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ECUACIONES

IGUALDAD ALGEBRAICA: es toda igualdad que contiene números y letras, vinculadas por las operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, y radicación. Por ejemplo: ( 3 a + 2 b ) ( 3 a – 2 b ) = 9 a

2 - 4 b

2

3/2 x – ½ x = 3 x En toda igualdad algebraica, en la que se reemplacen las letras por un sistema de valores numéricos y se obtenga una igualdad numérica, se dice que estos valores verifican la igualdad. La igualdad algebraica, puede ser

una identidad ó

una ecuación IDENTIDAD: es toda igualdad algebraica que se verifica, para cualquier sistema de valores asignados a sus letras. Por ejemplo: ( a + 1 )

2 = a

2 + 2 a . 1 + 1

2 = a

2 + 2 . a + 1

para a = 1 ( 1 + 1 ) 2 = 1

2 + 2 . 1 + 1

2 2 = 1 + 2 + 1

4 = 4 Ósea que, reemplazando la variable, por un determinado valor numérico y calculando el resultado de cada miembro de la igualdad por separado, y ambos miembros tienen el mismo resultado, luego realizamos el mismo procedimiento para cualquier otro valor numérico y en ambos miembros se sigue verificando la igualdad, entonces estamos en presencia de una Identidad. ECUACION: es toda igualdad algebraica que, solamente se verifica para algunos valores particulares de sus letras. Por ejemplo: x + 9 = 3 . x + 7

Para x = 1 1 + 9 = 3 . 1 + 7 10 = 10 ; ambos miembros tienen el mismo resultado.

Para x = 2 2 + 9 = 3 . 2 + 7

11 13 ; el valor numérico de cada miembro resulta distinto, o sea, que solamente para x = 1 se satisface la igualdad, por ello ésta igualdad se llama Ecuación. Las letras que figuran en una ecuación y cuyo valor numérico hay que determinar, se llaman incógnitas ó variables. Cada uno de los valores de éstas, que satisfacen a la igualdad, se denomina raíz de la ecuación. Resolver una ecuación es, determinar los valores de las incógnitas, es decir , encontrar las raíces. CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES Las ecuaciones pueden ser Enteras, Fraccionarias o Irracionales:

Enteras: 2 x – 15 = 1 + x

Los dos miembros de la ecuación, representan expresiones algebraicas enteras.

Fraccionarias: 2 5

- x = + ( 3 x ) - 1

x - 1

La incógnita figura en el denominador de alguna fracción irreducible ó con exponente negativo.

Irracionales: 7 x - 5 = 8 + x

La incógnita figura en un término radical, con raíz irreducible. ECUACIONES EQUIVALENTES: dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas raíces, es decir los mismos resultados.

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Por ejemplo: 3 x - 12 = 3 su raíz es x = 5 5 x - 12 = 3 + 2 x su raíz es x = 5, por lo tanto ambas ecuaciones son equivalentes. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES PROPIEDAD Nº 1: Si a ambos miembros de una ecuación se suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica entera de la incógnita, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Por ejemplo:

2 x + 1 = 10 - x , su raíz es 3 se verifica que 2 . 3 + 1 = 10 - 3 6 + 1 = 7 7 = 7 ahora si sumamos a ambos miembros de la igualdad el número 5 , se obtiene: 2. x + 1 + 5 = 10 - x + 5 2. x + 6 = 15 - x , cuya raíz también es 3, ya que verifica: 2 . 3 + 6 = 15 - 3

6 + 6 = 12 12 = 12 Entonces, como ambas ecuaciones tienen las mismas raíces, son equivalentes. Consecuencia de la Propiedad Nº 1: En toda ecuación se puede pasar un término de un miembro al otro, con el signo contrario; operación que se denomina Pasaje de Términos. Por ejemplo: 5 x + 3 = 15 - 5 x , si a ambos miembros de la ecuación se resta 3, se obtiene una

ecuación equivalente, de acuerdo a la Propiedad N º 1 5 x + 3 - 3 = 15 - 5 x – 3 5 x = 15 - 5 x - 3

PROPIEDAD N º 2 Si ambos miembros de una ecuación, se multiplican o dividen por un mismo número, distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Por ejemplo: 4 x - 3 = 15 - 5 x , cuya raíz es 2 ya que 4 . 2 - 3 = 15 - 5 . 2 8 - 3 = 15 - 10 5 = 5

si multiplicamos ambos miembros de la ecuación anterior por un mismo número, distinto de cero, en éste caso 3 , se obtiene: 3 ( 4 . x - 3 ) = 3 (15 - 5 . x) 12 . x -9 = 45 - 15 . x ,cuya raíz también es 2 ya que, 12 . 2 - 9 = 45 - 15 . 2

24 - 9 = 45 - 30 15 = 15

Entonces como ambas ecuaciones tienen las mismas raíces, son equivalentes. Consecuencia 1 de la Propiedad Nº 2: Si ambos miembros de una ecuación están multiplicados o divididos por un mismo número, dicha ecuación puede simplificarse suprimiendo ese factor o divisor: Por ejemplo: 4 ( 2 x – 1 ) = 4 ( 5 + x ), podemos suprimir los factores 4 2 x – 1 = 5 + x , que es una ecuación equivalente a la dada. Consecuencia 2 de la Propiedad Nº 2: En toda ecuación, se puede pasar un factor o divisor de todo un miembro al otro, como divisor o factor de éste respectivamente.

Por ejemplo: x + 12 8 ( x - 3 ) = 40

= 3 x - 3 = 40

8 8

x + 12 = 3 . 8 Si está como factor (multiplicando), pasa al otro

miembro de la igualdad dividiendo

Si está como factor (dividiendo), pasa al otro

miembro de la igualdad multiplicando.

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RESOLUCION DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA Una ecuación es de primer grado, cuando la incógnita figura elevada a la primera potencia, una vez reducida a expresión polinómica. Los términos en que no figura la incógnita, se llaman términos independientes. Pasos a seguir: 1. Se efectúan las operaciones indicadas, supresión de paréntesis, aplicación de propiedades

distributivas, reducción a común denominador, etc. 2. Si aparece un divisor común en ambos miembros se simplifica la ecuación, suprimiéndolo; si aparece

en un solo miembro, se pasa al otro miembro como factor de éste. 3. Reducida la ecuación a forma polinómica, sin denominadores, se efectúa el pasaje de todos los

términos con incógnitas a un miembro y los términos independientes al otro, reduciéndose los términos semejantes.

4. Si el coeficiente de la incógnita es negativo, se multiplican ambos miembros por ( - 1). 5. Se pasa el coeficiente de la incógnita si es distinto de cero, como divisor del miembro que contiene el

término independiente, determinándose así el valor de la raíz. 6. Por último se verifica, si el valor hallado satisface a la ecuación. Si la ecuación fuere fraccionaria se procede de igual manera . Ejemplo N º 1:

5X - 2 = 7 X + 10 5X - 7 X = 10 + 2 - 2X = 12 multiplicamos por ( - 1 )

2x = - 12 X = - 12 / 2 = - 6 raíz, verificación: 5 . ( - 6 ) – 2 = 7 . ( - 6 ) + 10 - 30 - 2 = - 42 + 10

- 32 = - 32

Ejemplo N º 2: 7 26 - 10 X 4

+ = , 3 12 X 3 luego,

4 x . 7 + 1 (26 - 10 X ) 4 x . 4

= , 12 X 12 x 28 . X + 26 - 10 X 16 X

= 12 X 12 X 28 . X - 10 X - 16 X = - 26

2 X = - 26 X = - 26 / 2 = - 13 ( raíz ) verificación: 7 26 - 10 ( - 13 ) 4

+ = 3 12 . ( - 13 ) 3 7 156 4

- = 3 156 3

7 4

- 1 = 3 3

4 4

= 3 3

se reducen las fracciones a mínimo común denominador.

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Si a es menor que cero, a 0, entonces Las ramas de la parábola van hacia abajo y estas curvas son simétricas de las que Tienen signo positivo, respecto del eje x-x.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO, CON UNA VARIABLE La fórmula y = a x

2 + b x + c , representa una función de segundo grado , definida del conjunto de

los N º Reales en el conjunto de los Nº Reales, con los coeficientes a, b, c pertenecientes a los Nº Reales

y siendo a 0; define la Ecuación de segundo grado en una variable, conocida como función cuadrática. Cuya gráfica viene representada por una Parábola. Representación Gráfica:

Primer Caso: y = a x 2 b = 0 c = 0

Entonces si a es mayor que cero , o sea : a 0 Por ejemplo : y = x

2

Y La gráfica es una parábola, el punto más bajo de la curva recibe el nombre de vértice de la parábola. El mismo divide a la parábola en dos ramas.

La curva es simétrica respecto al eje de las ordenadas (y).

y y = 3 x

2

x x

y = - 1/3 x

2

y = - ½ x

2

Y = - x

2

Y = - 2 x

2

Y = - 3 x

2

y

Segundo Caso : y = a x 2 + c, con b = 0

En este caso c me indica si la curva sube o baja respecto del eje de las ordenadas;

si c 0 sube y = x 2 + 2

si c 0 baja

y = x

2

a 0 a 0 y = - x 2 + 2

y = x 2 - 3

y = x

2

x

Y=1/3 x2

Y=1/2 x2

Y= x2

En este gráfico, observamos :

que para valores de a 1, cuanto mayor es a tanto más se acerca la gráfica al eje

de las y ; y para valores de 0 a 1, cuanto menor es a tanto más se acerca la parábola al eje de las x.

Y= 2x2

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y = - x

2 - 2

Tercer Caso : y = a x

2 + b x, con c = 0

En el segundo miembro puedo sacar factor común ( a x ), entonces nos queda : y = a x ( x + b/a ); Así podemos observar que para y = 0 debe ser x = 0 ó x = - b/ a, en consecuencia la curva corta al eje de las x en dos puntos que son ( 0 , 0 ) y ( - b/a , 0 ). En el caso de que b y a sean de igual signo, entonces el segundo punto estará sobre el eje negativo de las x y cuando sean de distinto signo estará en el eje positivo de las x . Y a > 0 Eje, x = - b / 2 a m = (- b/a , 0) 0 m = ( - b/a , 0 ) X b > 0 b < 0 Y a < 0 Eje de simetría m 0 m b < 0 b > 0 El eje de simetría es perpendicular en su punto medio al segmento 0m y su ecuación es x = - b / 2 a. La abcisa del vértice es x = - b / 2 a y su ordenada se obtiene, reemplazando x en la ecuación : Y = a x

2 + b x , con lo que se tiene que el vértice tiene ordenadas:

XV = - b / 2 a ; Yv = - b

2 - 4 a c

4 a Cuarto Caso : Se presenta cuando tengo el polinomio de segundo grado con todos sus términos, o sea :

y = a x 2 + b x + c con b 0 c 0

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En éste caso la gráfica, con respecto al tercer caso se desplaza hacia arriba si c > 0 y hacia abajo si c < 0. ECUACION DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA Y = a x

2 + b x + c

Si y = 0 = a x 2 + b x + c a , b , c 0 tenemos FORMULA COMPLETA GENERAL

Si y = 0 = a x 2 + b x + c a = 1 y b , c 0 tenemos FORMULA COMPLETA REDUCIDA

0 = x 2 + b x + c

Si y = 0 = a x 2 + b x + c a x

2 = 0

a x 2 + b x = 0

a x 2 + c = 0 tenemos FORMULA INCOMPLETA

Resolución de la ecuación de segundo grado : Se resuelve mediante la siguiente fórmula que nos permite encontrar las raíces de la ecuación de segundo grado.

- b b 2

- 4 a c

x = = 2 a

LOGARITMACIÓN: Definición: dado como base un número a positivo y diferente de uno, se llama logaritmo de un número real y positivo N, con respecto a dicha base, al exponente x al cual se debe elevar la base a para obtener el número N. O sea, si a

x = N, diremos que x es el logaritmo de N en base a (o con respecto a la base a), lo cual

se indica: log a N = x a x = N

Propiedades : 1. El logaritmo de la unidad es siempre cero, cualquiera sea la base,

Log a 1 = 0 porque a 0 = 1

2. El logaritmo de la base, es siempre igual a uno, cualquiera se la base,

Log a a = 1 porque a 1 = a

3. El logaritmo de una potencia de la base del sistema es el exponente de esa potencia,

Log a ( ap ) = p porque a

p = a

p

4. El logaritmo de un producto de números reales positivos, respecto de cualquier base, es igual a la

suma de los logaritmos de los factores respecto de esa misma base, Log a ( m . n ) = log a m + log a n

5. El logaritmo de un cociente entre dos números reales positivos, respecto de cualquier base, es igual a la diferencia entre los logaritmos de dividendo y divisor, Log a ( m : n ) = log a m - log a n

6. El logaritmo de una potencia, respecto de cualquier base, es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia , respecto de esa misma base, Log a ( m

n ) = n log a m

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7. El logaritmo de la raíz enésima de un número real positivo, respecto de cualquier base, es igual al recíproco del índice de la raíz por el logaritmo del radicando respecto de esa misma base,

Log a n m = 1 . log a m

n Los logaritmos de base 10 se llaman logaritmos decimales, y la base 10 no se escribe. En los logaritmos Naturales, la base es el número e , que es un número irracional denominado neperiano, donde e = 2,718281828....; estos logaritmos se representan por el símbolo ln .- Cambio de base Cuando dado el logaritmo de un número, respecto de una determinada base, se quiere calcular el logaritmo de ese mismo número, respecto de otra base; estamos en un problema de cambio de base. Supongamos que:

Log a n = p , (1) a p = n

a p = b

q (3)

Log b n = q , (2) b q = n

Aplicamos logaritmo, respecto de la base a , a ambos miembros de la igualdad (3) : Log a ( a

p ) = log a ( b

q) , es decir que p = q . log a b (4)

Pero de (1) obtenemos p = log a n (5) y de (2) q = log b n (6) Sustituimos en (4), según (5) y (6) : Log a n = log b n . log a b , entonces tenemos :

Log b n = 1 . log a n log a b

1

“ Dado el logaritmo de un número respecto de una base, para calcular el logaritmo de ese número respecto de otra base se multiplica el logaritmo dado por el recíproco del logaritmo de la nueva base, respecto de la primera base”. Ejemplo: Dado log 10 5 = 0,69897 , calcular log 2 5

Entonces : Log 2 5 = 1 . log 10 5 y siendo log 10 2 = 0.30103 log 10 2

Log 2 5 = 1 . 0.69897 = 2.32193

0.30103

Si sustituimos al número b de la expresión 1 por e, base de los logaritmos naturales y si sustituimos el número a por 10, se tiene base de los logaritmos decimales:

Log e n = 1 . log n log e

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esta expresión permite calcular los logaritmos naturales, a partir de los logaritmos decimales. Cologaritmo : se llama cologaritmo de un número al logaritmo del recíproco de dicho número,

Colog A = log 1 / A = - log A

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Extraído del libro Matemáticas para ingresar a la universidad. Autora: Betina Duarte.Editorial Granica.Año 2005.