Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

CAPÍTULO 1

Contenidos

• 1.1 Definiciones y Terminología• 1.2 Problemas de Valor Inicial• 1.3 Ecuaciones Diferenciales como Modelos

Matemáticos

1.1 Definiciones y Terminología• Introducción: ecuaciones diferenciales significa que

contienen derivadas, por ejemplo:dy/dx = 0.2xy (1)

Ecuación Diferencial (ED): Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes.

ED Ordinaria (EDO): Una ecuación que contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de una sola variable independiente.

Por ejemplo: dy/dx + 5y = ex, (dx/dt) + (dy/dt) = 2x + y (2)

DEFINICIÓN 1.1

• ED Parcial: Una ecuación que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

(3)

• Notaciones: Notación de Leibniz: dy/dx, d2y/ dx2

Notación con primas y’, y”, ….. Notación de subíndice ux, uy, uxx, uyy,

uxy , ….• Orden: el orden más alto de la derivadas.

segundo orden primer orden

Es una ED de segundo

orden

tu

t

u

x

u

y

u

x

u

2 ,0 2

2

2

2

2

2

2

2

xeydydx

dx

yd

45

3

2

2

• Forma general de orden n EDO:(4)

• Forma normal de (4):(5)

por ejemplo, forma normal de 4xy’ + y = x, es y’ = (x – y)/4x

• Linealidad: Una ODE de orden n es lineal si F es lineal en y, y’, y”, …, y(n). Esto significa que cuando (4) es lineal, tenemos

(6)

0) , ,' , ,( )( nyyyxF

)()()()( 011

1

1 xgyxadxdy

xadx

yda

dx

ydxa n

n

nn

n

n

) , ,' , ,( )1( nn

n

yyyxfdx

yd

• Los casos siguientes son para n=1 y n=2:

(7)• Dos propiedades de una EDO:

1) y, y’, y”, … son de primer grado.2) Coeficientes a0, a1, …, dependen solo

de la variable independiente x.• Ejemplos no lineales:

)()()()( 012

2

2 xgyxadxdy

xadx

ydxa

)()()( 01 xgyxadxdy

xa

')1( yy siny 2y

Solución de EDOCualquier función , definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una entidad, se considera solución de al ecuación en el intervalo

DEFINICIÓN 1.2

Ejemplo 1Comprobar que la función indicada es la solución de la EDO dada en (－ , )(a) dy/dx = xy1/2; y = x4/16 (b)

Solución:(a) lado izquierdo :

lado derecho, derecha = izquierda:

(b) Derivando en la ecuación de la derecha e igualando:

Nótese que y=0 también es la solución del ejemplo 1, llamada solución trivial.

xxeyyyy ;02

4164

33 xxdxdy

4416

322/142/1 xx

xx

xxy

0)(2)2(2 xxxxx xeexeexeyyy

Ejemplo 2 Función vs Solución

y = 1/x es al solución de xy’ + y = 0, sin embargo esta función no es diferenciable en x = 0. por tanto el intervalo de definición I es (-, 0), (0, ).Fig. 1.1

• Solución explícita: la variable dependiente está expresada solamente en términos de variables independientes y constantes.

Por ejemplo: solución is y = (x).Solución implícita de una

EDOUna relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una EDO (4) en un intervalo I, siempre que exista al menos una función que satisface tanto la relación como la ED

DEFINICIÓN 1.3

Ejemplo 3

x2 + y2 = 25 es una solución implícita de dy/dx = −x/y (8)

en el intervalo -5 < x < 5.

dx2/dx + dy2/dx = (d/dx)(25)luego 2x + 2y(dy/dx) = 0 and dy/dx = -x/y

la curva solución está representada en Fig. 1.2

Fig. 1.2

• Familias de soluciones: Una solución que contiene una constante arbitraria representa el conjunto G(x,y) = 0 de soluciones, llamado familia uniparamétrica de soluciones. Un conjunto G(x, y, c1, c2, …, cn) = 0 de soluciones se llama familia no paramétrica de soluciones.

• Solución particular: Solución libre se de parámetros arbitrarios. Por ejemplo : y = cx – x cos x es una solución de xy’ – y = x2 sin x en (-, ), y = x cos x es una solución particular según c = 0. (Fig, 1.3)

Fig. 1.3

Ejemplo 4

x = c1cos 4t y x = c2 sen 4t son soluciones de x + 16x = 0podemos comprobar fácilmente que x = c1cos 4t + c2 sin 4t es también una solución.

Ejemplo 5

Podemos comprobar que y = cx4 es una solución de xy – 4y = 0 en (-, ). (Fig. 1.4(a))La función definida a trozos

es una solución particular donde elegimos c = −1 para x < 0 y c = 1 para x 0. (Fig. 1.4(b))

0 ,

0 ,4

4

xx

xxy

Fig. 1.4

• Solución singular: Una solución que no puede obtenerse mediante sustitución de algún parámetro.y = (x2/4 + c)2 es la familia de soluciones de dy/dx = xy1/2 , mientras que y = 0 es una solución de la ED anterior.No podemos encontrar ningún valor de c para obtener al solución y = 0, así que llamamos a y = 0 solución singular.

• Sistema de EDs: dos o más ecuaciones con dos o más funciones desconocidas de una variable independiente singular.

dx/dt = f(t, x, y) dy/dt = g(t, x, y)(9)

1.2 Problemas de Valor Inicial • Introducción: Una solución y(x) de una ED satisface

una condición inicial.• Ejemplo: en un intervalo I que contiene a xo

resolver

sujeta a

A esto se le llama Problema de Valor Inicial.y(xo) = yo , y(xo) = y1 ,reciben el nombre de condiciones iniciales.

) , ,' , ,( )1( nn

n

yyyxfdx

yd

10)1(

1000 )( , ,)(' ,)( n

n yxyyxyyxy

10)1( )(

nn yxy

• PVIs de primer y segundo orden

resolver:

sujeta a: (2)

Yresolver:

sujeta a: (3)

son problemas de valor inicial de primer y segundo orden, respectivamente. (Fig. 1.7 y 1.8)

Fig. 1.7 Fig. 1.8

Ejemplo 1

Sabemos que y = cex es la solución de y’ = y en (-, ). Si y(0) = 3, entonces 3 = ce0 = c. Así y = 3ex es una solución de este problema de valor inicial.

Si queremos una solución que pase por(1, -2), es deciry(1) = -2, -2 = ce, c = -2e-1. (Fig1.9)

Fig1.9

Ejemplo 2

En el problema 6 de la sec. 2.2, tenemos la solución dey’ + 2xy2 = 0 es y = 1/(x2 + c). Si imponemos (0) = -1, obtenemos c = -1. Considérense las siguientes distinciones:

1) Como función, El dominio de y = 1/(x2 - 1) es el conjunto de todos los números reales excepto -1 y 1. (Fig1.10(a))

2) Como una solución, los intervalos de definición son (-, 1), (-1, 1), (1, )

3) Como un problema de valor inicial, y(0) = -1, el intervalo de definición es (-1, 1). (Fig. 1.10)

Fig. 1.10

Ejemplo 3En el ejemplo 4 de la sec. 1.1, observamos que x = c1cos 4t + c2sen 4t es una solución de x + 16x = 0Hallar una solución del siguiente PVI:

x + 16x = 0, x(/2) = −2, x(/2) = 1 (4)

Solución:Sustituimos x(/2) = − 2 en x = c1cos 4t + c2sen 4t, obtenemos c1 = −2. De la misma manera, a partir de x(/2) = 1 obtenemos c2 = ¼.

• Existencia y Unicidad:

¿Existe una solución del PVI?Si existe una solución, ¿es única?

Ejemplo 4

• Ya que y = x4/16 e y = 0 satisfacen la EDdy/dx = xy1/2 , y también el valor inicial y(0) = 0, Esta ED tiene al menos dos soluciones (Fig. 1.11)

Fig1.11

Existencia de una solución únicaSea R la región rectangular definida por a x b, c y d que contiene el punto (xo, yo) en su interior. Si f(x, y) y f/y son continuas en R, entonces existe algún intervalo Io: xo- h < x < xo + h, h > 0, contenido en a x b y una función única y(x) definida en Io que es una solución del PVI (2).

La geometría del Teorema 1.1 se muestra en Fig. 1.12

TEOREMA 1.1

Fig. 1.12

Ejemplo 5

• Para la ED: dy/dx = xy1/2 , la inspección de las funciones

muestra que son continuas en y>0. Basándonos en el Teorema 1.1 concluimos que para cada punto (xo, yo), yo > 0 existe un intervalo centrado en xo en el cual esta ED tiene una solución única.

2/12/1

2y ) ,(

y

x

y

fxyyxf

• Intervalo de Existencia y UnicidadSuponiendo que y(x) es una solución del PVI (2), los siguientes conjuntos pueden no ser los mismos:

o el dominio de y(x),o el intervalo de definición de y(x) como solución,o el intervalo Io de existencia y unicidad.

1.3 EDs como Modelos Matemáticos

• Introducción:Modelos matemáticos son descripciones matemáticas de algo.

• Nivel de resolución:Se hacen unas suposiciones razonables sobre el sistema.

• Los pasos del proceso de modelación son los siguientes:

SuposicionesSe expresan las suposiciones en

términos de ecuaciones diferenciales

Formulación matemática

Se resuelven las EDs

Se obtiene la solución

Se muestran las predicciones del modelo,

Por ejemplo gráficamente

Se comprueban las predicciones del modelo con

hechos conocidos

Si es necesario,Se modifican las suposiciones

o se aumentan la resolución del modelo

• Dinámica PoblacionalSi P(t) representa la población en el tiempo t, entonces

dP/dt P ó dP/dt = kP (1)donde k es una constante de proporcionalidad, y k > 0.

• Desintegración RadiactivaSi A(t) representa la cantidad de sustancia restante en el tiempo t, entonces

dA/dt A ó dA/dt = kA (2) donde k es una constante de proporcionalidad, y k < 0.

Una sola ED puede servir como un modelo matemático para michos fenómenos.

• La ley de Newton del Enfriamiento/CalentamientoSi T(t) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo t, Tm la temperatura del medio, entonces

dT/dt T - Tm ó dT/dt = k(T - Tm) (3)

donde k es una constante de proporcionalidad.

• Extensión de una Enfermedad

Si x(t) representa el número de personas que se han contagiado de una enfermedad e y(t) el número de personas que todavía no, entonces

dx/dt = kxy (4)donde k es una constante de proporcionalidad.Por la descripción anterior, imagínese una comunidad con una población fija n, si se introduce en esta comunidad una persona infectada, tenemos x + y = n +1, y

dx/dt = kx(n + 1 – x) (5)

• Reacciones QuímicasObserve al siguiente reacción:

CH3Cl + NaOH CH3OH + NaCl

Asumimos que X es la cantidad de CH3OH, y son las cantidades de los reactivos, entonces la velocidad de reacción es

dx/dt = k( - x)( - x)(6)

• MezclasFig. 1.19. Si A(t) representa la cantidad de sal en el tanque en tiempo t, entonces

dA/dt = velocidad de entrada – velocidad de salida = Rentrada - Rsalida (7)

Tenemos Rentrada = 6 lb/min, Rsalida = A(t)/100 (lb/min), entonces dA/dt = 6 – A/100 ó dA/dt + A/100 = 6 (8)

Fig. 1.19

• Drenaje de un TanqueHaciendo referencia a la Fig. 1.20 y basándose en la Ley de Torricelli, si V(t) representa el volumen de agua en el tanque en tiempo t,

(9)

A partir de (9), como tenemos que V(t) = Awh, entonces:

(10)

ghAdtdV

h 2

ghAA

dtdh

w

h 2

Fig. 1.20

• Circuitos en SerieFig. 1.12a partir de la Segunda Ley de Kirchhoff tenemos:

(11)

donde q(t) es la carga y dq(t)/dt = i(t) es la intensidad de corriente.

)(1

2

2

tEqCdt

dqR

dt

qdL

Fig. 1.21

• Caída de los cuerposFig. 1.22 A parir de la 1ª Ley de Newton tenemos

(12)

Problema de valor inicial

(13)

ó 2

2

mgdt

sdm g

dt

sd

2

2

002

2

)0(' ,)0( , vsssgdt

sd

Fig. 1.22

• Caída de los Cuerpos y la Resistencia del AireFig. 1.23Tenemos la ED

(14)

y puede escribirse como

ó(15)

kvmgdtdv

m

dt

dskmg

dt

sdm

2

2

mgdt

dsk

dt

sdm

2

2

Fig. 1.23

• Deslizamiento de cadena

Fig. 1.24. Tenemos

ó(16)

232 2

2

xdt

xdL 0

642

2

xLdt

xd

Fig. 1.24

• Cables SuspendidosFig. 1.25Tenemos

dy/dx = W/T1

(17)

Fig. 1.25

Fig. 1.26

• Fig. 1.26 explica el Elemento de un cable.