ecuaciones diferenciales resueltas con transformada de laplace
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Ecuaciones
Diferenciales resueltas
con Transformada de
Laplace
Matemáticas Avanzadas II
Yazmin Barrientos Galván
Elena Lizeth Guerrero Ibarra
8°”A” Ing. Tecnologías de la
Producción
Prof.: Lic. G. Edgar Mata Ortiz
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En la siguiente presentación se muestra como se
resuelven Ecuaciones Diferenciales con el método
de Transformada de Laplace. Con ejemplos
obtenidos del libro de Ecuaciones Diferenciales
del autor Denis G. Zill.
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¿Como resolver?Encuentre la
incógnita 𝑦 𝑡que satisfaga una
ED y las condiciones
iniciales
Aplique la Transformada
de Laplace
La ED transformada
se convierte en una
ecuación
algebraica en 𝑦 𝑆 .
Resuelva la ecuación
transformada de 𝑌(𝑠)
Aplique la
transformada
inversa
Resuelva 𝑦 𝑡 del
PVI original
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Tal como fue señalado en la introducción a este capítulo,
nuestra meta inmediata es usar la transformada de Laplace
para resolver ecuaciones diferenciales.
Aquí hemos asumido que e–st f (t) → 0 cuando t → . De manera
similar, con ayuda de (6),
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Ecuación Diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 3y = 13sen 2t, y 0 = 6
Solución:
Primero tomamos la transformada de cada
miembro de la ecuación diferencial :
𝐿𝑑𝑦
𝑑𝑡+ 3𝐿 𝑦 = 13𝐿 𝑠𝑒𝑛 2𝑡
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Pero de (6), L𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 = 𝑠𝑌 𝑠 − 6
Y de la parte d) del teorema 4.1
L 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 =2
𝑠2+4𝑦 12 𝑒𝑠 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∶
𝑠𝑌 𝑠 − 6 + 3𝑌 𝑠 =26
𝑠2 + 4𝑜 𝑠 + 3 𝑌 𝑠 = 6 +
26
𝑠2 + 4
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Fracciones Parciales :
Las fracciones parciales cumplen una función
importante cuando se trata de encontrar las
transformadas inversas de Laplace.
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Al resolver la ultima ecuación para
Y(s),obtenemos
Y(s)= 6
𝑠+3+
26
(𝑠+3)(𝑠2+4)=
6𝑠2+50
(𝑠+3)(𝑠2+4)
En base a que el polinomio cuadrático s2 +4
no se factoriza con números reales,
asumido en la descomposición de la
fracción parcial es un polinomio lineal en s:
=𝐴
𝑠+3+
𝐵𝑠 + 𝐶
𝑆2 + 4FACCIONES
PARCIALES:
POLINOMIALES
CUADRATICAS SIN
FACTORES REALES
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Al poner el lado derecho de la igualdad sobre un
denominador común e igualar los numeradores se
tiene:
6s2+ 50 = A (s2+ 4) + (Bs + C)(s + 3).
Al establecer s= –3, de inmediato se produce A = 8.
Como el denominador no tiene más ceros reales,
igualamos los coeficientes de:
s2y s: 6 =A + B y 0= 3B + C.
Aplicando el valor de A en la primera ecuación se
tiene B=–2, y al usar después este último valor en la
segunda ecuación resulta C=6. Por lo tanto.
Y(s)= 6𝑠2+50
(𝑠+3)(𝑠2+4)=
8
𝑠+3+−2𝑠+6
𝑠+3
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Aún no hemos terminado porque la última expresión
racional todavía tiene que escribirse como dos
fracciones. Pero esto se hizo en el ejemplo 2
mediante la división término a término. Con base en
(2) de ese ejemplo.
Y(t) = 8𝐿−11
𝑆+3− 2𝐿−1
𝑆
𝑆2+4+ 3𝐿−1
2
𝑆2+4
Se deduce en los incisos c), d) y e) del teorema 4.3 que la solución
del problema de valor
Inicial es
y(t) = 8e-3t - 2cos 2t + 3 sen 2t.
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Bibliografía