ECUACIONES DIFERENCIALES

EDO DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGENEAS

HENRY MALESTATIANA OSORIO

Ecuaciones EDO de 2º OrdenNo Homogéneas

• Para resolver estas ecuaciones en forma analítica debemos seguir los siguientes pasos:

1. Resolver la Ecuación Homogénea

2. Igualamos el coeficiente de la segunda derivada a uno

3. Reconocemos las dos soluciones (“y1” & “y2”), las cuales obtenemos de la resolución de la parte homogénea.

4.- Construimos los Wronskianos:

Y1 Y2

W= Y’1 Y’2

0 Y2

W1= f(x) Y’2

Y1 0 W2=

Y’1 f(x)

5.- Calculamos u1 y u2 :

u’1 = w1 / wu’2 = w2 / w

Para obtener los valores de u1 y u2 debemos Integrar u’1 y u’2

6.- Construimos la Solución Particular:

yp = (y1 *u1 ) + (y2 *u2 )

7.- La Solución Total es:

y= yh + yp

Donde yh es la Resolución de la Parte Homogénea de la ecuación.

RESOLUCION DE EDO DE 2º ORDEN NO HOMOGENEAS EN

MATLAB

Por medio del siguiente Ejemplo vamos a demostrar como resolver las Ecuaciones EDO de 2º Orden No Homogéneas en MATLAB.

EJEMPLO:

5y’’ - 7y’ + 8y = cos(x) ;

y(0)=3 ^ y’(0)= -2

RESOLUCION

• Transformamos la EDO de 2º Orden en un sistema de 2 ecuaciones EDO de 1º Orden

• u=( dy/dx)

5(du/dx) – 7u + 8y = cos(x)

• (du/dx) = (cos(x) – 8y + 7u)/ 5

1

2

En la ventana de edición de MATLAB escribimos

las ecuaciones antes obtenidas con las

condiciones dadas pero utilizamos las variables (U, Y) en las cuales se

almacenaran los datos.Este archivo lo vamos a

importar en matlab para poder realizar la grafica.

• En el command Window de matlab escribimos la condiciones dadas al inicio del ejercicio ( y(0)=3 ^ y’(0)=-2 ) usando el comando ODE45:

[x,Y]=ode45('ode2',[0 10],[3 -2]);

La línea que se encuentra entre comillas nos sirve para llamar a nuestras ecuaciones de nuestro archivo editor guardado con el nombre de: ode2.

En el primer corchete tenemos el rango de tiempo que puede variar, en el segundo corchete tenemos las condiciones de y & y’ dadas al inicio del ejercicio.

• La siguiente línea nos sirve para tomar en este caso los datos de la primera columna.

• Las demás filas escritas nos sirven para mejorar la presentación del grafico, con el titulo, líneas de división, y nombres de los ejes coordenados.

Aquí se encuentra demostrado el proceso anteriormente explicado para el desarrollo del ejercicio.

• Finalizando este proceso obtenemos la resolución de nuestro ejercicio en forma grafica