TRABAJO COLABORATIVO

FASE 1

FUNDAMENTO TEÓRICO UNIDAD 1

CARLOS JULIO DIAZ PAZ

CÓDIGO: 76327043

201015A_288

TUTOR:

RUBEN DARIO MUNERA TANGARIFE

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

FACULTAD DE CIENCIAS AGRÍCOLAS, PECUARIAS Y DEL MEDIO AMBIENTE

PROGRAMA DE INGENIERÍA AMBIENTAL

MARZO DE 2016

RESUMEN DE ECUACIONES

Lección 1: Sistemas

Lección 2: Ley cero de la Termodinámica

- Equilibrio térmico T a=T b=T c

- Temperatura absoluta de un gas. Ecuación 1

T=a+bPDonde a y b se determinan experimentalmente asignando valores a dos estados de referencia reproducibles como son los puntos de congelación y ebullición del agua a la presión de una atmósfera, como se hizo anteriormente. Y P es la presión de un volumen fijo de un gas.

- Escala Rankine:Ecuación 2

T (Rankine)=95(Kelvin)

La unidad de temperatura en esta escala es el rankine el cual se expresa con la letra R. En esta forma el punto triple del agua corresponde a 491.69 R.

- Las diferencias de temperaturas en grados Celsius y Kelvin son idénticas, pero si se toma un determinado valor en la escala Kelvin será igual a los grados Celsius más 273.15.

- Conversión entre escalas de temperatura.

Ecuación 3ΔT (°C )=ΔT (K )

Ecuación 4T ( K )=T (° C )+273.15

- diferencias en temperaturas en grados Fahrenheit y Rankine son iguales y un determinado valor en la escala Rankine corresponde a los grados Fahrenheit más 459,67 R.

- Ecuación 5ΔT (F )=ΔT ( R )

Ecuación 6T (R )=T (° F )+459.67

Lección 3: Calor

- Cantidad de calor transferida en un proceso por unidad de masa.Ecuación 7

q=Qm

- La cantidad de calor transferida por unidad de tiempo.

Ecuación 8Q̇= Q

Δt

- Transmisión de calor por conducción - Ecuación 9

Q̇=k t A∆T∆ x

- Ecuación, Ley de Fourier para la conducción del calor.Ecuación 10

Q̇=−k t AdTdx

- Tasa de transferencia de calor por convención.Ecuación 11

Q̇=hA(T s−T f )

Donde h = a coeficiente de transferencia de calor w

m2KA = área de la superficie, m2

T s= temperatura de la superficie, K.T f= temperatura del fluido.

- La máxima cantidad de calor por unidad de tiempo que puede emitirse desde una superficie a una temperatura absoluta, determinada por la ley de Stefan-Boltzmann.

- Ecuación 12˙Qmax=σAT s

4

Donde σ=5.67∗108 wm2K

conocida como constante de Stefan-Boltzmann

- Cantidad de calor emitida por materiales reales a igual temperatura.Ecuación 13

˙Qemitido=εσAT s4

- Relación entre la radiación absorbida y la radiación incidente.Ecuación 14

α=Qab

Qinc

Un cuerpo negro absorbe toda la energía incidente sobre la superficie, es decir que 𝛼 = 1.0, por tanto un cuerpo negro se comporta como un absorbedor perfecto y como un emisor perfecto.

- Tasa de transferencia de calor por radiación.- Ecuación 15

Q̇=εσA (T s4−T air

4 )

Lección 6: trabajo

- Ecuación del trabajo.

W=∫2

2

Fdx

- Trabajo en procesos isobáricos

W=P∫1

2

dV=PV ¿12⟹W=P (V 2−V 1)

- Trabajo en un proceso isobárico realizado por un gas ideal.

δW=PdV=nRdtAl integrar se obtiene una ecuación que permite calcular el trabajo en función de las temperaturas.

W=nR(T 2−T 1)

- Trabajo en procesos isotérmicos: cambio de la presión al variar el volumen.41

P=nRTV

=KV

- Trabajo en procesos politrópicos.45

P= CV n=CV−n

- Trabajo eléctrico: se identifica al atravesar los límites de un sistema es el realizado por el movimiento de los electrones sometidos a un campo eléctrico.48

W=∫1

2

VI dt

- Trabajo debido a la tensión superficial: el trabajo para aumentar la superficie de un líquido o estirar una película: 50

W=∫1

2

γ sdA

- Trabajo de eje: si sobre el eje actúa un momento de torsión constante el trabajo realizado por la fuerza F se puede determinar remplazando la fuerza en función del momento de torsión y la distancia en función del radio: 52

τ=Fr→F= τr

La distancia x sobre la cual se aplica la fuerza constante se determina por x=n (2π ) donde n representa el número de giros que realiza el eje, entonces el trabajo se expresa por:53

W=F . x=( τr )(2πnr )=2πnr- Trabajo del resorte: Si el resorte tiene un comportamiento completamente

elástico, es decir no sufre deformaciones, la fuerza aplicada es proporcional al desplazamiento. La constante de proporcionalidad k es característica de cada resorte.54

F=k . x- Trabajo gravitacional: es el trabajo ejecutado en contra o realizado por la fuerza

gravitacional cuando se eleva o se deja caer un cuerpo que también se conoce como energía potencial. 57

F=mgSi se remplaza esta equivalencia de la fuerza en la ecuación 36, se obtiene la expresión para el calcular el trabajo gravitacional:

W=∫1

2

mgdy=mg ( y2− y1)

Donde ( y2− y1) es el cambio de altura que experimenta el cuerpo.

- Trabajo de aceleración: necesario para aumentar o disminuir la velocidad de un sistema.

F=m .a y a=dvdt

entonces F=mdv /dt

v=dxdt⟹dx=vdt

W=∫1

2

m( dvdt

)vdt=∫1

2

mvdv

W=12m(v22−v21)

Lección 9: Propiedades termodinámicas

- La densidad: una propiedad definida por la relación de dos propiedades extensivas, masa y volumen y siempre que se presente esta situación el resultado será una propiedad intensiva, independiente de la cantidad de materia del sistema.65

ρ=mV

- Sea x una función de dos variables independientes, y y z, definida por. 68

x= f ( y , z )

- La diferencial de una función de punto es una diferencial exacta, es decir que el valor de su integral es conocido y único. 69

dx=( ∂ xdy )

zdy+( ∂ x

dz )ydz

Si P=( ∂ xdy )

zyQ=( ∂ x

dz )y70

Entonces dx=Pdy+Qdz 71

Ahora derivando P con respecto a z y Q con respecto a y se tiene: 72

∂P∂ z

= ∂∂ z ( ∂ x

∂ y )= ∂x2

∂ z ∂ y∂P∂ z

=∂Q∂ y

- Para el caso de la longitud, un pequeñísimo segmento para alguna de las trayectorias se representaría como δL. 75

δL2=(dy)2+(dz)2

De tal manera que L, entre los puntos 1 y 2, se podría calcular mediante la integración de δL.76

❑1L2=∫2

1

δL=¿∫1

1

√( dydz )+1dz ¿

Lección 10

La capacidad calorífica es una propiedad extensiva, entre más masa tenga el sistema, mayor será su capacidad calorífica.

Ecuación 77

C= δQdT

Capacidad calorífica a presión constante

El conjunto de propiedades (pV + U) corresponde a una nueva propiedad conocida como entalpía que se representa por la letra H, de tal manera que por definición:

Ecuación 78

H=U+ pV

Por lo tanto, la capacidad calorífica a presión constante es igual a la variación de entalpía con respecto a la temperatura, o sencillamente la relación entre el cambio de entalpía y la diferencia entre las temperaturas. Cp es una propiedad extensiva y su valor es característico de cada sistema.

Ecuación 79

CP=( ∂ H∂T )

Calor especifico calor constante

El calor específico a presión constante es la cantidad de calor que es necesario transferir a un sistema de masa unitaria para elevar su temperatura en un grado.

Ecuación 80

CP=( ∂ Hm∂T )

p=( ∂h

∂T )p

Donde h=Hm , representa la entalpia por unidad de masa.

Capacidad Calorífica Molar a Presión Constante.

La capacidad calorífica molar de una sustancia se define como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un mol, en un grado.

Ecuación 81

CP=( ∂ Hn∂T )

p=(∂ H

∂T )p

Las propiedades referidas a una unidad de moles se representan colocando una línea o barra sobre el símbolo de la propiedad por ejemplo: V , representa el volumen molar, es decir el volumen por mol de una sustancia.

Capacidad Calorífica a Volumen Constante

En palabra se diría que la capacidad calorífica a volumen constante está dada por la variación de energía interna con relación a la temperatura o que es igual la relación entre el cambio de energía interna y la diferencia en la temperatura.

Ecuación 82

C v=( ∂U∂T )Calor Específico a Volumen Constante

En forma semejante el calor específico a volumen constante se representa por C v y está definido por la ecuación:

Ecuación 83

C v=( ∂Um∂T )

v=( ∂U∂T )

v

Capacidad Calorífica Molar a Volumen Constante

Se representa por C v, y se define como:

Ecuación 84

C v=( ∂Un∂T )

v=( ∂U

∂T )v

La energía interna para gases ideales, solo depende de la temperatura y si en la ecuación 78 que define la entalpía se remplaza el término PV por su equivalente para gases ideales 𝑛𝑅𝑇, se puede afirmar que también la entalpía de un gas ideal solo depende de la temperatura como se observa en la ecuación 85, de tal manera que las derivadas parciales, en las ecuaciones 78 a 84 se pueden sustituir por derivadas ordinarias.

Ecuación 85

H=U+nRT

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, para calcular el cambio de entalpía, se pueden despejar los términos diferenciales (dH) de las ecuaciones 105, 106 y 107 y expresarlos como:

Ecuación 86

dH=CpdT=mc pdT=nCPdT

En igual forma el término diferencial para la energía interna (dU) se puede despejar de 82, 83 y 84 y expresarlo como:

Ecuación 87

dH=C vdT=mcv dT=nC vdT

Capacidad calorífica molar de un gas en función de la temperatura.

Ecuación 88

C p=A+BT+CT 2+DT3…

Remplazando esta ecuación en 86 y realizando la integración se obtiene:

Ecuación 89

∆ H=n∫1

2

CpdT=n∫1

2

( A+BT+C T2+DT3 )dT

Ecuación 90

∆ H=n ⌊ A (T 2−T 1 ) ⌋+B (T 2

2−T12 )

2 +C (T 2

3−T13 )

3 +D (T24−T 1

4 )4

Si los cambios de temperatura no son muy pronunciados, por decir menores que 100 grados, las capacidades caloríficas molares y los calores específicos se pueden

considerar constates y trabajar con el valor medio entre las dos temperaturas. De esta forma la integración es directa, con lo cual se obtienen las siguientes ecuaciones:

Ecuación 91

∆ H=nCp (T 2−T 1)

Ecuación 92

∆ H=mcp (T 2−T 1)

En igual forma, si el cambio de temperatura no es muy pronunciado, se obtienen las siguientes ecuaciones que permiten calcular el cambio en la energía interna:

Ecuación 93

∆U=nCp (T 2−T 1 )

Ecuación 94

∆U=mcp (T 2−T 1 )

Los líquidos y sólidos se conocen como sustancias incompresibles, porque su volumen prácticamente no cambia frente a variaciones de la presión. Para este tipo de sustancias el calor específico a presión constante y a volumen constante tienen el mismo valor y en la práctica puede omitirse el subíndice, es decir:

Ecuación 95

c p=cv=c

Relación entre las Capacidades Caloríficas en Gases Ideales.

Para establecer la relación entre la capacidad calorífica molar a presión constante y la capacidad calorífica molar a volumen constante, se debe acudir a la relación entre la entalpía y la energía interna dada por la ecuación 85. Si en esta ecuación se deriva con respecto a la temperatura a presión constante se obtiene:

Ecuación 96

( ∂ H∂T )

p=( ∂U∂T )

p+nR

El primer término entre paréntesis es igual a la capacidad calorífica a presión constante y el segundo representa la capacidad calorífica a volumen constante, remplazando estos términos en la ecuación anterior se tiene:

Ecuación 97

c p=cv+nR

Si se divide todos los términos entre n, se llega a que la capacidad calorífica molar a presión constante es igual a la capacidad calorífica molar a volumen constante más el valor de la constante universal de los gases expresada en las mismas unidades, como se indica en la ecuación:

Ecuación 98

CP=C v+R

Calor Latente

Calor latente de fusión de una sustancia es el cambio de entalpía que ocurre durante la transformación, de una unidad de masa de esa sustancia, de sólido a líquido.

Ecuación 99

∆ hfusión=hlíquido−hsólido

Calor latente de sublimación de una sustancia es el cambio de entalpía que ocurre durante la transformación, de una unidad de masa de esa sustancia, de sólido a gas.

Ecuación 100

∆ hsublimación=hgas−hsólido

Calor latente de vaporización de una sustancia es el cambio de entalpía que ocurre durante la transformación, de una unidad de masa de esa sustancia, de líquido a vapor.

Ecuación 101

∆ hvaporización=hg−hf=h fg

hg y h f , Son las entalpías de vapor saturado y de líquido saturado respectivamente.

Los calores latentes de muchas sustancias se han determinado experimentalmente y sus valores aparecen en tablas y software sobre propiedades termodinámicas. Con ellos se calcula el calor transferido durante cualquier cambio de fase. En términos generales:

Ecuación 102

Q=∆ H=m∆h

Si los calores latentes se expresan por unidad de mol entonces la ecuación se transforma en:

Ecuación 103

Q=∆ H=n ∆H

Trabajo en un Proceso Adiabático

En un proceso adiabático el trabajo realizado por un sistema es igual al descenso en la energía interna (ecuación 73) y también que la energía interna se puede calcular en función de la capacidad calorífica molar a volumen constante y el cambio de temperatura (ecuación 87) si se combinan estas ecuaciones se obtiene una expresión que permite calcular el trabajo en un proceso adiabático, si los cambios de temperatura no son muy pronunciados.

Ecuación 104

W1❑

2=nC v=(T 2−T1 )

Para un proceso adiabático el producto de la presión por el volumen elevado a un exponente,y definido por la relación entre la capacidad calorífica molar a presión constante y la capacidad calorífica molar a volumen constante es una constante.

Ecuación 105

PV y=K

Para dos estados del sistema durante este tipo de procesos se tiene que:

Ecuación 106

P1V 1y=P2V 2

y=K

Expresión que permite determinar el trabajo en un proceso adiabático en función de la presión y el volumen.

Ecuación 107

W1❑

2=P2V 2−P1V 1

1− y

Expresiones de las Capacidades Caloríficas

La fórmula que las representa recuerda la ecuación del virial para la ecuación de estado de los gases reales.

Las ecuaciones que muestran su dependencia de la temperatura son:

Ecuación 108

CV=A1+B1T+C 1T2

Ecuación 109

C p=A2+B2T +C2T2

Son ecuaciones cuadráticas en donde A, B y C son coeficientes cuyo subíndice indica la pertenencia a la capacidad calorífica a volumen constante (subíndice 1) y a presión constante (subíndice 2).

Con estas ecuaciones, las variaciones para la energía interna y la entalpía, se expresan así.

Ecuación 110

U2−U 1=A1 (T2−T1 )+B1

2 (T 22−T 1

2)+C1

3 (T 23−T 1

3 )

Ecuación 111

H 2−H1=A2 (T 2−T 1 )+B22 (T22−T1

2 )+C2

3 (T 23−T 1

3 )

CAPITULO 3: PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA

Lección 11: Primera ley de la termodinámica

El calor total intercambiado es igual al trabajo neto producido. Esta aseveración que no puede deducirse de ningún otro principio constituye el enunciado de la primera ley de la termodinámica que matemáticamente se expresa así:

Ecuación 112

∮δQ=∮δW

Primera ley en Sistemas Cerrados

Si en la ecuación 112, el término de la integral cíclica correspondiente al trabajo se pasa al otro lado de la ecuación se obtiene:

Ecuación 113

∮ (δQ−δW )=0

El valor entre paréntesis correspondiente a la diferencia entre calor y trabajo (δQ−δW ) debe corresponder a una propiedad termodinámica. Esto es cierto y esa propiedad es la energía acumulada del sistema o simplemente energía total del sistema.

En consecuencia de la ecuación 113 se puede establecer en términos diferenciales cono:

Ecuación 114.

δQ−δW=dE

La primera ley para un sistema cerrado, se puede expresar diciendo que el calor neto transferido menos el trabajo neto producido es igual al cambio en la energía del sistema para todo proceso no cíclico.

La energía de un sistema por unidad de masa es una propiedad intensiva y se representa por la letra “𝑒”.

Ecuación 115

E= Em

El estado de asociación de sus partículas, conocida como energía interna que generalmente se representa por la letra U, de tal manera que la energía total del sistema se puede expresar como:

Ecuación 116

E=Ec+Ep+U

Ecuación 117

dE=dEc+dEp+dU

El cambio en la energía cinética de un sistema de masa m lo determina el trabajo de aceleración necesario para cambiar la velocidad desde V1 hasta V2, como se estableció en la unidad tres, entonces:

Ecuación 118

∆CE=m (V 2

2−V 12)

2

Si el sistema se encuentra inicialmente en reposo, su energía cinética inicial, es cero, en consecuencia la energía cinética cuando el sistema tenga una nueva velocidad se determina mediante.

Ecuación 119

EC=12mv2

El cambio en la energía potencial de un sistema de masa m lo determina el trabajo necesario para cambiar su posición con respecto al campo gravitacional terrestre desde una altura y1 hasta una altura y2.

Ecuación 120

∆ E p=mg( y2− y1)

Si se toma como referencia el estado inicial donde y1 = 0, entonces la energía potencial para un nuevo estado donde la altura sea y, estaría determinada por:

Ecuación 121

Ep=mgy

La energía interna es una propiedad extensiva ya que depende de la masa del sistema. En cambio la energía interna por unidad de masa que se representa por la letra u minúscula, es una propiedad intensiva, y se define por la relación

Ecuación 122

u=Um

La primera ley de la termodinámica se puede expresar mediante la ecuación 89 la cual representa un balance energético.

Ecuación 123

δQ−δW=dU

Proceso isobárico y definición de entalpía

En todo proceso isobárico la presión se mantiene constante, en consecuencia, el trabajo se puede determinar cómoP∆V y en términos diferenciales por PdV. Si en la ecuación 123, se reemplaza la diferencial de trabajo por su equivalente, ésta se transforma en:

Ecuación 124

δQ=pdV +dU

Como la presión es constante puede escribirse dentro de factor diferencial:

Ecuación 125

δQ=d ( pV )+dU

Los términos diferenciales correspondientes a las propiedades termodinámicas se pueden agrupar en un solo término; así:

Ecuación 126

δQ=d ( pV +U )

El conjunto de propiedades (𝑝𝑉 + 𝑈) corresponde a la propiedad conocida como entalpía que se representa por la letra 𝐻, de tal manera que por definición:

Ecuación 127

H=U+ pV

Entonces, la primera ley para un proceso isobárico se reduce a:

Ecuación 128

δQ=dH

El calor transferido en un proceso isobárico es igual al cambio de entalpía. La entalpía es una propiedad extensiva, depende de la masa, a su vez la entalpía por unidad de masa es una propiedad intensiva y se representa por ℎ:

Ecuación 129

h=Hm

Proceso isotérmico

Para un gas ideal la energía interna depende solo de la temperatura, por tanto, en un proceso donde la temperatura se mantiene constante, la energía interna también debe ser constante y por tanto 𝑑𝑈 = 0.

En consecuencia la primera ley para este tipo de procesos se reduce a:

Ecuación 130

δQ=δW

Es decir que en todo proceso isotérmico el calor suministrado a un sistema es igual al trabajo desarrollado por el mismo. De tal manera que si se integra la ecuación 130 y se remplaza el trabajo se llega a que:

Ecuación 131

Q21❑ =nRT ln(V 2

V 1)

Proceso adiabático

En un proceso adiabático no se presenta transferencia de calor y la primera ley para este tipo de procesos se expresa como:

Ecuación 132

W=−∆U

El signo negativo indica que si el sistema realiza trabajo su energía interna debe disminuir.