Distribuciones

Nombre: Edgar Grijalva Medina

Grado: 2do

Sección: “D”

Profesor: Lic. Edgar Mata Ortiz

DISTRIBUCION BERNOULLI

-DEFINICION: la distribución de Bernoulli, se aplica a situaciones a las que un cierto atributo aparece con probabilidad p=1 (éxito) y la ausencia de este mismo atributo con probabilidad q=0(fracaso)

EXPLICACION BREVE: Pues que todo experimento aleatorio tiene que ser adquirido por dos resultados posibles por decir como en la definición el éxito y el fracaso. Como el lanzamiento de de una moneda, que puede caer águila o sello.

Formulas:P (0) =p(x=0) =1-p

P (1) =p(x=1) =p2

Ejemplos

1.- Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6.sea x_1 si el dado Caí

6 y_ x_o en cualquier otro caso ¿Cuál es la distribución de x?

Solución

la probabilidad de éxito es p_p(x_1)_1/6 por lo que x_bernoulli(1/6).

2.-cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en “cara” sea

X_1 si la moneda caiga en “cara” y X_o si caen en “cruz” ¿Cuál es la distribución de x ?

Solución:

Puesto que x_1 cuando cae “cara” es el resultado del éxito. La probabilidad del éxito

p(x_1) es igual a 0.5. Por tanto X_ Bernoulli (0.5)

3.- diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso esta defectuoso

Se selecciona un componente aleatoriamente sea x_1 si el componente esta defectuoso y x_0 en cualquier otro caso ¿Cuál es la distribución de x?

Solución

La probabilidad de éxito es p_p(x_1)_0.1por lo que x_bernoulli(0.1)

Problemas.

1.- El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?

2.- Supóngase que la producción de un día de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X igual al número de piezas de la muestra que no cumplen. ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X?

3.- Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la molécula rara.

4.-Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera .UN alumno responde al azar ¿Cuál es la probabilidad de que responda al menos a dos cuestiones correctamente? ¿Cuál la de que responda bien a seis?¿Cuál la de que responda bien como máximo a dos cuestiones?

5.-Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de experimento con éxito si se sabe que si se repite 24 veces es igual de probable obtener 4 éxitos que 5

DISTRIBUCION BINOMIAL

DEFINICION: La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que

cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos

EXPLICACION BREVE: Con la utilización de Bernoulli, una distribución de probabilidad discreta que cuenta con el número de éxitos de una secuencia de dos resultados el éxito y el fracaso.

FORMULA

EJEMPLOS

1.- Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

2.- Lanzamos 5 veces una moneda no trucada, ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos exactamente 2 caras?

(X = nº de caras en 5 lanzamientos. B (5, 0,5))

Problemas

1.- Respondemos al azar a un test de 8 preguntas, cada una de las cuales tiene 4 opciones (solo una de ellas es verdadera). Para aprobar necesitamos contestar correctamente al menos a 6 de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?. ¿Y la probabilidad de fallar las 8? Utiliza la escena de la actividad 1 para comprobar los resultados.

2.- En un juego de azar la probabilidad de ganar una mano es 0,8. Calcula la probabilidad de que un jugador que juega 10 manos las gane todas y la probabilidad de que gane al menos 8.Utiliza la escena de la actividad 1 para comprobar los resultados

3.- La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura

 ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas?

4.- La probabil idad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

5.- Supongamos que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo o una hija es igual. Calcular la probabilidad de que una familia con 6 descendientes tenga 2 hijos.

POISSON

Definición: Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña. 

EXPLICACION BREVE: Distribución de poisson para obtener las probabilidades de situaciones que ocurren de forma impredecible y ocasional.

Formula:

Ejemplos-.

1.- La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson

Solución.

P (x = 3) = 0,0892

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%

2.- La probabilidad de que un niño nazca pelirrojo es de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?

Solución

P (x = 5) = 4,602

Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recién nacidos es del 4,6%.

3.-se calcula en Coahuila que el 20% de las personas tiene defecto de la vista. Si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿calcular probabilidad de que 10 de ellos tengas defectos en la vista .

n= 50

p=0.2

Lambda= 10

Problemas-

1. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dosImperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.

2.- Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

3.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

4.- La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con defectos?

5.- En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso?

Distribución exponencial

A pesar de la sencillez analítica de sus funciones de definición, la distribución exponencial tiene una gran utilidad práctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribución de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.

Explicación breve: Distribución continua ya que esta puede ser utilizada para checar el tiempo antes de que que suceda el hecho.Estuadia el tiempo de cada distribución de poisson

Formula

Ejemplos

1.- El tiempo que transcurre antes de que una persona sea atendida en una cafetería es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos en al menos 4 de los 6 días siguientes?

 Solución:

           2.-la vida útil de un celular aproximadamente 4 años ¿Cuál es la probabilidad de que un componente falle antes de los 6 meses?

Solución. P(x<5)=1-e=1-7788-221199

Problemas

1.- El gerente de un restaurante que sólo da servicio mediante reservas sabe, por experiencia, que el 20% de las personas que reservan una mesa no asistirán. Si el restaurante acepta 25 reservas pero sólo dispone de 20 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que a todas las personas que asistan al restaurante se les asigne una mesa?

2.- Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, 1. ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? 2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? 3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

3.- Supóngase que la producción de un día de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X igual al número de piezas de la muestra que no cumplen. ¿Cuál es la función de distribución acumulada de X?

4.- Una muestra con reposición de tamaño n=2 se selecciona aleatoriamente de los números 1 al 5. Esto produce entonces el espacio equiprobable S conformando por todos los 25 pares de ordenados (a,b) de números del 1 al 5. Es decir, S={(1,1),(1,2),….,(1,5),(2,1),….,(5,5)} Sea X=0 si el primer número es par y X=1 de lo contrario; sea Y=1 si el segundo número es impar y Y=0 de lo contrario. (a) Encuentre las distribuciones de X y Y. (b) Encuentre la distribución conjunta de X y Y. (c) Determine si X y Y son independientes.

5.- Una prueba consta de 200 preguntas de verdadero o falso, para un sujeto que respondiese al azar ¿Cuál sería la probabilidad de que acertase: a) 50 preguntas o menos. b) Más de 50 y menos de 100. c) Más de 120 preguntas.