ecuaciones diferenciales ppt

Solución geométricaSolución geométrica
aria!les separadasaria!les separadas
aria!les separa!lesaria!les separa!les
(actor integrante(actor integrante
)eorema de e'istencia y unicidad)eorema de e'istencia y unicidad
Ecuaciones &iferenciales de orden mayor *ue +Ecuaciones &iferenciales de orden mayor *ue +

Toda ecuación que establece la dependencia deToda ecuación que establece la dependencia de
una variable respecto a otra u otras medianteuna variable respecto a otra u otras mediante
derivadas es una ecuación diferencialderivadas es una ecuación diferencial

E"e#plos de ecuaciones diferencialesE"e#plos de ecuaciones diferenciales
1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la1) El voltaje v(t) en el capacitor del circuito de la
figurafigura
2)2) La rapide con que un cuerpo se calienta esLa rapide con que un cuerpo se calienta es
proporcional a la diferencia entre laproporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpotemperatura del cuerpo T(t)T(t) ! la temperatura! la temperatura
del ambientedel ambiente T T aa
"onde"onde K K es el coeficiente dde transmisión dees el coeficiente dde transmisión de
calor que depende del materialcalor que depende del material
.- T T K dt
#) El movimiento de un p$ndulo simple est%#) El movimiento de un p$ndulo simple est%
gobernado por la ecuacióngobernado por la ecuación
"onde"onde
2
2
&) Las coordenadas (&) Las coordenadas ( x,y x,y ) de los puntos de la) de los puntos de la
curva que refleja en forma paralela los ra!oscurva que refleja en forma paralela los ra!os
que salen de un punto fijo en el origenque salen de un punto fijo en el origen
cumplen concumplen con
Otros Ejemplos'
Ecuación de iccati'
+egunda Le! de ,e-ton'
) x( f y ) x( q y ) x( p' y 2 =++
1 x y ) x sin( y x' y 223 −=++
0 y' y ) y1( ' ' y 2 =+−− µ
) x( q y ) x( p dx
dy =+
dt
general tiene la forma:

contiene deri,adas parciales% En este caso
representa la dependencia de una ,aria!le
respecto a ,arias ,aria!les independientes%
Por e4emplo3 la siguiente ecuación descri!e la
dependencia de # respecto de x3 y y $ %
+2 = ∂ ∂
Clasificaci!n $eneralClasificaci!n $eneral
ED% de orden n%0 El orden de deri,ación m5s alto *ue
aparece en la ecuación es n%
ED% de pri#er orden%0 Cuando n"1% En este caso3 la
forma general es
Ejemplo: la ecuación de Riccati es de segundo grado3

Clasificaci!n $eneralClasificaci!n $eneral
ED% )ineal% Es una O&E *ue se puede escri!ir en la
forma:
n (x), f(x) son funciones
de '% &e lo contrario se dice No )ineal%
)ineal Ho#o*nea%0 El término independiente f(x) es
nulo%
a 0 (x),!!!,a
)ineal con coeficientes (aria+les%0 Enfati7a el 8ec8o
de *ue al menos uno de los coeficientes a 0 (x),!!!,a
n (x)
9O es constante%
) x( f y ) x( a!!! y ) x( a y ) x( a 0
)1n(
1n
)n(
n =+++ −
+.
y
0 y' y ) y1( ' ' y 2 =+−− µ

Soluci!n de una EDSoluci!n de una ED
#a Soluci!n $eneral3 tam!ién llamada inte*ral
general de la E& de la forma F(x,y,y,y,!!!,y(n) )"0, es la
función y"f(x,&) *ue satisface dic8a ecuación%
Ejemplo%0 Es f5cil ,er *ue las funciones
son soluciones de la ecuación del e4emplo -=.%
#a solución general es en realidad una fa#ilia de
funciones parametri7adas por la constante desconocida
&% Para cada ,alor particular de la constante & se o!tiene
una Soluci!n Particular de la E&
22 &&x y +±=
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y

,area: a. Para el e4emplo -2.% erificar *ue la
solución general de la E& es:
!. Si K"0!1Cseg % Cu5nto tiempo tardar5 en enfriarse
una ta7a de café 8ir,iendo si la temperatura
am!iente es de T a@+>AC ;
c. &i!u4ar la fa#ilia de cur(as solución para diferentes
temperaturas iniciales T 0 de la ta7a de café%
Kt

Propedeutico Maestría 2008 DEPFIE-UMSNH
José Juan Rincón Pasaye
)a ED co#o Ca#po ectorial)a ED co#o Ca#po ectorial
#a ecuación diferencial de pri#er orden resuelta
respecto a la deri,ada:
esta!lece una dependencia entre las coordenadas (x,y)
de un punto y la pendiente de la cur,a solución y(x)
*ue pasa por ese punto%
dy
)a ED co#o Ca#po ectorial)a ED co#o Ca#po ectorial
Ejemplo: la ecuación

nos dice *ue a lo largo de la cur,a x2 y2 " 13 las
cur,as solución de la ecuación tienen pendiente +3 es
decir3 cru7an la circunferencia de radio + con un 5ngulo
de =>A%


&ando ,alores constantes K a la deri,ada3
podemos encontrar las cur,as f(x,y)" K en donde las
soluciones pasan con un mismo 5ngulo de inclinación%
6 estas cur,as se les llama isoclinas.
Para el e4emplo corresponden a x2y2"K 3 son
circunferencias de radio y centro en el origen%
K y x f dx
dy == .3-
Mtodo de las IsoclinasMtodo de las Isoclinas
#as isoclinas facilitan el tra7ado del ca#po de

la ecuación diferencial
!. Bué tipo de cur,as son estas isoclinas;
c. &i!u4ar las isoclinas y con ayuda de éstas di!u4ar el
campo de direcciones y algunas cur,as solución%
dy
9O e'iste un #todo *eneral para resol,er E&s3 es
decir3 dada una ecuación diferencial no tenemos un
procedimiento para 8allar su solución analítica%
Sin em!argo3 en algunos casos particulares !ien
identificados sí se tienen procedimientos para calcular
dic8a solución%
El Dnico método entonces consiste en sa!er
Identificar el tipo de E& *ue se *uiere resol,er%
Si es un caso conocido% 6plicar el
procedimiento correspondiente
caso conocido
Si no funciona lo anterior3 algunas alternati,as
consisten en !uscar soluciones:
#a idea m5s simple de los procedimientos de solución
es reescri!ir la ecuación como una ecuaci!n de
(aria+les separadas
&onde f(y) es una función e'clusi,amente de y y g(x) es
una función e'clusi,amente de x%
Esta ecuación se resuel,e integrando a am!os lados:
dx x g dy y f .-.- =
∫ ∫ = x
x
y
11
#a E& de la forma
Se denomina E& de (aria+les separa+les3 ya *ue es
inmediata su reescritura como una E& con ,aria!les
separadas:
dy x g y f dx x g y f .-.-.-.- 22++ =
dx x g
x g dy
Ejemplo: Resol,er la ecuación
6lgunos tipos de E& se con,ierten f5cilmente a
,aria!les separa!les3 por e4emplo cuyo campo ,ectorial
es función de una com!inación lineal de x e y:
"aciendo el cam!io $"ax+y, se o!tiene:
testan&ns sn+ ,adnde ),+yax( f dx
dy +=
Ejemplo: #a ecuación
1 dx
ED Ho#o*neas de 1ED Ho#o*neas de 1erer ordenorden
#as E& de la forma
Se denominan Ho#o*neas%
"aciendo el cam!io de ,aria!le $ " yx3 se con,ierten a
la siguiente E& de ,aria!les separa!les:

Fna función f(x,y) se dice Ho#o*nea de *rado si
f(tx,ty)"t k f(x,y)
Si f(x,y) es 3o#o*nea de *rado cero entonces
Entonces3 la E&
( ) x
( ) y , x f dx
Ejemplo: #a función
Es 8omogénea de grado cero y se puede escri!ir como:
Por lo tanto la E&
Se puede transformar en la E& con ,aria!les separa!les
&onde $"yx%
− +
=
#as E& de la forma
donde a 1 , +
-"x*x 0 , ."y*y
0 donde - x
1 y &
Ejemplo: #a E&
"aciendo el cam!io -"x*13 ."y*1 se con,ierte en la
E& 8omogénea
a1 x + b1y + c 1 a2 x + b2y + c 2
2
#as E& de la forma
Se denominan E& )ineales3 ya *ue su solución cumple
con el Principio de Superposici!n respecto al término
independiente *-'.%
solución para el caso Ho#o*neo -q(x)"0), es decir3
donde
dy =+
Ejemplo: #a ecuación del circuito RC serie
Es una E& lineal de primer orden3 por lo tanto3 su
solución es
1 −− =∫ =
1 RC
#a ecuación de $ernoulli se transforma en

( ) 1k , y xq y ) x( p dx
dy k ≠=+
d$ −=−+
Esta ecuación se puede transformar en una ecuación de
$ernoulli si se conoce una solución particular y1(x)%
mediante el cam!io de ,aria!le y"y1$ %
#a ecuación de Riccati se transforma en

( ) ) x( f y xq y ) x( p dx
dy 2 =++
d$ −=++
Ejemplo: #a ecuación
Es una E& de Riccati3 la cual tiene la solución particular
"aciendo el cam!io y"y1$ 3 o!tenemos
#a cual es de $ernoulli% "aciendo a8ora el cam!io /"$ *13
o!tenemos:
#a cual es lineal% #a solución de la 8omogénea es 3
,ariando el par5metro c:
Entonces % (inalmente3 en las ,aria!les originales
2
2
x
tiene de la forma de una diferencial e'acta d/(x,y) " 0
y por consiguiente la soluci!n: /(x,y) " &
si cumple la condici!n de Euler:
En tal caso
respecto a x
x
y
x

0dy )3 y x( dx )1 y x( 2 =+−+++
x
.-.3- 2
<.-G 2 +−=+= ∂ ∂
/
∫ ++= +
En algunas ocasiones es posi!le multiplicar la ecuación
por un factor µ (x,y)3 de manera *ue se con,ierta en una
diferencial e'acta3 es decir3 de manera *ue
Entonces se dice *ue es µ (x,y) un factor inte*rante% #a
condición de Euler toma la forma:
&e donde
Factor Inte*ranteFactor Inte*rante
#a anterior es una E&P m5s difícil de resol,er *ue la
E& original% Solo en algunos casos se simplifica:
Caso = (x)%0 En este caso la E&P toma la forma
Cuyo lado derec8o de!e ser función e'clusi,a de '
Caso = (y)%0 En este caso
Cuyo lado derec8o de!e ser función e'clusi,a de y

∂ ∂
− ∂ ∂
Entonces
( ) 1+ln2 222 =+++ dy y y x ydx xy
( )222 +3ln2 y y x y xy ++==
y y

Es una E& e'acta y o!tener su solución general%
1 +

,eore#a de e6istencia 7 unicidad,eore#a de e6istencia 7 unicidad
Fno de los aspectos *ue suelen ol,idarse antes de
intentar la solución de una E& es preguntarse primero si
e'iste la solución y en caso de e'istir3 si esta es Dnica%
#a respuesta la da el siguiente teorema:
Siempre e6iste solución y es nica;

Si en la E& 3 se cumplen las condiciones:
+. -E6istencia.: f(x,y) es continua en un rect5ngulo &
centrado en (x0 ,y0 )%
Condici!n de )ipsc3it9 para un # finito:
Entonces e'iste una solución Dnica y"f(x) de la E&
dentro de un rect5ngulo 1⊂ centrado en (x0 ,y0 ):
*ue satisface la condición inicial y(x0 )"y0
.3- y x f dx
dy =
− −
#a condición de #ipsc8it7 se puede sustituir por otra
condici!n #:s +urda3 pero m5s f5cil de ,erificar:
Bue e'ista la deri,ada en el rect5ngulo &% y
y x f
Ejemplo: #a siguiente E&
Cumple con la condición de e'istencia en todo el plano
ℜ2 3 sin em!argo3 si c8ecamos la condición de #ipsc8it7
Se cumple en todo el plano ℜ23 e'cepto en la recta
solución y"03 so!re la cual e'iste otra solución%
,area: Encontrar las otras soluciones *ue tocan a la
recta y"0 en cada punto de ella% Representarlas en una
gr5fica%
x ydx
x ydx

1.-.- 2222 =++− dy y xdx y x

y y x dx
56empl Bué tipo de E& son las siguientes;
x x y y 22G 2 +=+
y sen xseny y
.+2-G.+- −=−++

56empl Son E& e'actas;
x x y y 22G 2 +=+
1.-.-.-.- 22++ =+ dy y g x f dx y g x f
1.-.- <2< =+++ dy y y xdx xy x

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