ecuaciones_diferenciales-4

Apuntes de Matemtica IV __________________________________________________________

_____________________________________________________________ Universidad Privada de Tacna

71

ECUACINES DIFERENCIALES DE 1ER ORDEN Y PRIMER GRADO

Una ecuacin diferencial lineal de 1er orden es de la forma

)(.....);........()( LxqyxPdxdy

El coeficiente de dxdy siempre debe ser uno, el segundo miembro slo es funcin

de la variable independiente. En este caso, antes de resolver la ecuacin,

debemos adecuar la misma a la estructura de ( L ) y ubicar P(x) para encontrar el

factor integrante de la siguiente forma: dxxp

e)(

, luego multiplicamos ambos

miembros de la ecuacin por: dxxp

e)(

)()(

)( xqyxPdxdye dxxP

El primer miembro de la ecuacin es:

dxxPdxxP exqey

dxd )()( ).(. , luego integrando ambos miembros, tenemos

cdxexqey dxxPdxxP )()(

).(.

cdxexqey dxxPdxxP )()( ).(

- Si q(x) =0 La ecuacin diferencial es homognea

- Si q(0) 0 La ecuacin diferencial no es homognea



72

Ejemplos:

1) ydyxdydx 2

Para arreglar la ecuacin a la estructura (L), dividimos todo entre dy

ydydyyP eeeIF

yp

yxdydx

dydyy

dydyx

dydx

22)(..

2)(

x"" es edependient variablela qui a 2

2

multiplicando todo por e2y

entonces , 41

21

)41

21( tambin ;

41

21

4

42. )12(

4

: tienese miembros, ambos integrando )(

2

22

2

22222

222

22

22

22

222

yy

y

yyyyy

yyy

yy

yy

yy

yyy

ecy

eex

cyexeceyexe

ceyexecyexe

cdyyexe

yexedyd

yexedxe

general solucion 41

21 2 yceyx

2) xsenxxy

dxdy 32 2

xxpxsenxy

x2)( entonces , 32

dxdy

arreglando

2



73

xsenxxx

yxdx

dyx

xeeeIF xx

dxx

31211x1por ecucacion la todondomultiplica luego

1..

2222

2

2lnln2

22

general solucin 3cos31y 3cos

31.1

3.1 :miembros ambos integrando ; 3.1definicionpor

321

222

22

32

cxxxcxyx

cxdxsenyx

xsenyxdx

d

xsenyxdx

dyx

3) Resolver: yyxdx

dysencos

1

nuestra ecuacin debe ser de la forma

nteindependie var. x

edependient var.y donde )( ).....()(

Lxqyxpdxdy

En la ecuacin dada, se puede escribir.

............

)(cos

)(,cos)()(cosdydx

nteindependie var.y

edependient var. xaqui cos

1coscos senyyydyydy eeeIF

senyxydydx

senyyqyypsenyxy

senyyxdydx

luego multiplicando toda la ecuacin por ye sen



74

senyseny

seny

senysenyseny

senyseny

senysenyseny

ceysenyxcysenye

ex

cysenyecsenydyexe

csenydyexedyd

senyeyxedydxe

2cos )cos(

2

)cos(2

xintegrando , .

).(

cos

5) La corriente I en amperios en un corto circuito elctrico satisface la ecuacin

diferencial: tdefuncion una como I halle ;0 tcuando 0,I si tiempo;el es t donde

).(..........102 2

LeIdtdI t

En la ecuacin: 2)( ;102 2 tpeIdtdI t

tdtdttp eeeFI 22)(

multiplicando toda la ecuacin por te2

cdtIe

IedtdeeIe

dtdIe

t

ttttt

10

10).( luego ; 102

2

22222

funcion t como I general solucion 10

0c ejecutando )0(100

0I 0, t valoresdoreemplazan luego ; 10

2

)0(2)0(2

22

t

tt

teIe

ce

ec

etI

6) Resolver 2.22'

xxexyy

Solucin 2.22

xxexydxdy

; aqu p(x)= 2x



75

22)(. x

xdxdxxp eeeIF Multiplicando toda la ecuacin por

2xe

222

2

2222

22

2

:generalsolucin la tenemosdespejando ;

2 tienese miembros ambos integrando ; 2)(

22

xxx

xx

xxxx

ceexycxye

cxdxyexyedxd

xeexyedxdye

7) Resolver 323 xyxdxdy

cdxexexye

cdxexye

exyedxd

xeyxedxdye

eeIF

xxp

xxx

xx

xx

xxx

xdxx

333

33

33

333

32

23

3

3

32

3

2

3

)(

.3

..

3)(



76

ECUACIN DIFERENCIAL DE BERNOULLI

Es una ecuacin de la forma

1 ,0con ),( .......)()( nnByxqyxpdxdy n

si n = 0 n = 1 se convierte en lineal de la forma (L)

para resolver la ecuacin (B) usamos la ecuacin de transformacin que la

convierta en lineal:

11

nyZ

Ejemplo:

1) Resolver xyyxy ln 2

Dividiendo toda la ecuacin entre x

zy

yz

yyyz

xxyy

xdxdy

xxyy

xy

n11111 sea

2n aqui (B) ln1

ln1

121

2

2

)....(..........ln1 tiene.se ejecutandoy ecuacin anterior la a -por todomosmultiplica

1111

de valor el es (B)en oreemplazan luego 1

2

22

2

Lxxz

xdxdz

zx

Lnxzzxdx

dzz

dxdy

zdxdz

dxdy

zysi



77

xeeeIF

xxp

Lx

Lnxzxdx

dz

LnxLnxdxx 1..

1)(

)...(..........1

11

luego multiplicando toda la ecuacin (L) por 1/x

x

Lnxx

Zxxdx

dzx

1)1(11

Por definicin

)1(1)1(.

11

.

ln1.1

212

2

LnxxLnxx

xzcdxLnxx

xz

xx

Zxdx

d

GeneralSolucion 1

1

1y1 1z si ; 1

1

cxLnxy

cxLnxy

cxLnxz

cxx

Lnxxz

2) Resolver: 044 dxyxxdyydx Arreglando la ecuacin: dividimos entre dx

4)...............(..........

x"" entre tododividimos

0

43

44

44

nByxxy

dxdy

yxydxdyx

yxdxdyxy

zy

yZ

yyyZ n

1 ;1111 333141



78

43

4

44

4

13

y-

: tienese (B)en doreemplazan Luego

333

yxyx

dxdz

dxdz

ydxdy

ydxdz

dxdyy

dxdz

zx

yxdxdz 1y doreemplazan 3.1

y3-por todondomultiplica

333

4

33

3

3

1x3- (x) lineal es Como

)..(....................33

3

xeeeFI

P

Lxxz

dxdz

LnxLnxdxx

Multiplicando todo por el factor integrante:

3.1 )3(13.11 33

333

zxdx

dxxx

zxdx

dzx

General Solucion 3

1

31y1z pero 3

3 ejecutando 3

343

343

334

33

cxxy

cxxy

cxxZ

cxxzcdx

xz



79

ECUACIN DIFERENCIAL DE RECCATI

Es una ecuacin diferencial de 1er orden y de 1er grado de la forma

solamente x de funcionesson R(x) Q(x), P(x), donde

)...(..........,.........)()()( 2 RyxRyxQxPdydx

Esta ecuacin no puede resolverse por los mtodos hasta ahora estudiados, sin

embargo si se conoce una solucin particular de la forma:

(1) dxdz(x)'

dxdy

; dxdz(x)'y' :E.D. la usando hallarse puede z incgnita la

z(x)yforma la tienegeneralsolucion la donde ),(

xy

(2) )()()(2)()()()()()(dxdz(x)'

)()())()(()(dxdz(x)'

tienese (R),en (1)ecuacin la doSustituyen

22

2

zxRzxxRxxRzxQxxQxP

zxxRzxxQxP

Pero como ),(xy es una solucin particular de la ecuacin ( R )

(3) )()()()()()('

nuevamente (R)ecuacin laen doreemplazan , )('

2xxRxxQxPx

xdxdy

Reemplazando la ecuacin (3) en (2)

222 )()()(2)()()()()()(dxdz)()()()()( zxRzxxRxxRzxQxxQxPxxRxxQxP

simplificando queda:

2)()()(2)(dxdz zxRzxxRzxQ

(B) )()()(2)(dxdz 2zxRzxxRxQ



80

La anterior expresin es una ecuacin de Bernoulli que se resuelve por el mtodo

ya desarrollado.

Ejemplos.

1) Resolver: 523 xyxxy

dxdy

(R)

Donde una solucin es y = x

35

235

)(,1)(;)(

)(....................1

xxRx

xQxxP

Ryxyx

xdxdy

Se conoce que y = x es una solucin particular de (R)

xxy )( Reemplazando valores en (R)

11

1 235

xxxx

xdxdx

Con esta identidad probamos que y=x es una solucin de la ecuacin diferencial

dada. Sin embargo tambin la solucin general de (R) es de la forma:

z(x)y , es decir: zxy

dxdz

dxdyzxy 1 derivando

Reemplazando en la ecuacin (R) dada:

)2(1dxdz1

)()(1dxdz1

2235

235

zxzxxxzx

zxxzxx

x

).(..........21

211

234

23455

BzxZxxdx

dz

zxzxxxzx

dxdz



81

dxdvZ

dxdz

zdxdz

dxdv

nvv

22

1-21-n

2 v1 Z;

Z1

Z1

Z1 vsea

Reemplazando valores: en (B)

2

34

2

2

342

1211v1z pero 121

vx

vx

xdxdv

v

vx

vx

xdxdvz

Multiplicando todo por -v2

5555

52

52

5221

35

...

...).......(....................21

xxLnxxLnxdx

xx

xeeeeeIF

linealesLxvx

xdxdv

Luego multiplicando todo por F.I.

55

555

52

452

3525

52

52

).(

)(21.

xx

xxx

exxevdxd

xxevx

xxedxdvex

Integrando ambos miembros se tiene:

cevxe

cdxexvxe

xx

xx

55

55

52

52

52

452

21

5

5

5

52

52

52

21 vx 2

1x

x

x

cee

cevx



82

Pero Z1

v , entonces en 5

52

21vx

xce

5

52

21x

z1 xce

, conocemos que zxy , entonces xyz

5

52

21x

x-y1 xce

xce

xyx

5

52

21

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