ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES.

EXAMEN # 2.FECHA: JUEVES 28 DE NOVIEMBRE DE 2012.

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Instrucciones:

• Son seis problemas distribuidos en dos bloques. Elegir UN problema de CADA bloque. Cada problematiene un valor de 50 puntos, para un total de 100 puntos,

• Si me entregan mas de un problema por bloque, revisare unicamente el primero que vea en cada bloque.• Tienen dos horas para resolverlos.• Pueden usar libros y apuntes pero no pueden conversar entre ustedes. Pueden disponer de sus

textos electronicos en su computadora, pero por ningun motivo podrn chatear ni comunicarse por email,o por celular. Por favor mantengan sus computadoras fuera de lınea y apaguen sus celulares.Evıten la pena de quitarles sus examenes a uno o varios de ustedes, o a todo el grupo. Gracias.

• EXPLIQUEN SUS RESPUESTAS A DETALLE. ¡Muestren que han aprendido!

BLOQUE I

(1) Sea G la matriz diagonal G = diag(1, 1, 1,−1). Una matriz L se dice de Lorentz si tiene inversa L−1 ysi L−1 = GLtG, donde Lt es la traspuesta de L.

(a) Si L y M son de Lorentz, pruebe que LM y L−1 tambien son de Lorentz.(b) Sean X = (x, y, z, t)t y ‖X‖2 = x2 + y2 + z2 − t2. Pruebe que, L es de Lorentz si, y solo si,‖LX‖2 = ‖X‖2.

(c) Sea L de Lorentz y sea u = u(X) ∈ C2. Defina U(X) = u(LX). Demuestre que:

∆U − Utt = ∆u− utt.

(d) Explique el significado de la matriz (o transformacion) de Lorentz en terminos geometricos.

(2) (a) Derive la energıa para la ecuacion de onda en un domino Ω ⊂ R3, usando las condiciones de fronterade Dirichlet o de Neumann.

(b) ¿Por que no puede hacer lo mismo usando las condiciones de frontera de Robin?(c) Para las condiciones de frontera

∂u

∂n+ b

∂u

∂t= 0,

con b > 0, muestre que la energıa definida por

1

2

∫∫∫Ω

u2t + c2‖∇u‖2 dΩ,

es decreciente como funcion de t.

(3) Considere la ecuacion de Klein-Gordon,

utt − c2∆u + m2u = 0, con m > 0.

(a) Derive su energıa (debe ser funcion de t);(b) Demuestre que dicha energıa es independiente de t.

1

2 EXAMEN # 2. FECHA: JUEVES 28 DE NOVIEMBRE DE 2012.

BLOQUE II

(4) Encuentre las soluciones de la ecuacion

∆u = k2u, en R3,

con k > 0, que solo sean funcion de r =√

x2 + y2 + z2. (Sugerencia: Use el cambio de variable u = v/r).

(5) Demuestre que no hay solucion para el problema de valores en la frontera

∆u = f, Ω ⊂ R3

∂u

∂n= g, on ∂Ω,

a menos que ∫∫∫Ω

f dΩ =

∫∫∂Ω

g dS.

(Sugerencia: Integre la ecuacion).

(6) Verifique la validez del Principio del Maximo para la funcion

u(x, y) =1− x2 − y2

1− 2x + x2 + y2,

en la bola unitaria B1(0) = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1. De una explicacion de por que funciona.