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Ecuaciones promedio no-local para flujo

multifásico:

Aplicación en reactores de circulación

natural tipo BWR

Especialidad

Ingeniería NUCLEAR

Candidato

Dr. Gilberto Espinosa Paredes

Fecha de ingreso: Mayo 20, 2010

Ciudad de México

Ecuaciones promedio no-local para flujo multifásico: Aplicación en reactores de circulación natural tipo BWR

Ingeniería NUCLEAR 2

CONTENIDO

Página

RESUMEN EJECUTIVO 3

1. INTRODUCCÓN 4

2. PRELIMINARES 8 2.1. Descripción del sistema y definiciones básicas 8

2.2. Operadores promedio: superficial, intrínseco y mezcla de fluidos 8

2.3. Teoremas promedio 10

3. RELACIONES PROMEDIO NO-LOCALES 13

3.1. Teoremas promedio no-locales 13

3.2. Promedio volumétrico del producto de dos variables locales k k 15

3.3. Teorema especial para el producto de dos variables locales k k 16

3.4. Teorema de transporte para el producto de dos variables locales k k 18

3.5. Relaciones promedio no locales para el producto de tres variables locales 20

k k k

4. ECUACIÓN DE TRANSPORTE PROMEDIO NO-LOCAL 21 4.1. Ecuaciones puntuales 21

4.2. Ecuación de balance general promedio volumétrico no-local 21

4.3 Discusión 24

5. APLICACIÓN EN REACTORES DE CONVECCIÓN NATURAL DEL TIPO BWR 26

5.1. Caída de presión para flujo en dos fases altamente no homogéneo 26

5.2. Implementación 31 5.3. Simulaciones 33

5.3.1. Comportamiento en estado estacionario 33

5.3.2. Comportamiento en transitorios 35

6. CONCLUSIONES 39

APÉNDICE A. DEMOSTRACIÓN Y VALIDACIÓN DE LA Ec. (3.1.1) 40

A.1. Demostración 40

A.2. Validación 41

APÉNDICE B. TÉRMINOS NO-LOCALES DE LA ECUACIÓN GENERAL SIN 42

RESTRICCIONES DE ESCALA

REFERENCIAS 44

AGRADECIMIENTOS 48

CURRICULUM VITAE 49



RESUMEN EJECUTIVO

El objetivo de este trabajo es proponer una nueva formulación de las ecuaciones de

conservación para flujo multifásico sin restricciones de escala de longitud, basada en la

forma no-local de las ecuaciones de conservación promedio en volumen. La

simplificación del volumen promedio local para obtener ecuaciones prácticas están

sujetas a la restricción de escala de longitud: d << << L , donde d es la longitud

característica de las fases, es la longitud característica del volumen promedio y L es

la longitud del sistema físico. Si la desigualdad anterior no se cumple, o si la magnitud

del problema de interés es del orden del volumen promedio, las teorías macroscópicas

de flujo multifásico deben ser modificadas para incluir consideraciones apropiadas en las

ecuaciones correspondientes. En estos casos, la forma local de las ecuaciones de

conservación promedio en volumen no es apropiada para describir el sistema de flujo de

varias fases. Para demostrar la importancia de las ecuaciones de conservación no-

locales, sin restricciones de escala de longitud se considera como caso de aplicación en

un reactor nuclear de agua hirviente (BWR por sus siglas en inglés) de circulación

natural para estudiar los efectos no-locales en el desempeño termohidráulico del núcleo

del reactor (Potencia neutrónica, temperatura de combustible, flujo másico en el núcleo,

fracción de vacíos, entre otras) en estado estacionario y transitorio. Los resultados

obtenidos de las simulaciones numéricas se comparan con aquellos obtenidos con las

ecuaciones de conservación local.

Palabras clave: Ecuaciones de transporte, promedio volumétrico, flujo multifásico,

teorema de transporte, fases e interfaces, condiciones de salto, circulación natural,

BWR, transitorios termohidráulicos, simulaciones.



1. INTRODUCCIÓN

En un trabajo reciente de Sha y Chao (2007) se presenta una derivación detallada de la

formulación de las ecuaciones de conservación para flujo multifásico en un medio

poroso (cuando la porosidad tiende a la unidad las ecuaciones se reducen a las

representaciones clásicas). No obstante, la derivación presentada por estos autores está

limitada a la siguiente restricción de escala de longitud:

d << << L (1.1)

donde d es la longitud característica de las fases dispersas, representa la longitud

característica del volumen promedio y L es la longitud característica del sistema físico.

Las restricciones de escala de longitud son inherentes al teorema del promedio en

volumen local (Whitaker, 1969). En general para flujo disperso en una fase discreta, la

restricción de escala de longitud se cumple.

El desafío intelectual que representa el paradigma dado por la Ec. (1.1) es el motivo

fundamental que da origen al presente trabajo inédito, donde las ideas iníciales se

forjaron en el año 2008 con algunos apuntes de derivaciones de modelos matemáticos

muy sencillos. A través de estos ensayos y exploraciones entendí la complejidad

matemática involucrada y sobre todo traducir dichas complejidades en expresiones

matemáticas de las ecuaciones de transporte promedio para análisis pragmático

principalmente en la ingeniería nuclear, pero no exclusivo de dicha área, ya que existen

problemas en diferentes áreas del conocimiento donde estas nuevas ideas pueden ser

aplicables (más adelante se presenta una serie de ejemplos).

Existen diferentes sistemas con flujo multifásico donde las restricciones de escala de

longitud no se cumplen: sistemas geológicos (Dagan 1986), fraccionamiento de

hidrocarburos (Guoyu et al., 1990), transporte de contaminantes (Quintar and

Whitaker, 1994), eliminación de contaminantes en corrientes acuosas (Correia and

Carvhalo, 2001), transporte de recortes (Cho et al., 2002; Espinosa-Paredes, et al.

2007; Espinosa-Paredes y Salazar-Méndoza, 2008; Salazar- Méndoza y Espinosa-

Paredes, 2009), concentración de fármacos (Lee, 2000), y emulsiones (Vernon-Carter et

al., 2001; Espinosa-Paredes, 2006; 2007) entre otros que incluyen extracción y procesos

de separación (Bayraktar, 2001). Especialmente, en reactores nucleares del tipo BWR

(Espinosa-Paredes y Alvarez-Ramirez, 2003; Espinosa-Paredes et al., 2004a; Espinosa-

Paredes et al., 2006; Espinosa-Paredes y Nuñez-Carrera, 2008; Nuñez-Carrera et al.,

2008; Espinosa-Paredes et al., 2010) y otras aplicaciones industriales que involucran

flujo multifásico (Espinosa-Paredes y García-Gutierrez, 2004; Cazarez-Candia y

Espinosa-Paredes, 2008; Espinosa-Paredes et al., 2009) la restricción impuesta de escala

de longitud no se cumple en transiciones de patrones de flujo (“churn” o “slug”) donde el

número de burbujas decrece dando lugar a otras de mayor tamaño cuya longitud es del

orden de magnitud característica del volumen promedio ( ), inclusive del sistema

completo ( L ), i.e., diámetro de la tubería.

En este trabajo, se presenta una mejora basada en las formas no locales de las

ecuaciones de conservación promediadas en volumen para eliminar la restricción dada

por la Ec. (1.1) y se proponen nuevas ecuaciones promedio de transporte para flujo

multifásico.



La técnica de volumen promedio local aplicadas a las ecuaciones de conservación

microscópicas (desde el punto de vista de la hipótesis del continuum) de transporte

(masa, energía y cantidad de movimiento) han sido ampliamente estudiadas por varios

autores (i.e., Slattery, 1967; Whitaker, 1967; Bear 1972; Gray 1975; Gray & O´Neill

1976; Delhaye, 1977; Gray and Lee, 1977; Nigmatulin, 1979; Hassanizadeh & Gray,

1979; Banerjee y Chan, 1980; Delhaye, 1981; Espinosa-Paredes y Soria 1998; Espinosa-

Paredes, 2001; Espinosa-Paredes et al., 2002; Espinosa-Paredes et al., 2004b; Valdés-

Parada y Espinosa-Paredes, 2005; Espinosa-Paredes et al., 2005; Espinosa-Paredes, 2007;

Vázquez-Rodríguez, et al., 2009) con el propósito de obtener ecuaciones de balance

macroscópicas aplicables a sistemas con flujo multifásico. Es importante señalar que

estas descripciones macroscópicas son válidas en el sistema heterogéneo donde la

topología de las fases tiende a ser homogéneo. El término homogéneo en este trabajo

se utiliza para denotar que la porción o la muestra en estudio del sistema no existen

cambios grandes en la fracción volumen ocupada por las fases del flujo multifásico y en

principio cumplen con restricción de escala de longitud dada por la Ec. (1.1).

Las ecuaciones conservación promediadas en espacio y tiempo para flujo en dos fases

fueron desarrollados por Drew (1971), Drew y Segel (1971), Yadigaroglu y Lahey

(1976), Lahey y Drew (1979), Sha et al. (1983) y recientemente por Sha y Chao

(2007). Estos trabajos tienen restricciones de escala de tiempo y de longitud (Ec. 1.1).

Respecto a las restricciones de escala de tiempo se pueden abordar con las ideas

establecidas en el presente trabajo, el cual está enfocado a estudiar las restricciones de

escala de longitud discutidas previamente.

Las ecuaciones de conservación promedio volumétrico local (masa, energia y cantidad de

movimiento) involucran productos de promedio de una variable promedio 3

ki (en este

trabajo se sigue la nomenclatura definida por Sha y Chao, 2007) con una variable no

promediada ( k ), i.e., 3 3

k ki i (donde k y k son propiedades intensivas

asociadas con la fase-k). La aproximación siguiente:

3 3 3 3k k k k

i i i i (1.2)

debe cumplir una condición que la valide desde un punto de vista físico y matemático.

Lahey y Drew (1989) encuentran que esta aproximación es válida cuando la siguiente

restricción de escala de longitud se cumple:

1

(1.3)

donde

k

k

3k

1

3k

(x, )

(x, )

i

i

MAX t

MAX t

x

x

(1.4)

i.e., es inversamente proporcional a la longitud donde ocurren los cambios de la

cantidad promediada (interpretación del operador gradiente sobre la variable

promedio); en esta ecuación k es el volumen de la fase-k. La interpretación física de

la Ec. (1.3) indica que el volumen promedio es suficiente pequeño comparado con la



escala de longitud del movimiento promedio. En particular si k =1 implica que

3 3 3 3 3k k k1i i i i i . Desde un punto de vista geométrico la interpretación

es más directa ya que si el promedio de una cantidad promediada es igual a la misma

cantidad promedio, indica que el promedio se lleva a cabo en el centroide del volumen

promediante. No obstante, esta simple observación tiene grandes implicaciones

conceptuales relacionadas con las restricciones de escala de longitud y fue necesario

establecer teoremas alternativos (desde un punto de vista matemático son

representaciones conocidos como lemas) que se proponen en este trabajo para

establecer el marco teórico del promedio en volumen no-local.

Oro caso común de las ecuaciones de conservación promedio en volumen locales es el

promedio del producto de dos variables no promediadas, i.e., 3

k k . La

representación tradicional (Carbonell y Whitaker, 1984) es:

3 3 3 3k k k k k k k

i i (1.5)

En la cual k y k representan las desviaciones espaciales alrededor de los valores

promedio de las variables locales (o no promediadas), y son definidas por la siguiente

descomposición (Gray, 1975):

3k k k

i (1.6)

3k k k

i (1.7)

El resultado dado por la Ec. (1.5) es consistente con la restricción de escala de longitud

dada por la Ec. (1.1) o (1.3). Las consecuencias matemáticas de este tipo de restricción

se puede expresar como

3k 0i (1.8)

3k 0i (1.9)

Este resultado se puede obtener en forma directa al aplicar el operador promedio

intrínseco en las Ecs. (1.6)-(1.7).

Se puede observar que la restricción de escala de longitud examinada por Lahey y Drew

(1989) es más restrictiva comparada con la restricción de escala de longitud usada por

Sha y Chao (2007). Esto se debe a que la Ec. (1.4) se basa, además del cumplimiento

de la Ec. (1.1) del cambio espacial de la cantidad promediada (Ec. 1.3). No obstante,

para problemas más realistas o cuya conceptualización sea más realista, esta restricción

de escala de longitud estrictamente no son válidas. En general estas restricciones de

escala de longitud no son válidas dentro de una región frontera (i.e., región de

transición de un flujo en dos fases, o en la frontera entre un medio heterogéneo y un

homogéneo característico de cambios muy grandes en la fracción de volumen) donde

las variaciones espaciales de la topología de las fases no cumplen con la restricción

clásica de escala de longitud, y por lo tanto las ecuaciones de transporte promedio

clásicas no son válidas para estos casos.

En estudios previos del problema de cerradura (en el proceso de promediar aparecen

más incógnitas que ecuaciones y existen técnicas muy complicadas para lograr un



conjunto cerrado de ecuaciones, i.e., igual número de ecuaciones que de incógnitas, ver

Espinosa-paredes, 2001), Carbonell y Whitaker (1984) muestran que el promedio de la

desviación espacial ( k ), se puede expresar como:

3 3 3 3 3k k k k k k: ...i i i i iy y y (1.10)

donde ky representa el vector de posición relativo al centroide del volumen promedio,

como se ilustra en la Figura 1 (Sec. 2 del presente trabajo). Bajo circunstancias

normales, i.e., en las regiones homogéneas del flujo multifásico el promedio de las

desviaciones espaciales son cero.

En el presente trabajo se derivan matemáticamente ecuaciones de transporte promedio

aplicables para flujo multifásico sin restricciones de escala de longitud. Esta formulación

está basada en las formas no locales de las ecuaciones de conservación promedio en

volumen, cuando la Ec. (1.1) no es válida y por lo tanto las Ecs. (1.2), (1.5), (1.8) y

(1.9).

Para demostrar la importancia de las ecuaciones de conservación no-locales,

desarrolladas en este trabajo, sin restricciones de escala de longitud se considera como

caso de aplicación un reactor tipo BWR de circulación natural para estudiar los efectos

no-locales en el desempeño termohidráulico del núcleo del reactor en estado

estacionario y transitorio. Los resultados obtenidos de las simulaciones numéricas se

comparan con aquellos obtenidos con las ecuaciones de conservación local.

El concepto avanzado de reactor de agua ligera se está desarrollando para posibles

aplicaciones en los años 1990, así iniciaba el trabajo de Duncan (1988). Los primeros

reactores nucleares de agua hirviente (BWR por sus siglas en inglés) eran de potencias

relativamente bajas (de una pocas decenas a algunos cientos de MWe) con diseños

relativamente simples; usaban circulación natural para proporcionar flujo de

refrigerante al núcleo. En los últimos veinte años (Duncan, 1988) los niveles de potencia

se incrementaron (a más de 1000MWe) y la complejidad en el diseño también. La

evolución del BWR consistió en la eliminación de los lazos externos de recirculación,

culminando con el reactor simplificado de agua en ebullición (SBWR por sus siglas en

inglés). Una de las ventajas importantes del SBWR son los sistemas de seguridad más

simples (conocidos como sistemas de seguridad pasivos) respecto a los actuales BWR,

por lo que el tiempo de construcción es corto y cuyo costo de generación de potencia es

competitivo.



2. PRELIMINARES

2.1 Descripción del sistema y definiciones básicas

El flujo multifásico conceptualizado fue presentado por Sha and Chao (2007). El flujo

multifásico es un sistema formado por un sólido sin movimiento denominado fase-w y

una mezcla fluida de fases-k y -f que fluyen a través de los espacios formados por la

fase sólida (Este es el caso más general desde un punto de vista teórico y de

aplicación). La fase-k tiene un volumen variable ( k ) con área interfacial total ( kA ) en

el volumen promedio ( ), el cual tiene un área superficial (A) con un vector normal (n )

apuntando hacia afuera. Una porción de kA está hecha de una interface* fluido-fluido

( kfA ) y una interface sólido-fluido ( w kA ). El vector normal unitario kn de kA se

dibuja saliendo de la fase-k, independientemente de que si se asocia con kfA o w kA .

*Anglicismo ampliamente aceptado y usado al no existir una alternativa más apropiada en español y que

difiere de interfase (biología) e interfaz (informática) cuyo significado es: una superficie formando una

frontera común de dos cuerpos, espacios o fases, i.e., interface agua-aceite.

Las siguientes relaciones y definiciones son consistentes con el sistema multifásico

descrito por Sha y Chao (2007):

m w , Volumen promedio local (2.1.1)

m k

k

, Volumen de la mezcla fluida (2.1.2)

donde w es el volumen total de la estructura sólido fija y dispersa contenida en .

m w1

, Porosidad (2.1.3)

k

mk

, Fracción volumen de la fase-k en la mezcla fluida (2.1.4)

2.2 Operadores promedio: superficial, intrínseco y mezcla fluida

El método del volumen promedio es una técnica para derivar ecuaciones para sistemas

multifásicos, bajo la hipótesis del continuo. Esto significa que las ecuaciones que son

válidas para una fase en particular (locales o puntuales) puede ser suavizada

espacialmente (a través de aplicar un operador promedio, el cual actúa como un filtro)

para producir ecuaciones que son válidas en cualquier parte (Whitaker, 1999), excepto

en las fronteras del sistema multifásico, donde normalmente ocurren cambios drásticos

en la topología de las fases.



El operador promedio volumétrico o promedio superficial 3

ki de alguna propiedad

k (escalar o tensor de primer y segundo orden) asociado con la fase-k está dado por:

k

3ik k

x (x, )

1(x y, t) d y

t

(2.2.1)

donde k es el volumen de la fase-k contenido en el volumen promedio (Figura 1).

En la Figura 1 se observa que x representa el vector de posición localizado en el

centroide del volumen promedio, mientras que ky representa el vector de posición en

cualquier punto de la fase-k relativo al centroide. En la Ec. (1.1) yd indica que la

integración se lleva a cabo respecto a las componentes de ky , y la nomenclatura en la

Ec. (1.1) claramente indican que las cantidades promediadas en volumen están

asociadas con el centroide del volumen promedio. Para simplificar la notación en lo

posible, evitaremos usar la nomenclatura precisa:

kk

3k k xx

1d

y

, promedio superficial (2.2.2)

kk

3ik k xx

k

1d

y

, El promedio intrínseco (2.2.3)

kk

3mk k xx

m

1d

y

, El promedio de mezcla fluida (2.2.4)

Figura 1. Vectores de posición x , ky and kr asociados con el volumen promediado .

En el presente trabajo, estos promedios se usan en el desarrollo teórico, y la relación

entre los promedios previamente definidos son:



3m 3ik k k

x x (2.2.5)

3 3mk k

x x (2.2.6)

3 3k k k

x x

i (2.2.7)

Si k 1 , se obtiene directamente de las definiciones de promedio que

3m 3ik k1 1 (2.2.8)

3 3mk1 1 (2.2.9)

Como se mencionó previamente es un volumen constante, por lo tanto es invariante

en espacio y tiempo, descrito a través de un sistema inercial de referencia fijo, como se

ilustra en la Figura 1. En este caso el volumen de cada fase del flujo multifásico puede

cambiar con la posición y el tiempo, i.e., k(x,t) . Entonces, la fracción de volumen k

es una función de la posición y el tiempo, dependiendo del punto de muestreo localizado

por el vector de posición x .

2.3 Teoremas promedio

Cuando las ecuaciones locales e instantáneas se promedian sobre el volumen, se

obtiene el promedio de operadores diferenciales. Para intercambiar los operadores

diferenciales e integración en las ecuaciones de transporte promedio, dos teoremas son

necesarios. El primero de ellos es el teorema espacial (Anderson and Jackson, 1967,

Marle 1967, Slattery 1967, Whitaker, 1967, Howes and Whitaker, 1985)

kk

3 3k k k kx yx x A

1n dA

(2.3.1)

donde k es una cantidad asociada con la fase-k, kn es el vector normal unitario

dirigido desde la fase-k hacia la fase-f y kA es el área interfacial formada entre las

fases k y f contenidas en .

El segundo teorema integral es una forma especial de la regla de Leibniz conocida

también como teorema de transporte (Truesdell and Toupin, 1960; Whitaker, 1973;

Lahey and Drew, 1989):

kk

33 k

xkk k kx y

Ax

1W n dA

t t

(2.3.2)

donde kW es la velocidad interfacial ( k-f ) en la dirección normal. Los operadores

diferenciales de los dos teoremas se integran sobre el área interfacial, el cual puede

expresarse como:

k kw kfA =A +A (2.3.3)



Si k 1 (en general para cualquier constante), en las ecuaciones que definen los

teoremas, se obtienen los siguientes lemas:

k

k kA

1n dA

(2.3.4)

k

kk k

A

1W n dA

t

(2.3.5)

Estos lemas son cruciales en la derivación matemática de las ecuaciones de transporte

promedio. No está por demás decir que k debe ser continua dentro de la fase-k.

Es importante hacer notar que los lemas no están restringidos a la desigualdad dada por

la Ec. (1.1). Howes y Whitaker (1985) estudiaron el efecto del tamaño del volumen

promedio sobre la fracción volumen. Estos autores encontraron que la fracción volumen

es esencialmente constante para valores de iguales o mayores que 4d. La

interpretación de este resultado indica que sólo aplica a regiones homogéneas del

sistema de flujo multifásico. La imposición de la restricción de escala de longitud dada

por la Ec. (1.1) garantiza buen comportamiento de las variables promediadas, en este

sentido el teorema es una aproximación de acuerdo con Howes y Whitaker (1985).

A fin de eliminar la variable local o puntual k en el teorema del promedio especial

dado por la Ec. (2.3.1) aplicamos la descomposición especial dada por Gray (1975), i.e.,

3k k k

i :

kk k

3 3 3ik k k k k kx yx x x yA A

1 1n dA n dA

(2.3.6)

En las regiones homogéneas del sistema multifásico, la restricción de escala de longitud

dada por la Ec. (1.1) usualmente se satisface. Esta restricción de escala de longitud

permite que:

k

3i 3i 3ik k k

x+y x (2.3.7)

Con esta aproximación el lado derecho de la Ec. (2.3.1) se puede escribir como:

kk k

3i 3i 3ik k k k k k

x yA A

1 1n dA n dA

(2.3.8)

En general, los términos promedio evaluados en el centroide actúan como constantes y

pueden salir de las integrales. Ahora, sustituyendo la Ec. (2.3.8) en la Ec. (2.3.6),

proporciona el siguiente resultado:

k

3 3k k k kx yx x A

1n dAi

k

, d << << L (2.3.9)

Aplicando un procedimiento similar respecto al teorema espacial, el teorema dado por la

Ec. (2.3.2) se puede expresar de la siguiente forma:



kk

33 k

xkk k k kx y

Ax

1W n dA

i

t t

, d << << L (2.3.10)

donde

k

3i 3ikk k k k

A

1W n dA

t

(2.3.11)

En esta ecuación se aplicó el lema dado por la Ec. (2.3.5).

Para eliminar la restricción de escala de longitud ampliamente mencionada, i.e., para

considerar que sea del orden de d, es necesario extender los teoremas dados por las

Ecs. (2.3.1) and (2.3.2), lo cual es objetivo de la siguiente sección.



3. RELACIONES PROMEDIO NO-LOCALES

3.1 Teoremas de promedio no-local

En la descomposición espacial (Gray, 1975) 3i

k k k (donde k es la

desviación espacial alrededor del valor promedio 3i

k de una variable puntual k ),

representa una descomposición de escalas de longitud, i.e., el promedio 3i

k sufre

cambios significativos sobre escalas de longitud grandes del orden de L , mientras k

es dominada por escalas de longitud pequeñas del orden de kd .

Regresando a la Ec. (2.3.6), claramente indica que es un teorema promedio espacial no

local puesto que la variable 3i

k es evaluada en un punto diferente del centroide. En

este contexto, usamos el término no local en el sentido que no involucra el uso de

restricciones de escala de longitud para derivar las ecuaciones de transporte promedio.

El análisis de fenómenos no locales es extremadamente complicado y un desafío

importante (Whitaker, 1999). Problemas no locales han sido estudiados por varios

autores, tales como: Cushman (1983), Quintard y Whitaker (1990), Goyeau et al.

(1997), Valencia-López et al. (2003), entre otros más recientes (Espinosa-Paredes

2006; 2007; Espinosa-paredes et al., 2007). Algunos de estos trabajos apuntan en la

dirección de obtener condiciones de salto entre dos regiones topológicamente bien

definidas, entre un medio homogéneo y un heterogéneo, cuya aplicación es muy amplia

y para ejemplificar podemos citar el típico problema entre la frontera de un medio

fracturado en sistemas geoenergéticos.

Es importante diferenciar entre promedio en volumen local como originalmente fue

establecido (Andersen y Jackson, 1967; Marle, 1967; Slattery, 1967; Whitaker, 1967) y

el promedio en volumen no-local:

Tanto el promedio en volumen local y no-local incorporan las condiciones de

frontera interfaciales en las ecuaciones promedio.

En el promedio en volumen local, la cantidad promediada se evalúa en el

centroide del volumen promediante.

En el promedio en volumen no-local, la cantidad promediada se evalúa en otro

punto diferente al centroide del volumen promediante.

Regresando a la primera integral del lado derecho de la Ec. (2.3.6), la cual se puede

expresar en términos de contribuciones locales y no-locales:

kk k k

3i 3i 3ik k k NL k k k

x y xA A A

1 1 1n dA n dA n dA

(3.1.1)

donde las siguientes definiciones fueron aplicadas para evitar imponer restricciones de

escala de longitud

k

3i 3i 3ik NL k k

x y x

(3.1.2)

con la idea que



3ik NL 0 , << L (3.1.3)

En el Apéndice A se presenta la demostración y validación de la Ec. (3.1.1.) y su

relación con la Ec. (3.1.2), dicha relación representa uno de los principales resultados

de este trabajo. La interpretación física de la Ec. (3.1.3) indica que la contribución no-

local es cero en la región homogénea, i.e., aquella porción del flujo multifásico que no

es influenciada por cambios rápidos en la topología de las fases, la cual ocurre

usualmente en la región frontera entre dos regiones diferentes.

Ahora, sustituyendo la Ec. (3.1.1) en la Ec. (2.3.6) se obtiene:

k

k k

3 3 3ik k k NL k

x x A

3ik k k kx yxA A

1n dA

1 1n dA n dA

(3.1.4)

Se puede observar que el tercer término del lado derecho está dado por

k

3i 3ik k k k

xA

1n dA

(3.1.5)

Entonces, la Ec. (3.1.4) se puede expresar como:

k k

3 3 3ik k k k NL k k kx yx x A A

1 1n dA n dAi

(3.1.6)

Siguiendo el mismo procedimiento el teorema de transporte (Ec. 2.3.10) se puede

escribir como:

kk k

33 k

x 3ikk k NL k kk k k kx y

A Ax

1 1W n dA W n dA

i

t t

(3.1.7)

donde se aplicó el lema dado por la Ec. (2.3.11)

Estas formas de teoremas de integrales (Ecs. 3.1.6 and 3.1.7) se aplican en el presente

trabajo para obtener ecuaciones promedio sin restricciones de escala de longitud.

En la Tabla 1 se presentan la comparación de los teoremas de integrales con y sin

restricciones de escala de longitud. Se puede observar en esta tabla que los teoremas

promedio no-locales no incluyen restricciones de escala de longitud y contienen

términos no-locales, tales como 3i

k NL en los términos de las integrales.

Estas ideas relacionadas con el volumen promedio no-local se pueden aplicar para

derivar las ecuaciones de transporte promedio y obtener expresiones manipulables.

Específicamente, además de las consecuencias de los teoremas promedio tratadas

previamente, se pueden utilizar para derivar términos que involucran promedio tales

como: 3i

k k and 3 3

k ki i y obtener términos manejables representativos del

sistema multifásico.



Tabla 1. Comparación entre las relaciones del tipo no-local y local para la variable k

*Teoremas promedio no-local Teorema promedio local ( d << << L )

Teorema Espacial

k

k

3 3k k k

x x

3ik NL k

A

k kx yA

1n dA

1n dA

i

k

3 3k k k

x x

k kx yA

1n dA

i

Teorema de transporte

k

kk

33 k

xkk

x

3ik NL k kk

A

k k kx yA

1W n dA

1W n dA

i

t t

kk

33 k

xkk

x

k k kx yA

1W n dA

i

t t

Término no-local

k

3i 3i 3ik NL k k

x y x

3i

k NL 0

*sin restricciones de escala de longitud

3.2 Promedio volumétrico del producto de dos variables locales k k

El volumen promedio del producto de dos variables locales en forma explícita es:

kk

3k k k k x+yx

1( ) d

(3.2.1)

Sustituyendo las Ecs. (1.6) y (1.7) produce:

k k k kk

3 3 3k k k k k kx+y x+y x+y x+yx

1( )( )i i d

k kk k

3 3 3k k k

x+y x+y

1 1i i ikd d

(3.2.2)

k kk k

3k k k kx+y x+y

1 1i d d

Este resultado se puede expresar como sigue:



k k

kk

3 3 3 3 3 3k k k k k k

x x+y x+yx x

3 3 3k k k k x+yx+y xx

( ) ( )

( ) ( )

i i i

i

(3.2.3)

Usando la notación del operador promedio definido por la Ec. (2.2.1), podemos expresar

el resultado anterior como:

3 3 3 3 3 3 3 3 3k k k k k k k k k kxx x x x

i i i i (3.2.4)

Es importante hacer notar en este punto de la derivación matemática que no se han

impuesto restricciones de escala de longitud. Siguiendo el trabajo de Carbonell y

Whitaker (1984), despreciamos las variaciones de las cantidades promedio dentro del

volumen promediante, así que la ecuación toma la siguiente forma:

3 3 3 3 3 3 3 3 3k k k k k k k k k k

x1i i i i (3.2.5)

Remover las cantidades promedio de las integrales de volumen es consistente con la

restricción de escala de longitud dada por la Ec. (1.1), y si tomamos la simplificación

dada por las Ecs. (1.8) y (1.9), el resultado anterior se simplifica a:

3 3 3 3k k k k k k k

x x

i i , d << << L (3.2.6)

Para evitar restricciones de escala de longitud, la Ec. (3.2.4) se puede expresar como:

3 3 3 3k k k k NL k k k k k

x x

i i (3.2.7)

Aquí, identificamos a k k NL como un término no-local, puesto que involucra

indirectamente valores de 3

ki y

3k

i que no son asociados con el centroide del

volumen promedio ilustrado en la Figura 1. La contribución no-local de la Ec. (3.2.7)

está dada por

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3k k NL k k k k k k k k kxx x

3.2.8i i i i i i

Se puede observar que en la región homogénea

k k NL 0 , cuando << L (3.2.9)

y el resultado clásico (Ec. 3.2.6) se recupera. Es importante remarcar que la

interpretación física indica que la contribución no-local es despreciable en la región

homogénea, i.e., aquella porción del flujo multifásico que no está influenciado por

grandes cambios en la estructura topológica como ocurre en la región frontera. Por lo

tanto el término no-local establecido por la Ec. (3.2.8) es importante en la región

frontera donde las restricciones de escala de longitud no son válidas, como se mencionó

anteriormente.

3.3 Teorema espacial para el producto de dos variables locales k k



Con las ideas desarrolladas previamente se puede obtener una forma especial del

teorema especial para el producto de dos variables locales. El punto de partida es la

aplicación directa de dicho teorema espacial en su forma clásica

kk

3 3k k k k k k kx yx x A

1n dA

(3.3.1)

El término del lado derecho se puede expresar como:

3 3 3 3 3k k k k NL k k k k k

x x( )i i (3.3.2)

Para obtener este resultado se aplicó la Ec. (3.2.7). A continuación, el término de la

integral se desarrolla aplicando las desviaciones espaciales definidas por las Ecs. (1.6) y

(1.7):

k k kk k k

3 3 3k k k k k k k k kx y x y x yA A A

1 1 1n dA ( ) n dA ( ) n dAi i i

kkk k

3k k k k k kx yx yA A

1 1( ) n dA ( ) n dAi

(3.3.3)

Ahora, aplicamos la definición de la variable promedio no-local dada por la Ec. (3.1.2):

kk k k

3 3 3 3k k k k NL k NL k k k kx y xA A A x

1 1 1n dA n dA n dAi i i i

k kk k

3 3k k NL k k k kx y x y xA A

1 1n dA n dAi i

(3.3.4)

k k kk k k

3 3k k NL k k k k k k kx y x y x yxA A A

1 1 1n dA n dA ( ) n dAi i

Se puede observer que

k

3 3 3 3k k k k k k

xA x

1n dAi i i i

(3.3.5)

Entonces,

k

k k

k kk k

k kk k

kk

3 3 3 3k k k k NL k NL k k k kx y

A A



k k kx yA

1 1n dA n dA

1 1n dA n dA

1 1n dA n dA

1( ) n dA

i i i i

i i

i i

(3.3.6)

Finalmente, sustituyendo las Ecs. (3.3.2) y (3.3.6) en la Ec. (3.3.1), obtenemos el

siguiente resultado:



kk k

3 3 3 3 3k k k k NL k k k k k

x x

3i 3ik k k k k kx y

A ANL D

( )

1 1( )n dA ( ) n dA

i i

dispertionnon local

(3.3.7)

donde

k k

k kk k

3i 3i 3 3k k k k NL k NL k

A ANL

3 3k k NL k k k NL kx y x y

A A

1 1( )n dA n dA

1 1n dA n dA

i i

i i

(3.3.8)

k kk k

k kk k

3k k k k k kx y x y xA A

D

3k k k k k kx y x yxA A

1 1( ) n dA n dA

1 1n dA ( ) n dA

i

i

(3.3.9)

También se aplico la siguiente expansión del operador diferencia relacionada con el

producto de varias variables 3 3

k k k( )i i 3 3

k k ki i

3 3k k k( )i i

.

3.4 Teorema de transporte para el producto de dos variables locales k k

El punto de partida es el teorema de transporte dado por la Ec. (2.3.2), pero usando

k k en lugar de k , i.e.

kk

33

xk kx y

Ax

1W n dA

k kk k

k kt t

(3.4.1)

Sustituyendo la Ec. (3.2.7) en el primer término del lado derecho de esta ecuación

3 33 3 3 k k

x xk k NL k k k( )i ik k

t t t t

(3.4.2)

El segundo término puede ser obtenido usando el resultado dado por la Ec. (3.3.4),

sustituyendo k

k k kx yn

por

kk k k kx y

W n

:



kk k

k kk k

k kk k

3 3 3 3ikk k k k k NL k NL k k k kx y x xA A

3 3k k NL k k k k k kx y x y xA A

3 3k k NL k k k k k kx y x y xA A

k

1 1W n dA W n dA

1 1W n dA W n dA 3.4.3

1 1W n dA W n dA

1(

i i i

i i

i i

t

kk

k k kx yA

) W n dA

donde

k

3 3i 3 3ikk k k k k k

x x x xA

1W n dAi i

t

(3.4.4)

Ahora, sustituyendo las Ecs. (3.4.2) y (3.4.3) en la Ec. (3.4.1) finalmente se obtiene:

33 3 3 3 k k

xk k k k k k NLk

x

( )i i

t t t t

(3.4.5)

kk k

3i 3ik k k k k k k kx y

A ANL D

1 1( )W n dA ( ) W n dA

dispertionnon local

donde

k k

k kk k

3i 3i 3 3k k k k k NL k NL k k

A ANL

3 3k k NL k k k k NL k kx y x y

A A

1 1( )W n dA ( )W n dA

1 1( )W n dA ( )W n dA

i i

i i

(3.4.6)

k kk k

k kk k

3k k k k k k k kx y x y xA A

D

3k k k k k k k kx y x yxA A

1 1( ) W n dA ( )W n dA

1 1( )W n dA ( ) W n dA

i

i

(3.4.7)

En la Tabla 2 se presenta una compilación de los principales resultados derivados en

este trabajo para el caso del producto de dos variables locales ( k k ). También en esta

tabla se presenta la comparación entre las dos aproximaciónes: con y sin restricciones

de escala de longitud. Las relaciones promedio no-locales, en general contienen el

término k k NL definido por la Ec. (3.2.8), de este modo si las condiciones estipulan

en la Ec. (1.1) son satisfechas, el término no-local es despreciable y se recupera el

resultado clásico.



Tabla 2. Comparación entre las relaciones del tipo no-local y local para el producto de

dos variables k k

Promedio no-local Promedio local ( d << << L )

Relaciones del producto

3k k k k NL

x

3 3 3k k k k k

x

i i

Teoremas espacial

3 3 3k k k k k

x

3k k

x

i i

k

kk

3 3k k k k NL

x

3 3 3k k k k k

x

3i 3ik k k

ANL

k k kx yA

D

( )

1( )n dA

1( ) n dA

i i

Teorema de transporte

kk

3 3 3k k k k k

x

3k k

x

k k kx yA

( )

1( ) n dA

i i

k

kk

3 3 3k k k k

k

x

33 k k

xk k NL

3i 3ik k k k

ANL

k k k kx yA

D

( )

1( )W n dA

1( ) W n dA

i i

t t

t t

Términos no-locales

kk

3 3 3k k k k

k

x

3k k

x

k k k kx yA

( )

1( ) W n dA

i i

t t

t

3 3 3 3 3 3k k NL k k k k

x x

3 3 3 3k k k k kx

i i i

i i i

3k k NL 0

*sin restricciones de escala de longitud

3.5 Relaciones no locales para el producto de tres variables locales k k k

En el presente trabajo se aplica el producto de tres variables locales (Sección 4), no

obstante no se presenta la derivación, para el interés del lector puede consultar el

trabajo de Espinosa-Paredes (2010).



4. ECUACIÓN DE TRANSPORTE PROMEDIO NO-LOCAL

Se presenta el uso de los resultados matemáticos derivados en las secciones anteriores,

específicamente se presentan dos análisis. En el primer análisis se propone un novedoso

conjunto de ecuaciones de transporte promedio no-local para aplicaciones de problemas

de interés científico y tecnológico, que permitirán estudiar el comportamiento de

sistemas altamente no-homogéneos. El segundo análisis se desarrolla en el campo de

los reactores nucleares Generación III+ de convección natural del tipo BWR, y se

muestran las diferencias entre la aproximación local y no-local de los resultados

obtenidos de simulaciones dinámicas y en estado estacionario del comportamiento del

núcleo del reactor (Sección 5).

4.1 Ecuaciones puntuales

El punto de partida para la derivación de las ecuaciones promedio no-local de

conservación son las ecuaciones puntuales de conservación. Para ilustrar la aplicación

de los teoremas no-locales y definiciones relacionadas, consideramos la ecuación

general de balance para alguna propiedad en la fase-k (Lahey and Drew, 1989).

k kk k k k k

( )( )U D f

t

(4.1.1)

donde la cantidad de conservación (difusión de masa, energía y cantidad de

movimiento), kD es el flux molecular y f es el término fuente por unidad de volumen.

En la Tabla 3 se presenta el uso de las variables que aparecen en la ecuación de

conservación puntual, se puede observar que dependiendo de la selección de la cantidad

se puede cuantificar conservación de masa, energía y cantidad de movimiento de cada

una de las fases del flujo multifásico.

Tabla 3. Términos de conservación

Principio de

conservación k kD f

Masa 1 0 0

Cantidad de

movimiento kU k kp I kg

Energía k k k-p /e k k k kq -(p I ) U k k k kq /g U

*donde ke y kq son energía interna por unidad de masa y vector de flujo de calor por

unidad de área, respectivamente para la fase-k.

4.2 Ecuación general de balance promedio volumétrico no-local

El promedio volumétrico de la ecuación general de balance se puede expresar como:

33 3 3k k

k k k k k kx x x

x

( )U D f

t

(4.2.1)



El teorema de transporte no-local del producto de dos variables derivado en este trabajo

dado por la Ec., (3.4.5), se plica con k k para obtener el primer término del

operador diferencia dependiente en el tiempo:

kk k

33 3 3 3 k k

xk k k k k k NLk

x


A ANL D

( )

1 1W n dA ( ) W n dA

i i

t t t t

(4.2.2)

Los términos no-locales de esta ecuación se presentan en el Apéndice B. Se aplica en el

segundo término del lado izquierdo de la Ec. (4.2.1) el teorema especial para el

producto de tres variables dado por Espinosas-Paredes (2010):

k

k k

3 3 3i 3i 3 3k k k k k k k k k k NL k k k D

x

3i 3i 3ik k k k k k k kx y

A ANL D

( )

1 1( ) n dA ( ) n dA 4.2.3

iU U U U

U U

donde el término de dispersión está dado por

3 3 3 3 3k k k D k k k k k k

x x

3 3 3k k k k k k

x x

i i

i i

U U U

U U

(4.2.4)

Los términos no-locales de la Ec. (4.2.3) se presentan en el Apéndice B. El promedio del

término de difusivo de la Ec. (4.2.1) se deriva aplicando el teorema promedio no-local

dado por la Ec. (3.1.6) con k kD :

k k

3 3 3ik k k k NL k k kx yx x A A

1 1n dA n dAiD D D D

(4.2.5)

Los términos 3

k kx

f y 3

k kx

G se obtienen con la aplicación directa de la Ec.

(3.2.7)

3 3 3 3k k k k NL k k k k k

x x

i if f f f (4.2.6)

El término no-local se presenta en el Apéndice B.

Con la finalidad de simplificar las ecuaciones anteriores, se proponen las siguientes

representaciones:

3 3 3k k k k NL

k

( )i i

at t

, Acumulación no-local (4.2.7)

33 3 k k

xk kk

( )i i

at t

, Acumulación por dispersión (4.2.8)

Sustituyendo estas dos expresiones, la Ec. (4.2.2) toma la forma



kk k

3 3 3k k k k

k

x


A ANL D

( )( 1)

1 1W n dA ( ) W n dA

i i

a at t

(4.2.9)

donde a and a son parámetros adimensionales. El parámetro a es de naturaleza

no-local, mientras que el parámetro a aglutina los efectos de dispersión.

El flux difusivo (Ec. 4.2.5) se puede expresar como:

3 3k k k kNL k

xD D M +Mi

(4.2.10)

donde

k

3ikNL k NL k

A

1M n dAD

, Difusión interfacial no-local (4.2.11)

k

k k kx yA

1M n dAD

, Difusión interfacial por dispersión (4.2.12)

Finalmente, sustituyendo las Ecs. (4.2.6), (4.2.9) y (4.2.10) en la Ec. (4.2.1), se

obtiene la ecuación general de balance sin restricciones de escala de longitud, la cual

considera, además de los términos de dispersión , efectos no-locales.

3 33 3i 3ik k

k k k k k

3 3 3k k k NL k k k D k k

3 3k k k k k NL k k D kNL k kD kNL

( )( 1) ( )

M M M M

i ii

a a

i

i i

Ut

U U D

f f f

(4.2.13)

donde

3k k D k k

xf f (4.2.14)

kkk k

kD k k k k k k k kx yx yA A

D D

1 1M ( ) n dA ( ) W n dAU

(4.2.15)

k k

3i 3i 3i 3i 3ikNL k k k k k k k k

A ANL

1 1M ( ) n dA W n dAU

(4.2.16)

En este punto es importante recordar que la porción de kA está constituida por la

interface fluida kfA y por la interface sólido-fluido w kA . Entonces, kDM (y kNLM

)

consideran los fenómenos de transporte relacionados con la transferencia interfacial de

masa entre el fluido-fluido y fluido-sólido como caso general, i.e., k kfE wkEM M M

(con E=D, NL).



4.3 Discusión

Las ecuaciones promedio de balance clásicas (volumen promedio local) con la

aproximación de la imposición de escalas de longitud (Ec. 1.1), pueden evolucionar

partiendo de la ecuación general promedio no-local derivada previamente. Entonces,

cuando 0a , k k k NL 0U , k k NL 0f , kNLM 0 , and kNLM 0 en la

Ec. (4.2.13), se recuperan las ecuaciones promedio en volumen local:

3 33 3i 3ik k

k k k k k

3 3k k k D k k

3 3k k k k k D k kD

( )( 1) ( )

M M

i ii

a

i

i i

Ut

U D

f f

, d << << L (4.2.17)

Se puede observar que la estructura matemática de ambas aproximaciones (Ec. 4.2.13

vs Ec. 4.2.17) es similar considerando que ´s y ´s son parámetros. No obstante,

éstas tienen diferencias fundamentales, puesto que la Ec. (4.2.13) involucra,

indirectamente, valores de variables promedio que no están asociadas con el centroide

del volumen promediante (Figura 1); respecto a la Ec. (4.2.17) todos los valores de las

variables promedio están asociadas con el centroide del volumen promediante (Figura

1). La interpretación física indica que la Ec. (4.2.17) describe un flujo multifásico

homogéneo en el sistema heterogéneo. En este trabajo el término homogéneo se utiliza

para indicar que el sistema en el caso más general un medio poroso saturado de un

flujo multifásico tiene un comportamiento cercano a un sistema homogéneo (e.g., una

región de yacimiento petrolero sin fracturas, o un patrón de flujo cuya topología está

bien definida); por lo tanto para garantizar homogeneidad en el sistema en estudio, se

aplica la restricción de escala de longitud para hacer un escalamiento del seno del

medio poroso saturado con flujo multifásico. No obstante, la Ec. (4.2.13) no tiene

restricciones de escala de longitud y en principio puede describir regiones de un medio

poroso saturado con flujo multifásico donde ocurren cambios drásticos en el sistema

(e.g. porosidad o transición de un patrón de flujo a otro) y propiedades de transporte

(e.g., difusividad). En sistemas tales como reactores nucleares del tipo BWR donde la

topología de las fases sufre transiciones en la topología de las fases, las restricciones de

escala de longitud del tipo dado por la Ec. (1.1) o Ec. (1.3) físicamente no son realistas.

Como la estructura matemática con y sin restricciones de escala de longitud son

idénticas a las ecuaciones clásicas de conservación para describir el comportamiento de

flujo multifásico, los métodos comúnmente empleados para la solución numérica pueden

ser aplicados con la simplicidad o complejidad ya conocida.

Algunos ejemplos donde la ecuación general de balance no-local (Ec. 4.2.13) puede ser

aplicada donde existen cambios abruptos de k , en particular en la inter-región

donde ocurren las transiciones de patrones de flujo (con 1 ), e.g., flujo estratificado

o flujo anular con gotas o burbujas, y otras como la región frontera de sistema

multifásico, donde las restricciones de escala de longitud físicamente no se cumplen.

Como un ejemplo de las ecuaciones de conservación sin restricciones, se consideró

estudiar los efectos no-locales del comportamiento del núcleo de un reactor de



circulación natural del tipo BWR (CNBWR) durante estado estacionario y transitorio, y

los resultados se compararon con las ecuaciones clásicas del volumen promedio local,

este es el objetivo de la siguiente sección.



5. APLICACIÓN EN REACTORES DE CONVECCIÓN NATURAL DEL TIPO BWR

5.1 Caída de presión para flujo en dos fases altamente no homogéneo

El sistema bajo consideración es una tubería vertical, donde el flujo en dos fases exhibe

cambios drásticos en la fracción de vacíos. Por ejemplo, en una región de transición de

flujo en dos fases (en la región que divide una fase líquida con flujo en dos fases, se

producen cambios drásticos en la fracción de vacíos). En un artículo reciente, Morel

(2007) presenta un análisis detallado de diversos enfoques para aproximar el

comportamiento del flujo en dos fases para un sistema altamente no homogéneo y da

ejemplos donde este tipo de comportamiento puede ocurrir.

Para calcular la caída de presión se aplica la ecuación de conservación de cantidad de

movimiento promedio no-local en forma unidimensional, la cual es un caso especial de

la ecuación de conservación general derivada en la Sección 4. Entonces, la Ec. (4.2.13)

se convierte en forma unidimensional remplazando por znz

:

3 33 3i 3ik k

k k k kz k

3k k kz NL k k kz D k k k z

3 3k k k k k NL k k D NL zk NL zkD

( )( 1) ( 1) ( )

p I n

( 1)M (b 1)M

i ii

za za zb zb

i

i i

UU U

t z

U U U Uz z z

g g g a

(5.1)

donde zkNL NL zkM Ma and zkNL NL zkDM =b M ; NLa y NLb son parámetros

relacionados con los efectos no-locales, los cuales y por simplicidad son considerados

como parámetros de corrección de los términos locales. De acuerdo con la Tabla 3, kD

fue remplazo por k kp I , k por kU , y kf por kg . En este resultado kz k znU U , y

1 para tubería con flujo en dos fases, i.e., sin medio poroso.

Para la fase líquida la ecuación de conservación de cantidad de movimiento no-local, en

la dirección del fluido está dada por:

3 3 3k k NL k k Dpi i i

l l l l l l zg g gz z

3 33 3i 2( )

( 1) ( )i i

il lzlza lza l l l lz

UU

t z

(5.2)

2 2k kz NL k kz D NL NL z D( 1)M (b 1)Mzl lU U a

z z

donde 3 3

k zni ilzU U ,

3 3k z zn ni i

l , zn k zg g , zM n Mzl zl y

z D z z DM n Ml l .



Las desviaciones espaciales de la densidad son despreciables ( k ) cuando las

variaciones de la presión no son muy grandes, por lo tanto 3

l l

i . Entonces, los

siguientes términos de la Ec. (5.2) se reescriben como:

3il l z l l zg g (5.3)

k k NLg =0 (5.4)

k k D 0g (5.5)

3 3 3( ) ( )( 1) ( 1)l l

i i ilz lz

lza lza l lza l

U U

t t

(5.6)

3i 2 3i 2lz l lzU U (5.7)

2 3i 2k kz D l lzU U (5.8)

donde se usa para denotar la diferencia respeto a . El término 3i 2

l lzU es un tipo

de esfuerzos de Reynolds debido a la desviación especial de la velocidad del líquido

(Espinosa-Paredes, 2001; Espinosa-Paredes et al., 2002) (se obtiene de la Ec. 4.2.4,

haciendo k =0 y k lzU ). Los efectos de dispersión no-local en el campo gravitación

es nulo debido a que l es constante en el volumen promedio. No obstante, l puede

ser descrito a través de una ecuación de estado. El término 2

k kz NLU , puede se puede

expresar como

3i 2 3i 2NL NL( ) c

l llz lzU U (5.9)

donde NLc es un parámetro no-local.

Sustituyendo las Ecs. (5.3)-(5.9) en la Ec. (5.2) se obtiene:

33 3

3i 2 3i 2NL NL z D

( )p ( 1)

( ) ( 1) ( ) ( 1)M ( 1)Ml

ii i l lz

l l l l l l z lza l

l l lz lz zl NL l

Ug

z z t

U c U a bz z

(5.10)

La desviación especial interfacial está dada por Espinosa-Paredes (2001):

k

z k k kx yA

1M n (p I ) n dA p l

zl lg lg lwF Fz

(5.11)

donde plg es la presión interfacial, lgF es la fuerza de arrastre interfacial por unidad de

volumen actuando la fase líquida sobre la fase gas, lwF son los esfuerzos de pared por

unidad de volumen

El flux de cantidad de movimiento interfacial se puede expresar como (Lahey, 1992):

z DM l lg lU (5.12)



donde l es el flujo másico interfacial por unidad de volumen y lgU es la velocidad

interfacial.

Para simplificar aún más la Ec. (5.10), se puede aplicar la demostración dada por

Espinosa Paredes (2001):

k

3z k kx y

A

1n n dA i

lz

(5.13)

Ahora, sustituyendo las Ecs. (C.11)-(C.13) en la Ec. (C.10) y agrupando términos:

3 3NL NL

33i 2 3i 2

NL NL

( p ) p ( 1)p ( 1)( ) 5.14

( )( 1) ( ) (c 1) ( ) (b 1)

l

i i ll l l lg lg lw l l z

il lz

lza l l l lz lz lg l

a a F F gz z

UU U U

t z z

donde

3 3 3NL NL( p ) p ( 1)p p ( 1)pi i il l

l l l lg l l lga az z z z

(5.15)

Las relaciones de cerradura para lgF , lwF ,3i 2

l lzU y lgU son reportadas en la

literatura:

2r

1

8lg lg l DF A C U ( Ishii and Mishima, 1984) (5.16)

3i 3i 2 2[ ]8

flw l l lz g g gz lo

x s l

P fF U U

A

(Lahey and Drew, 1993) (5.17)

3i 2 2rl llz gU k U (Espinosa-Paredes, 2001) (5.18)

3i 3i(1 )lg m lz m gzU U U , 0 1m (Lahey and Moody, 1993) (5.19)

donde lgA es el área interfacial por unidad de volumen, 3i 3i

r gz lzU U U , DC es el

coeficiente de arrastre (Harmathy, 1960), 2lo es un factor de multiplicación empírico

(Lahey and Moody, 1993), y 1/5k (Espinosa-Paredes, 2001).

En forma similar, la Ec. (4.2.13) se aplica para la fase gas

3 3NL

33i 2

NL

( p ) p ( 1)p (e 1)

( )( 1) ( ) (f 1)

gi ig g g NL gl gl g g z

ig gz

gza g g g gz gl g

d F gz z

UU U

t z

(5.20)

Consideramos que la fase gas no interactúa con la fase pared de la tubería ( 0gwF ), y

que los esfuerzos de Reynolds son despreciables en la fase gas 3i 2 0g gzU

(Espinosa-Paredes, 2001). Además, debido a que no existen efectos de acumulación en



la interface gl lgF F , gl lgU U y g l . Las Ecs. (5.14) y (5.20) se suman para

producir una ecuación de cantidad de movimiento de mezcla con efectos non-locales:

3 3NL NL NL NL

3 33

NL

3i 2 3i 2 3i 2NL

[ p p (d 1)p ( 1)p ] ( e )

( ) ( )( 1) ( 1) ( 1) 5.21

( ) ( ) (c 1) ( ) (b

l

l l

gi ig l gl lg lg

i ilz g gz

lw z lza l gza g

l lz l g gz l lz

p a a Fz z

U Ua F g

t t

U U Uz z z

NL NLf ) gl gU

donde

3 3p pi il l g gp (5.22)

3l l g g (5.23)

Las siguientes dos relaciones (Espinosa-Paredes, 2001) se aplican para simplificar el

segundo término del lado izquierdo de la Ec. (5.21)

p =plg gl H (5.24)

3 2p pilg l l rU (5.25)

donde es la tensión superficial, H es la curvatura media de la interface, 1/4

para flujo invisido y 9 /32 para bajos numéros de Reynolds (Lahey, 1992).

Entonces, aplicando estas relaciones, el Segundo término del lado izquierdo de la Ec.

(5.21) toma la siguiente forma:

3 3NL NL[ p p (d 1)p ( 1)p ] =

g gi ig l gl lga p

z z

(5.26)

donde

3 3 2NL NL NL NL NLp [1 ( d )] p ( d ) (d 1)i i

g l l rp a a U H (5.27)

Sustituyendo la Ec. (5.26) en la Ec. (5.21), se obtiene:

3NL NL NL

3 33i 2

3i 2 3i 2NL NL NL

( e ) ( 1)

( ) ( )( 1) ( 1) ( )

( ) (c 1) ( ) (b f )

l

l

l l

glg lw z

i ilz g gz

lza l gza g l lz

l gz l lz gl g

p p a F a F gz z

U UU

t t z

U U Uz z

(5.28)

El primer y segundo término del lado derecho de esta ecuación se puede escribir como:



3 3( ) ( )( 1) ( 1)l

i ilz g gz

lza l gza g

U U

t t

3 3

3 3

[( 1)( ) ( 1)( )]

[( 1) ( 1) ]

l

l

i ilza l lz gza g g gz

gi ilza lz gza g gz

U Ut

U Ut

(5.29)

Es importante notar que gza no es función del tiempo. El flujo másico por unidad de

área (G) es un parámetro que frecuentemente se usa para análisis de sistemas de flujo.

Entonces, las ecuaciones anteriores pueden escribirse como:

3 3( ) ( )( 1) ( 1)

G G( 1) ( 1)

l

i ilz g gz

lza l gza g

gza za

U U

t t

t t

(5.30)

Para obtener este resultado se consideró que lza y gza son iguales a za , y también

las siguientes definiciones fueron introducidas:

3 G(1 )lz

i

l l

xU

(5.31)

3 Gigz

g g

xU

(5.32)

1 (1 )

l g

x x

(5.33)

Aplicando la misma idea, el tercero y cuarto término del lado derecho de la Ec. (5.28),

están dados por:

2 23i 2 3i 2 G G

( ) ( )l

gl lz g g gzU U

z z z z

(5.34)

donde

2 21 (1 )

l l g g

x x

(5.35)

2 2

2 2

1 (1 )

l l g g

x x

(5.36)

El parámetro a veces se le denomina densidad de movimiento (Lahey and Moody,

1992). Sustituyendo las Ecs. (5.30) y (5.34) en la Ec. (5.28), se obtiene:

3NL NL NL( e ) ( 1)

glg lw zp p a F a F g

z z



2 2G G G G( 1) ( 1)

g gza za

t t z z

(5.37)

3i 2NL NL NL(c 1) ( ) (b f )

ll lz gl gU Uz

De acuerdo con prácticas estándares (Lahey and Moody, 1993), se considera como

Buena aproximación que la tensión superficial es despreciable, y la presión en cada fase

se considera igual: 3 3p p pi il gp , lo cual implica que 0p . Entonces, la

ecuación se simplica a:

3NL NL NL

2 23i 2

NL NL NL

p G G( e ) ( 1) ( 1) ( 1)

G G(c 1) ( ) (b f )

l

glg lw z za za

gl lz gl g

a F a F gz t t

U Uz z z

(5.38)

De acuerdo con esta ecuación, el término transitorio tiene un término de corrección

debido a efectos no-locales ( 1)za , donde el parámetro de corrección es 0za . Los

parámetros: NLa , NLb , NLc , NLe y NLf son pequeños comparados con 1, los cuales se

consideran parámetros de corrección. Las relaciones de cerradura para calcular lgF , lwF

y 3i 2

l lzU son dados por ejemplo por las Ecs. (5.16)-(5.18). Especialmente, el término

/g z en la Ec. (5.38) es crucial, cuando el flujo en dos fases experimenta cambios

drásticos en la fracción de vacíos. El modelo clásico (Ec. 5.248 del trabajo de Lahey y

Moody, 1993), no contiene los términos: NL NL( e ) lga F , /g t , /g z ,

3i 2NL(c 1) ( ) /

l lzU z , and NL NL(b f ) gl gU .

5.2 Implementación

Con el fin de analizar los efectos de los parámetros no-locales o de corrección ( NLa ,

bNL , NLc , NLe y za ) en condiciones de estado estacionario y comportamiento

transitorio, la ecuación de conservación de cantidad de movimiento basada en el

promedio no-local dada por la Ec. (5.38) fue implementada en un código numérico

desarrollado en casa (Espinosa-Paredes y Nuñez-Carrera, 2008) para simular un reactor

nuclear de circulación natural del tipo BWR (CNBWR). Este código numérico incluye los

modelos dinámicos del domo de la vasija, región anular de la vasija, lazos de

recirculación natural (LRN), procesos neutrónicos (modelo puntual de la cinética

neutrónica con seis precursores de neutrones retardados), distribución de temperaturas

en el combustible, el núcleo, plenos inferior y superior (chimenea) y controles de

presión y nivel. El modelo termohudráulico consiste de un conjunto de cinco ecuaciones,

de no equilibrio termodinámico y flujo no-homogéneo (en el sentido que las velocidades

de las fases son relativas entre ellas) con aproximación de flujos relatives (Zuber y

Findlay, 1965) para el análisis de separación de fases.



El modelo de CNBWR del código numérico se considera en este análisis para evaluar el

efecto que tienen los parámetros de corrección (relacionados efectos no-locales) en el

desempeño del reactor de circulación natural. El modelo de circulación natural incluye

las caídas de presión y flujos de la región anular del núcleo, penos inferior y superior

(chimenea), núcleo del reactor y separadores de vapor. Las trayectorias de flujos de los

LRN se ilustran en la Figura 5.1.

Figura 5.1. Configuración y trayectoria de flujos en el CNBWR (Espinosa-Paredes y

Nuñez-Carrera, 2008).

En la Figura 5.2 se presenta un diagrama esquemático en el dominio computacional del

reactor de CNBWR, donde se observan las celdas o nodos considerados en este modelo

numérico. La vasija del reactor se dividió en cinco zonas. Dos de estas zonas

corresponde al domo de la vasija, envolvente del núcleo (“downcomer”), las otras zonas

corresponden a los plenos y separadores de vapor y el núcleo del reactor.



Figura 5.2. Arreglo de celdas en el modelo computacional del CNBWR (Espinosa-

Paredes y Nuñez-Carrera, 2008).

5.3 Simulaciones

Los valores nominales usados en las simulaciones numéricas se presentan en la Tabla

5.1, que corresponden a las características de diseño de un reactor simplificado de agua

en ebullición (SBWR por sus siglas en inglés).

Tabla 5.1 Valores nominales del SBWR

Parámetro *Valor

Potencia

Flujo en el núcleo Presión

Flujo de vapor

Temperatura de agua de alimentación

Longitud del combustible

1800 MWt

6666 kg/s 7.07Mpa

1100 kg/s

488 K

2.74 m

*Espinosa-Paredes y Nuñez-Carrera (2008).

Definición de los parámetros para el análisis del reactor SBWR usado en este estudio:

N0

, Parámetro normalizado (5.39)

N 100 , Parámetro en porciento (5.40)

3 31i ik k dV

, Parámetro promedio en el núcleo (5.41)

donde 0 es el valor nominal al 100% de potencia (e.g., 0P =1800 MWt para la

potencia térmica).

5.3.1 Comportamiento en estado estacionario

Se analiza el comportamiento del SBWR con el estudio de los siguientes términos:

a) NL( 1) lwa F ; b)

2gG

z

; c)

3i 2

NL

( )(c 1) l lzU

z

;

d) NL NL(b f ) gl gU ;e) NL NL( e ) lga F

a) Efecto de NL( 1) lwa F sobre el comportamiento del SBWR

En la Tabla 5.2 se presentan los resultados del comportamiento del núcleo para tres

casos: NL 0.1a , NL 0.2a y NL 0.3a . En esta tabla se presentan la comparación de

resultados para NL 0.1a , NL 0.2a and NL 0.3a respecto al modelo clásico, i.e.,

NL 0a . El flujo másico en el núcleo ( coreW ), la potencia neutrónica ( NP ), flyjo de

vapour ( msW ) y temperature del combustible ( 3fT ) decresen con el incrementar



en el valor de NLa , mientras que la fracción de vacío ( g ) presenta un

comportamiento a la inversa. De acuerdo con estos resultados el parámetro de

corrección NLa es importante en el diseño de los reactores CNBWR.

Tabla 5.2 Efecto no-local debido a los esfuerzos de paredes, lwF .

NLa

(parámetro no-local)

coreW

(%)

NP

(%)

msW

(%)

g

(%)

3fT

(%)

**0.0 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 0.1 99.3421 99.4467 99.5010 100.0399 99.8101

0.2 98.6870 98.6210 99.1352 100.0797 99.6902

0.3 98.0635 97.9680 98.5560 100.1595 99.4504

*donde coreW es el flujo en el núcleo, NP potencia neutrónica, msW flujo de vapor,

g fracción de vacío, fT temperatura de combustible; **Modelo promedio clásico

que cumple la restricción, d << << L .

b) Efecto de

2G g

z

sobre el comportamiento del SBWR

En este estudio la aproximación numérica del operador diferencia está dado por:

1( ) ( )g g i g i

iz z

(5.42)

donde i representa el número de celda (Figura 5.2).

En la Tabla 5.3 se presentan los resultados entre el modelo clásico y el modelo

promedio no-local o con gradiente de la fracción de vacíos. Esta tabla muestra que el

gradiente de la fracción de vacíos tiene una influencia importante en el desempeño del

núcleo del reactor. Especialmente, se puede observar que el flujo másico en el núcleo,

potencia neutrónica, flujo de vapor y temperatura del combustible decrecen a

95.7143%, 96.2924%, 96.9227% y 98.8317%, respectivamente y la fracción volumen

en el núcleo incrementa hasta 0.237%.

Tabla 5.3 Efecto no-local debido a /g z .

*

2G g

z

coreW

(%)

NP

(%)

msW

(%)

g

(%)

fT

(%)

*Sin 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 *Con 95.7143 96.2924 96.9227 100.2370 98.8317

*Se refiere a los resultados obtenidos con y sin el término /g z

c) Efecto de

3i 2

NL

( )(c 1) l lzU

z

sobre el comportamiento del SBWR

Cuando la Ec. (5.18) se usa en el término del esfuerzos de Reynolds, se obtiene:



3i 2 2rr r( ) 2

l

glz l g l

UU k U k U

z z z

(5.43)

Donde la velocidad relativo está dada por

3i 3ir gz lzU U U (5.44)

Los resultados obtenidos se presentan en la Tabla 5.4 para los casos: NLc 0 ,

NLc 0.1 , NLc 0.2 y NLc 0.3 . En esta tabla se puede observar que el efecto de los

esfuerzos de Reynolds sobre el comportamiento del núcleo son menores respecto a los

dos resultados anteriores (Tablas 5.2 and 5.3).

Tabla 5.4. Efecto no-local debido a los Esfuerzos de Reynolds

NLc

(parámetro

no-local)

coreW

(%)

NP

(%)

msW

(%)

g

(%)

fT

(%)

0.0 100.9198 100.6956 100.7325 99.9255 100.2821

0.1 101.0133 100.6956 100.8068 99.9172 100.3103

0.2 101.1068 100.8957 100.8789 99.9089 100.3377

0.3 101.1999 101.0041 100.9519 99.9007 100.3646

d) Efecto de NL NL(b f ) gl gU sobre el comportamiento del SBWR

Los efectos de NL NL(b f ) gl gU en el comportamiento del núcleo son muy pequeños

debido a que la diferencia entre los dos parámetros de corrección son pequeños, i.e.,

NL NLb f (Tabla 5.5), así que para valores de NL NLb f =0.1, las diferencias son

marginales y el transporte de cantidad de movimiento debido a trasferencia de masa

interfacial es despreciable en el comportamiento de SBWR.

e) Efecto de NL NL( e ) lga F sobre el comportamiento del SBWR

Para esta aplicación se encontró que el esfuerzo interfacial (fricción interfacial entre las

fases) es despreciable en el desempeño del SBWR.

Table 5.5. Efecto no-local debido al término NL NL(b f ) gl gU .

NL NLb f

(parametro

no-local)

coreW

(%)

NP

(%)

msW

(%)

g

(%)

fT

(%)

*0.0 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000

0.01 99.9981 99.9945 99.9922 99.9823 100.0083

0.02 99.9964 99.9943 99.9975 99.9823 100.0078

0.03 99.9931 99.9914 99.9959 99.9827 100.0069

0.1 99.9824 99.9945 99.9864 99.9833 100.0037

*Modelo clásico con restricciones de escala, .i.e., d << << L .



5.3.2 Comportamiento transitorio

Con el fin de analizar el efecto del parámetro de corrección za , durante

comportamiento transitorio, se optó por simular un scram del SBWR. La simulación del

transitorio scram del reactor se analiza para diferentes valores de za , específicamente

para 0za , 2za y 4za . El modelo clásico corresponde para 0za .

El operador diferencial respecto al tiempo de la fracción de vacíos (segundo término del

lado derecho de la Ec. (5.38), esta dado por

2

1 1g g g g

n g g

dm m d dp

t V dt dp dt

(5.45)

donde

ggin gout n g

dmW W V

dt (5.46)

Las Figuras 5.3.-5.8 muestran el comportamiento transitorio del SBWR durante un

scram, para valores del parámetro de corrección transitorio 0za , 2za y 4za .

Es importante notar que la formulación clásica no tiene el término dado por la Ec.

(5.45). El comportamiento del flujo másico es mayor para 4za (Figura 5.3) respecto

a 0za and 2za , indicando que la fracción de vacíos en el núcleo es menor

(Figura 5.4), y por lo tanto la resistencia hidráulica.

Figura 5.3. Comportamiento del flujo en el núcleo para 0za , 2za y 4za .

El comportamiento transitorio de la potencia neutrónica se presenta en la Figura 5.5. El

scram del reactor se introduce en 1s. No obstante, alrededor de 8s la potencia del

reactor experimenta un ligero incremento seguido de una disminución drástica. Este

comportamiento se debe a la presencia del término dado por la Ec. (5.45). La evolución

de la reactividad total se presenta en la Figura 5.6, donde alrededor de los 0.8s, la

reactividad es positiva, seguida de una disminución en aproximadamente 1.5s, siendo



menor para 4za . Después de 1.5s., la tendencia de la reactividad para 0za ,

2za and 4za es la misma.

El comportamiento transitorio de la temperatura del combustible se presenta en la

Figura 5.8, se puede observar que para 4za la temperatura es menor respecto a

0za y 2za . En la misma figura se puede observar que para 0za y 2za el

comportamiento transitorio es el mismo.

Se puede observar en la Figura 5.7, que el flujo de vapor decrece conforme decrece la

potencia, siendo menor esta disminución para 4za respecto a los obtenidos para

0za , 2za .

Figura 5.4. Comportamiento de la fracción de vacío para 0za , 2za y 4za .

Figura 5.5. Comportamiento de la potencia neutrónica 0za , 2za y 4za .



Figura 5.6. Reactividad total durante el SCRAM para 0za , 2za y 4za .

Figura 5.7. Comportamiento del flujo de vapor para 0za , 2za y 4za .

Figura 5.8. Comportamiento de la temperatura de combustible para 0za , 2za y

4za .



6. CONCLUSIONES

El objetivo de este trabajo fue proponer el marco teórico siguiendo la metodología

estándar para obtener una nueva formulación de las ecuaciones de conservación para

flujo multifásico sin restricciones de escala de longitud, basadas en las formas no-

locales del volumen promedio. Específicamente, expresamos el promedio volumétrico

del producto de variables dependientes en términos de productos de sus promedios y se

evalúo las integrales de transporte interfacial dependientes de los valores locales de las

variables dependientes en algún punto de la interface, sin restricciones de escala de

longitud.

En la Tabla 1 y 2 se presentan los resultados obtenidos para la variable no-local k , y

el producto de dos variables locales k k , respectivamente. Las representaciones para

el promedio no-local del producto de tres variables k k k están dadas por Espinosa-

Paredes (2010), el cual también presenta extensiones de los teoremas promedio.

De acuerdo al estado del arte, este trabajo representa una nueva contribución en el

modelado de flujos multifásicos, que a diferencia de trabajos previos (i.e., Slattery,

1967; Whitaker, 1967; Bear 1972; Gray 1975; Gray And O´Neill 1976; Delhaye, 1977;

Gray And Lee, 1977; Nigmatulin, 1979; Hassanizadeh & Gray, 1979; Banerjee y Chan,

1980; Delhaye, 1981; Espinosa-Paredes y Soria 1998; Espinosa- Paredes, 2001;

Espinosa-Paredes et al., 2002; Espinosa-Paredes Et Al., 2004b; Valdés-Parada y

Espinosa-Paredes, 2005; Espinosa-Paredes et al., 2005; Espinosa-Paredes, 2007; por

citar algunos, siendo el más representativo el de Sha y Chao, 2007 de los últimos años)

incluye en su formulación los efectos no-locales presentes en regiones frontera

(transiciones de sistemas heterogéneos).

Para ilustrar la aplicación de los resultados que derivaron en los teoremas no-locales y

definiciones relacionadas, se consideró la ecuación general de balance para alguna

propiedad en la fase-k, obteniendo como resultado la ecuación general de balance

promedio en volumen no-local (Ec. 4.2.13). Ejemplos de aplicación donde la la ecuación

general de balance no-local son donde se presentan cambios abruptos de k , en

particular transiciones de patrones de flujo, interfaces con flujo estratificado o flujo

anular con gotas y burbujas, respectivamente, y otros tales como en la región frontera

del sistema multifásico, donde la clásica restricción de escala de longitud (Ec. 1.1)

físicamente no se cumple.

Las ecuaciones de transporte promedio de masa, cantidad de movimiento y energía

para flujo multifásico sin restricciones de escala de longitud se pueden derivar con el

marco teórico propuesto en este trabajo.

Los resultados de las simulaciones (Sección 5) muestran que los efectos de los términos

no-locales tienen importantes repercusiones en el comportamiento de un reactor de

circulación natural del tipo BWR, tanto en condiciones de comportamiento en estado

estacionario como transitorio. La trascendencia de estos resultados indica que los

efectos no-locales son muy importantes para las etapas de diseño y análisis de este tipo

de reactores.



ANEXO A. DEMOSTRACIÓN Y VALIDACIÓN DE LA EC. (3.1.1)

A.1 Demonstración

La integral de área de k

3ik k

x yn

en la Ec. (2.3.6) se evalúa en la fase-k indicado

por le vector de posición yk, como se muestra en la Figura 1. Entonces,

kk

3ik k

x yA

1n dA

(A.1)

indica que es un término no-local puesto que la variable dependiente 3i

k se evalúa

en un punto diferente del centroide, x (Figura. 1). Para demostrar la Ec. (3.1.1),

debemos establecer primero la naturaleza la variable promedio

volumétrico:k

3ik

x y

. Esto se puede lograr aplicando una expansión en series de

Taylor próximo al centroide del volumen promediante:

k

3i 3i 3i 3ik k k k k k k

x y x x x

1y y y :

2

(A.2)

donde los término segundo y tercero del lado derecho corresponden fisicamente y

geométricamente a efectos no-locales. En este trabajo la siguiente definición fue

introducida (Ec. 3.1.2):

k

3i 3i 3ik NL k k

x y x

(A.3)

Introduciendo la Ec. (A.2) en la Ec. (A.3) se obtiene:

3i 3i 3ik NL k k k k k

x x

1= y y y :

2 (A.4)

Este resultado indica que la definición dada por la Ec. (A.3) es exacta, mostrando que

3ik NL consiste de término del tipo no-local. Ahora, procedemos a sustituir la Ec.

(A.2) en la Ec. (A.1), lo cual conduce a

kk k k

k

3i 3i 3ik k k k k k k

x y x xA A A

3ik k k k

xA

1 1 1n dA n dA y n dA

1 1y y : n dA

2

(A.5)

Finalmente, la sustitución de la Ec. (A.4) en este resultado proporciona la demostración

de la Ec. (3.1.1), i.e.:

kk k k

3i 3i 3ik k k NL k k k

x y xA A A

1 1 1n dA n dA n dA

(A.6)

A.2 Validación



El resultado representado por la Ec. (A.5) muestra que la variable promedio en volumen

3ik

x , es evaluada en el centroide (el vector de posición x , así lo indica), el cual

puede salir de las integrales como si este fuera una constante:

kk k k

k

3i 3i 3ik k k k k k k

x y x xA A A

3ik k k k

xA

1 1 1n dA n dA y n dA

1 1y y n dA :

2

(A.7)

De acuerdo con Whitaker (1999), los términos entre corchetes representan un serie de

integrales geométricas que están relacionadas con la estructura del sistema multifásico.

Este resultado puede ser reescrito como:

kk

3i 3 3i 3 3ik k k k k

x y x xA

3 3ik k k

x

1n dA 1 y

y y :

(A.8)

donde

k

3k

A

1n dA 1

(A.9)

k

3k k k

A

1y n dA y

(A.10)

k

3k k k k k

A

1 1y y n dA y y

2

(A.11)

Cuando las restricciones de escala de longitud dada por la Ec. (1.1) son impuestas,

Whitaker (1999) demostró que:

3 3i 3 3ik k k

x xy 1 , d << << L (A.12)

3 3i 3 3ik k k k

x xy y : 1 , d << << L (A.13)

Entonces, la Ec. (A.8) se simplifica a

kk

k

3i 3 3ik k k

x y xA

3ik k

xA

1n dA 1

1n dA

, d << << L (A.14)

Este resultado y la Ec. (A.8) validan la existencia de términos no-locales, los cuales son

despreciables cuando, la restricción de escalas de longitud son impuestas.



ANEXO B. TÉRMINOS NO-LOCALES DE LA ECUACIÓN GENERAL

Términos no-locales de la Ec. (4.2.2):

3 3 3 3 3 3k k NL k k k k

x x

3 3 3 3k k k k kx

i i i

i i i

(B.1)

k k

k kk k

3i 3i 3 3k k k k k NL k NL k k

A ANL

3 3k k NL k k k k NL k kx y x y

A A

1 1( )W n dA ( )W n dA

1 1( )W n dA ( )W n dA

i i

i i

(B.2)

k

3 3i 3ik NL k k

x y x

i

(B.3)

k

3i 3i 3ik NL k k

x y x

(B.4)

k kk k

k kk k

3k k k k k k k kx y x y xA A

D

3k k k k k k k kx y x yxA A

1 1( ) W n dA ( )W n dA

1 1( )W n dA ( ) W n dA

i

i

(B.5)


3 3 3 3i 3i 3 3 3 3k k k NL k k k k k k k k k

x x x

i i iU U U U

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3k k k k k k k k k k k k

x x x x

i i i i i i iU U U U (B.6)

3 3 3 3 3 3 3i 3ik k k k k k k k k k k k kx x x

i i i iU U U U

k k

3i 3i 3i 3i 3i 3ik k k k k NL k NL k NL k

A ANL

1 1( ) n dA ( ) n dAU U

k k

3i 3i 3i 3i 3i 3ik k NL k NL k k NL k k k

x x xA A

1 1( ) n dA ( ) n dA B.7U U

k k

3i 3i 3i 3i 3i 3ik NL k k NL k k k k NL k

x x xA A

1 1( ) n dA ( ) n dAU U



k k

3i 3i 3i 3i 3i 3ik NL k NL k k k k NL k k

x x xA A

1 1( ) n dA ( ) n dAU U

k

3i 3i 3ik NL k k

x y xU U U

(B.8)

k kk k

3 3k k k k k k k kx y x yA A

D

1 1( ) n dA ( ) n dAi iU U

k kk k

3 3 3k k k k k k k k

x y x yA A

1 1( ) n dA ( ) n dAi i iU U

(B.9)

k kk k

3 3 3k k k k k k k k

x y x yA A

1 1( ) n dA ( ) n dAi i iU U

kkk k

3k k k k k k k kx yx yA A

1 1( ) n dA ( ) n dAi U U


k

3i 3i 3ik NL k k

x y xD D D

(B.10)


3 3 3 3 3 3 3 3 3 3k k NL k k k k k k k k kxx x

i i i i i if f f f f (B.11)



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AGRADECIMIENTOS

Agradezco profundamente a mi hijo Erick por el apoyo brindado en la revisión de este

trabajo. También en forma muy especial al Dr. Juan Luis François Lacouture Presidente

de la Comisión de Especialidad de Ingeniería Nuclear por el apoyo recibido para formar

parte como miembro de la Academia de Ingeniería. A mis comentaristas el Dr. Edmundo

del Valle Gallegos, la Dra. Cecilia Martín del Campo y nuevamente al Dr. François.

Agradezco a mis seres queridos, en especial a Elizabeth Jeannette Martínez Méndez por

su apoyo incansable en la aventura y desafío que representan los proyectos de

investigación. A la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Iztapalapa, donde

encontré en 1998 un refugio para explorar mis inquietudes académicas. Y finalmente a

la CNSNS, institución que ha patrocinado diversos proyectos de investigación y

aplicación en la industria nuclear.



CURRICULUM VITAE

Nombre

Gilberto Espinosa Paredes

Estudios profesionales

Licenciatura en Ingeniería en Energía. Universidad Autónoma Metropolitana-

Iztapalapa, México, 1984.

Análisis de Transitorios en Reactores BWR. TECNATOM y Central Nucleoeléctrica de

Laguna Verde. México y España, abril 1985.

Mitigación de Daños al Núcleo en Reactores BWR. TECNATOM y Central Nucleoeléctrica de Laguna Verde. México y España, abril 1985.

Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica (Área Térmica), Centro Nacional de

Investigación y Desarrollo Tecnológico (CENIDET), México, 1992.

Multiphase Flow and Heat Transfer: Bases, Modeling and Applications. Universidad

de Santa Bárbara California, Departamento de Ingeniería Nuclear y Química. EE. UU.,

septiembre 1992.

Doctor en Ciencias (Ingeniería Química), Universidad Autónoma Metropolitana-

Iztapalapa, México, 1998

Gestión de Accidentes Severos en Centrales BWR. TECNATOM y Central Nucleoeléctrica de Laguna Verde. México y España, octubre 2004.

Posdoctorado por investigación, Instituto Mexicano del Petróleo, México, 2004-2005.

Distinciones

- Reconocimiento Máximo por desempeño al trabajo durante el primer semestre, Instituto de Investigaciones Eléctricas, México 1989.

- Investigador Nacional Nivel I, Sistema Nacional de Investigadores de CONACyT,

México, 1989.

- Premio al Desempeño Extraordinario, Instituto de Investigaciones Eléctricas, México

1990.

- Miembro de la Academia Mexicana de Ciencias, AMC, México, 2002.

- Asesor de la tesis de doctorado (Dr. Octavio Cazarez Candía); ganadora del XXI

Certamen Nacional de Tesis. IIE, IEEE, FIDE, México, 2002.

- Presidente de la Comisión Dictaminadora de Ingeniería, Universidad Autónoma

Metropolita, México, 2005.



- Investigador Nacional Nivel II, Sistema Nacional de Investigadores de CONACyT,

México, 2006.

- Asesor de la tesis de doctorado (Dr. Rubén Salazar Mendoza); ganadora del XXIV Certamen Nacional de Tesis. IIE, IEEE, FIDE, México, 2006.

Experiencia profesional

- Instituto de Investigaciones Eléctricas, México, Investigador Nivel III, 1984.

- TECANATOM S.A., España, Asesor, 1987.

- Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa, México, Profesor Investigador

Titular C, 1998.

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