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EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIAlES EXACTAS

En los problemas 1 a 24 determine si la ecuacin dada es exacta. Si lo es, resulvala.

l. (2x -1)dx + (3y + 7)dy = O

Solucin:(2x -1)dx + (3y + 7)dy =O(1)

En este caso se tieneM(x,y) = 2x -1 y N(x,y) = 3y + 7

con

esto es

aM = a(2x-1) =O Y aN = a(3y+7) =Oayayaxax

aM = aN(2)ayaxDe (2) se concluye que la ecuacin (1) es exacta. Por!o que existe una funcin j(x,y) para la que

a = 2x -1 ya = 3y + 7(3)axayIntegrando la primera ecuacin en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:

j(x,y) = x 2 - x+ g(y)(4),

::::}a = g'(y)(5)ayIgualamos a (5) con N(x,y) = 3y + 7 g'(y) = 3y + 7,

2y2g(y) = 3

+ 7y(6),

((6)en(4)}

Por lo tanto, la solucin general de la ED (1) es:

x 2 -x+ 3y 2 +7y=c.2

2. (2x +y)dx- (x + 6y)dy =O

Solucin:(2x +y)dx- (x + 6y)dy =O(1)

En este caso se tieneM(x,y) = 2x +y y N(x,y) = -(x + 6y) = -x -6y

con

as

11aM =a(2x+y)=aNa(-x-6y)_ayayyax =ax

2aM" aN( )ayax

De (2) se concluye que la ecuacin (1) no es exacta.

3. (5x+4y)dx+(4x-8y 3)dy =O

Solucin:(5x +4y)dx + (4x-8y3)dy =O(1)

En este caso se tieneM(x,y)=5x+4yy N(x,y)=4x-8y 3

con

esto es

3aM = a(5x+4y) = 4 Y aN = a(4x-8yayayaxax

) = 4

aM = aN(2)ayaxDe (2) se concluye que la ecuacin (1) es exacta. Por lo que existe una funcin j(x,y) para la que

a =5x+4y ya =4x-8y3(3)axayIntegrando la primera ecuacin en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:f(x,y) = 5x2 + g(y)(4),2

::::}a = g'(y)(5)ayIgualamos a (5) con N(x,y) = 4x- 8y3 :g'(y) = 4x -8y3 ,

::::}g(y) =4xy-2y'(6),

f(x,y) = 5 x2 +4xy-2y2

((6)en(4)}

Por lo tanto, la solucin general de la ED (1) es:

%x2 +4xy-2y' =c.

En los problemas 25 - 30 resuelva la ecuacin diferencial dada sujeta a la condicin inicial que se indica:

25 . (x + y) 2 dx + (2xy + x 2 -!)dy =O; y(!)= 1

Solucin:(x+y) 2 dx+ (2xy+x2 -!)dy= O(1)y(!) = 1 (2)La ecuacin ( 1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con:M(x,y) = (x +y/y N(x,y) = 2xy + x 2 -1

por lo que

esto es

YaM = 2(x +y) = 2x + 2yay

aN = 2y+2xax

=2aMaN( )ayaxDe (2) se concluye que la ecuacin ( 1) es exacta; por!o que existe una funcin j(x,y) para la que

ax = (x + y) 2 = x2 + 2xy + y 2y

ay = 2xy + x 2 -1 (3)

Integrando la primera ecuacin en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:

j(x,y) = x3 + x 2y + xy 2 + g(y)(4),

::::}

2ay = x + 2xy + g'(y)(5)

Igualamos a (5) con N(x,y) = 2xy + x2 -1:x 2 + 2xy+ g'(y) = 2xy+x 2 -1{::} g'(y) = -1,::::}g(y) =-y(6),

((6) en (4))Por lo tanto, la solucin general de la ED ( 1) es:

x3 + x2y + xy2- y= e(7)3Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:(li + (1)2 (1) + (1)(1) 2 -1= e {::}+ 1+ 1-1=e {::}e = .i(8)333Por ltimo, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solucin particular que contiene al par ordenado (1, 1):

x3 + x 2y + xy 2 -y=%{::} x 3 + 3x2y + 3xy 2 - 3y = 4.

26 . (e' +y)dx + (2 + x +ye 1)dy =O; y(O) = 1

Solucin:

(e'+y)dx + (2 + x +ye 1)dy =O( 1)y(O) = 1 (2)La ecuacin (1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con:

M(x,y)=e'+yy N(x,y)=2+x+ye 1

por lo queaMaNaMaN!Y = 1 yax = 1 esto es!Y = ax(2)

De (2) se concluye que la ecuacin ( 1) es exacta; por!o que existe una funcin j(x,y) para la que

a =e'+y ya =2+x+ye1(3)ax!YIntegrando la primera ecuacin en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:

j(x,y) =e'+ xy + g(y)(4),

a= x + g'(y)(5)ay

Igualamos a (5) con N(x,y) = 2 + x + ye' :

x + g'(y) = 2 + x +ye' {::} g'(y) = 2 + ye',

::::}g(y) = 2y +ye' -e'(6),

::::}j(x,y) =e'+ xy + 2y + ye' -e'((6) en (4)} Por lo tanto, la solucin general de la ED (1) es:e' + xy + 2y + ye 1 -e' = e(7)

Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:e0 + (0)(1) + 2(1) + le1 -e1 =e {::}e= 2(8)Por ltimo, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solucin particular que contiene al par ordenado (0, 1):

er + xy + 2y + ye' -e' = 2.

27. (4y+2x-5)dx+(6y+4x-1)dy=O; y(-1) =2

Solucin:(4y+2x-5)dx+(6y+4x-1)dy=O(1)y(-1) = 2(2)La ecuacin (1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con:M(x,y)=4y+2x-5y N(x,y)=6y+4x-1por lo que

aMaNaMaN-ay = 4y -= 4 eax'sto es -=-ayax(2)

De (2) se concluye que la ecuacin ( 1) es exacta; por!o que existe una funcin j(x,y) para la que

a =4y+2x-5 ya =6y+4x-1(3)axayIntegrando la primera ecuacin en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:j(x,y) = 4xy + x 2 - 5x + g(y)(4),

::::}a = 4x + g'(y)(5)ayIgualamos a (5) con N(x,y) = 6y + 4x -14x + g'(y) = 6y + 4x -1{::} g'(y) = 6y -1,::::}g(y) = 3y2 -y(6),::::}f(x,y) = 4xy + x 2 -5x + 3y2 -y((6)en(4)}Por lo tanto, la solucin general de laED ( 1) es:

4xy+x2 -5x+3y2 -y=e(7)

Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:4(-1)(2) + (-1)2 -5(-1) + 3(2i - 2 = e {::}e = 8(8)Por ltimo, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solucin particular que contiene al par ordenado ( -1, 2):

4xy + x 2 - 5x + 3y2 -y= 8.

EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

En los problemas 1 a 24 determine si la ecuacin dada es exacta. Si lo es, resulvala.

En los problemas 25 - 30 resuelva la ecuacin diferencial dada sujeta a la condicin inicial que se indica:

25 . (x + y) 2 dx + (2xy + x 2 -!)dy =O; y(!)= 1

Solucin:(x+y) 2 dx+ (2xy+x2 -!)dy= O(1)y(!) = 1 (2)La ecuacin ( 1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con:M(x,y) = (x +y/y N(x,y) = 2xy + x 2 -1

por lo que

esto es

YaM = 2(x +y) = 2x + 2yay

aN = 2y+2xax

=2aMaN( )ayaxDe (2) se concluye que la ecuacin ( 1) es exacta; por!o que existe una funcin j(x,y) para la que

ax = (x + y) 2 = x2 + 2xy + y 2y

ay = 2xy + x 2 -1 (3)

Integrando la primera ecuacin en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:

j(x,y) = x3 + x 2y + xy 2 + g(y)(4),

::::}

2ay = x + 2xy + g'(y)(5)

Igualamos a (5) con N(x,y) = 2xy + x2 -1:x 2 + 2xy+ g'(y) = 2xy+x 2 -1{::} g'(y) = -1,::::}g(y) =-y(6),

((6) en (4))Por lo tanto, la solucin general de la ED ( 1) es:

x3 + x2y + xy2- y= e(7)3Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:(li + (1)2 (1) + (1)(1) 2 -1= e {::}+ 1+ 1-1=e {::}e = .i(8)333Por ltimo, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solucin particular que contiene al par ordenado (1, 1):

x3 + x 2y + xy 2 -y=%{::} x 3 + 3x2y + 3xy 2 - 3y = 4.

26 . (e' +y)dx + (2 + x +ye 1)dy =O; y(O) = 1

Solucin:

(e'+y)dx + (2 + x +ye 1)dy =O( 1)y(O) = 1 (2)La ecuacin (1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con:

M(x,y)=e'+yy N(x,y)=2+x+ye 1

por lo queaMaNaMaN!Y = 1 yax = 1 esto es!Y = ax(2)

De (2) se concluye que la ecuacin ( 1) es exacta; por!o que existe una funcin j(x,y) para la que

a =e'+y ya =2+x+ye1(3)ax!YIntegrando la primera ecuacin en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:

j(x,y) =e'+ xy + g(y)(4),

a= x + g'(y)(5)ay

Igualamos a (5) con N(x,y) = 2 + x + ye' :

x + g'(y) = 2 + x +ye' {::} g'(y) = 2 + ye',

::::}g(y) = 2y +ye' -e'(6),

::::}j(x,y) =e'+ xy + 2y + ye' -e'((6) en (4)} Por lo tanto, la solucin general de la ED (1) es:e' + xy + 2y + ye 1 -e' = e(7)

Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:e0 + (0)(1) + 2(1) + le1 -e1 =e {::}e= 2(8)Por ltimo, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solucin particular que contiene al par ordenado (0, 1):

er + xy + 2y + ye' -e' = 2.

27. (4y+2x-5)dx+(6y+4x-1)dy=O; y(-1) =2

Solucin:(4y+2x-5)dx+(6y+4x-1)dy=O(1)y(-1) = 2(2)La ecuacin (1) es de la forma M(x,y)dx + N(x,y)dy =O; con:M(x,y)=4y+2x-5y N(x,y)=6y+4x-1por lo que

aMaNaMaN-ay = 4y -= 4 eax'sto es -=-ayax(2)

De (2) se concluye que la ecuacin ( 1) es exacta; por!o que existe una funcin j(x,y) para la que

a =4y+2x-5 ya =6y+4x-1(3)axayIntegrando la primera ecuacin en (3) respecto a x (manteniendo a y constante), se obtiene:j(x,y) = 4xy + x 2 - 5x + g(y)(4),

::::}a = 4x + g'(y)(5)ayIgualamos a (5) con N(x,y) = 6y + 4x -14x + g'(y) = 6y + 4x -1{::} g'(y) = 6y -1,::::}g(y) = 3y2 -y(6),::::}f(x,y) = 4xy + x 2 -5x + 3y2 -y((6)en(4)}Por lo tanto, la solucin general de laED ( 1) es:

4xy+x2 -5x+3y2 -y=e(7)

Ahora, sustiuyendo (2) en (7), se obtiene:4(-1)(2) + (-1)2 -5(-1) + 3(2i - 2 = e {::}e = 8(8)Por ltimo, al sustituir (8) en (7) se encuentra la solucin particular que contiene al par ordenado ( -1, 2):

4xy + x 2 - 5x + 3y2 -y= 8.