ecuaciones diferenciales ordinarias

Facultad de Ciencias de Ingeniería

Análisis Matemático IV – “A”

1

I. Indicar el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) ( ) [ ( ) ]

Solución:

2do Orden; 2do Grado.

b)

*(

)

+

Solución:

{*

+

⁄

}

{

[(

)

⁄

]}

{

(

)

⁄

*

(

)+}

{

(

)

⁄

(

)}

{(

)

⁄

(

)}

{

(

)

⁄

(

)}

{

(

)

⁄

(

)

}

(

)

⁄

(

)

(

)

4to Orden; 1er Grado.

c)

∫ (

⁄ )

√

Solución:

1er Orden; Grado no definido.

d) (

)

Solución:

(

)

,

*

+-



2

*

(

)

( )

+

*

+

(

)

( )

*

(

)

( )+

*

+

4to Orden; 1er Grado.

II. Compruébese si la función dada es solución de la ecuaciones diferenciales correspondiente:

a)

[ ( ) ( )]

Solución:

Derivando con respecto a "x": la ecuación

( )

( )

( )

[ ( ) ( )]

* (

)+

(

)

Reemplazando:

( )

( )

Igualando:

( )

( )



3

Si es solución de la ecuación diferencial

b) ( ) ( )

Solución:

Derivando con respecto a "x": la ecuación

( )

( )

( )

[ ( ) ]

( )

Reemplazandoenlaecuación: ( )

[

( ) ] [ ( ) ]

[ ( ) ]

[ ( ) ]


c) ( )

Solución:

Despejando

√

Derivando:

Reemplazando: ( )

(

)

(

)

(

) (

)



4

( ) ( )

No es solución de la ecuación diferencial

d)

Solución:

Derivamos la ecuación:

Pero:

Reemplazando en:

Reemplazando en la EDO:

(

)




5

e) ∫ ( )

( )

Solución:

Primer Teorema Del Cálculo:

∫ ( ) ( )

( )

[ ( )]

[ ( )] [ ( )]

[ ( )]

Derivando

*∫ ( )

+ ∫ ( )

{ ( )

( )

( )} ∫ ( )

( ) ∫ ( )

( )

∫ ( )

Despejan la integral en:

∫ ( )

∫ ( )

Reemplazando en la primera derivada:

( )

[ ( )]

Ahora reemplazamos en la solución de la EDO: ( )

, [ ( )]

- ( )

[ ( )] ( )

( ) ( )


f) ( ) ( )

Solución:

Hallamos:



6

( ( ) ( ))

( ( ))

( ( ))

( )

( ( ) ( ))

( ( ))

( ( ))

( )

III. Hállese una ecuación diferencial para cada una de las siguientes de las curvas en el plano

XY:

a) Circunferencias con radio fijo r y tangente al eje X:

Solución:

Nuestras condiciones:

( ) ( )

Acomodando:

( )

( ) ……………. (a)

Derivando implícitamente (a) y despejando k:



7

( ) …………….(b)

( )

Reemplazando:

( )

( ( ))

( )

( )

b) Todas las circunferencias.

Solución:

Se tiene la ecuación de todas las circunferencias( ) ( ) derivando

respecto a “x”

( ) ( )

Se tiene:

( )

( )

Se tiene:

(

)

( ) (

)( )(

)

( ) (

) Ecuacion diferencias de todas las circunferencias

c) Las cónicas centrales con focales

con a y b fijos.

Solución:

d) Las estrofoides ( )

Solución:

Ordenando:

( ) ( )

( ) ( ) ………………………….(a)

Derivada implícita

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ……………………………(b)

Despejando a de (a):

( )



8

Reemplazando en (b)

( ) ( )

( )

(

) ( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

( ) ( )

Despejando a de (b):

( )

( )

e) Las trisectrices de Maclaurin ( ( ) ( )) .

Solución:

( ( ) ( ))

Despejando a y derivando:

( ) ( ) ( )

( ( ) ( ( )

( ) ))

( )

( )( ( )

( )

( ))

( )( ( ) ( ))

Por lo tanto:

( )



9

IV. Determinar para que valores de “m”, cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

tiene soluciones de la forma:

a)

Solución:

Derivando y respecto a x

Reemplazando en la EDO

( )

( )

Restricción:

( )

La ecuación diferencial tiene solución para valores de:

b)

Solución:



( )

Restricción:

( ) ( )( ) ( ) ( )


c)

Solución:




10


( ) ( )( )

Restricción:

( )( ) ( )


d)

Solución:

Reemplazamos en la Ec. Diferencial:

Factorizando

( )

( )( )

( )

( )


e)

Solución:

Reemplazamos en la Ec. Diferencial:

( )

( )( )( )

( )

( )



11


V. Determinar para que valores de “m” , cada una de las siguientes ecuaciones de la forma:

a) Solución:

( )

Reemplazando:

[ ( ) ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )( )

b)

Solución:

( )

Reemplazando:

[ ( ) ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )( )

VI. Resolver:

a) Demuéstrese que si ( ) e ( ) son dos soluciones diferentes de la

ecuación , entonces ( ) ( ) también es una solución

siendo A y B constantes.

Solución:



12

b) Verifique que e son soluciones de la ecuación diferencial de (a) y, por

consiguiente, que también es una solución.

Solución:

c) Utilizando el resuelto de (b), determínese una solución de la ecuación diferencial que

satisfaga las condiciones ( ) , ( )

Solución:

d) Aplicar este ejercicio en (IV) y (V) para hallar una solución que tenga tantas constantes

como es el orden de la ecuación diferencial.

Solución:

e) Determínese una solución de las ecuaciones diferenciales dada en (IV - e) anterior, que

satisfaga las condiciones ( ) ( ) ( ) .

Solución:

VII. Obténgase la ecuación en derivadas parciales de primer orden que tenga como primitiva a:

a) Solución:

Entonces su solución en derivadas parciales es la derivada respecto a X más la derivada

respecto a Y.

b)

Solución:


respecto a Y.

( ) ( )

( )

c)

Solución:


respecto a Y.



13

√

Reemplazando:

√

d) ( )

Solución:


respecto a Y.

( )

( )

e) ( )

Solución:


respecto a Y.

VIII. Aplicando el método de las isóclinas, trazar las curvas integrales de las ecuaciones

diferenciales ordinarias siguientes:

a)

Solución:

1)

( )

Familia de rectas

Se: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y mín.)

2) Determinar isóclinas particulares:

Si:

Si:



14

Si:

Si:

Si:

3) Los valores extremos:

4) Analizar los puntos de inflexión y concavidad:

(Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión).

5) Analizando si una isóclina en una curva integral:

6) Analizar el teorema de existencia y unicidad:

( ) ( )

7) Grafico:



15

b)

Solución:

1)

( )

Familia de rectas

Se: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y

mín.)


Si:

Si:

Si:

Si:

Si:



( ) (Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión).



( ) ( )

7) Grafico:



16

c) ( )

Solución:

1)

( )

√

Puntos

Se: (punto)


√ [ ⟩

Si:

Si:

Si: √

Si: √

Si:


( )




17

( ) ( )( ) ( )

(Punto).



( ) ( ) ( )

7) Grafico:

d)

Solución:

1)

( )

√

Las graficas son:

Si c es positivo es una familia de hipérbolas que se abren hacia “x”



18

Si c es negativo es una familia de hipérbolas que se abren hacia “y”

Si: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y

mín.)


√

Si: √

Si: √

Si:

Si: √

Si: √



( )



( ) ( )

7) Grafica:



19

e)

Solución:

1)

( )

Familia de parábolas que se abre hacia “y”

Si: (una parábola vértice de (-1; -1) por el origen sobre la cual

están los máx. y mín.)


Si:

Si:

Si:

Si:

Si:


( ) ( )



20


( )

Ecuación sobre la cual están los puntos de inflexión.



( ) ( )

7) Grafica:

f)

Solución:

1)

( )

( )



21

Familia de rectas que p0asa por el origen

Si: (recta que pasa por el origen sobre la cual están los máx. y mín.)


( )

Si:

Si:

Si:

Si:

Si:



( )( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

[( ) ( )]

( )

[ ]

( )

(

)

( ) (

)( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )




( )



22

( )

7) Grafica:

g)

( )

Solución:

1)

( )

Familia de rectas

Si:

(recta sobre la cual están los máx. y mín.)


Si:

Si:



23

Si:

Si:

Si:


( )


( )

( )

( )




( )

( )

( )

7) Grafica:



24

h)

Solución:

1)

( ) ( )

Familia de rectas

Si: (punto)


( )

Si: ( )

Si: ( )

Si:

Si: ( )

Si: ( )





25

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Ecuación no tiene puntos de inflexión.



( )

( )

7) Grafica:



26

IX. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

a) ( ) ( )

Solución:

( )

( )

( )

∫

( ) ∫

∫ ( )

( ) ∫ ∫

Solución General:

( )

Con:

( )

( )



27

Solución Particular:

( )

( )

b) ( ) ( )

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

No es de variable separable

c) ( ( ) ( ) )

Solución:

( ) ( ) [ ( )] ( )

( )

[ ( )]

∫ ∫ ( )

[ ( )] ∫

∫ ∫ ( )

* ( )

+

∫ ∫ [ ( ) ⁄ ]

[ ( ) ⁄ ]

Solución General:

[ ( )

]

d) ( ) ( ) ( )

Solución:

( )

( )

∫ ( ) ∫

( ) ∫



28

[ ( ) ] { | ( )| ∑

[ ( )]

} ∫

Solución General:

[ ( ) ] { | ( )| ∑

[ ( )]

}

Con:

[ ( ) ] { | ( )| ∑

[ ( )]

}

{∑

}

∑


[ ( ) ] { | ( )| ∑

[ ( )]

} ∑

e) ( )

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

∫( )

∫

( )

∫

∫( )

∫

( )

∫

( ) ( )

Solución General:

( )

f)

Solución:



29

∫ ∫

∫

∫ ∫

∫

Solución General:

g) ( )

Solución:

∫

∫ ∫

( )

( )

Solución General:

( )

Con:

( ) ( ) ( ) ( )


h)

(

) (

)

Solución:

(

) (

)



30

(

) (

)

(

) (

)

( ⁄ ) (

⁄ )

( ⁄ ) ( ⁄ )

( ⁄ ) ( ⁄ )

∫

( ⁄ ) ∫ ( ⁄ ) ∫

| ( ⁄ ) ( ⁄ )| (

⁄ )

Solución General:

| ( ⁄ ) ( ⁄ )| (

⁄ )

i) ( ) ( )

Solución:

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )( )

( )

( )

( )

∫

( ) ∫

( )

( ) ∫

( ) ( )

Solución General:

[( )( ) ]

j) ( )( ) ( )

Solución:

( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )]

[( ) ( )]

( )

∫ ∫[( ) ( )]

( ) ∫



31

∫ ∫(

) ∫

( ) ( )

Solución General:

( ) ( )

k) ( ) ( )

Solución:

[( ) ( )] [ ]

( )( ) [ ( ) ( ) ( )]

( )( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

∫

∫

∫

∫ ( )

∫

∫

( )

( ) ( )

Solución General:

[( )( )] ( )

l) ( ) (

)

Solución:

( ( ) ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )



32

∫

∫

∫

( )

∫

( )

∫ ( )

( )

( )

Solución General:

(

)

Con: ⁄

[ ( )

(

) ]


√(

)

√

m)

Solución:

( ) ( )

( ( ) ) ( ( ) )( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )



33

( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

∫

∫

( )

∫

( ) ∫( )

Solución General:

ecuaciones diferenciales ordinarias

Education