ecuaciones diferenciales conceptos basicos

8/2/2019 Ecuaciones Diferenciales Conceptos Basicos

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Ecuaciones DiferencialesConceptos Bsicos

Resumen Preparado por: Rosa De Pea

Ecuacin Diferencial: Es una ecuacin que contiene las derivadas de una o msvariables dependientes con respecto a una o ms variables independientes.

Ecuacin Diferencial Ordin aria: Es una ecuacin diferencial que contiene unasola variable independiente.Ej:

1) kAdt

dA= 2) 06

2

2

=+ ydx

dy

dx

yd

Ecuacin diferencial en der ivadas parciales: Es una ecuacin diferencial quecontiene una o ms de una variable independiente.

Ej:

1) yx

f8=

2)x

v

y

u

=

Solucin Particular de Ecuacin Diferencial

Orden de una ecuacin di ferencial: Se define por la mayor derivada obtenidade la funcin primitiva.Ej:

xey

dx

dy

dx

yd=

+ 365

3

3

Ecuacin diferencial de orden tres o de tercer orden

Grado de una ecuacin diferencial: Es el grado algebraico que se obtiene enla derivada de mayor orden de una ecuacin diferencial.Ej:

xey

dx

dy

dx

yd=

+ 365

3

3

Ecuacin diferencial de primer grado

Form a imp lcita de una ecuacin diferencial:

F (x, y, y , y , ..., y(n) ) = 0

Ej: 4x y + y = x

Form a explcita o norm al de una ecuacin diferencial:

Dn y = f (x, y, y , y , ..., y(n 1))

Ej:x

yxy

4'

=


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Ecuacin Diferencial Lineal:

)()()(...)()(01)1(

)1(

)1( xgyxAdx

dyxA

dx

ydxA

dx

ydxA

n

n

nn

n

n =++++

La variable dependiente y sus derivadas son de primer grado.Cada coeficiente solo depende de x.x es la variable independiente.Ej: 4xy + y = x Ecuacin lineal respecto a y.

Solucin de una ecuacin di ferencial ord inaria: Es una funcin (x) definidaen un intervalo I, que posee al menos n derivadas contnuas en I, que alsustituirse en una ecuacin diferencial ordinaria de orden n la reducen en unaidentidad. Desprovista de derivadas o diferenciales y contiene un nmero deconstantes esenciales atendiendo al orden de la ecuacin diferencial que

corresponde.Representa una familia infinita de curvas.

Es decir, si F (x, y, y, ..., y(n) ) = 0y = (x) es solucin en I.

F (x, (x) , (x), ..., (n)(x) ) = 0 x I.

I nt ervalo de definicin: Intervalo de validez, intervalo de existencia. Es eldominio de la solucin.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden y Primer Grado.

a) Ecuacin Dif erencial de Variables Separables.)()( yhxg

dx

dy=

b) Ecuaciones de la for ma: )( CByAxGdx

dy++=

Mediante: z = Ax + By + C se logra la separacin de variables.

c) Funcin homognea. F ( t x , t y ) = t f ( x, y ) = Nmero real, f es una funcin homognea de grado .

La ecuacin diferencial: M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0

Es homognea si N, M son funciones homogneas del mismo grado.Mediante: y = v x x = v y se logra la separacin de variables.


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d) Ecuacin de coeficientes lineales

222

111

cybxa

cybxa

dx

dy

++++

=

Cuando:d.1) c1 = 0, c2 = 0 la ecuacin es homognea

d.2) kb

b

a

a==

2

1

2

1 la ecuacin se resuelve mediante la

sustitucin z = a1 x + b1 y + c1 z = a1 x + b1 y

d.3)2

1

2

1

bb

aa para hallar la solucin se hace una traslacin de ejes

mediante x = u + hy = w + k

e) Diferencial tot al: z = f (x, y) ; dyy

fdx

x

fdz

+

=

Ecuacin Diferencial Exacta:

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 . Es exacta si x

N

y

M

=

F(x, y) = M x + (y) = N y + (x) = C (y), (x) son funciones a determinar.

Ecuacin Diferencial I nexacta:

x

N

y

M

; xy NM

=

dx

N

NM xy

ex)( =

dy

M

MyNx

ey)(

Factor integrante es una funcin que transforma una ecuacin diferencialinexacta en exacta.

)(x , )(y representan factores integrantes.


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f) Ecuacin Diferencial Lineal:

A1 (x)dx

dy+ A0 (x) y = g (x) Es decir: e.1 )

dx

dy+ P (x) y = Q(x)

(x) = eP (x) dx

(x) y = (x) Q(x) dx + C Solucin de ecuacin diferencial lineal e.1

e.2)dy

dx+ P (y) x = Q(y)

(y) x = (y) Q(y) dy + C Solucin de ecuacin diferencial lineal e.2

Ecuacin de Bernoulli:

1)dx

dy+ P (x) y = Q (x) yn siendo: n 0 n 1

2)dy

dx+ P (y) x = Q (y) xn siendo: n 0 n 1

Aplicaciones

Trayectorias Ort ogonales:Dos familias infinitas de curvas definen trayectorias ortogonales si se cortanatendiendo a un ngulo de 900

a) Coordenadas rectangulares:f (x, y, C ) = 0 g (x, y, k ) = 0 mfmg = -1

f g son ortogonales si mf es perpendicular a mg

b) Coordenadas polares:f (r, , C ) = 0 g (r, , k) = 0 mfmg = -1

Tg = r ddr


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Modelo m atemt ico

Es la representacin de todas las caractersticas importantes de un sistema con elpropsito de derivar las ecuaciones matemticas que determinen sucomportamiento. Debe incluir los mnimos detalles del sistema tal que dichocomportamiento pueda ser representado por una ecuacin. Puede ser lineal o nolineal. Un modelo matemtico permite soluciones rpidas y simples, sin embargolos modelos no lineales, revelan algunas veces ciertas caractersticas del sistemaque los modelos lineales no proporcionan. La descripcin matemtica de unsistema o fenmeno se llama modelo matemti co..

Con frecuencia podemos describir el comportamiento de algn sistema oecosistema estudiando el crecimiento de las poblaciones de animales o podramostratar de fechar fsiles analizando la desintegracin de una sustancia radiactiva ocualquier fenmeno de la vida real en trminos matemticos; dicho sistema puedeser fsico, sociolgico o hasta econmico.

La formu lacin de un modelo matemt ico de un sist ema se inicia:

1) En un problema del mundo real, identificar las variables causantes del cambiodel sistema.

2) Formular el modelo. Establecer un conjunto de hiptesis razonables queincluya todas las leyes empricas aplicables al Sistema.Dado que las hiptesis acerca de un sistema implican con frecuencia la razn, otasa, de cambio de una o ms de las variables, el enunciado matemtico detodasesas hiptesis es una o ms ecuaciones donde intervienen derivadas. Enotras palabras, el modelo matemtico puede ser una ecuacin o un sistema deecuacionesdiferenciales.

3) Resolver el modelo planteado.

4) Interpretar la conclusin matemtica. Juzgamos que el modelo es razonable si

su solucin es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidosacerca del comportamiento del sistema Si las predicciones que se basan en lasolucin son deficientes, podemos aumentar el nivel de resolucin del modelo oelaborar hiptesis alternativas sobre los mecanismos de cambio del sistema;entonces, se repiten los pasos del proceso modelado.


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Crecimient o Demogrf ico KPdt

dP=

P(t) es la poblacin de un pas en cualquier momento t.

k es una constante de proporcionalidad.dP/dt = tasa de cambio de la poblacin(1/p) ( dp/dt) = tasa de crecimiento

Desint egracin r adiact iva Kmdt

dm=

m(t) = es la masa restante a partir de una masa inicial de una sustancia despusde un tiempo t-(1/m) (dm/dt) = tasa de desintegracin relativa.

La ley de la desintegracin radiactiva predice el decrecimiento con el tiempo delnmero de ncleos de una sustancia radiactiva dada, que van quedando sindesintegrar.

Ley de New ton del enfr iamiento o calent amiento

)( mTTKdt

dT=

T(t) representa la temperatura del objeto al tiempo t

Tm es la temperatura constante del medio que lo rodeadT/dt es la razn con que la temperatura del cuerpo cambia kes una constante de proporcionalidad.Para calentamiento o enfriamiento, si Tm es constante es razonable suponer quek < 0.

Propagacin de una enfermedad KXYdt

dX=

Denotemos con x (t) el nmero de personas que han contrado la enfermedad ycon y (t) el nmero de personas que no ha estado expuesta, todava, al contagio.La razn dx/dt a la que se propaga la enfermedad es proporcional al nmero deencuentros o interacciones entre estos dos grupos de personas. S suponemos queel nmero de interacciones es conjuntamente proporcional a x(t) y y(t) esproporcional a el producto xy. Siendo k la constante de proporcionalidad usual.


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Reacciones qumicas KABdt

dC=

En una reaccin qumica elemental, las molculas sencillas de dos reactivos A y Bforman una molcula del producto C: A + B C

dC = K (A)( B)dt

Si y son las cantidades de dos sustancias en t = 0 . Las cantidadesinstantneas de A y B que no se han convertido en la sustancia C son ( X ) y(X ), respectivamente. Por lo tanto, la rapidez de formacin de C est dada por

dX = k ( - X ) ( - X )dt

1

Drenado de un t anque

En hidrodinmica la ley de Torricelli: gyadt

dv2=

y(t) = alturav(t) = volumen del agua en un tanque en un instante t.Se aplica si el agua se fuga por un agujero de area a que se encuentra en elfondo del tanque.g = aceleracin debido a la gravedad.v =a y = el volumen de agua que sale del tanque

MezclasdA = Razn de entrada de solucin Razn de salida de solucin = Ri - RoLa mezcla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones, da lugar a unaecuacion de primer orden, que define la cantidad de sal que contiene la mezcla.

Circuit os en serie

Examinemos el circuito elctrico simple:Que contiene una fuerza electromotrz (batera o generador)Produce un voltaje E(t) volts

Con una corriente de I(t) amperes (A) en el instante t.Una resistencia de R ohms.Un inductor con una inductancia de L henrys (H).Segn la segunda ley del Kirchhoff :

E(t) = Ldt

dI+ R I


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Cada libre

Mediante la segunda ley de Newton F= ma= m dv = mg - kvdt

m es la masa del cuerpo.

dv + k v = gdt m

Ecuacin Dif erencial Lineal General:

L (y) = g (x)Si g (x) = 0 entonces es ecuacin homognea o ecuacin reducida.La solucin es: y = yc solucin complementaria

Si g (x) 0 entonces es ecuacin no homogneaLa solucin es: y = yc + yp. Yp = solucin particular.

Si : L = An (x) Dn +A(n 1)_(x) D

(n 1) + ... + A1 (x) D + A0 (x)La solucin general de una ecuacin diferencial homognea es:

Y = c1 y1 + c2 y2 + ... + cn yn

Wronskiano: Considere funciones f1 (x), f2 (x), ..., fn (x) que poseen al menos (n 1) derivadas.

f1 f2 ... fnW (f1, f2, ..., fn) = f1 f2 ... fn

. . .

. . .

. . .f1

(n 1) f2(n 1)fn

(n 1)

Si w 0 entonces las funciones son linealmente independientes.Si w = 0 entonces las funciones son linealmente dependientes.

Conj unt o Fundamental de Soluciones: Son las soluciones de una ecuacindiferencial homognea y1, y2, ..., yn que existen en un intervalo I.


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A partir de podemos formar la Ecuacin Caractersti ca, Ecuacindiscriminant e o Ecuacin Auxili ar:

An rn + A(n 1) r

(n 1) + A(n 2) r(n 2) + + A1r + A0 = 0

Si la ecuacin auxiliar y posee races reales distintas su solucin es:

r x r x r xY = C1 e

1 + C2 e2 + ... + Cn e

3

Si la ecuacin auxiliar posee n races reales repetidas su solucin es:

Y = [ C1 + C2x + ... + Cnx(n 1) ] er x

Siendo n un nmero par. Si la ecuacin auxiliar posee races complejas:Para un par conjugado: r1 = + i r2 = - i

La solucion es :Y = e x ( C1 cos x + C2 sen x )

Para todas las raices complejas repetidas, si la suma de constantes esenciales esigual a n, la solucion es :

Y = e x[ (A0 + A1x + A2x2 + ... + A (m 1) x (m 1) ) cos x +

(B0 + B1x + B2x2 + + B (m 1) x

(m 1)) sen x ]

A partir de las series :

...!3!2!1

132

++++=xxx

ex

...!4!2

1cos42

+=xx

x

...!5!3

53

++=xx

xsenx

Tenemos la frmula de Euler:

ei x = cos x + i sen xe i x = cos x i sen x


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Soluciones de Ecuacin .Ecuaciones No Homogneas. Determinacin de Solucion particular yp.

a) Coeficientes I ndeterminados: A partir de g (x) se puede usar siempreque las derivadas de g(x) sean finitas o peridicas.g(x) = p (x) . sen Bx . e xg(x) = p (x) . cos Bx, . e xp(x) es un polinomio.P(x) = An x

n + A (n 1) x(n 1) + ... + A1 x + A0

Yp se forma atendiendo al tipo de funcin de g(x). Tomando en cuenta larepeticin de raz que exista en g(x) y en la solucin complementaria yc.

b) Variacin de Parmetr os:A partir de Yc, cambiando las constantes porparmetrosTenemos:

Yp = 1 (x) y1 (x) + 2 (x) y2 (x) + ... + n (x) yn (x)

Construimos el sistema siguiente: 1 (x) y1 (x) + 2 (x) y2 (x) + ... + n (x) yn (x) = 0

1 (x) y1 (x) + 2 (x) y2 (x) + ... + n (x) yn (x) = 0... 1 (x) y1

(n-1) (x) + 2 (x) y2(n-1) (x) + ... + n (x) yn

(n-1) (x) = g(x)

W

Wkk =' k = 1, 2, ... , n dx

W

Wkk =

c) Operadores. Mtodo Abreviado.

1) f (D) (ea x y ) = ea x f (D + a) y2) f (D 2) sen a x = f ( - a 2) sen a x

3) f (D2

) cos a x = f ( - a2

) cos a x4) axax e

aFe

DFy

)(

1

)(

1== , F (a) 0


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5) )()(

1)(

)(

122

baxsenaF

baxsenDF

y +

=+= , F( -a2 ) 0

6) )cos()(

1)cos(

)(

122

baxaF

baxDF

y +

=+= , F( -a2 ) 0

7) mmmm

xDaDaDaaxDF

y )...()(

1 2210 ++++== , ao 0

8) VaDF

eVeDF

yaxax

)(

1

)(

1

+==

9){ }

VDF

DFV

DFXXV

DFy

2)(

)('

)(

1

)(

1==

Ecuacin de Cauchy Euler:Es de la forma:

An xn n

n

dxyd + A (n 1) x (n-1) )1(

)1(

n

n

dx

yd

+ + A1xdxdy + A0 y = g (x)

y=xm , m es un valor a determinar. Cada termino se transforma en unpolinomio en m, multiplicado por xm. Asi y = xm es la solucion de la ecuacindiferencial siempre que m sea una solucion de la ecuacin auxiliar.

Solucin para races reales diferentes :Y = C1 x

r1 + C2 xr2 + ... + Cn x

rn

Races reales e iguales:

Y = C1 x r1 + C2 x r2 lnx +... + Cn x rn ln x

Races complejas conjugadas:Para un par conjugado r = i

Y = X [ C1 cos ( ln x) + C2 sen ( ln x)]


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TRANSFORMADA DE LAPLACE ( )

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada

para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor.

Es un procedimiento desarrollado por el matemtico y astrnomo francsPierre Simn Marques de Laplace (1749 1827) que permite cambiar funciones dela variable del tiempo t a una funcin de la variable compleja s.

Las caractersticas fundamentales de la transformada de Laplace son:

Es un mtodo operacional que puede usarse para resolver ecuacionesdiferenciales lineales.

Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales sepueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S. Sirve para reemplazar operaciones como derivacin e integracin, por

operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S. Este mtodo permite usar tcnicas grficas para predecir el funcionamiento

de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuacionesdiferenciales correspondiente.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE ( )

La transformada de Laplace de una funcin f(t) f: es una funcin F (s)calculada como

La transformada de Laplace de una funcin f(t) existe si la integral de Laplace

converge. La integral ha de converger si f(t)es seccionalmente continua en todo intervalofinito dentro del rango t> 0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a infinito.

Se dice que una funcin es seccionalmente continua o continua a trazos en unintervalo de infinito si es posible partir el intervalo en un nmero finito de subintervalosde tal manera que la funcin sea continua en cada uno de ellos y tenga lmites a izquierday derecha.


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TRANSFORMADA DE FUNCI ONES ELEMENTALES

1. Suma y RestaSean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t) respectivamente. Entonces:

{ f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)

2. Multiplicacin por una constanteSea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

{ kf(t)}

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERI VADAS

Siendo: {f(t)}= 0

e-st f(t) dt = F(s)

Para n=1:{f (t)}= s {f (t)} f (0) = s F(s) f(0)

Si n=2:

{f (t)}= s {f (t)} f (0) = s [s F(s) f(0)] f (0) = s2 F(s) s f(0) f (0)Si n=3:

{f (t)}= s {f (t)} f (0) = s [s2 F(s) s f (0)] f (0) =s3 F (s) s2 f(0) s f (0) f (0)

En general:

[f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+ ) - sn-2 f(0+ ) - - f(n-1) (0+ ) , (s > )

.

TRANSFORMADA I NVERSA DE LAPLACE

Definicin. Si la transformada de Laplace de una funcin F(t) es f(s), esdecir, si

{F(t)} = f(s), entonces F(t) se llama una transformada inversa de Laplace

de f(s) y se expresa por F(t) = -1 {f(s)} , donde -1 se llama el operador

transformada inversa de Laplace. Cuando evaluamos transformadasinversas, con frecuencia sucede que una funcin de s que consideramosno corresponde exactamente a la forma de una transformada de LaplaceF(s) como aparece en una tabla, por lo que ser necesario reajustar lafuncin para que exista en la tabla.


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La transformada inversa de Laplace es lineal. Puede no ser unica.

Procedimiento para resolver una ecuacin diferencial con valor inicial y coeficientes

constantes:

1)Aplique la transformada de Laplace. La ecuacin diferencial transformada esuna ecuacin algebraica en y(s).

2) Resolvemos la ecuacin transformada para determinar y(s).3) Aplicamos la transformada inversa.4) Determine la y(t) desconocida que satisfaga la ecuacin diferencial y las

condiciones iniciales.

Funcin escaln uni t ario o funcin de Heaviside.Nos permite definir funciones que surgen en Ingenieria activadas o desactivadas,encendidas o apagadas.La funcion U (t-a) se define como:

=,1

,0)( at

at

at

0

ecuaciones diferenciales conceptos basicos

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