ecuaciones_diferenciales

Facultad de CienciasPERIODO 2015-IIIECUACIONES DIFERENCIALES

JOSE EDUARDO TORRES VEGACoronel EP ( R )Diplomado en Ciencia y TecnologaIngeniero Electrnico CIPMaestro en AdministracinExperto en LogsticaDiplomado en Seguridad y Salud OcupacionalDocente Universitario a nivel pre grado y post gradoConsultora y Asesora en el Diseo, Implantacin y Control de la prestacin de Servicios de Telecomunicaciones y TelemticaEstudios Tericos de Radiaciones No IonizantesConsultora en Temas de Seguridad IntegralPRESENTADO POR:FACULTAD DE CIENCIAS

FACULTAD DE CIENCIAS

SemanaContenidos o temasSesinSemana 1Ecuaciones diferenciales ordinarias. Orden y grado. Ecuaciones diferenciales de variable separable.1Ecuaciones diferenciales homogneas y exactas.2Semana 2Ecuaciones diferenciales Lineales y de Bernoulli.3Ecuacin de Riccati y de Clairaut.4Semana 3Aplicaciones geomtricas. Trayectorias ortogonales.5Decaimiento radiactivo, temperaturas y circuitos RL y LC6Semana 4Primera Prctica Calificada.7Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior: homogneas y no homogneas con coeficientes Constantes. Naturaleza de las races del polinomio auxiliar.8Semana 5Mtodo de los coeficientes indeterminados.9Mtodo de los operadores diferenciales. Propiedades abreviadas y Aplicaciones.10

Semana 6Ecuacin de Euler. Aplicaciones.11Aplicaciones de ecuaciones diferenciales: Vibraciones mecnicas.12


Semana 7Vibraciones libres no amortiguadas y amortiguadas. Aplicaciones.13Segunda Prctica Calificada.14Semana 8Solucin de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias de orden 1 y 2.15Ecuacin de Legendre y su solucin.16Semana 9Polinomio de Legendre y aplicaciones.17Mtodo de Frobenius. Teoremas y aplicaciones.18Semana 10Ecuacin de Bessel. Solucin de la ecuacin de Bessel.19Tercera Prctica Calificada.20Semana 11Transformada de Laplace. Funcionescontinuas por tramos y de orden exponencial.21Propiedades de la transformada de Laplace y Aplicaciones.22Semana 12Transformada de Laplace de funcioneselementales: Transformada de Escaln unitario, delta de Dirac, Transformada de la derivada de una funcin.23Transformada de las integrales. Teorema de la divisin.24Semana 13Transformada de la inversa de Laplace: Propiedades. Mtodos de clculo.25Cuarta prctica calificada26Semana 14Aplicaciones de la transformada deLaplace a las Ecuaciones Diferenciales homogneas27Aplicaciones de la transformada deLaplace a las Ecuaciones Diferenciales no homogneas28Semana 15EXAMEN FINAL 15

SUMARIOBIBLIOGRAFAEdwin Kreyszing. Matemticas Avanzadas para Ingeniera Vol. I. Editorial Limusa 1982.Murray Speegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas Edic. Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1984.Edwards/Penny. Ecuaciones Diferenciales Elementales Editorial Prentice Hall Hispanoamericana S.A. 1986.Makarenko. Problemas y ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Editorial Mir. 1988.S.L. Ross. Introduccin a las Ecuaciones Diferenciales Tercera Edicin 1993 Editorial Mc Graw Hill.George F. Simons. Ecuaciones Diferenciales Segunda Edicin 1993 Editorial Mc. Graw Hill.DEFINICIN. ORDEN. GRADO DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES.SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES:SOLUCIN GENERAL.SOLUCIN PARTICULAR.SOLUCIN SINGULAR.CONDICIONES INICIALES Y DE FRONTERA.TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD.DESARROLLO DE PROBLEMAS.ECUACIONES DIFERENCIALESFACULTAD DE CIENCIAS

ECUACION DIFERENCIALFACULTAD DE CIENCIAS

UNA ECUACION DIFERENCIAL (DE ORDEN n) ESTA EXPRESADA EN FORMA IMPLICITA CUANDO TIENE LA FORMA F(x, y, y, . . . , y(n)) = 0, SIENDO F UNA FUNCION F: Rn+2 R CON UN SUBCONJUNTO (GENERALMENTE ABIERTO) DE Rn+2.

UNA ECUACION DIFERENCIAL (DE ORDEN n) ESTA EXPRESADA EN FORMA EXPLICITA CUANDO TENEMOS y(n) = f(x, y, y, . . . , y(n1)), CON F: D Rn+1 R UNA FUNCION DEFINIDA EN UN SUBCONJUNTO D (GENERALMENTE ABIERTO) DE Rn+1

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES SE CLASIFICAN SEGN SU TIPO, ORDEN Y LINEALIDADASI TAMBIN, SE PUEDE AFIRMAR:FACULTAD DE CIENCIAS

SE DICE QUE UNA ECUACION DIFERENCIAL ES LINEAL SI TIENE LA FORMA an(x) dny/dxn+ an1(x) dn1y/dxn1+ + a1(x) dy/dx + a0(x)y = g(x). SE LLAMA LINEAL HOMOGENEA SI, ADEMAS, g(x) = 0. DADA UNA ECUACION LINEAL, SU CORRESPONDIENTE ECUACION LINEAL HOMOGENEA EN LA QUE SE HA HECHO g(x) = 0 SE DENOMINA LINEAL HOMOGENEA ASOCIADA. UNA ECUACION QUE NO ES LINEAL SE DICE NO LINEAL.

4.DECIMOS QUE UNA FUNCION y = (x) DEFINIDA EN UN INTERVALO I (ES DECIR, : I R R) ES SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL EN EL INTERVALO SI, SUSTITUIDA EN DICHA ECUACION, LA REDUCE A UNA IDENTIDAD. (EN OTRAS PALABRAS, SI SATISFACE LA E. D.) UNA E. D. SE DICE RESOLUBLE (O INTEGRABLE) POR CUADRATURAS SI SU SOLUCION ES EXPRESABLE MEDIANTE INTEGRALES.FACULTAD DE CIENCIAS

SOLUCIN DE UNA EDOCUALQUIER FUNCIN , DEFINIDA EN UN INTERVALO I Y QUE TIENE AL MENOS n DERIVADAS CONTNUAS EN I, LAS CUALES CUANDO SE SUSTITUYEN EN UNA ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA DE n-simo ORDEN REDUCEN LA ECUACIN A UNA IDENTIDAD. DECIMOS QUE ES UNA FUNCIN CON VALORES REALES, QUE SATISFACE LA ECUACIN DIFERENCIAL EN I. RESOLVER UNA ECUACION DIFERENCIAL CONSISTE EN ENCONTRAR UNA FUNCIN CUYA DERIVADA SEA f(x), ES DECIR ENCONTRAR LAS PRIMITIVAS (INTEGRALES INDEFINIDAS) DE f(x)

INTERVALO DE DEFINICINTAMBIN ES CONOCIDO COMO INTERVALO DE DEFINICIN, INTERVALO DE EXISTENCIA, INTERVALO DE VALIDEZ O DOMINIO DE LA SOLUCIN Y PUEDE SER DEFINIDO COMO UN INTERVALO ABIERTO (a,b), UN INTERVALO CERRADO [a,b], UN INTERVALO INFINITO (a,) , ETC.FACULTAD DE CIENCIAS

Son problemas de valor inicial de primero y segundo ordenFACULTAD DE CIENCIAS

EXISTENCIA Y UNICIDADPARA UN PROBLEMA DE VALOR INICIAL, SE TIENEFACULTAD DE CIENCIAS

SOLUCIN DE ECUACIONES EXPLICITAS DE PRIMER ORDENy = f(x, y)Si se tiene la E. D. g(x) = h(y)y, se puede escribir g(x) dx = h(y) dy; si se establece que G es una primitiva de g y H una de h, tendremos G(x) dx = H(y) dy e, integrando, G(x) = H(y) + C, que es la solucin general de la ecuacin. Ejemplo

Resolver: dy/dx + (sen x)y = 0FACULTAD DE CIENCIAS

Solucin:

Despejando, dy/y = (sen x) dx e, integrando, log y = cos x + c, es decir, y= ecos x+c. Sin mas que tomar K = ec encontramos las soluciones y = Kecos x. Fijarse que, en principio, parece que K tiene que ser positiva; pero en realidad la integral de dy/y es log |y|, lo que nos llevara a soluciones con valores negativos de K. Por ultimo, notar y = 0 (es decir, tomar K = 0) tambin es claramente una solucin de la E. D., aunque no se obtiene con el metodo seguido. As pues, la solucin general de la E. D. es de la forma y = Kecos x con K R.FACULTAD DE CIENCIAS

RECAPITULANDO:EN MATEMTICAS, UNAECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA(COMNMENTE ABREVIADA "EDO") ES LA QUE CONTIENE UNA FUNCIN DESCONOCIDA DEUNAVARIABLE INDEPENDIENTE Y QUE ESTA RELACIONADA CON SUS DERIVADAS:UNASOLAVARIABLE INDEPENDIENTE (A DIFERENCIA DE LASECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALESQUE INVOLUCRANDERIVADAS PARCIALES DE VARIAS VARIABLES), YUNA O MS DE SUSDERIVADASRESPECTO DE TAL VARIABLE.Latrayectoriade unproyectillanzado desde uncansigue una curva definida por una ecuacin diferencial ordinaria que se deriva de lasegunda ley de Newton.En ingeniera, ciencias naturales y sociales hay muchos problemas de inters que, cuando se plantean, exigen la determinacin de una funcin la cual debe verificar una ecuacin que involucra derivadas de la funcin desconocida. Dichas ecuaciones se denominan ecuaciones diferencialesFACULTAD DE CIENCIAS

UNASOLUCIN GENERALDE UNA ECUACIN DE ORDENNES UNA SOLUCIN QUE CONTIENENVARIABLES ARBITRARIAS, CORRESPONDIENTES ANCONSTANTES DE INTEGRACIN.

UNASOLUCIN PARTICULARES DERIVADA DE LA SOLUCIN GENERAL MEDIANTE LA FIJACIN DE VALORES PARTICULARES PARA LAS CONSTANTES, A MENUDO ELEGIDAS PARA CUMPLIRCONDICIONES INICIALES.

UNASOLUCIN SINGULARES LA QUE NO PUEDE DERIVARSE DE LA GENERAL.SI y' = f(x,y), ENTONCES SU SOLUCIN GENERAL SER LA FUNCIN y = (x, C) QUE DEPENDE DE UNA CONSTANTE ARBITRARIA C . SATISFACE LA EDO PARA CUALQUIER VALOR DE LA CONSTANTE C.ADEMS CUALQUIERA QUE SEA LA CONDICIN INICIAL (y(x0) = y0),SIEMPRE SE PUEDE ASIGNAR UN VALOR C0A LA CONSTANTE C, TAL QUE LA FUNCIN y = (x, C0) SATISFAGA LA CONDICIN INICIAL DADA.SE PRESUME QUE EL PUNTO (x0, y0) ESTA EN LA REGIN DONDE SE CUMPLEN LAS CONDICIONES DE EXISTENCIA Y DE UNICIDAD DE LA SOLUCINSOLUCION ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN:FACULTAD DE CIENCIAS

UNA ECUACIN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN CON LA CONDICIN INICIAL SE EXPRESA DE LA SIGUIENTE FORMA:DONDE ES LA CONDICION INICIALECUACIN DE VARIABLES SEPARABLESEn donde es posible "despejar" todos los trminos con la variable dependiente en funcin de la variable independienteSOLUCIONFACULTAD DE CIENCIAS

Solucin General:Y: f(x)Expresada en forma explcita o implcita FACULTAD DE CIENCIAS

Una EDO de primer orden: dy/dx = f(x,y) = g(x)h(y), es separable o de variables separables. En este caso, puede resolverse mediante integracin directa, integrando a ambos lados, para lo cual las dos constantes de integracin se engloban en una:Por ejemplo :FACULTAD DE CIENCIAS

La idea ms simple de los procedimientos de solucin es reescribir la ecuacin como una ecuacin de variables separadas:

Donde f(y) es una funcin exclusivamente de y y g(x) es una funcin exclusivamente de x. Esta ecuacin se resuelve integrando a ambos lados:

La ED de la formaSe denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:FACULTAD DE CIENCIAS

Algunos tipos de ED se convierten fcilmente a variables separables, por ejemplo cuyo campo vectorial es funcin de una combinacin lineal de x e y:

Haciendo el cambio z=ax+by, se obtiene:

Ejemplo: La ecuacin

Se puede reescribir como

Donde z=x+y.Integrando se obtiene

Regresando a las variables originales:


(1+x)dy - ydx=0Y=(1+x)cRESOLVER:FACULTAD DE CIENCIAS

ResolverTambin se puede dejar la solucin en forma implcita como: x2 + y2 = c2, donde c2 = 2c1 Aplicando la condicin inicial, 16 + 9 = 25 = c2; x2 + y2 = 25.Una solucin en forma explcita con dominio de definicin I : -5 < x < 5.Solucin por separacin de variables:FACULTAD DE CIENCIAS

ResolverSolucin: como dy/y= dx/(1+x), tenemos:Sustituyendo por c, obtenemos y=c (1+x) Que pasara si no se toma el valor absoluto?FACULTAD DE CIENCIAS

POSIBLE PRDIDA DE UNA SOLUCINCuando r es un cero de h(y), si sustituimosy(x)= r en dy/dx = g(x)h(y), tenemos 0 = 0. Es decir, y(x) = r tambin es solucin de dy/dx = g(x)h(y). Sin embargo, esta solucin no se revelar tras la integracin, puesto que: dy/h(y) = g(x) dxqueda indefinido en el cociente (h(y = r) = 0). Entonces y(x) = r es una solucin singular.

Resolver: dy/dx = y2 4

Separando variables, escribimos esta ED como:


Sustituyendo exp(c2) por c y resolviendo para y:Si se factoriza la EDO: dy/dx = (y + 2)(y 2), y se iguala a 0, se obtiene y = 2 como soluciones de equilibrio. y = 2 corresponde a c = 0 en la solucin. Pero y = -2 es una solucin singular que no se puede obtener de la solucin anterior (observa las fracciones parciales al comienzo para entender por qu).FACULTAD DE CIENCIAS

Solucionar:dy/dx = xy con y(0) = 0

Separando variables tenemos:dy/y = x dx2 y = (x2/2 + c)y = (x2/2 + c)2. Como y(0) = 0, c = 0 , la solucin que se obtendr ser: y = x4/16Se ha perdido la solucin trivial y(x) = 0 en el trmino dy/y y que tambin cumple la condicin inicial. Entonces, as se encuentre una solucin particular para una ED de primer orden al conseguir determinar c mediante una condicin inicial, es posible que la solucin no sea nica. En este caso el Problema de Valor Inicial(PVI) posee una infinidad de soluciones que podemos escribir con a 0 como:FACULTAD DE CIENCIAS

Resolver:Solucin:FACULTAD DE CIENCIAS

Solucin: Separando variables:

Aplicamos la identidad sen (2x) = 2 sen x cos x: (ey ye-y) dy = 2 sin x dx Integrando por partes: ey + ye-y + e-y = -2 cos x + cPuesto que y(0) = 0, c = 4; la solucin implcita es: ey + ye-y + e-y = 4 2 cos x.ResolverFACULTAD DE CIENCIAS

Resolver:FACULTAD DE CIENCIAS

Resolver:Solucin:FACULTAD DE CIENCIAS

Resolver:Nota:Se han incluido las condiciones iniciales del problema como lmites inferiores de las integrales al resolver la EDO. FACULTAD DE CIENCIAS

La ecuacin de la forma

tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0

y por consiguiente la solucin: u(x,y) = c

si cumple la condicin de Euler:

En tal caso

y la funcin u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x:

y se puede determinar c(y) derivando FACULTAD DE CIENCIAS

Ejemplo: La siguiente ED

Es exacta puesto que

Integrando respecto a x

Es decir,

Derivando respecto a y

De donde

Finalmente la solucin general esFACULTAD DE CIENCIAS

Ecuacin diferencial exacta con factor integrante:ESCUELA DE INGENIERA DE TELECOMUNICACIONESSolucin:

EJEMPLO: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el mtodo de las exactas.SOLUCIN: 1 Paso: Checar si la ED es exacta o no exacta 2 Paso: Bsqueda del factor integrante (F. I.) para convertir la ED en exacta: Para esto es necesario realizar las dos consideraciones para ver cul de las dos se puede factorizar y por ende produce un factor integrante:ESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA

3 Paso: Conversin de la ED no exacta en exactaFactorizando se tiene: 4 Paso: Aplicacin de los 4 pasos (i a iv) del mtodo de solucin de las ED exactas. Paso i): Comprobar si la ED es exacta ESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA

Paso ii): Integrar con respecto a x, dejando a y constantePaso iii): Derivar con respecto a y la ecuacin resultante en el paso iiDespejando g(y) de la igualdad anterior, se tiene:Paso iv): Obtener la funcin g (y)Paso v): Sustitucin del valor de g (y) en el paso iiSolucin general:ESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA

EJEMPLO: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el mtodo de las exactas.SOLUCIN: ESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA

APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Y EXPONENCIALES: Se tiene lo siguiente: ESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA

GRACIAS POR SU ATENCINFACULTAD DE CIENCIAS

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