ECUACIONES EN DIFERENCIAS

INDICEINTRODUCCINSOLUCIN DELA HOMOGNEAORDEN DE LA ECUACINSOLUCIN DE LA PARTICULARTIPOS DE ECUACIONESSOLUCIN FINAL

Modelo de poblaciones en tiempo discreto:k=0,1,2,3,4 (entre 0 y 1 no hay tiempo)

Poblacin y(k) n de individuos en el tiempo k Poblacin inicial y(0) n de individuos en el instante 0 POBLACIN INSTANTESINTRODUCCINEJEMPLOS

K-1kK+1y(k-1)y(k)y(k+1)

Ejemplos:

La poblacin se duplica:y(k)=2y(k-1)y(k+1)=2y(k)

La poblacin se reduce a la mitad:y(k)=1/2y(k-1)

La poblacin aumenta un 5%:y(k)=y(k-1)+5/100y(k-1)

ORDEN DE LA ECUACIN

y(k+1)=2y(k) orden 1

y(k)-3y(k-1)=0 orden 1

y(k+1)-3y(k-1)=0 orden 2

y(k+1)=5y(k-2) orden 3

y(k+n)+y(k+n-1)-3y(k+n-2)++5y(k)=0 orden n

TIPOS DE ECUACIONES1) ECUACIN HOMOGNEAy(k+1)-2y(k)=0y(k+2)+y(k)-2y(k-1)=0y(k)=3y(k-1)

2) ECUACIN COMPLETAy(k+1)-2y(k)=3y(k+1)-2y(k)=3k+2y(k+1)-2y(k)=2k

SOLUCIN DE LA HOMOGNEAGrado 1: y(k+1)-2y(k)=0x-2=0 (ec. caracterstica) x=2solucin: y(k)=c2k

SOLUCIN DE LA HOMOGNEAGrado 2:

y(k+2)-2y(k)+3y(k-1)=0x2-2x+3=0 (ec. caracterstica)solucin: i) Dos races reales distintas: s1, s2 y(k)=c1sk1+c2sk2ii) Una raz doble: s y(k)=c1sk+c2kskiii) Dos races complejas conjugadas: s1=a+bi, s2=a-bi y(k)=c1rkcos(k+c2)r=(a2+b2)=arctg(b/a)

SOLUCIN PARTICULARSi a la derecha tengo dk(3k,4k) ensayo una funcin yp(k)=Adkejemplo: y(k+1)-2y(k)-3y(k-1)=2k

SOLUCIN PARTICULAR2) Si y(k) es un polinomio en k, ensayamos un polinomio en k del mismo grado (si no funciona ensayamos multiplicando por k)ejemplo: y(k+1)-y(k)=2k

SOLUCIN FINALSOLUCIN HOMOGNEA +SOLUCIN PARTICULARFIN