2 sin(x)).c) y

4y

5y

= 0. Resp.y = C1 +C2e5x+C3ex.d) y

5y

+ 5y

+ 9y = 0. Resp.y = C1ex+C2e3x+C3xe3x.e) y

+y

2y = 0. Resp.y = C1ex+ex(C2 cos(x) +C3 sin(x)).f)d5ydx5 16dydx= 0. Resp.y = C1 +C2e2x+C3e2x+C4 cos(2x) +C5 sin(2x).Ejercicio 14.46. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales sujeta a las condicionesiniciales dadas.a) y

+ 16y

= 0; y(0) = 2,y

(0) = 2. Resp.y = 2 cos(4x) 12 sin(4x).b) y

+ 6y

+ 5y = 0; y(0) = 0,y

(0) = 3. Resp.y = 34e5x+34ex.c)d4ydx43d3ydx3+3d2ydx2dydx= 0; y(0) = y

(0) = 0, y

(0) = y

(0) = 1.Resp.y = 2 2ex+ 2xex12x2ex.Ejercicio14.47. Calcule las siguientes transformadas inversasa) L1_1s3_. Resp.12t2.b) L1_14s+1_. Resp.14et4.c) L1_4s4s2+1_. Resp. cos_t2_.d) L1_1s216_. Resp.14 sinh(4t).e) L1_2s6s2+9_. Resp. 2 cos(3t) 2 sin(3t).CAPITULO14ECUACIONESDIFERENCIALES 323f) L1_1s2 1s +1s2_. Resp.t 1 +e2t.g) L1_(s+1)3s4_. Resp. 1 + 3t +32t2+18t3.h) L1_1s3+3s_. Resp.13 13e3t.Ejercicio14.48. Usando el Primer Teorema de Traslacion, calculea) L_te10t_. Resp.1(s10)2.b) L_etsin(3t)_. Resp.3(s1)2+9.c) L_t3e2t_. Resp.6(s+2)4.d) L_e5tsinh(3t)_. Resp.3(s5)29.e) L_t_et+e2t_2_. Resp.1(s2)2 +2(s3)2 +1(s4)2.f) L1_1(s+2)3_. Resp.12e2tt2.g) L1_1s26s+10_. Resp.e3tsin(t).h) L1_ss2+4s+5_. Resp.e2tcos(t) 2e2tsin(t).i) L1_s(s+1)2_. Resp.ettet.j) L1_2s1s2(s+1)3_. Resp. 5 t 5et4tet32t2et.Ejercicio14.49. Usando la Transformada de Laplace, resuelvaa)dydt y = 1; y(0) = 0. Resp. 1 +et.b)dydt+ 4y = e4t; y(0) = 2. Resp.te4t+ 2e4t.c)d2ydt2 4dydt+ 4y = t3e2t; y(0) = y

(0) = 0. Resp.120t5e2t.d)d2ydt2 6dydt+ 9y = t; y(0) = 0,y

(0) = 1.e) y(3)+y(2)6y

= 0; y(0) = 0,y

(0) = y

(0) = 1. Resp.115(6e2t5 e3t).f) 2d3ydt3 +3d2ydt2 3dydt 2y = et; y(0) = y

(0) = 0, y

(0) = 2. Resp. 89et2 + 19e2t+518et+12et.g) y(4)+ 2y(2)+y = 4tet; y(0) = y

(0) = y

(0) = y

(0) = 0. Resp. (t 2)et+ (t +1) sin(t) + 2 cos(t).